PODSTAWY AUTOMATYKI ZBIÓR ZADAŃ rykłdowymi rowiąimi JANUSZ STASZEWSKI Wrocłw
SPIS TREŚCI. Trformt Fourier.... Trformt Llce... 6. Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe... 6. Alger chemtów lokowych... 9. Uchyy utloe... 6. Stilość... 8 7. Korekcj logow... 7 8. Zmiee tu... 76 9. Oerwowlość i terowlość... 96. Trformt Z... 98. Rówi różicowe.... Ektroltory.... Alger chemtów lokowych Z... 6. Uchyy utloe Z.... Stilość Z... 7 6. Korekcj cyfrow... 9 7. Ukłdy ieliiowe... DODATEK Podtwy teoretyce A. Trformt Fourier... 9 B. Trformt Llce... 6 C. Chrkterytyki Bodego... 6 D. Alger chemtów lokowych... 6 E. Uchyy utloe... 67 F. Stilość... 68. Zmiee tu. Oerwowlość i terowlość... 7 H. Trformt Z... 7 I. Alger chemtów lokowych Z... 78 J. Uchyy utloe Z... 8 K. Stilość Z... 8 L. Ukłdy ieliiowe... 8
Trformt Fourier. TRANSFORMATA FOURIERA.. Prykłdowe rowiąi Zd.. Korytjąc wrot defiicji leźć trformtę Fourier fukcji dl t f t dl t i t Rowiąie: Podtwijąc wrot do woru A. otrymmy: jt jt jt j j ft fte dt e dt e e F. j Zd.. Korytjąc wrot defiicji leźć trformtę Fourier fukcji jt f t e Rowiąie: Podtwijąc wrot do woru A. otrymmy: jt jt jt j t ft F e e e dt e F dt. Korytjąc dy dulimu A. i woru A. otrymmy: jt e F. jt korytjąc odt- Zd.. Zleźć trformtę Fourier fukcji wowych włości trformty. f t t e Rowiąie: Skorytmy twierdei o oóźieiu w diediie cętotliwości A. i teli A.: jt t e F t j j F.
Trformt Fourier.. Zdi Zd.. Korytjąc wrot defiicji leźć trformtę Fourier fukcji:.. dl - t t dl t - i t f. f t it dl - t t dl t i t f. f t co t Podowiedź do kt. i : moż leżości e j t jt co t ji t or e co t ji t wycyć fukcję iu o outroym odjęciu lu koiu o outroym dodiu i wrot odtwić do cłkowi. Zd.. Korytjąc odtwowych włości trformty leźć trformtę Fourier fukcji:. f t t e f t t jt... f t f t jt. t e j t 6. t e f t t t e f t t t e t j t.. Jk to ię roi w Mtlie?... Wycie trformty Fourier Korytjąc rogrmu Mtl, możemy olicyć trformtę Fourier dowolej fukcji w diediie cu. Ocywiście fukcj mui ełić wruek A.. W tym celu. dl rówi f t t kok jedotkowy leży wykoć tęującą ekwecję itrukcji: ym t % deklrcj mieej ymolicej t e odi kokretej wrtości F=fourier heviidet % oliceie trformty Fourier wyrżei w wiie; % wyik w mieej F Efektem diłi owyżej fukcji ędie: F = i*dircw - i/w Uwg: delt Dirc i kok jedotkowy to w Mtlie fukcje odowiedio: dirc i heviide ; i ; w ulcj.
... Wycie odwrotej trformty Fourier Trformt Fourier Mjąc dą trformtę Fourier możemy olicyć trformtę odwrotą. W tym celu. dl F leży wykoć tęującą ekwecję itrukcji: i ym w % deklrcj mieej ymolicej w e odi kokretej wrtości f=ifourier /+i*w % oliceie odwrotej trformty Fourier wyrżei % w wiie; wyik w mieej f Efektem diłi owyżej fukcji ędie: f = heviide/e Jeżeli chcemy y rgumetem fukcji f ył c t leży w Mtlie wić: ym w % deklrcj mieej ymolicej w e odi kokretej wrtości ym t % deklrcj mieej ymolicej t e odi kokretej wrtości f=ifourier /+i*w,t % oliceie odwrotej trformty Fourier wyrżei % w wiie; wyik w mieej f Co w reultcie d: f = heviidet/et
Trformt Llce 6. TRANSFORMATA LAPLACE A.. Prykłdowe rowiąi Zd.. Korytjąc wrot defiicji leźć trformtę Llce fukcji f t t Rowiąie: Podtwijąc wrot do woru B. otrymmy: t t t t F L t t e dt e dt e t. Fukcję t od cłką możemy omiąć mieijąc grice cłkowi. Zd.. Korytjąc wrot defiicji leźć trformtę Llce fukcji f t t t Rowiąie: Podtwijąc wrot do woru B. otrymmy: F t t t t t e dt t te dt L. Skorytmy ter metody cłkowi re cęści: gdie u, v ą fukcjmi mieej t: t u t dv e dt t du dt v e Ztem: udv uv vdu. F t t t t te dt t e e dt e.
Trformt Llce 7 W owyżym rówiu ry liceiu gricy t lim t e wytęuje ieo- t coość tyu, tem leżło korytć reguły de Hoitl: t t lim lim t t t t. Cyli: lim t t t e lim lim.6 t t t t t e e Podumowując: F L t.7 Zd.. Zleźć trformtę Llce fukcji f t t t korytjąc odtwowych włości trformty Rowiąie: Skorytmy twierdei o liiowości B. or twierdei o możeiu re c B.7: d d L t F L t t L t t.8 d d Zd.. Zleźć trformtę Llce fukcji f t t e t t korytjąc odtwowych włości trformty. Rowiąie: Skorytmy twierdei o możeiu re c B.7: t t d Le t t e t F L.9 d Ay olicyć trformtę Llce fukcji e t t o oóźieiu w diediie cętotliwości B.9: korytmy twierdei t e t L t L.
Trformt Llce 8 Ztem: d F L e d t t d d. Zd.. Oiekt oiy jet rówiem różickowym y 7 y y u u. Zleźć jego trmitcję, odowiedź imul Dirc g t or odowiedź kok jedotkowy y. t Rowiąie: Powyże rówie oddmy outroie diłiu trformty Llce. Skorytmy twierdei o trformcie ochodej -tego rędu ry erowych wrukch ocątkowych B.. Y 7Y Y U U. 7 U Y. Y U 7.c Poiewż: Y. U tem ottecie:. 7 W celu olicei fukcji wgi B. leży olicyć odwrotą trformtę Llce. Skorytmy metody reiduów B.. W ierwym kroku, rowiąując rówie: wycymy ieguy trmitcji:,, cyli: 7..6
Trformt Llce 9 Ztem: t e e t e e t g t t t t - - L L.7 Podoie wycmy odowiedź kok jedotkowy, korytjąc e woru B.: t e e t e e e t y t t t t t - - L L.8 Podumowując:.9 t e e t g t t.9 t e e t y t t.9c Zd. 6. D jet trmitcj oertorow oiektu,. Wycyć odowiedź ukłdu imul Dirc fukcję wgi t g. Rowiąie: W celu wycei fukcji wgi korytmy metody reiduów. Uwg: jede iegu jet odwójy, tem leży korytć e worów B. i B.. Prydte rówież ędą wory ochodą ilocyu i iloru: v u u v v u. v uv u v v u.
g t L - L d e d t t t e e - t t t te e e t,9 t,9 e t Ztem ottecie: Trformt Llce L, e t - t e t,9 t,9 e t e t t t. g t t. Zd. 7. Zleźć trmitcję cwórik elektrycego: L U R U i Ry... Prykłdowy cwórik elektrycy LR. Rowiąie: Pody ukłd moż oić rówimi: Ocmy: di U L U. dt U. R i U u, U y, t t L T. R
Trformt Llce Ztem: d y t u t T y t.6 dt W celu olicei trmitcji oertorowej korytmy twierdei o trformcie ochodej -tego rędu ry erowych wrukch ocątkowych B.: o rotych rektłceich: U TY Y.7 Y.8 U T cyli cwórik elektrycy ry.. jet ukłdem iercyjym -go rędu. Zd. 8. Wycyć trformtę Llce fukcji oiej leżością: t dl t f t t dl t.9 dl t Rowiąie: Zdie to moż rowiąć dw ooy. Pierwy oó - wrot defiicji trformty Llce, dieląc redił cłkowi, rediły,,,,,. Jet to jedk doyć żmude, wymg owiem licei kilku cłek. Drugi oó, dużo roty, oleg redtwieiu dej fukcji jko umy fukcji rotych w tym rydku liiowych remożoych re ygł koku jedotkowego odowiedio reuięty w cie. W celu łtwiejego roumiei reiegu tej fukcji możemy ją kicowć: ft - t Ry... Preieg fukcji określoej worem.9. tem fukcję f t moż ić icej: f t t t t t t.
Trformt Llce Wyjśieie: Pierwy odciek to fukcj f t t. Jedk wrtość tej fukcji dl t mui yć rów, co oiągiemy możąc re kok jedotkowy t. Drugi odciek fukcji owtł ore reuięcie orediej fukcji ioowo w dół, o wrtość chyleie ie miei wrtości, jedk tylko dl t tąd remożeie re t. Poiewż drugi odciek dy jet worem t, tem, y owtł treci odciek, rówy ero, tre odjąć od drugiego tk mą fukcję cyli też t, tym, że ocyjąc doiero od t tąd remożeie re t. Ztem, korytjąc twierdeń: o liiowości trformty B., o możeiu re c B.7, o reuięciu w diediie cu B.8, otrymmy: e f t Lt t - L t - L t t F L e e e. Uwg: ry liceiu trformty Llce fukcji łożoej, możemy korytć wrot twierdei o reuięciu w diediie cu tylko wtedy, jeśli w fukcji towryącej fukcji t t, oóźieie w diediie cu jet dokłdie tkie mo fukcje muą yć korelowe. N. t L - oóźiei rówe moż korytć wrot t t t t e twierdei, t L i t t t t e - oóźiei rówe moż korytć wrot twierdei, L t t T - rk oóźiei fukcji t twierdei o reuięciu w diediie cu ie moż korytć wrot; y olicyć tę trformtę, tre jierw korytć twierdei o możeiu re c, L t T t T - oóźieie fukcji t wyoi T cyli jet róże iż ry twierdei o reuięciu w diediie cu ie moż korytć t T wrot; y olicyć tę trformtę, tre jierw korytć twierdei o liiowości i twierdei o możeiu re c.
Trformt Llce Zd. 9. Zleźć trformtę Llce fukcji okreowej defiiowej wykreem: ft - - t Rowiąie: Fukcję moż ić jko: Ry... Preieg rykłdowej fukcji okreowej. f T t t, f t f t T. gdie: T Njierw licymy trformtę Llce, dl jedego okreu fukcji. W tym celu iemy fukcję f T t icej: f T t t t t t. Licąc trformtę Llce korytmy twierdeń: o liiowości trformty B., o możeiu re c B.7, o reuięciu w diediie cu B.8: Ale: F L T ft t L t t t t Lt t L t L t t t t t t t t t.. Ztem: t t L t L t t L t F L T e e e e.6 Idetycy wyik otrymliyśmy licąc trformtę Llce wrot defiicji: f t t FT L.7 t T e dt
Trformt Llce Ntęie korytmy e woru trformtę fukcji okreowej B.: e e e e e F T F T e.8.. Zdi Zd.. Korytjąc wrot defiicji leźć trformtę Llce fukcji:. f t t. f t t - kok jedotkowy 6. f t i t - imul Dirc 7. f t co t. f 8. t t f t e t. f t t 9. t f t e. f t t. f t t e t Podowiedź do kt. 6 i 7: Moż je rowiąć ooy:. ry cłkowiu wrot fukcji iu lu koiu, o korytiu dwukrotie metody cłkowi re cęści, jede e kłdików o rwej troie rówi ędie idetycy jk te o lewej. Nleży odowiedio ogruowć kłdiki tromi. e j t jt co t ji t e co t ji t wycyć. moż leżości or fukcję iu o outroym odjęciu lu koiu o outroym dodiu i wrot odtwić do cłkowi. Zd.. D jet odowiedź imul Dirc fukcj wgi g t. Zleźć trmitcję oertorową. g t g t. t t e e t 6. t t t t e te e t. t t g t e 9e t 7. t g t e it t. t t t g t e e e t 8. t g t te co t t g t 9. g t t it t te 9e t t t. g t. t e e t. t t g t t co t t
Trformt Llce Zd.. D jet odowiedź ukłdu kok jedotkowy y t. Zleźć trmitcję oertorową. y t e 6. y t,, te t. t y t t t t t. e 7. t,,e t t t. y t e e t y t y t t y t i t t 8. te t. t t. y t e t e t y t t i t 9. t t y t t co t. t Zd.. D jet trmitcj oertorow oiektu. Wycyć odowiedź ukłdu imul Dirc fukcję wgi g t...... 6. 7. 8. 9..,. 6. 6 8.,. 7. 8,, 6. 9 7. 8. 6 8 6 9. 7 6.
Trformt Llce 6 Zd.. Oiekt oiy jet rówiem różickowym. Wycyć trmitcję oertorową or odowiedź ukłdu imul Dirc g t.. y y y u 8u. y y 6y 8u u. y y y 9u 6u. y y y u u.,y y 7,y,u u Zd. 6. Oiekt oiy jet rówiem różickowym. Wycyć trmitcję oertorową or odowiedź ukłdu kok jedotkowy y.. y yy uu. y y 6y u 6u. y y y u uu. y y y u 6u. y y u u t Zd. 7. Zleźć trmitcję cwórik elektrycego:.. R U L U i U R C U i.. C L U R U i L U R U i C
. 6. Trformt Llce 7 C R U U R C i L U L U i 7. 8. C R C L U i R C i U U i i U L C 9.. C C R i R L U i i U U R L U R. C i R L R U L U C
Trformt Llce 8 Zd. 7. Zleźć trformtę Llce fukcji oiej leżością:...,t dl t f t dl t. dl t f t t 6 dl t. dl t f t t dl t 6. dl t f t t dl t,t dl t f t dl t t dl t f t dl t t 6 dl t Zd. 8. Zleźć trformtę Llce fukcji okreowej:.. ft ft t - t - -.. ft - ft 6 t - 6 t -. 6. ft ft - 6 7 8 t - 6 t
Trformt Llce 9 7. 8. ft ft - 6 7 8 t 6 7 8 t.. Jk to ię roi w Mtlie?... Wrowdie trmitcji Korytjąc rogrmu Mtl, możemy ić dowolą trmitcję w różych otcich.. rereetcj trmitcji w otci iloru dwóch wielomiów. 7 W Mtlie tką trmitcję moż ić tęująco: =tf[ ],[ 7 ] % w wich [] wółcyiki wielomiu odowiedio licik % i miowik ocyjąc od wółcyik ry jwiękym toiu % trmitcj i w mieej Efektem diłi owyżej fukcji ędie: Trfer fuctio: + ------------------ ^ + 7 + Idetycy efekt wyii trmitcji ekrie jedk e ii jej w mieej d wywołie fukcji: rity[ ],[ 7 ] % wyiie trmitcji ekrie, to wy- Jeżeli chcemy dodć do trmitcji oóźieie trortowe. cło wołie fukcji tf ędie otci: e =tf[ ],[ 7 ], IutDely, % w wich [] wółcyiki wielomiu % odowiedio licik i miowik or wrtość oóźiei trortowego Efektem diłi owyżej fukcji ędie: Trfer fuctio: + e-* * ------------------- ^ + 7 +
Trformt Llce. rereetcj trmitcji jwymi iegumi i ermi. W Mtlie moż ić tką trmitcję tęująco: =k[-],[- -], % w wich [] odowiedio er ierwitki licik % i ieguy ierwitki miowik; końcu wmocieie; % trmitcj i w mieej Efektem diłi owyżej fukcji ędie: Zero/ole/gi: + -------------- + +... Kowerj różych otci trmitcji Mjąc odą trmitcję w jedej dwóch odych owyżej otci, rdo roto moż rejść drugą,. dl : 7 =tf[ ],[ 7 ]; =k Zero/ole/gi: + -------------- + + i odwrotie dl : % deklrcj trmitcji w otci iloru dwóch wielomiów % kowerj i w otci jwych ieguów i er =k[-],[- -], ; % deklrcj trmitcji w otci jwych ieguów i er =tf % kowerj i w otci iloru dwóch wielomiów Trfer fuctio: + ------------------ ^ + 7 + Mjąc de wółcyiki wielomiów licik i miowik trmitcji, możemy w oó roty wycyć jej ieguy, er i wmocieie. Prykłdowo dl trmitcji otć wywołi fukcji ędie tęując: 7 [,,k]=tf[ ],[ 7 ] % kowerj wółcyików licik i miowik % er, ieguy i wmocieie k
W wyiku jej diłi otrymmy: = - = - - k = Trformt Llce I odwrotie, mjąc de ieguy, er i wmocieie trmitcji, możemy wycyć wółcyiki wielomiów licik i miowik. Prykłdowo dl trmitcji otć wywołi fukcji ędie tęując: [l,m]=tf,[- -], W wyiku jej diłi otrymmy: l = - m = 7... Wycie ieguów i er trmitcji % kowerj er, ieguów i wmociei wółcyiki % licik l i miowik m trmitcji Mtl umożliwi wyceie wrot ieguów i er trmitcji. Do tego celu ołużą fukcje: ole i ero. Prykłdowo iech 7 6 =tf[ - ],[ - 7-6]; % deklrcj trmitcji ole % wyceie ieguów trmitcji =... ero % wyceie er trmitcji =
... Wycie trformty Llce Trformt Llce Mjąc dą fukcję w diediie cu możemy olicyć jej trformtę Llce cyli tkże wycyć trmitcję. t t W tym celu. dl rówi g t e e t leży wykoć tęującą ekwecję itrukcji: ym t % deklrcj mieej ymolicej t e odi kokretej wrtości =llce/*e-t+/*e-*t % oliceie trformty Llce % wyrżei w wiie; wyik w mieej Efektem diłi owyżej fukcji ędie: = //++//+ Jk widć rgumet fukcji llce muimy odć ry wywołiu w otci jwej. Nie moż korytć fukcji tf lu k. Jeżeli chcemy ić wyik owyżej fukcji w otci rdiej cytelej. odoie jk ułmek wykły możemy użyć fukcji: rettyllce/*e-t+/*e-*t W wyiku otrymmy: / ----- + / ----- + +... Wycie odwrotej trformty Llce Mjąc dą trmitcję możemy olicyć odwrotą trformtę Llce. W tym celu. dl trmitcji leży wykoć tęującą ekwecję itrukcji: ym % deklrcj mieej ymolicej e odi kokretej wrtości g=illce+/+*+ % oliceie odwrotej trformty Llce % wyrżei w wiie; wyik w mieej g Efektem diłi owyżej fukcji ędie: g = -*e-*t+*e-*t Tkże i tu rgumet fukcji illce muimy odć ry wywołiu w otci jwej. Nie moż tem korytć fukcji tf lu k.
..6. Ie użytece fukcje Trformt Llce Wygodym rędiem jet fukcj root łużąc do wyci ogólie ierwitków wielomiu. Prykłdowo dl wielomiu w 6 : root[ 6] = -. -. +.68i -. -.68i % wyceie ierwitków wielomiu Odwrotie, mjąc de ierwitki wielomiu, możemy leźć jego wółcyiki,. iech ierwitki wielomiu -go toi wyoą:,, 6, 7. Korytjąc fukcji: oly[ 6 7] % ierwitki wielomiu otrymmy wółcyiki wielomiu w kolejości ocyjąc od wółcyik ry jwiękym toiu : = -9 8-6 6 cyli wielomi ędie otci: w 9 8 6 6 W Mtlie itieje rówież możliwość rokłdu ułmki rote. Do tego celu łuży 7 fukcj reidue. Niech. [r,, k]=reidue[], [ ] % w wich [] wółcyiki wielomiu odowiedio % licik i miowik ocyjąc od wółcyik ry jwiękym toiu ; % r - wektor reiduów, - wektor ieguów, k - wektor tw. cyik rotego Efektem diłi tejże fukcji ędie: r = = - k = Ztem o rokłdie ułmki rote trmitcj ryjmie otć: r r k k Poiewż w ukłdch recywitych toień licik jet wycj miejy od toi miowik, tem wywołie fukcji moż urościć, oiewż ie ędie itił wówc tw. cyik roty. Niech.
Trformt Llce [r, ]=reidue[], [ ] % w wich [] wółcyiki wielomiu odowiedio % licik i miowik ocyjąc od wółcyik ry jwiękym toiu ; % r wektor reiduów, wektor ieguów Otrymmy wówc r = -.. = -,, cyli trmitcj ryjmie otć Trochę icej wygląd odcyt trmitcji o rokłdie ułmki rote w ytucji, gdy ieguy ą wielokrote. Prykłdowo dl iegu trykrotego otć trmitcji ędie tęując: r r r Niech [r, ]=reidue[ ], [ ] Otrymmy wówc r =. -.. = -. -. -. cyli jede ieguów - jet dwukroty, tem trmitcj ryjmie otć: Wykorytując fukcję reidue moż dokoć tkże oercji odwrotej, tj. rejść iu ułmków rotych do trdycyjej otci trmitcji cyli icej rowdić do wólego miowik. Prykłdowo dl r=[ - ]; =[- - -]; k=[]; [l, m]=reiduer,, k % wektor reiduów % wektor ieguów % wektor tw. cyik rotego % l, m wektory wółcyików, odowiedio % licik i miowik
Trformt Llce Otrymmy: l = 8 m = 9 6 cyli trmitcj ędie otci: 8 9 6
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 6. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE I CZĘSTOTLIWOŚCIOWE.. Prykłdowe rowiąi Zd.. Wykreślić chrkterytykę imulową oiektu o trmitcji Rowiąie: W ierwym kroku muimy olicyć odowiedź imulową ukłdu godie e worem B.:, g t,e t t. Ntęie wycmy wrtości fukcji dl różych wrtości cu t. Lic uktów leży od dokłdości jką chcemy wycyć chrkterytykę. T... Wrtości gt w fukcji cu t. t [], gt,,,9,,,,, N odtwie t.. możemy wykreślić chrkterytykę imulową oiektu: gt,,,,, 6 8 6 8 t[] Ry... Prykłdow chrkterytyk imulow.
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 7 Zd.. Wykreślić odowiedź kok jedotkowy oiektu o trmitcji Rowiąie: W ierwym kroku muimy olicyć odowiedź kok jedotkowy godie e worem B.:, y t e t. t Ntęie wycmy wrtości fukcji dl różych wrtości cu t. Lic uktów leży od dokłdości jką chcemy wycyć chrkterytykę. T... Wrtości yt w fukcji cu t. t [], 6 8 8 y t,,,79,6,,7,9,98, N odtwie t.. możemy wykreślić odowiedź kok jedotkowy oiektu: y t,8,6,,,8,6,, t[] Ry... Prykłdow odowiedź kok jedotkowy. Zd.. Wykreślić chrkterytykę mlitudowo-fową Nyquit oiektu o trmitcji Rowiąie: Dokoujemy odtwiei j j. j or wycmy cęść recywitą i urojoą trmitcji. W tym celu możymy licik i miowik re licę rężoą miowik:
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 8 j 8 j j. j j 6 6 Ter wycmy wrtości Re j i Im j dl kilku chrkterytycych wrtości ulcji. Oróc wrtości i, jet to tkże odwrotość tłej cowej T. Lic ootłych uktów leży od dokłdości jką chcemy wycyć chrkterytykę. T... Wrtości rel{j} i img{j} w fukcji ulcji.,,,,,,8 Re j,9,7,7,6,8,, Im j -,9 -,7 -,88 - -,9 -,7 -, -, N odtwie t.. możemy wykreślić chrkterytykę mlitudowo-fową: -, -, -,6 -,8 Im{j},,8,,6 Re{j} - Ry... Prykłdow chrkterytyk Nyquit. Zd.. Wykreślić logrytmicą chrkterytykę mlitudowo-fową krcie Nichol dl oiektu o trmitcji Rowiąie: Chrkterytyk Nichol jet chrkterytyką cętotliwościową. Ay ją wycyć muimy dokoć odtwiei j, tęie wycyć moduł wyrżoy w db i rgumet. j. j moduł:
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 9 L j j log log db 6.6 rgumet: rg j rg rctg.7 j Ter wycmy wrtości modułu i rgumetu dl różych wrtości ulcji. Są to m. i. wrtości i. Lic ootłych uktów leży od dokłdości jką chcemy wycyć chrkterytykę. T... Wrtości rg{j} i L w fukcji ulcji.,,,.6 rg j [rd/] L [db] -,8-8,7-8, -67, -76, -8,9-87, -89, -9 6,,,9, -, -6, -, -, -, N odtwie t.. możemy wykreślić logrytmicą chrkterytykę mlitudowo-fową Nichol: L [db] -8-6 - - rg{}[deg] - - - - - -6 Ry... Prykłdow chrkterytyk Nichol.
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe Zd.. Wykreślić urocoe logrytmice chrkterytyki modułu i rgumetu Bodego oiektu o trmitcji., Rowiąie: W ierwym kroku orądkujemy trmitcję w tki oó, y wytkie m oróc k, i wytęujące w iej cyiki yły otci T :,,,,.8 Ntęie iujemy trmitcję w otci ilocyu: gdie: k wmocieie ukłdu m - cło lu, - cło T m i / lu. T W ym rydku ie wytęuje cyik, tem: k.9,. Tki oó rereetcji trmitcji jet rdo wygody, oiewż retwio jet o jko ilocy odtwowych cłoów, o ych chrkterytykch t. C.. Są dw ooy kreślei chrkterytyk. Pierwy oleg wykreśleiu urocoej chrkterytyki rówo modułu jk i rgumetu dl kżdego cyik oddielie,,, we wore owyżej - kolejość ieitot. W ym rydku ędą to o chrkterytyki. Ntęie dokoujemy ich umowi grficego. Soó drugi: iujemy trmitcję rówież w otci ilocyu.9, tym, że rdo wż jet kolejość wytęowi cłoów w tym ilocyie or, w rydku kilku cłoów tyu, iujemy je w kolejości mlejącej wrtości T. Ntęie kreślimy urocoą chrkterytykę rówo modułu jk i rgumetu jierw dl ierwego cyik, le tylko do wrtości T ; gdie T jet tłą cową cyik drugiego tr krok r ry... Ntęie dodjemy chrkterytykę cyik drugiego ocyjąc od wrtości T, le tylko do wrtości T ; gdie T jet tłą cową cyik treciego tr krok r ry.
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe.. Potęujemy tk, ż do wyceri wytkich cyików. Pry dodwiu ottiego cyik ie m ocywiście ogricei wrtości tr krok r ry... Te oó woly jet od umowi grficego, kłootliwego cególie dl dużej licy wykreów cątkowych. 6 L [db] - - - [rd/] rg{j} - - - [rd/] Ry... Prykłdowe chrkterytyki Bode go.
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe.. Zdi Zd.. Wykreślić chrkterytykę imulową oiektów oiych trmitcją oertorową :... 6.. 7.. 8. Zd.. Wykreślić chrkterytykę odowiedi kok jedotkowy oiektów oiych trmitcją oertorową idetycą jk w d.. Zd.. Wykreślić chrkterytykę mlitudowo fową Nyquit oiektów oiych trmitcją oertorową idetycą jk w d.. Zd.. Wykreślić logrytmicą chrkterytykę mlitudowo fową Nichol oiektów oiych trmitcją oertorową idetycą jk w d..
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe Zd.. Wykreślić urocoe logrytmice chrkterytyki modułu i rgumetu Bodego oiektów oiych trmitcją oertorową :. 6.. 7.. 8.., 9... 6.,. 7.. 8.. 9....., 6.., 7.. 8... 9.,,,,,,,,,,,,,.,,
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe Zd. 6. Wycyć trmitcję oertorową dl ukłdów, których urocoe logrytmice chrkterytyki modułu de ą ryukch:.. L [db] 6 6 L [db] - - - [rd/] - - - [rd/].. L [db] 6 6 L [db] - - - [rd/] - - [rd/]. 6. L [db] 6 6 L [db] - - - [rd/] - - [rd/] 7. 8. L [db] 6 6 L [db] - - - [rd/] - - [rd/] 9.. L [db] L [db] - - - [rd/] - - - [rd/] - - -6-6
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe.. L [db] L [db] - - - [rd/] - - - [rd/] - - -6-6.. Jk to ię roi w Mtlie?... Chrkterytyki cowe Korytjąc rogrmu Mtl, możemy utomtycie wycyć chrkterytykę imulową or wykre odowiedi kok jedotkowy dl dowolej trmitcji. W tym celu jierw muimy deklrowć trmitcję ore jede e ooów odych w rodile.... dl =tf[], [ ]; tęie w celu wycei chrkterytyki imulowej ry..6: imule Amlitude... Imule Reoe... Time [] Ry..6. Chrkterytyk imulow. Ay wykreślić wykre odowiedi kok jedotkowy użyjemy fukcji ry..7: te
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 6. Ste Reoe Amlitude.... Chrkterytyki cętotliwościowe. chrkterytyk Nyquit... Time [] Ry..7. Odowiedź kok jedotkowy. Progrm Mtl umożliwi wyceie chrkterytyki mlitudowo fowej dl dowolej trmitcji cyli tw. chrkterytyki Nyquit.. dl w ierwym kroku deklrujemy trmitcję =tf[ ], [ ]; tęie: yquit Efektem diłi tej fukcji ędie wykre ry..8: Imgiry Ai - - Nyquit Digrm - - -. - -... Rel Ai Ry..8. Chrkterytyk Nyquit. Powyż chrkterytyk oejmuje kre mi ulcji w redile, : lii ciągł - kre mi ulcji w redile,, lii reryw - kre mi ulcji w redile,.
. chrkterytyk Nichol Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 7 Do redtwiei chrkterytyki mlitudowo fowej oiektu krcie Nichol łuży fukcj: ichol % trmitcj jk wyżej Efektem jej diłi ędie wykre ry..9: Oe-Loo i db - - -6-8 - - - -6 Nichol Chrt -8 - - -6 - Oe-Loo Phe deg Ry..9. Chrkterytyk Nichol. N krcie Nichol cęto użytec jet itk tw. krywych tłego modułu or tłego rgumetu. Możemy ją wykreślić w owiąiu fukcją ichol ry..: ichol grid Oe-Loo i db - - -6-8 - - - -6 Nichol Chrt -8 - - -6 - Oe-Loo Phe deg Ry... Chrkterytyk Nichol itką krywych tłego modułu or rgumetu. c. chrkterytyki Bode go Do wycei logrytmicych chrkterytyk modułu i rgumetu w fukcji ulcji dl dowolej trmitcji cyli tw. chrkterytyki Bodego łuży fukcj ry..: ode % trmitcj jk wyżej
Chrkterytyki cowe i cętotliwościowe 8 Phe deg; Mgitude db - - -6-8 - - - Bode Digrm - - Frequecy rd/ec Ry... Chrkterytyki Bode go. Nleży wrócić uwgę fkt, iż logrytmice chrkterytyki modułu i rgumetu ą chrkterytykmi recywitymi, re to różią ię iecie od chrkterytyk wycoych metodmi ryliżoymi.... Ie użytece fukcje Korytie wytkich wykreów może ułtwić fukcj grid o kreśląc itkę wykreie. Wyłąceie itki ore fukcję: grid off Prmetry dowolego uktu uktów dowolym wykreie owoli m odcytć fukcj: [ y]=giut % [ y] rmetry uktu -ów; w wich lic uktów, % jeżeli lic uktów >, to i y wektory Pry wyciu chrkterytyk or do iektórych oliceń omoce mogą yć tęujące fukcje iech j8 : rel+j8 = img+j8 = 8 +j8 = 9. gle+j8 =. % wyceie cęści recywitej wyrżei w wiie % wyceie cęści urojoej wyrżei w wiie % wyceie modułu wyrżei w wiie % wyceie rgumetu wyrżei w wiie wyik w rdich
Alger chemtów lokowych 9. ALEBRA SCHEMATÓW BLOKOWYCH.. Prykłdowe rowiąi Zd.. Wycyć trmitcję tęcą ukłdu jk ry... U Y Ry... Prykłdowy ukłd łożoy r. Rowiąie: Jk łtwo oerwowć ukłd moż odielić ory jk to coo liią rerywą ry..: U Y H H Ry... Prykłdowy ukłd łożoy odił odukłdy. Bloki w rmce o lewej troie tworą klyce ujeme rężeie wrote D.. Wydkow trmitcj ędie d worem: H. Bloki w rmce o rwej troie tworą klyce ołąceie rówoległe cyli umę D.. Wydkow trmitcj ędie d worem: H.
Alger chemtów lokowych Ztem o uroceiu ukłd ędie wyglądł tęująco ry..: U H H Y Ry... Prykłdowy ukłd łożoy o uroceiu. Bloki H i H tworą klyce ołąceie eregowe cyli ilocy D., o trmitcji wydkowej: Ztem ottecie: H H. HH. Zd.. Wycyć trmitcję tęcą ukłdu jk ryuku: U Y Ry... Prykłdowy ukłd łożoy r. Rowiąie: W ierwym kroku reoimy węeł ceowy tr ry. D. red lokiem o trmitcji w rwo, te lok godie e trłką ry..: U Y Ry... Prykłdowy ukłd łożoy kieruek reuwi węł ceowego. Otrymmy wówc:
Alger chemtów lokowych / U H H Y Ry..6. Prykłdowy ukłd łożoy o reuięciu węł ceowego. Jk łtwo oerwowć ukłd moż odielić ory, jk to coo liią rerywą ry..6. Rmk o lewej troie to tw. tywe ujeme rężeie wrote o wydkowej trmitcji: H. Bloki w rmce o rwej troie tworą ołąceie rówoległe cyli umę o wydkowej trmitcji: H.6 Ztem o uroceiu ukłd ędie wyglądł idetycie jk ry... Ottecie loki H i H tworą ołąceie eregowe cyli ilocy, o trmitcji wydkowej: HH.7 Zd.. Wycyć trmitcję tęcą ukłdu jk ryuku: U E Y Ry..7. Prykłdowy ukłd łożoy r. Rowiąie : W ierwym kroku reoimy węeł umcyjy tr ry. D. red lokiem o trmitcji w rwo, te lok godie e trłką ry..8:
Alger chemtów lokowych U Y Ry..8. Prykłdowy ukłd łożoy kieruek reuwi węł umcyjego. W efekcie uykmy: U Y Ry..9. Prykłdowy ukłd łożoy o reuięciu węł umcyjego. Ntęie mieimy węły umcyje miejcmi trłk ry.. otrymując: U Y H H Ry... Prykłdowy ukłd łożoy o miie miejcmi węłów umcyjych. Jk łtwo oerwowć ukłd moż odielić ory, jk to coo liią rerywą ry... Rmk o lewej troie to ołąceie rówoległe cyli um o wydkowej trmitcji: H.8 Bloki w rmce o rwej troie tworą dodtie rężeie wrote o wydkowej trmitcji: H.9 Ztem o uroceiu ukłd ędie wyglądł idetycie jk ry... Ottecie loki H i H tworą ołąceie eregowe cyli ilocy, o tęcej trmitcji:
Alger chemtów lokowych H H. Rowiąie : Zdie o tk iewielkim toiu komlikowi jk to ry..7, moż rowiąć rówież korytjąc wrot defiicji trmitcji tęcej jko iloru trformty ygłu wyjściowego do trformty ygłu wejściowego cłego ukłdu: Y. U W tym celu wytrcy ić rówi dl wytkich węłów umcyjych i rowiąć tk owtły ukłd rówń, wycjąc touek. Y U E E U Y. Po odtwieiu -go rówi do -go otrymmy: Y. U Jk widć owyżego, w tym rydku metod t jet rot iż rektłcie chemtu. Zd.. Wycyć trmitcję tęcą ukłdu jk ryuku: 6 U Y Ry... Prykłdowy ukłd łożoy r. Rowiąie: W ierwym kroku reoimy węeł ceowy jdujący ię red lokiem o trmitcji w rwo, te lok godie e trłką ry..:
Alger chemtów lokowych Ry... Frgmet ukłdu łożoego kieruek reuwi węł ceowego. W efekcie uykmy: / 6 U Y Ry... Prykłdowy ukłd łożoy o reuięciu węł ceowego, coymi grumi. Ntęie wycmy trmitcję tęcą ukłdów w rmkch lii reryw ry... Wyikiem ędie: 6 / U Y Ry... Prykłdowy ukłd kolejy et urocei. W kolejym kroku reuwmy węeł ceowy jdujący ię red lokiem o trmitcji w rwo, te lok, godie e trłką ry... Otrymmy wtedy:
Alger chemtów lokowych 6 / U Y H / Ry... Prykłdowy ukłd kolejy et urocei. Ter wycmy trmitcje tęce ukłdów w rmkch lii reryw ry..: Po tej oercji chemt ryjmie otć: H. 6 / U H Y / Ry..6. Prykłdowy ukłd kolejy et urocei. Dlej reuwmy węeł ceowy jdujący ię lokiem o trmitcji H w lewo, red te lok, godie e trłką ry..6. Otrymmy wtedy:
Alger chemtów lokowych 6 6 / H U H Y / H H Ry..7. Prykłdowy ukłd kolejy et urocei. Ter wycmy trmitcję tęcą loków w rmce lii reryw ry..7. Wyikiem ędie: U H H Y Ry... Prykłdowy ukłd końcowy et urocei. die: H. H H.7 6 H Ztem ottecie: 6 6 HH.8
Alger chemtów lokowych 7.. Zdi Wycyć trmitcję tęcą ukłdów jk ryukch:. e..
Alger chemtów lokowych 8.. 6.
Alger chemtów lokowych 9 7. 8. 9.
Alger chemtów lokowych.... 6
Alger chemtów lokowych.. 6. 7. 8.
Alger chemtów lokowych 9... U Y. U Y. U Y
Alger chemtów lokowych. U Y. U Y 6. U Y.. Jk to ię roi w Mtlie? Niech rykłdowo,. Trmitcje deklrujemy w Mtlie w oó oiy w rodile..: =tf[], [ ]; =tf[], [ ];... Połąceie eregowe Do olicei wydkowej trmitcji łuży fukcj erie: =erie, W efekcie otrymmy: Trfer fuctio: ---------------- ^ + +
Alger chemtów lokowych W rydku eregowego ołącei więkej licy loków fukcję erie toujemy wielokrotie.... Połąceie rówoległe Do olicei wydkowej trmitcji łuży fukcj rllel: =rllel, W efekcie otrymmy: Trfer fuctio: + ---------------- ^ + + W rydku rówoległego ołącei więkej licy loków fukcję rllel toujemy wielokrotie.... Połąceie e rężeiem wrotym. rężeie wrote ujeme Do olicei wydkowej trmitcji łuży fukcj feedck: =feedck, W efekcie otrymmy: Trfer fuctio: + ---------------- ^ + +. rężeie wrote dodtie W rydku rężei wrotego dodtiego otć wywołi fukcji feedck ędie tęując: =feedck,,+ W efekcie otrymmy: Trfer fuctio: + --------------- ^ +
Uchyy utloe. UCHYBY USTALONE.. Prykłdowe rowiąi Olicyć wrtość uchyów: ołożei, rędkości i ryieei, dl ukłdu regulcji jk ryuku oiżej. Ry... Prykłdowy ukłd regulcji. Rowiąie: Poiewż ukłdu otwrtego, tem rytęujemy od ru do wyci uchyów korytjąc wrot e worów E., E., E... Uchy ołożei: e. lim lim. Uchy rędkościowy: ev,. lim lim. Uchy ryieei: e. lim lim
Uchyy utloe 6 Moż rówież korytć e worów krócoych t. E.. Poiewż ukłd jet kly, tem:. Uchy ołożei: e. Uchy rędkościowy: e v, k k= o. Uchy ryieei: e,.. Zdi D jet trmitcj ukłdu otwrtego. Olicyć wrtość uchyów ołożei, rędkości i ryieei....,.....,. 6., 6. 7. 7. 8., 8. 9., 9.,..
.. Jk to ię roi w Mtlie? Uchyy utloe 7 Korytjąc rogrmu Mtl, ie możemy co rwd wrot wycyć wrtości uchyów utloych, le omocą do ich olicei może yć fukcj limit. Służy o do wyci gricy do której dąży fukcj, wtedy gdy rgumet liż ię do odej wrtości. Prykłdowo limity,g olic wrtość fukcji y, ry rgumecie dążącym do wrtości g jeżeli g= wywołie fukcji: limity. Ay wykorytć ją do olicei uchyów jleiej korytć wyjściowych worów określjących uchyy E., E., E.. Prykłdowo iech. W celu olicei. łędu rędkościowego wytrcy wywołć fukcję limit w otci: ym % deklrcj mieej ymolicej e odi kokretej wrtości ev=limit/*+**+/*+*+ % oliceie łędu rędkości W efekcie otrymmy: ev = /
Stilość 8 6. STABILNOŚĆ 6.. Prykłdowe rowiąi Zd.. Korytjąc kryterium Routh dć tilość ukłdu o trmitcji:. Rowiąie: W ierwym kroku rwdmy ierwy wruek Routh tr odrodił F.. Poiewż wytkie wółcyiki ry mieej itieją i ą jedkowego ku, tem wruek te jet ełioy. Prytęujemy do olicei wycik Routh. Miowik trmitcji wyoi: M 6. Lic wiery wyoi += - rąd ukłdu, tem wycik Routh : d c c d c c 6. gdie: 6 6 6 c c c c d c Pierw kolum wycik Routh jet otci: T 6 6.
Stilość 9 Co rwd wytkie elemety ierwej kolumy itieją, le ie ą jedkowego ku. Woec tego drugi wruek kryterium jet ieełioy, cyli ukłd ie jet tily ymtotycie. Dodtkowo, odtwie licy mi ku wółcyików ierwej kolumy wycik Routh, możemy określić licę ieguów w lewej i rwej ółłcyźie eoloej. Poiewż w kolumie wytęują dwie miy ku + + + +, tem ukłd m dw ieguy w rwej ółłcyźie. Lic ieguów w lewej ółłcyźie wyoi -, cyli rówież dw. Zd. Wykorytując kryterium Michjłow dć cy ukłd mkięty ry. 6. jet tily. Ry. 6.. Ukłd regulcji. Rowiąie: W ierwym kroku olicymy wydkową trmitcję ukłdu mkiętego: K 6. Aliujemy ter m miowik tr odrodił F.. Prechodimy w diedię cętotliwości ore odtwieie j : M j j j j 6. Ntęie wykreślmy miowik łcyźie eoloej. W tym celu wycmy m.i. ewe ukty chrkterytyce, jcęściej ą to ukty dl których or ReM j i ImM j ukty recięci chrkterytyki oimi wółrędych. Lic ootłych uktów leży od dokłdości jką chcemy wycyć chrkterytykę. t. 6.. Wrtości Re{Mj} i Im{Mj} w fukcji ulcji Re M j - -7-7 -9 Im M j,7 - - -97
N odtwie t. 6. wykreślmy chrkterytykę: Stilość 6 ImM,7 - ReM Ry. 6.. Chrkterytykch miowik rykłdu d.. Ntęie leży reliowć mię rgumetu ry tily, mi rgumetu mui wyoić F.:. Ay ukłd ył rg M j 6.6 Z rktycego uktu widei oc to, że kryw mui rechodić re koleje ćwirtki ukłdu wółrędych. Jk widć ry. 6. mi t wyoi /, kryw rechodi re koleje ćwirtki ukłdu wółrędych cyli ukłd jet tily. Zd.. D jet trmitcj ukłdu otwrtego. Wykorytując kryterium Nyquit dć cy ukłd mkięty jet, tily. Rowiąie: Jk widć wrot miowik trmitcji ukłd otwrty jet ietily jede iegu wyoi +,. Skorytmy tem odtwowego twierdei Nyquit tr odrodił F.. Ukłd otwrty m N ieguów w rwej ółłcyźie i N ieguów, tem ukłd mkięty ędie tily ymtotycie jeżeli: rg j 6.7 Prechodimy w diedię cętotliwości ore odtwieie j : j 6.8 j j,, j W celu wydielei cęści recywitej i urojoej możymy licik i miowik re licę rężoą miowik. W efekcie otrymmy:
Stilość 6 8 Re j 6.9, j, Im 6.9 Ntęie wykreślmy trmitcję łcyźie eoloej. W tym celu wycmy m.i. ewe ukty chrkterytyce: dl których or Re j i Im j. Lic ootłych uktów leży od dokłdości jką chcemy wycyć chrkterytykę. t. 6.. Wrtości Re{ j} i Im{ j} w fukcji ulcji.,, Re j - -,9 -,7 -,7 -, -, -,9 Im j -,9 -,9 -,,6, N odtwie t. 6. wykreślmy chrkterytykę: Img,, -, -, -, -, Nyquit Digrm - -,6 -, -,8 -, Rel Ry. 6.. Chrkterytykch Nyquit dl rykłdu d.. Ay rwdić mię rgumetu rg j hcmy wektor w ukcie -, j i reuwmy jego grot o chrkterytyce tk, y wrtość mieił ię od do, oerwując jki kąt kreśl. Jk to widć ry. 6. jet to kąt 8, tem ukłd mkięty ędie tily.
Zd.. D jet trmitcj Stilość 6 k ukłdu otwrtego. Wykorytując kryterium Nyquit dć dl jkiego k ukłd mkięty jet tily. Rowiąie: Ukłd otwrty jet tily otrójy iegu cyli w lewej ółłcyźie, tem moż toowć kryterium lewej troy tr odrodił F.. Prechodimy w diedię cętotliwości ore odtwieie j : k k j 6. j j Kryterium lewej troy jet w tym rydku rówowże rwdeiu, cy: Re j, jeśli Im j 6. lu Re j, jeśli rg j 6. Ztoujemy wruek 6.. Olicmy : j Im, jeśli 6. Poiewż licik j jet recywity wielomi - rędu, tem: j Immiowik j Im 6. cyli dl lu, tem wrtości i - odrucmy. Poiewż dl cęść urojo miowik jet rów eru, tem: k k k Re j 6. Korytjąc wruku 6. otrymmy: 8 k Re j k 8 6. 8
Stilość 6 Ztem ottecie ukłd mkięty ędie tily dl k 8., ukłdu otwrtego. Wykorytu- Zd.. D jet trmitcj e jąc kryterium logrytmice dć cy ukłd mkięty jet tily. Rowiąie: Ukłd mkięty ędie tily tr odrodił F.6 gdy: L, dl ełijącego wruek rg j lo rg j, dl ełijącego wruek j Srwdimy oydw rydki. Olicmy jierw dl którego chodi rg j : rctg, 6.6 UWAA: owyże rówie jrościej rowiąć odtwijąc do lewej troy koleje wrtości, tk długo, ż ędie o rów rwej troie, cyli.,67 Ztem: L j log,9db 6.7 db cyli ukłd mkięty jet tily. Ter drugi rydek. Olicmy dl którego chodi j : 6.8,7, tem: rctg,, 9 rg j 6.9 cyli ukłd mkięty jet tily.
Zd. 6. D jet trmitcj Stilość 6 T e,, ukłdu otwrtego. Wycyć gricą wrtość tłej T Tgr dl której ukłd jet jece tily. Dl T, T olicyć fy i wmociei. gr Rowiąie: Ukłd jet gricy tilości jeżeli fy lu modułu w db ą rówe ero tr odrodił F.7. Cło e ie m wływu chrkterytykę modu- T łu. Olicmy tem ulcję dl której chodi j :,, 6. 9,76 Zgodie defiicją, fy olicmy według woru: rg j 6. - dl gricy tilości. Ztem: rctg, rctg, Tgr 6. Stąd T, 76 - wrtość gric T dl której ukłd jet jece tily. gr Ntęie ryjmujemy: T, T, 8 i olicmy: - fy: gr rg j rctg, rctg, T,, O 6. - wmociei: wycmy ulcję dl której chodi: rg j rctg, rctg, T 6. Stąd, 9, wmociei wyoi: K,98 K db L,66dB 6. j
Stilość 6 Ottecie: dl 8,, gr T T, fy wyoi O,, wmociei db,66db K 6.. Zdi Zd.. Korytjąc kryterium Routh dć tilość ukłdu o trmitcji. Określić licę ieguów w rwej i w lewej ółłcyźie eoloej.. 8.. 9.. 8....,. 6 6. 6., 7..,, Zd.. Wykorytując kryterium Michjłow dć cy ukłd mkięty ry. 6. jet tily.. 7.. 8.. 9..... e 6.. e
Stilość 66 Zd.. D jet trmitcj ukłdu otwrtego. Wykorytując kryterium Nyquit dć cy ukłd mkięty jet tily.....,. 6. 6 Zd.. D jet trmitcj ukłdu otwrtego. Wykorytując kryterium Nyquit dć dl jkiego k ukłd mkięty jet tily...... 6. k 7. k 8. k 9. k. k., k., k, k k k k 6 k 7 Zd.. D jet trmitcj ukłdu otwrtego. Wykorytując kryterium logrytmice dć cy ukłd mkięty jet tily..... 7. 6. 7. 8., e 6
Stilość 67 Zd. 6. D jet trmitcj ukłdu otwrtego. Olicyć fy i wmociei dl ukłdu mkiętego...... 6. 8 7. 8. 9.., 8 6 e, 6.. Jk to ię roi w Mtlie? 6... Ali ołożei ieguów trmitcji W Mtlie itieje erok gm rędi łużących do rwdei tilości ukłdu. N ocątek możemy korytć ogólej defiicji tilości ymtotycej i rwdić cy wytkie ieguy trmitcji oiującej oiekt leżą w lewej ółłcyźie mją ujemą cęść recywitą, co jet wrukiem tilości W rydku gdy ukłd jet łożoy, tre wycyć jego trmitcję tęcą. Do tego celu ołuży m m. i. fukcj m, kreśląc łcyźie eoloej ołożeie er i ieguów dej trmitcji. Prykłdowo dl oiektu oiego trmitcją otci Wykoujemy tęujący ciąg oleceń: =tf[ ], [ ]; m % deklrcj trmitcji W efekcie otrymmy wykre ry. 6. rereetujący łcyźie eoloej ołożeie er redtwioe jko kółeck or ołożeie ieguów redtwioe jko iky.
Stilość 68 Pole-ero m Img Ai.8.6.. -. -. -.6 -.8 -.8 -...8 Rel Ai Ry. 6.. rficy efekt diłi fukcji m. Jk widć ry. 6., dw ieguy leżą o lewej troie oi urojoej Imge, dw o rwej troie, cyli ie wytkie ieguy mją ujemą cęść recywitą, tem ukłd jet ietily. Możliwe jet rówież wyceie wrot ieguów trmitcji. Do tego celu użytec jet fukcj: ole % trmitcj jk wyżej =.78 +.678i.78 -.678i -.78 +.8i -.78 -.8i Nie wytkie ieguy mją ujemą cęść recywitą, tem ukłd jet ietily. Wygodym rędiem może yć rówież fukcj root łużąc do wyci ogólie ierwitków wielomiu. Prykłdowo y wycyć ieguy ej trmitcji otć wywołi fukcji ędie tęując: root[ ] =.78 +.678i.78 -.678i -.78 +.8i -.78 -.8i % koleje wółcyiki wielomiu w tym rydku % miowik ocyjąc od jwyżej otęgi ] 6... Ali ktłtu odowiedi kok jedotkowy Koleją metodą ocey tilości ukłdu może yć li ktłtu odowiedi ukłdu kok jedotkowy. Do tego celu ołuży fukcj te. =tf[ ], [ ]; te % deklrcj trmitcji W efekcie uykmy ry. 6.. Preieg tej odowiedi ie ootwi wątliwości, że ukłd jet ietily.
Stilość 69 Amlitude - - - Ste Reoe... Kryterium Nyquit 6 9 8 Time [] Ry. 6.. rficy efekt diłi fukcji te. Ay wykreślić chrkterytykę mlitudowo fową chrkterytykę Nyquit ukłdu otwrtego korytmy fukcji yquit. Prykłdowo dl oó wywołi fukcji ędie tęujący: =tf[ ], [ ]; % deklrcj trmitcji yquit Efektem jej diłi ędie ry. 6.6: Imgiry Ai - - Nyquit Digrm - -. - -... Rel Ai Ry. 6.6. rficy efekt diłi fukcji yquit. Ryuek te ułtwi m korytie kryterium odtwowego Nyquit li mi rgumetu ry - lii ciągł or tkże kryterium lewej troy, owiem w tym kokretym rydku ukłd otwrty jet tily cęści recywite wytkich ieguów ą ujeme rwdoe. omocą fukcji root. Wymg to liy ołożei chrkterytyki wględem uktu -, j. Jk widć ry. 6.6, chrkterytyk mlitudowo fow tilego ukłdu otwrtego dl - lii ciągł ie oejmuje uktu -, j, tem ukłd mkięty jet tily.
Stilość 7... Kryterium logrytmice. chrkterytyk Nichol Ay wykreślić logrytmicą chrkterytykę mlitudowo fową chrkterytykę Nichol ukłdu otwrtego korytmy fukcji ichol. Prykłdowo dl oó wywołi fukcji ędie tęujący: =tf[ ], [ ]; % deklrcj trmitcji ichol Efektem jej diłi ędie ry. 6.7. Oe-Loo i [db] - - -6-8 - - - Nichol Chrt - -6 - -8 - Oe-Loo Phe [deg] Ry. 6.7. rficy efekt diłi fukcji ichol. Ukłd otwrty jet ukłdem tilym co moż rwdić. omocą fukcji root. Jk widć ry. 6.7, chrkterytyk mlitudowo fow ukłdu otwrtego rechodi oiżej ie oejmuje uktu -8, db, tem ukłd mkięty jet tily.. chrkterytyki Bode go Logrytmice chrkterytyki mlitudy i rgumetu chrkterytyki Bodego ukłdu otwrtego, moż wykreślić rówo używjąc fukcji ode tr odrodił...c jk i rówież ore fukcję mrgi, któr to dodtkowo okuje w formie grficej i licowej wmociei i fy. N. dl : =tf[ ], [ ]; mrgi % deklrcj trmitcji
Stilość 7 W efekcie otrymmy: Phe [deg] Mgitude [db] Bode Digrm m=6.6 db t.6 rd/ec, Pm=.66 deg. t.98 rd/ec - wmociei - -6-8 - - - fy - Frequecy [rd/] Ry. 6.8. rficy efekt diłi fukcji mrgi. Jk widć ry. 6.8, wmociei wyoi 6, db cyli jet >, fy,66 cyli jet tkże >, tem ukłd mkięty jet tily. 6... Ie użytece fukcje Pry różego rodju oliceich rydte mogą yć fukcje rel i img łużące do olicei cęści recywitej i urojoej dowolego wyrżei ymolicego lu mieej. W rydku mieych ich wywołie jet tęujące: =+j*; Re=rel Im=img Otrymmy wówc: Re = Im = % mie eolo % oliceie cęści recywitej mieej % oliceie cęści urojoej mieej Cęto chodi otre roici trmitcji do otci: j j Im j j Re 6.6 możemy dokoć tego omocą e- Prykłdowo dl trmitcji kwecji itrukcji: ym urel % - jko mie ymolic eolo ym w rel % w ulcj - jko mie ymolic recywit
=j*w; =/+; Re=imlerel Im=imleimg Efektem diłi owyżego rogrmu ędie: Re = /w^+ Im = -w/w^+ Stilość 7 % j=qrt- % deklrcj trmitcji w otci ymolicej % cęść recywit jw % cęść urojo jw co owoli m ić: j j j W odoie łtwy oó możemy olicyć moduł i rgumet dl dowolego wyrżei ymolicego lu mieej. W tym celu moż korytć fukcji olicie modułu or gle olicie rgumetu, tym że t otti ie dił wyrżeich ymolicych worch, woec tego dje ię tylko do licei rgumetu e mieej. =+j*; mod= rg=gle w efekcie otrymmy: mod =.8 rg =.9 % mie eolo % oliceie modułu mieej % oliceie rgumetu mieej wyik w rdich
Korekcj logow 7 7. KOREKCJA ANALOOWA 7.. Prykłdowe rowiąi Dorć korektor eregowy tk, y w ukłdie regulcji oiektu o trmitcji miejyć łąd ołożei do wrtości e %. Nie mieić włości dymicych ukłdu. Rowiąie: W ierwym kroku rwdmy łąd ołożei ukłdu regulcji tr t. E.: e, % k 7. cyli dużo. Ay miejyć łąd ołożei e miy rmetrów dymicych toujemy korektor oóźijący: o trmitcji dej worem: T k A, gdie 7. T Dl korektor eregowego wydkowe wmocieie ukłdu jet ilocyem wmocień korektor i oiektu tem: e Ak 7. Poiewż wymge jet e %, tem o rektłceiu woru 7. otrymujemy: e A e k, 7.
Korekcj logow 7 Ay korektor chowł woje włości dymice iemiee chrkterytyki Bodego w okolicch ulcji, dl której j, ilocy T owiie yć odowiedio duży. Zkłd ię: T 7. W tkiej ytucji: k T j A A 7.6 T Ztem, 86. A W kolejym kroku wycmy ulcję, dl której j. j 7.7 Stąd:, 66 Ztem o rektłceiu woru 7.: T 6,. Podumowując, wymgy korektor ędie dy worem: 6, k, 7.8 98,7 6.. Zdi Dorć korektor eregowy tk, y w ukłdie regulcji miejyć łąd ołożei do odej wrtości e, e miy włości dymicych ukłdu..., e %, e %
Korekcj logow 7... 6. 7. 8. 9......, e %, e %, e %, e % 6 8, e 7% 9 e, e, e %,8 e, e %, e, e %, e, e %, e 6 9, e %, e, e % e, %
Zmiee tu 76 8. ZMIENNE STANU 8.. Prykłdowe rowiąi Zd.. Korytjąc metody eośrediej wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych. Rowiąie: Poiewż: Y 8. U le rówież: L 8. M Ztem: L Y U 8. M Wrowdźmy oceie: U E 8. M Wtedy ygł wejściowy - U E M 8. ygł wyjściowy - Y E L - 8.6
W ierwym kroku jmiemy ię rówiem 8.: Zmiee tu 77 U M E U E E U E E 8.7 Jko koleje miee tu ryjmijmy E i jej koleje ochode, ry cym umryc lic mieych tu mui yć rów toiowi miowik trmitcji. E E 8.8 Poiewż: E 8.9 tem końcowe rówie 8.7 ryjmie otć: U 8. co łtwo redtwić w otci ukłdu ry.8.: U E E E - - Ry. 8.. Schemt lokowy odowidjący rówiom 8.8 i 8.. Ter w odoy oó otęujemy rówiem 8.6: Y L E Y Y E E E 8.
Zmiee tu 78 co, korytjąc rówń 8.8, moż ić icej: Y 8. Ztem wydkowy ukłd ędie wyglądł tęująco: Y U - - E E E Ry. 8.. Końcowy chemt lokowy odowidjący rówiom 8.8, 8. i 8.. Rówi tu: Y U 8. lu w iie mcierowym: U Y U D CX B AX X 8. co moż roić: U Y U 8. ry erowych wrukch ocątkowych.
Zmiee tu 79 Zd.. Korytjąc metody eośrediej wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych. Rowiąie: W ierwym kroku jmiemy ię rówiem dl ygłu wejściowego 8. tr ocątek rowiąi orediego rykłdu: E E E E U E E U E M U 8.6 Jko koleje miee tu ryjmijmy E i jej koleje ochode, ry cym umryc lic mieych tu mui yć rów toiowi miowik trmitcji. E E E E 8.7 oiewż E, tem ottie rówie 8.6 ryjmie otć: U 8.8 Ter w odoy oó otęujemy rówiem ygłu wyjściowego 8.6: E E E Y E Y E L Y 8.9 co, korytjąc rówń 8.7, moż ić icej: Y 8.
Zmiee tu 8 Ztem wydkowy ukłd ędie wyglądł tęująco ry. 8.: Y U - - E E E E E - - Ry. 8.. Końcowy chemt lokowy odowidjący rówiom 8.7, 8.8 i 8.. Rówi tu: Y U 8. lu w iie mcierowym: U Y U D CX B AX X 8. U Y U 8.
Zmiee tu 8 Jk widć owyżego, otti wier mciery A to wółcyiki wielomiu miowik e kiem miu, ocyjąc od wółcyik wolego, le e wółcyik ry jwyżej otęde wymg to tkiego rektłcei trmitcji y wółcyik ry jwyżej otęde w miowiku ył rówy. Nd rekątą mciery A wytęują me jedyki, ootłe elemety mciery to. B, to wektor którego tylko otti elemet jet rówy, ootłe ą rówe. Wektor C wier koleje wółcyiki wielomiu licik, ocyjąc od wółcyik wolego, ś mcier D jet erem. Prwidłowość t owl ić rówi tu trąc wrot trmitcję, e ii rówń ośredich i ryowi chemtu lokowego. Zd.. Korytjąc metody rówoległej redtwić rówi tu dl oiektu o trmitcji ry wrukch ocątkowych y y y u. Rowiąie: Predtwimy trmitcję w otci umy ułmków rotych: h 8. k k k gdie h k L M k - k-te reiduum, L, M - licik i miowik Powoli m to kżdy e kłdików umy redtwić w otci ukłdu jk ry. 8. or w otci ukłdu rówń 8.: k uk k yk khk k 8. u k k k h k y k k Ry. 8.. Schemt lokowy rktycej relicji ukłdu rówń 8.. Trmitcj m ieguy:,,. Miowik trmitcji wyoi: M 6 6 8.6
Zmiee tu 8 jego ochod: M 8.7 tem: L h, 8.8 M logicie h 9, h,. Ottecie:, 9, 8.9 W efekcie dje to ukłd jk ry. 8.. -, - U 9 Y - -, - Ry. 8.. Schemt lokowy dl oiektu d.. N odtwie ry. 8. możemy wyić rówi tu: u, u, u, y, y y 9, 8. Ale: y y y Y 8.
Zmiee tu 8 Uwględijąc owyże, ottecie moż ić w ukłdie mcierowym: X AX BU Y CX DU 8. o roiiu: Y U, 9, U 8. Jk widć owyżego mcier A jet mcierą digolą w której rekątej wytęują ieguy trmitcji, mcier B jet wektorem jedykowym, mcier C wektorem reiduów licików ułmków rotych, ś mcier D jet erem. Prwidłowość t owl ić rówi tu trąc wrot trmitcję o rokłdie ułmki rote, e ii rówń ośredich i ryowi chemtu lokowego. Poiewż ie itieje wrot wiąek omiędy rówimi tu wrtościmi ocątkowymi mieej wejściowej i wyjściowej, tem y określić wruki ocątkowe rówń tu, korytmy rówi wyjści i jego kolejych ochodych do - włącie, gdie toień miowik trmitcji. y, 9 y, 9,, u9 u, u, 8 y, 8,, u 8 u, u, 76,,, u 8. Ukłd rówń 8. dl odych wruków ocątkowych możemy ić icej:, 9,, 8,, 76, 9 8.
Zmiee tu 8 Po rowiąiu ukłdu rówń 8. otrymujemy wruki ocątkowe rówń tu:,, 79, Zd.. Korytjąc metody eregowej wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych. Rowiąie: Niech: k k k or k k Predtwimy trmitcję w otci ilocyu trmitcji rotych: m k k m k k m k k m k k K K k 8.6 gdie k - ieguy, k - er trmitcji, K - wmocieie ukłdu. Pierwy ilocyów rówi 8.6, dl k-tego cyik, możemy ić jko: U Y k k k k k 8.7 lu icej o rektłceiu: k k U Y k k k 8.8 Pryjmując jko mieą tu: k Y k k 8.9 otrymmy ukłd rówń: k k k k k k k k Y U 8.
Zmiee tu 8 W otci grficej ukłd rówń 8. ędie wyglądł tęująco: u k k k - k y k k Ry. 8.6. Schemt lokowy odowidjący ukłdowi rówń 8.. Dl drugiego ilocyów rówi 8.6 k chemt or ukłd rówń jet odoy jk w metodie rówoległej tr rykłd, wory 8. i ry. 8. k dl h. k Trmitcj m ieguy:,, or jedo odwóje ero. Wmocieie K. Predtwimy trmitcję w otci ilocyu trmitcji rotych: 8. W efekcie dje to ukłd jk ry. 8.7: U y y Y - - - Ry. 8.7. Schemt lokowy odowidjący trmitcji 8.. odtwie którego możemy wyić rówi tu: U Y y, y, y y 8.
Zmiee tu 86 Po odtwieiu: Y U U U 8. lu w iie mcierowym: U Y U D CX B AX X 8. o roiiu: U Y U 8. ry erowych wrukch ocątkowych. W metodie eregowej dużo trudiej jet leźć ewe rwidłowości wrtości mciery A i B, tk jk to yło w metodch eośrediej i rówoległej. Mcier C to wektor o wytkich elemetch kolumy wyjątkiem ottiego, rówego wmocieiu ukłdu K rówych ero, tomit mcier D jet klrem rówym ero. Jedyą rotą rwidłowość mciery A jką moż łtwo uwżyć, to fkt wytęowi ieguów trmitcji rekątej. Ocywiście w leżości od kolejości cłoów w ilocyie we wore 7., możemy otrymć róże, rwidłowe, werje mciery tu. Zd.. Korytjąc metody kolejych cłkowń wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji 7 ry wrukch ocątkowych u u y y y y. Rowiąie: 7 U Y 8.6
Zmiee tu 87 Y 7Y Y Y U U Y U 8.7 Poiewż w rówiu 8.7 wytęują ochode mieej wejściowej U toień licik >, tem jko ochodą ierwej mieej tu ryjmujemy wytkie wyry ie ędące ochodymi: Y U 8.8 Po odtwieiu 8.8 do rówi 8.7, oddjmy rówie cłkowiu odielmy outroie re : Y 8.9 7Y Y Y U U Poiewż w owyżym rówiu dlej wytęują ochode mieej wejściowej U, tem jko ochodą drugiej mieej tu ryjmujemy wytkie wyry ie ędące ochodymi: U 8. Y Po odtwieiu 8. do rówi 8.9, oddjemy rówie cłkowiu otrymując: Y 7Y Y U 8. Powyże oercje wykoujemy doóki w rówiu wytęują ochode mieej wejściowej U. Jk widć w rówiu 8. ie m już tkich ochodych. Jedk lic mieych tu mui yć rów toiowi miowik w ym rydku, tem dle miee tu to mie wyjściow i jej koleje ochode odoie jk w metodie eośrediej. Y Y 8. o różickowiu: Y Y 8.
Zmiee tu 88 Uwględijąc wory 8.8, 8., 8. i 8. możemy ić ottecie: 7 7 Y U U Y Y Y Y U U Y U U Y 8. lu w iie mcierowym: U Y U D CX B AX X 8. o roiiu: U Y U 7 8.6 ry wrukch ocątkowych: 7 u u y y y y o U U Y Y Y Y 7 - rektłcoy wór 8.9 7 u y y y o U Y Y Y 7 - rektłcoy wór 8. y y Prktyc relicj tego ukłdu ędie wyglądć tęująco:
Zmiee tu 89 U - - -7 Y - Ry. 8.8. Schemt lokowy dl oiektu d.. Zd. 6. De ą rówi tu: X AX BU gdie: A Y CX DU, Wycyć trmitcję. C, D B, Rowiąie: Zwiąek omiędy trmitcją, rówimi tu jet tęujący: C I A B D 8.7 gdie: I mcier jedotkow. Olicmy etmi wrtość według owyżego woru: I A C I A C I A B D Ztem ottecy wyik:
Zmiee tu 9 8.. Zdi Zd.. Korytjąc metody eośrediej wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych:... 6. 6 8 6 8. 6 6. Zd.. Korytjąc metody rówoległej wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych:. 6. 6. 6. 6.,, 6. 9 8 7 Zd.. Korytjąc metody eregowej wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych:... 6.. 8 6 6 6 6.
Zmiee tu 9 Zd.. Korytjąc metody kolejych cłkowń wycyć rówi tu dl oiektu o trmitcji ry erowych wrukch ocątkowych:..... 6. Zd.. De ą rówi tu: X AX BU Y CX DU Wycyć trmitcję.. A,. A,. A,. A, C, D B, C, D B, C, D B, C, D B,. A, B, C, D 6. A, B, C, D 7. A, 6 8. A, 9. A, C, D B, C, D 9 B, 8 7 C, D 6 B, 8. A 6, C, D B,
8.. Jk to ię roi w Mtlie? 8... Prejście model mieych tu. Zmiee tu 9 Korytjąc rogrmu Mtl, możemy wycyć rówi tu dl dowolej trmitcji. Do tego celu łużą fukcje, dt, tf or. Prykłdowo iech: 6 Fukcj =tf[ -], [ 6] y= W efekcie otrymmy rówi tu: = - - = u c = y -. d = u y Cotiuou-time model. Fukcj dt =tf[ -], [ 6] [A,B,C,D]=dt W efekcie otrymmy: A = - - B = C =. -. D = % deklrcj modelu tf może yć też model k % mi model mieych tu % deklrcj modelu tf może yć też model k % wyceie mciery A, B, C, D modelu mieych tu
Fukcj tf Zmiee tu 9 [A B C D]=tf[ -], [ 6] % wyceie mciery A, B, C, D modelu mieych % tu. W wich [], jko rmetry fukcji tf, wółcyiki wielomiu % odowiedio licik i miowik trmitcji W efekcie otrymmy: A = - -6 B = C = - D = Fukcj [A B C D]=, [- -], ; % wyceie mciery A, B, C, D modelu mieych % tu. W wich [], jko rmetry fukcji, odowiedio: er, ieguy % i wmocieie trmitcji W efekcie otrymmy: A = -. -.9.9 B = C =. -.8 D = 8... Prejście modelu mieych tu trmitcję. Zmię modelu e mieych tu model tf lu k uykujemy wywołując fukcje tf, k, tf,. Fukcj tf i k Fukcje te ą odwrotością fukcji. Ich wywołie jet tęujące: =tfy W efekcie otrymmy: Trfer fuctio: ---------------- ^ + + 6 % mi modelu mieych tu y model tf Alogicie wygląd rejście model k: =ky % mi modelu mieych tu y model k
W efekcie otrymmy: Zero/ole/gi: - -------------- + + Fukcj tf Zmiee tu 9 [l, m]=tfa,b,c,d % mi modelu mieych tu model tf; l licik, % m miowik trmitcji, A, B, C, D, - mciere mieych tu W efekcie otrymmy: l = - m = 6 Fukcj [,, k]=a,b,c,d % mi modelu mieych tu model k; - er, % - ieguy, k - wmocieie trmitcji, A, B, C, D, - mciere mieych tu W efekcie otrymmy: =. = - - k =. 8... Ie użytece fukcje. Niech A Troowie mciery T Mcier troową A otrymmy wiując w Mtlie: A=[ ; ]; % deklrcj mciery A A % mcier troow W efekcie otrymmy: = Odwrcie mciery Mcier odwrotą A A=[ ; ]; iva W efekcie otrymmy: otrymmy wiując w Mtlie: % deklrcj mciery A % wyceie mciery odwrotej
= -... -. Rąd mciery Ay wycyć rąd mciery wiujemy w Mtlie: A=[ ; ]; rka W efekcie otrymmy: = % deklrcj mciery A % rąd mciery Zmiee tu 9