PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) Automatyka i Robotyka Sem. 3 Dr inŝ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK
(4,, 8, 5) X; (8, 3,, 9) XI; (6, 3, 0), XII; (3, 0, 7, 4) I 3 XI (wtorek) zamiast 5 XI (czwartek) Dzień Politecniki
LITERATURA. Lewiński J., Wilczyński A., Wittenberg Perzyk D, Podstawy Wytrzymałości Materiałów, Oficyna Wydawnicza Politecniki Warszawskiej, Warszawa 000,. Lewiński J., Wawrzyniak A., Pomoce dydaktyczne do ćwiczeń z wytrzymałości materiałów, Warszawa 005, 3. Bąk Roman, Burczyński Tadeusz, Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 00, 4. Niezgodziński M., E, Niezgodziński T, Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe, WNT, 996, 5. Brzoska Zbigniew, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa 97 3
Momenty względem osi i względem układu osi (odśrodkowe, dewiacji, zboczenia) Przy obliczeniac wytrzymałościowyc dotyczącyc niektóryc przypadków obciąŝenia (np. zginanie) potrzebna jest znajomość pewnyc wielkości geometrycznyc carakteryzującyc przekroje poprzeczne prętów. Wielkościami tymi są momenty bezwładności względem osi oraz moment względem układu osi, nazywany równieŝ momentem dewiacji lub odśrodkowym. Dalej podane są definicje tyc wielkości. 4
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM OSI Dowolnyc Centralnyc ρ JeŜeli osie układu współrzędnyc przecodzą przezśrodek cięŝkości figury, noszą nazwę osi centralnyc i są oznaczane ic (i l, ). Definicje momentów bezwładności względem osi centralnyc pozostają bez zmiany, 5
WZGLĘDEM UKŁADU OSI (momenty odśrodkowe, dewiacji, zboczenia) - osie dowolne - osie centralne Moment dewiacji względem układu osi, z któryc co najmniej jedna jest osią symetrii figury, jest równy zeru. I da da + A A A ( ) da 0 Układ osi, względem któryc moment dewiacji jest równy zeru, nazywa się układem głównym. JeŜeli dodatkowo układ taki przecodzi przez środek cięŝ-kości figury, nosi nazwę głównego centralnego. KaŜda oś symetrii figury jest oczywiście osią główną centralną. BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI I o ρ da ( + )da I + A A I 6
Jednostką momentów jest m 4, Momenty względem osi są zawsze dodatnie, moment dewiacji moŝe być dodatni, ujemny lub równy zero, zaleŝnie od połoŝenia figury względem układu współrzędnyc 7
8 Przykład Dany jest trójkąt (rys. ) o wysokości podstawie b, jako element pola da przyjmuje się pasek równoległy do osi i odległy od niej o, o szerokości d i długości c( ) zmiennej wraz z odległością Długość paska c( ) wyznacza się następującą funkcją współrzędnej Przy obliczaniu momentu dewiacji naleŝy we wzorze (I ) przyjąć: (l/)c( ) 4 b I, b I, b I, 3 3 4 b 4 3 b I 4 3 b )d ( b I d ) ( b )d c( ) c( da I 4 0 4 3 0 3 A 0 0 + + +
CENTRALNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI (względem osi centralnyc) I 3 3 4 4 b b πd πr, I, I 0 c I I 0 c c I c c c c 64 4 c Osie lc i c, względem któryc momenty te obliczano, są jednocześnie osiami symetrii tyc figur. Moment dewiacji względem układu osi, z któryc co najmniej jedna jest osią symetrii figury, jest równy zeru. 9
MOMENTY WZGLĘDEM OSI RÓWNOLEGŁYCH DO OSI CENTRALNYCH Twierdzenia Steinera 0
PROSTE PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA TWIERDZEŃ STEINERA
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR ZŁOśONYCH A i pole figury cząstkowej i, i, i własne centralne osie figury A i,, e i, e i odległości tyc osi od i, Momenty względem własnyc osi centralnyc figury A i
PRZYKŁAD Wyznaczyć połoŝenie głównyc centralnyc osi bezwładności oraz wartości głównyc centralnyc momentów bezwładności pola figury pokazanej na rysunku. Wymiary podano w centymetrac. A cm A 6 cm 3
MOMENTY WZGLĘDEM OSI OBRÓCONYCH 4
MOMENTY WZGLĘDEM OSI OBRÓCONYCH Współrzędne składowe tensora: I, I główne centralne momenty bezwładności W układac osi: c, c; c`, c`; 0, 0 5
GŁÓWNE CENTRALNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI Głównymi centralnymi momentami bezwładności nazywa się momenty wzgłędem osi takiego układu centralnego, względem którego moment dewiacji jest równy zeru. α 0 α α 0, α 0 α + π/ 0 0 Dla 6
FIGURY Z OSIAMI SYMETRII Jeśli figura ma jedną oś symetrii, środek cięŝkości leŝy na tej osi i naleŝy określić połoŝenie drugiej osi głównej centralnej, prostopadłej do osi symetrii. Gdy figura ma dwie osie symetrii, są to jednocześnie osie główne centralne. Dla figury, która ma więcej niŝ dwie osie symetrii, kaŝdy układ osi centralnyc jest zarazem układem głównym centralnym. Przykładem takic figur moŝe być kwadrat, trójkąt równoboczny, koło. 7
8
PRZYKŁAD Wyznaczyć połoŝenie głównyc centralnyc osi bezwładności oraz wartości głównyc centralnyc momentów bezwładności pola figury przedstawionej na rysunku. Wymiary podano w centymetrac. 9
PRZYKŁAD 0
PRZYKŁAD
Przykłady momentów bezwładności figur płaskic