0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów 2X 2 +3X +2, X 4 +4X 3 + 2X 2 + 5X + 1 z pierścienia Z 6 [X]. (Odp. suma: X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 3; iloczyn: 2X 6 + 5X 5 + 3X 2 + X + 2). Zadanie 3. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0). Zadanie 4. W pierścieniu Z 5 [X] wykonać dzielenie (X 3 + 2X 2 + 4X + 3) : (3X 2 + 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z 5 i 3 1 = 2. (Odp.: 2X + 4). Zadanie 5. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f przez g, gdy: a) f(x) = 5X 3 + 2X 2 X 7, g(x) = X 2 + 3X 1 w Z[X], b) f(x) = 5X 3 + 2X 2 X 7, g(x) = X 2 + 3X 1 w Z 8 [X], c) f(x) = 3X 3 2X + 4, g(x) = X 4 + 1 w Z[X]. (Odp. a)5x 13, 43X 20; b) 5X + 3, 3X + 4; c) 0, 3X 3 2X + 4). Zadanie 6. Wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje przy dzieleniu przez X 2 resztę 1, przy dzieleniu zaś przez X 1 daje resztę 2. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X 1)(X 2)? Wskazówka: reszta przy dzieleniu przez (X 1)(X 2) jest wielomianem stopnia < 2, f(x) = (X 1)(X 2) g(x) + ax + b; podstawiając kolejno wartości 1, 2 obliczymy a i b. (Odp. X + 3). Zadanie 7. Wielomian o współczynnikach z Z 5 daje przy dzieleniu przez X + 1 resztę 2, przy dzieleniu przez X + 2 resztę 3, przy dzieleniu przez X + 3 resztę 1. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X + 1)(X + 2)(X + 3)? (Odp. X 2 + 2X + 3). Zadanie 8. Stosując schemat Hornera obliczyć w C[X] iloraz i resztę z dzielenia: a) X 4 2X 3 4X 2 6X + 8 przez X 1, b) 2X 5 5X 3 8X przez X + 3, 1

c) 4X 3 + X 2 przez X + 1 + i, d) X 3 X 2 X przez X 1 + 2i. (Odp. a) X 3 X 2 + 3X 3, 5, b)2x 4 6X 3 + 13X 2 39X + 109, 327, c) 4X 2 (3 + 4i)X + ( 1 + 7i), 8 6i, d)x 2 2iX (5 + 2i), 9 + 8i). Zadanie 9. Stosując schemat Hornera obliczyć w Z 5 [X] iloraz i resztę z dzielenia: a) 2X 4 + 3X 3 + X 2 + 2X + 4 przez X + 2, b) 3X 5 + 4X 2 + 3 przez X + 4. (Odp. a) 2X 3 + 4X 2 + 3X + 1, 2, b) 3X 4 + 3X 3 + 3X 2 + 2X + 3, 1). Zadanie 10. Niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika (a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3......... r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie (a, b). Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia (a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Wyznaczyć w pierścieniu R[X] największy wspólny dzielnik d(x) wielomianów f(x) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 i g(x) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x) = a(x)f(x) + b(x)g(x). (Odp. d(x) = 2(X 2 + X + 1) i d(x) = (X + 1)f(X) + ( X 2 X + 1)g(X)). Zadanie 11. Wyznaczyć w pierścieniu R[X] największy wspólny dzielnik d(x) wielomianów: a) f(x) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i g(x) = X 3 1, b) f(x) = X 33 1 i g(x) = X 18 1 i przedstawić go w postaci d(x) = a(x)f(x) + b(x)g(x). (Odp. a) d(x) = 2(X 2 + X + 1) i d(x) = f(x) (X + 1)g(X); b) d(x) = X 3 1 i d(x) = X 3 f(x) + (X 18 + 1)g(X) ). Zadanie 12. Dowieść, że każdy skończony zbiór wielomianów nad ciałem ma największy wspólny dzielnik będący ich kombinacją liniową. 2

0.2 Pierwiastki wielomianów, rozkład wielomianu Zadanie 1. Wykazać, że wielomian X 2 1 Z 15 [X] ma cztery pierwiastki. (Odp. 1, 4, 11, 14). Zadanie 2. Co trzeba założyć o pierścieniu P aby prawdziwe było poniższe twierdzenie. Twierdzenie 1. Jeżeli a 1,..., a n są różnymi pierwiastkami wielomianu f P [X] o krotnościach odpowiednio m 1,..., m n, to m 1 + + m n m, gdzie m = deg f. Zadanie 3. Przedstawić wielomian X 4 + 3X 3 + X 2 + X + 2 Z 4 [X] w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego. (Odp. (X 1)(X 2)(X 3) 2 = (X 1) 3 (X 2) rozkład niejednoznaczny!). Zadanie 4. Udowodnić poniższe twierdzenie. Twierdzenie 2. Jeśli ułamek nieskracalny p/q jest pierwiastkiem wielomianu f(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n, gdzie liczby a 0, a 1,..., a n są całkowite, to p a 0 i q a n. Uwaga. Często stosuje się następujący wniosek z tego twierdzenia: jeśli a n = 1, to każdy wymierny pierwiastek wielomianu f jest liczbą całkowitą, która dzieli wyraz wolny a 0. Mniej znane jest twierdzenie pokrewne : jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych daje się przedstawić jako iloczyn dwu wielomianów o współczynnikach wymiernych, to daje się on też przedstawić jako iloczyn dwu wielomianów o współczynnikach całkowitych. To twierdzenie pochodzi od Gaussa i dowód jego jest trudniejszy, niż się to wydaje na pierwszy rzut oka. Zadanie 5. Wykazać, że wielomian f(x) = X 4 2X 3 +8X +1 Q[X] jest nierozkładalny nad Q. Wskazówka: wykorzystać zadanie poprzednie; udowodnić, że f(x) nie może mieć czynnika liniowego, ani też nie może mieć dwu czynników kwadratowych. Zadanie 6. Czy: a) Q[X]/(X 2 5X +6); b) Q[X]/(X 2 6X +6), jest ciałem? (Odp. a) nie, bo wielomian jest rozkładalny nad Q; b) tak, bo wielomian jest nierozkładalny nad Q). 3

0.3 Rozszerzenia ciał Zadanie 1. Które z następujących liczb są algebraiczne? (w przypadku liczb algebraicznych określić stopień): a) 1 + 2 + 3, b) 6 3 + 3, c) 1 + π, d) 1 + 2 + 4 + 8 + + 2 n 1, e) 4 5 + 5. Przykładowo dla b: niech y = 6 3 + 3. Wtedy y 3 = 6 3; po podniesieniu do potęgi trzeciej i uporządkowaniu y 3 + 9y = 3 3y 2 + 4 3, a po podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu y 6 9y 4 + 9y 2 48. Jest to wielomian minimalny liczby y. Zadanie 2. Ciałem rozkładu wielomianu f nad ciałem K nazywamy najmniejsze rozszerzenie ciała K zawierające wszystkie pierwiastki wielomianu f. Znaleźć rozszerzenie ciała Q będące ciałem rozkładu wielomianu: a) X 2 2, b) X 3 2, c) X 4 2, d) X 4 + 2, e) X 4 + X 2 + 1. Ustalić stopień każdego z tych rozszerzeń nad Q. Przykładowo dla b : liczba 3 2 jest pierwiastkiem wielomianu X 3 2, który rozkłada się nad ciałem Q( 3 2) : X 3 2 = (X 3 2)(X 2 + 3 2X + 3 4). Ostatni czynnik pozostaje nierozkładalny nad Q( 3 2), gdyż jego pierwiastki nie są liczbami rzeczywistymi. Są to liczby ε 3 2 i ε 2 3 2, gdzie ε = 1 + i 3. 2 4

Najmniejszym ciałem, nad którym wielomian X 3 2 rozkłada się na czynniki liniowe, jest ciało Q( 3 2, ε 3 2) = Q( 3 2, ε), będące rozszerzeniem stopnia szóstego ciała Q, gdyż powstaje przez dołączenie elementu algebraicznego stopnia drugiego do rozszerzenia Q( 3 2) mającego stopień trzeci nad Q. Zadanie 3. Wyznaczyć ciało rozkładu wielomianu X 2 + 1 nad Z 3. Rozwiązanie. W poprzednim zadaniu znaliśmy pierwiastki wielomianów. Tutaj ich nie znamy. Niech więc a oznacza pierwiastek wielomianu X 2 + 1. Rozszerzenie o ten pierwiastek jest ciałem 9-elementowym: {0, 1, 2, a, a+1, a+ 2, 2a, 2a+1, 2a+2}, gdzie a 2 = 2. Łatwo sprawdzić, że drugim pierwiastkiem jest 2a. Zadanie 4. Wyznaczyć ciało rozkładu wielomianu X 3 + X + 1 nad Z 2. Zadanie 5. Dowieść, że ciało rozkładu wielomianu stopnia n ma stopień co najwyżej n!. Zadanie 6. Przedstawić 1/( 3 4+ 3 2 1) w postaci b 0 +b 1 3 2+b 2 3 4. Wskazówka:posłużyć się metodą współczynników nieoznaczonych. ( Odp. b 0 = 1/11, b 1 = 3/11, b 2 = 2/11). Zadanie 7.i) Rozważmy wielomian X 3 6X 2 +9X +3 nierozkładalny nad Q. Niech a oznacza pierwiastek tego wielomianu. Wtedy elementy 1, a, a 2 tworzą bazę rozszerzenia Q(a). Wyrazić w tej bazie element a 4. Wskazówka: podzielić X 4 przez X 3 6X 2 + 9X + 3; (odp. 27a 2 57a 18). ii) Wyrazić w tej samej bazie elementy a) a 5, b)3a 5 a 4 + 2, c)1/(a + 1), d)1/(a 2 6a+8). Wskazówka do c): wielomiany X +1, X 3 6X 2 +9X +3 są względnie pierwsze. Za pomocą algorytmu Euklidesa znajdujemy r(x), s(x) takie, że r(x)(x + 1) + s(x)(x 3 6X 2 + 9X + 3) = 1. Podstawiając X = a wywnioskujemy, że 1/(a + 1) = r(a). 0.4 Ciała skończone Zadanie 1. Dowieść, że liczba elementów ciała skończonego o charakterystyce p jest potęgą liczby p. Wskazówka: uzasadnić, że jeśli K jest podciałem ciała skończonego L, to rząd ciała L jest potęgą rzędu ciała K. Zadanie 2.a) Dowieść, że istnieje dokładnie (p 2 p)/2 wielomianów stopnia drugiego unormowanych i nierozkładalnych nad ciałem Z p. Wskazówka : 5

policzyć wszystkie wielomiany oraz wielomiany, które mają jeden pierwiastek i wielomiany, które mają dwa pierwiastki. b) Dowieść, że dla każdego p istnieje ciało o charakterystyce p mające p 2 elementów. Zadanie 3. Skonstruować ciało GF (16) = GF (2 4 ) następująco: a) znaleźć wielomian nierozkładalny stopnia 4; (można to zrobić wypisując kolejno wielomiany stopnia 1, 2, 3 i obliczając ich iloczyny; wielomian, który nie da się otrzymać w ten sposób, jest nierozkładalny; b) wybrać dowolny z tych wielomianów; oznaczmy go p(x); c) ciało GF (16) można reprezentować przez klasy reszt wielomianów modulo p(x); mnożeniu elementów ciała odpowiada mnożenie wielomianów, po którym następuje redukcja iloczynu modulo p(x). 0.5 Pierwiastki z jedności Zadanie 1. Udowodnić, że jeśli U n jest zbiorem pierwiastków z jedności stopnia n należących do ciała K, to (U n, ) jest grupą. Jej rząd nie przekracza n, gdy ch(k)=0, i nie przekracza największego dzielnika liczby n względnie pierwszego z p, gdy ch(k)= p 0. Zadanie 2. Prawdziwe jest twierdzenie: Grupa U n pierwiastków z jedności stopnia n należących do ciała K jest cykliczna. Wykorzystując to wykazać, że grupa multyplikatywna ciała skończonego jest cykliczna. Wywnioskować następnie,że jeśli K jest ciałem skończonej charakterystyki p, to istnieje takie c K, że K = Z p (c). 6