Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami. nazywamy wyrazem

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami. nazywamy wyrazem"

Transkrypt

1

2 Obok zapisano kilka prostych wyrażeń algebraicznych z jedną zmienną. Wyrażenie postaci ax n, gdzie a, n, nazywamy jednomianem zmiennej x. Gdy a 0, liczbę naturalną n nazywamy stopniem jednomianu. WIELOMIANÓWPRZYKŁADY WIELOMIANÓW Przykłady jednomianów: 4x 16 3m 5 3 y 3 t 101 Uwaga. Jednomianami nazywamy także wyrażenia, w których występuje więcej zmiennych, np. 3x y, ab 3 3, 5 m5 n 6. Nie będziemy się nimi jednak zajmować w tym rozdziale. Zauważ, że liczby rzeczywiste różne od zera, np. 3, 0,7 i, to jednomiany stopnia zerowego, gdyż można je przedstawić w postaci odpowiednio: 3x 0, 0,7x 0 i x 0. Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami. Wielomianem stopnia n zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci: a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 są liczbami rzeczywistymi i n oraz a n 0. Współczynnik a 0 wolnym. nazywamy wyrazem Zmienna wielomianu może oczywiście być oznaczona dowolną literą. Przykłady wielomianów: 4x 5 +11x t 7 13t 5 + t 4 9 8a 3 3 a5 0,04u 8 6x 6 +3x 5 x 3x +1 m Wielomianami nazywać będziemy także wyrażenia typu x +x 3, (x 1), gdyż każde z nich można przekształcić do postaci a n x n +a n 1 x n a 0. A Określ stopień każdego z wielomianów podanych w przykładach powyżej. Jednomian 0 jest także wielomianem, nazywamy go wielomianem zerowym. Wielomian zerowy można zapisać na różne sposoby, na przykład: 0 x, 0 x, 0 x 0. Jak widać, zmienna w takim wielomianie może występować w dowolnej potędze, dlatego stopień jednomianu 0 nie jest określony. 78 WIELOMIANY

3 Przykłady dwumianów: x 1 x 3 + 3x 5 x 3 4 x7 + x 1 Przykłady trójmianów: Wielomian, który jest sumą dwóch niezerowych jednomianów różnych stopni, nazywamy dwumianem, a sumę trzech jednomianów (różnych stopni) nazywamy trójmianem. Trójmian, który jest wielomianem drugiego stopnia, nazywamy trójmianem kwadratowym. 3x x +3 3 x8 + x 4 +1 x 10 x 7 + x 6 7x 5 x x 6 B 1. Wypisz współczynniki przy najwyższej potędze każdego z dwumianów i trójmianów zapisanych obok.. Podaj przykład trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych. 3. Czy wyrażenie (x 3) jest trójmianem kwadratowym? Wielomiany można dodawać, odejmować i mnożyć. Wykonując tego typu działania, otrzymujemy nowy wielomian, który warto uporządkować, czyli przedstawić w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej. Należy w tym celu zredukować wyrazy podobne, a występujące w nim jednomiany zapisać w kolejności od stopnia najwyższego do najniższego. Wartość wielomianu dla danej liczby otrzymamy, wstawiając w wielomianie tę liczbę w miejsce zmiennej. P Oblicz wartość wielomianu W (x) =x 3 x x +10 dlax = 1. P W ( 1) = ( 1) 3 ( 1) ( 1)+10=8 a) dodawanie wielomianów (7 5x 5 3x )+(3x 4x x 5 )=7 5x 5 3x +3x 4x x 5 = 6x 5 4x +7 b) odejmowanie wielomianów ( 8x 4 x 6 +3) (3 5x +x 6 )= 8x 4 x x x 6 = 4x 6 8x 4 +5x c) mnożenie wielomianów (3 x 5 +x)( 5x x) = 15x 3x +10x 7 +x 6 5x 3 x =10x 7 +x 6 5x 3 16x 3x C Doprowadź wielomiany W (x) i P(x) do najprostszej postaci. Porównaj stopnie i współczynniki obu tych wielomianów. W (x) =4x (x 3) P(x) =6x(5x + ) 3(10x 3 +3) PRZYKŁADY WIELOMIANÓW 79

4 Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe, gdy są tego samego stopnia i po zapisaniu każdego z nich w postaci a n x n + a n 1 x n a 0 współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe. P Rozważmy wielomiany: U(x) =ax +bx, V (x) =x 3 11x +1x oraz W (x) =x 3. Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian U(x) V (x) jest równy wielomianowi U(x) W (x)? U(x) V (x) =(ax + bx) (x 3 11x +1x) =ax + bx x 3 +11x 1x = = x 3 +(a + 11)x +(b 1)x U(x) W (x) =(ax + bx)(x 3)=ax 3 3ax + bx 3bx = ax 3 +(b 3a)x 3bx U(x) V (x) = x 3 +(a + 11)x +(b 1)x U(x) W (x) =ax 3 +(b 3a)x 3bx = a a +11=b 3a b 1= 3b Stąd a = ib =3. Porównujemy współczynniki obu wielomianów przy odpowiednich potęgach zmiennej; rozwiązujemy układ równań. Liczby a = orazb = 3 spełniają każde ztrzechrównańukładu. ZADANIA 1. Wśród podanych wyrażeń algebraicznych znajdź wielomiany i określ stopień każdego z nich. a) 7x 5 5x 7 b) 1 x 3 5x +4 d) 6u 3 11u +4 g) 3z z5 3 e) x 6 5 x +4 h) 8 1 c) 0,t +6t 3 1,4t 10 f) 3w 7 i) 5w w. Przedstaw podane wyrażenie w postaci jednomianu ax n. a) 4x 7 c) x + x e) 5x (3x) 0,8 b) ( 1 ) 3 x x 3 d) 3x 3 x 1 ( ) 3 5 x5 f) 4x 7 1 x 3. Oblicz wartość wielomianu dla podanej wartości zmiennej. a) 1 x x 1 3 dla x = c) 3(3x ) (x +3) dla x = 3 b) 0,0t 5 0,04t 3 + t dla t = 10 d) x(x 5) (x 1) dla x = 1 80 WIELOMIANY

5 4. a) Wartość wielomianu W (x) =x 3 +rx +sx+t dla x = 1 wynosi, czyli W (1) =. Wiadomo też, że W ( 1) = 10 i W (0) = 4. Znajdź wartości współczynników r, s, t. b) Dany jest wielomian W (x) =ax 5 + bx + c. Znajdź wartości współczynników a, b oraz c, jeśli wiadomo, że W ( ) = 4, W ( ) = 1 i W (0) = Wynik działania przedstaw w postaci uporządkowanego wielomianu. ( a) 3x 5 +5x 7 1 ) + (3 1 ) x 7x 5 x 3 d) (5x 3 )(x 3 +1) 6x 3 ( x 3 ) ( ) ( b) 4 5 x 8x3 5 x5 3 ) 5 x + 8x3 e) ( 3x 3 +x 5 )(x 5 1+5x 3 ) c) x(x 4 8x 3 5)+4x 4 (3x ) f) ( x 6 4x )(x 4 7x 6 ) 6. Wykonaj działania i przedstaw otrzymany wielomian w jak najprostszej postaci. a) [ (5x 4 +3x 4x)+3x (x 1)] (1 x) b) [4x( x 9 +7x 3 ) (0x 4 8x 10 )] [1 5( x )] c) (3 4x 3 )(5x + x) [ 5(x 5 +x )+x(6x 4 5x )] 7. Niech P oznacza wielomian 4x+5, Q wielomian x 3x+1, a R wielomian x 3 1. Wykonaj działania: a) P (Q + R) b) 4Q 3P + 1 R c) R (P + Q) 8. Nie wykonując działań, określ wyraz wolny oraz stopień wielomianu: a) (5x + 3)(3x 3 +x 1) c) (x +1) 4 (x 9) (x +) b) (3x )(x + 5)(7 x) d) 3x 7 (x 3 +) 5 (7 + x ) 3 9. Stopień pewnego wielomianu W (x) jest równy m, a stopień wielomianu V (x) wynosi n (m > n). Określ stopień wielomianu: a) W (x)+v (x) b) W (x) V (x) c) W (x) V (x) 10. Podaj przykłady dwóch wielomianów stopnia czwartego, których: a) suma jest jednomianem stopnia trzeciego, b) iloczyn jest dwumianem. 11. Ustal, dla jakich wartości współczynników p, q, r wielomian x 4 +px 3 +qx +rx+1 jest równy wielomianowi: a) (x 1) c) (x +5x 1) ( b) (x ) x 3 3x 1 ) d) (x x)(x +x)+1 1. Dane są wielomiany A(x) = 3x +5x +, B(x) = 9x 3 +3x 17x 4 oraz C(x) = mx + n. Dla jakich wartości współczynników m i n wielomian B(x) + C(x) jest równy wielomianowi A(x) C(x)? PRZYKŁADY WIELOMIANÓW 81

6 13. Jakie jednomiany można wstawić w miejsce liter A, B i C, aby zachodziła równość wielomianów? a) A(x + x B) =4x 4 + C 14x b) A(9x 6x +5)=B +x 4 + C 14. Pewien cukiernik układa pączki w piramidy, tak jak pokazano na zdjęciu obok. Liczba pączków w piramidzie o n warstwach wynosi: 1 3 n3 + 1 n n a) Oblicz, z ilu pączków zbudowana jest piramida o1warstwach. b) Uzasadnij, że liczba pączków w piramidzie, która ma n +1 warstw, jest o (n +1) większa od liczby pączków w piramidzie o n warstwach. TEST T1. Który z poniższych wielomianów jest wielomianem szóstego stopnia? A. (6x 3 6x +6) 6 B. 4x 5 3x 4 +x 3 + x x +3 C. (5x 5 +x 4 )+(x 5 +4x 4 ) D. (4x 3x)(x 4 6) T. Dla jakiej wartości a wielomiany (x + a)(x 3 x) i5x (x +10x 3 x 4 )sąrówne? A. a = 5 B.a = C.a =1 D.a =5 T3. Stopień wielomianu W (x) jest równy 5, a stopień wielomianu V (x) to4.któryz poniższych wielomianów jest stopnia dziewiątego? A. W (x)+v (x) B. 4W (x) 5V (x) C. W (x) x 5 V (x) D. x W (x) V (x) ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI NIKI A Wykonaj mnożenie wielomianów. 1. 3x (3 x +5x ). (x 3)(x +5) 3. (1 x + x 3 )(4x 3) Wiadomo, że w wyniku mnożenia wielomianów otrzymujemy pewien wielomian. Czasami można wykonać operację odwrotną rozłożyć dany wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu innych wielomianów. 8 WIELOMIANY

7 P Rozłóż wielomiany na czynniki. a) 6x 3 3x +10x 5= =3x (x 1)+5(x 1)= =(x 1)(3x +5) W każdym z zaznaczonych dwumianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x 1) przed nawias. b) 5x 4 +0x 3 + x +4x = =5x 3 (x +4)+x(x +4)= =(x +4)(5x 3 + x) = = x(x + 4)(5x +1) W każdym z zaznaczonych dwumianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x +4) przed nawias. W zaznaczonym dwumianie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. B Udowodnij cztery ostatnie spośród wzorów zapisanych obok. Wzory skróconego mnożenia (a + b) = a +ab + b (a b) = a ab + b a b =(a b)(a + b) W poniższych przykładach pokazujemy, jak można rozkładać wielomian na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. a 3 + b 3 =(a + b)(a ab + b ) a 3 b 3 =(a b)(a + ab + b ) (a + b) 3 = a 3 +3a b +3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b +3ab b 3 P Rozłóż wielomiany na czynniki. a) x 4 5=(x 5)(x +5)= =(x 5)(x + 5)(x +5) Dwukrotnie stosujemy wzór a b =(a b)(a + b). b) x 5 + x 4 + x 3 8x 8x 8= = x 3 (x + x +1) 8(x + x +1)= =(x + x +1)(x 3 8)= =(x + x +1)(x )(x +x +4) W każdym z zaznaczonych trójmianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian x + x +1) przed nawias. Stosujemy wzór a 3 b 3 =(a b)(a + ab + b ). c) x 6 +x 3 +1=(x 3 ) +x 3 +1= =(x 3 +1) =[(x +1)(x x +1)] = =(x +1) (x x +1) Stosujemy wzór a +ab + b =(a + b),anastępnie wzór a 3 + b 3 =(a + b)(a ab + b ). ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI 83

8 Zauważ, że w przykładach na poprzedniej stronie czynniki występujące w rozkładzie wielomianu nie miały stopnia wyższego niż. Można się zastanawiać, czy dowolny wielomian da się rozłożyć na takie czynniki. Odpowiedź na to pytanie znano już w XVIII wieku: Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. CIEKAWOSTKA Pierwszy poprawny dowód powyższego twierdzenia podał Carl Friedrich Gauss ( ). Uważany jest on, obok Archimedesa i Newtona, za jednego z największych matematyków świata (zwany był nawet księciem matematyków). Zajmował się prawie wszystkimi działami matematyki, a także fizyką i astronomią. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki stopnia najwyżej drugiego udowodnił w wieku lat w swojej rozprawie doktorskiej. W tamtych czasach algebra była nauką o rozwiązywaniu równań, a dowiedzione przez Gaussa twierdzenie pozwoliło rozstrzygnąć wiele problemów dotyczących równań. Czasem aby rozłożyć wielomian na czynniki, trzeba się wykazać pomysłowością i zastosować nietypowe metody przekształcania wielomianów, np. przedstawić jednomian jako sumę dwóch jednomianów albo dodać i odjąć ten sam jednomian. P Rozłóż wielomiany na czynniki. a) x 4 + x 3 +3x + x +1= = x 4 + x 3 + x +x + x +1= = x (x + x +1)+x + x +1= =(x + x +1)(x +1) Zastępujemy jednomian 3x sumą x +x. W zaznaczonym trójmianie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian x + x +1) przed nawias. b) 4x 3 5x +1= =4x 3 4x x +1= =4x(x 1) (x 1)= =4x(x 1)(x +1) (x 1)= =(x 1)[4x(x +1) 1]= Zastępujemy jednomian 5x sumą 4x x. W zaznaczonych dwumianach wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. stosujemy wzór a b =(a b)(a + b) Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x 1) przed nawias. =(x 1)(4x +4x 1) 84 WIELOMIANY

9 c) x 4 +4= = x 4 +4x +4 4x = =(x +) 4x = =(x + x)(x ++x) = Dodajemy i odejmujemy jednomian 4x. Stosujemy wzór a +ab + b =(a + b). Stosujemy wzór a b =(a b)(a + b). =(x x +)(x +x +) Uwaga. We wszystkich powyższych przykładach czynniki otrzymane po rozłożeniu wielomianu miały stopień co najwyżej. Czasami czynniki, które są trójmianami kwadratowymi (np. trójmian 4x +4x 1 w drugim przykładzie), można przedstawić w postaci iloczynu dwumianów stopnia pierwszego. Wzory pozwalające rozkładać na czynniki trójmiany kwadratowe przypomnimy w następnym rozdziale. ZADANIA 1. Rozłóż wielomian na czynniki. a) x 5 + x 3 h) 10x 3 +5x +8x +0 b) x 4 x 3 + x i) x 5 +10x 4 + x 3 +10x c) x 3 +4x + x +4 j) 3x 4 7x 3 +3x 7x d) 6x 3 5x +6x 5 k) x 6 +3x 5 +x 4 +6x 3 e) x 3 1 x + x 1 l) x 5 +5x 4 +8x 3 +0x f) x 3 5x +3x 15 m) 15x 6 10x 5 +45x 4 30x 3 g) x 3 3x +6x 9 n) 4x x 3 30x + 150x. Zapisz podane wyrażenie w postaci uporządkowanego wielomianu (skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia). a) (3x +1) d) ( 5p) g) (x +1) 3 b) (x +x) e) (x 3 3)(x 3 + 3) h) (3 x) 3 c) (a 7) f) (k 3 + )( k 3 ) i) ( 7+z) 3 3. Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia). a) x 16 e) x 6x +9 i) x 3 7 b) 4x 5 f) 1 9 x x j) x 3 +1 c) 49x g) x 4 x +1 k) 1 7 x 3 8 d) x 7 100x 5 h) (x +3) +(x +3)+1 l) 64x 10 + x 7 ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI 85

10 4. Znajdź liczby, które należy wpisać w kratki, a następnie rozłóż otrzymany wielomian na czynniki. a) 6x 3 +5x +16x +5=6x 3 +x + x + x + x +5 b) 5x 4 9x 3 + x +3x =5x 4 4x 3 3x + x 3 + x +3x c) 7x 5 +9x 4 + x 3 3x = 7x 5 + x 4 +3x 3 +7x 4 + x 3 3x 5. Rozłóż wielomian na czynniki. a) x 5 +3x 4 +x 3 +3x + x c) 7x 4 +3x 3 +x +3x 5 e) x 3 6x 4 b) 3x 4 5x 3 +5x 5x + d) x 5 x 4 + x + x 3 +3 f) x 3 3x a) Rozłóż wielomian x 3 +5x +3x + 15 na czynniki, a następnie uzasadnij, że przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x > 5. b) Rozłóż wielomian 4x 3 8x +3x 6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne. c) Rozłóż wielomian 1x 5 +6x 4 x + 1 na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla ujemnych wartości x wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie. 7. Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci (przyjmij, że x jest liczbą, dla której wyrażenie występujące pod kreską ułamkową jest różne od 0). a) x 3 3x + x 3 x 3 b) 30x 4 6x 3 +45x 9x 8x 3 +1x c) 3x 5x + 3x 3 x 1x a) Rozłóż wielomian n 3 n na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej n wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 3. Wskazówka. Jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3. b) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n 4 n 3 + n jest liczbą podzielną przez 4. c) Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n 5 n jest liczbą podzielną przez 6. TEST T1. Dwumian x+3 nie jest czynnikiem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż ten wielomian. A. 4x +1x +9 B. 8x 3 +7 C.4x +9 D. 4x 9 T. Wyrażenie x3 +x +5x +10 można uprościć do postaci: x +5 A. x + B.x 3 + x +5x +5 C.x 3 +5x +1 D. x + 86 WIELOMIANY

11 IELOMIANOWE A B RÓWNANIA WIELOMIANOWE Rozwiąż równanie: 1. 15x +6=0. 3(4x 7) = (14 6x) Rozwiąż równanie: 1. x 5x =3. 1 x 1 4 x =0 Liczba rozwiązań równania ax + bx + c =0, gdzie a 0, zależy od wartości wyróżnika Δ=b 4ac. Jeśli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania: x 1 = b Δ a x = b + Δ a Jeśli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie: x 0 = b a Jeśli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań. W powyższych ćwiczeniach podano przykłady równań, które można przekształcić tak, aby po jednej stronie występował wielomian, a po drugiej liczba 0. Równanie postaci W (x) =0,gdzieW (x) jest wielomianem stopnia n, nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n. Liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W (x) =0,nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x). Uwaga. Liczby, które spełniają takie równanie, nazywane są także pierwiastkami równania. Potrafisz już znajdować pierwiastki wielomianu pierwszego stopnia i wielomianu drugiego stopnia. Pokażemy teraz, jak znajdować pierwiastki niektórych wielomianów wyższych stopni. C Podaj liczby, które spełniają równanie: 1. (x + 1)(x 6)=0. (x ) 4 =0 3. 3x(x 1)(x 4)=0 Dosyć łatwo można rozwiązać równanie wielomianowe W (x) = 0,gdy wielomian W (x) przedstawiony jest w postaci iloczynowej. Wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn jest równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Wobec tego przy rozwiązywaniu równań wielomianowych stopnia wyższego niż przydaje się umiejętność rozkładania wielomianu na czynniki. a b =0 a =0 lub b =0 RÓWNANIA WIELOMIANOWE 87

12 P Rozwiąż równania. a) x 5 6x 4 =40x 3 x 5 6x 4 40x 3 =0 x 3 (x 6x 40) = 0 x 3 =0 lub x 6x 40=0 Przekształcamy równanie do postaci W (x) = 0. Wielomian W (x) rozkładamy na czynniki. x = 0 Δ = ( 6) 4 1 ( 40) = 196 Δ=14 x 1 = 6 14 x =0 lub x = 4 lub x =10 = 4 x = 6+14 =10 b) x 5 3x 4 8x 3 +4x 9x +7=0 x 4 (x 3) 8x (x 3) 9(x 3)=0 (x 3)(x 4 8x 9)=0 x 3=0 x =3 lub x 4 8x 9=0 x = t W miejsce x podstawiamy t irozwiązujemy otrzymanerów- nanie z niewiadomą t. t 8t 9=0 Δ = ( 8) 4 ( 9) = 100 Δ=10 t 1 = 8 10 = 1 t = 8+10 =9 x =3 lub x = 3 x = 1 lub x =9 równanie sprzeczne x =3 lub x = 3 Rozwiązujemy równania x = t 1 i x = t. c) 1x 6 3x =0 3x (4x 4 1)=0 3x (x 1)(x +1)=0 3x =0 x =0 lub x 1=0 x = 1 1 x = lub x = 1 lub x +1 = 0 równanie sprzeczne x =0 lub x = lub x = 88 WIELOMIANY

13 Zastanówmy się teraz, jaki może być związek między stopniem wielomianu W (x) a liczbą pierwiastków tego wielomianu. Wiadomo, że wielomian pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek (każde równanie postaci ax + b =0,gdziea 0, ma jedno rozwiązanie). Wiadomo także, że wielomian drugiego stopnia może mieć dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek, lub może nie mieć pierwiastków. D 1. Każdy z trzech poniższych wielomianów jest wielomianem trzeciego stopnia. Ustal, ile pierwiastków mają te wielomiany. U(x) =x(x )(x +3) V (x) =(x + 1)(x 3x +5) W (x) =x(x +5). Podaj przykład wielomianu czwartego stopnia, który nie ma pierwiastków. 3. Podaj przykład wielomianu piątego stopnia, który ma dokładnie jeden pierwiastek. Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego (zob. str. 84). Wobec tego: Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków (wielomian n-tego stopnia można rozłożyć na co najwyżej n wielomianów pierwszego stopnia). Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek (ponieważ w jego rozkładzie na czynniki musi występować co najmniej jeden czynnik pierwszego stopnia). W takim razie wielomian stopnia trzeciego zawsze ma jakiś pierwiastek, ale nie może mieć ich więcej niż trzy. Natomiast wielomian czwartego stopnia może nie mieć pierwiastków, ale jeśli ma pierwiastki, to nie więcej niż cztery. E Zapisz wielomian jak najniższego stopnia, który ma sześć pierwiastków. Rozważmy następujące wielomiany: W (x) =(x 7)(x 5) P(x) =(x 7) (x 5) 3 Pierwiastkami każdego z tych wielomianów są liczby 7 i 5. W rozkładzie wielomianu W (x) na czynniki dwumian x 7 występuje raz, adwumianx 5 występuje dwa razy, gdyż W (x) =(x 7)(x 5)(x 5). Mówimy, że liczba 7 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x),aliczba5 jego dwukrotnym pierwiastkiem. RÓWNANIA WIELOMIANOWE 89

14 Zauważ, że w rozkładzie wielomianu P(x) na czynniki dwumian x 7 występuje dwa razy, a dwumian x 5 występuje trzy razy, gdyż P(x) = =(x 7)(x 7)(x 5)(x 5)(x 5). Mówimy, że liczba 7 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu P(x), a liczba 5 jest pierwiastkiem trzykrotnym tego wielomianu. Niech W (x) będzie wielomianem niezerowym. Liczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy ten wielomian możemy przedstawić w postaci: W (x) =(x a) k P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem (czyli P(a) 0). F Liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 7 jest jego pierwiastkiem pięciokrotnym. Co można powiedzieć o stopniu wielomianu W (x)? Na początku tego rozdziału przypomnieliśmy wzory pozwalające obliczać pierwiastki wielomianu postaci ax + bx + c, gdziea 0.Zewzorówtych wynika, że taki wielomian może mieć dwa pierwiastki (i każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny) lub może mieć jeden pierwiastek (i pierwiastek ten jest dwukrotny), lub może wcale nie mieć pierwiastków. Możemy bowiem korzystać z następującej własności wielomianu drugiego stopnia. Wielomian W (x) =ax + bx + c,gdzie a 0,ma: dwa pierwiastki x 1 i x wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) =a(x x 1 )(x x ) i x 1 x, jeden pierwiastek x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) =a(x x 0 ). Wyrażenie a(x x 1 )(x x ), a także wyrażenie a(x x 0 ) nazywamy postacią iloczynową wielomianu drugiego stopnia. G Znajdź pierwiastki wielomianu i określ ich krotności. 1. x 3 (x 3)(x +1) 4 3. (x 1)(x 6x +5). (x +) (x +5) 3 (x +) 4. (x 3)(x 6x +9) ZADANIA 1. Znajdź liczby spełniające równanie: a) (x 3)(x + 5)(4 3x) =0 d) x 3 (x 3 1)(1 + x 3 )=0 b) (x +5)(x + x 0)(x 5)=0 e) (x 3 +x)(x 3 +)(x 3 + x) =0 c) (x +9x + 9)(9x +1)=0 f) (4x 8x + 6)(4x 8x)( 8x +6)=0 90 WIELOMIANY

15 . Rozwiąż równanie: a) 5x 4 +3x 3 +14x =0 g) 4x 3 14x +6x 1=0 b) 4x 4 5x +1=0 h) 15x 5 10x 4 6x +4=0 c) x 5 +5x 3 1x =0 i) x 5 8x 3 +16x 64=0 d) x 7 x 4 x =0 j) 3x 5 1x 3 1x +48=0 e) 6x 3 +6x 3x 3=0 k) 5x 5 + x 3 6=30x f) x 5 18x 3 +x 18=0 l) 5=3x +5x 4 3x 5 3. Znajdź pierwiastki wielomianu W (x). a) W (x) =x 4 4x 3 +8x 4x +1 d) W (x) =x 3 5x 4 b) W (x) =x 4 3x 3 +5x 3x +4 e) W (x) =x 3 6x +4 c) W (x) =x 4 +3x 3 x 6x f) W (x) =4x 3 3x +1 Wskazówka. Przedstaw jeden z wyrazów wielomianu jako sumę dwóch jednomianów. 4. Rozwiąż równanie (postaraj się znaleźć rozwiązania w jak najprostszy sposób): a) (x 1) = 100 e) x (x 5)=x b) (5 x) 3 = 8 f) x(3 x)=(3 x) c) (5 x) =(3+x) g) (x 4) (x 7)=(x 4) 3 (x 7) d) (x 9) 3 =(x 10) 3 h) x(x ) (x +9)=x(x )(x +9) 5. Niech n będzie pewną liczbą naturalną większą od 0. Ile rozwiązań ma podane równanie? Dla jakich wartości n wszystkie pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi? a) x n+1 15x = x n 15x b) x n+ + x 4 = 100x n + 100x 6. a) Znajdź liczbę, o której wiadomo, że suma tej liczby i sześcianu liczby o 1 od niej mniejszej wynosi 11. b) Znajdź liczbę, której sześcian jest równy sumie tej liczby i jej kwadratu. c) Znajdź liczbę, której kwadrat jest o mniejszy od jej czwartej potęgi. 7. Uzasadnij następującą własność: Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników tego wielomianu jest równa Uzasadnij, że jeśli wielomian W (x) =ax 7 + bx 5 + cx 3 + dx + e spełnia warunek W ( 1) = W (1), to 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu. RÓWNANIA WIELOMIANOWE 91

16 9. Które z podanych równań nie mają rozwiązań? Odpowiedz na to pytanie, nie rozwiązując równań. a) x 4 +1=0 d) 3x +4x 8 +=0 g) (x 4 +) 3 = 8 b) x =0 e) (3x 4) 6 +5=0 h) (x 7) 5 +1=0 c) 3x + x 4 =0 f) (x 7)= 4 i) (x 1) =(x 1) Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest: a) 5 b) 1+ 7 c) Znajdź pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności. a) x 7 (x 1) 3 (x +)(x +5) 5 e) (x 1)(x 5 5x 4 +4x 3 ) b) x(x +3) (x 1) 3 (x +3) f) (3x 4 x 3 +3x 1)(x +1) 3 c) (x +) 4 (3x +4) (x +) 3 g) (x 1) (x 6 x 5 + x 4 ) d) (x 9)(x +x 15) (x x +3) h) (x 3 x )(x 6 + x 4 x 1) 1. Podaj przykład wielomianu, który spełnia podany warunek. a) Liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczba 10 jest pierwiastkiem czterokrotnym wielomianu. b) Liczby 1 i są pierwiastkami dwukrotnymi i wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi. 3 c) Liczba 5 jest pierwiastkiem pięciokrotnym i stopień wielomianu jest równy 7. d) Stopień wielomianu jest równy 10, jedynymi pierwiastkami są liczby 0,,, przy czym 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jest pierwiastkiem trzykrotnym, a jest pierwiastkiem jednokrotnym. 13. Znajdź liczby p i q, dla których równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny. a) 8x 3 36x + px + q =0 c) 15x 3 + px + qx +8=0 b) px 3 + qx + x 1=0 d) 1 8 x 3 + px + 3 x + q =0 Wskazówka. Wielomian trzeciego stopnia, który ma pierwiastek trzykrotny, można przedstawić w postaci (ax + b) Ustal krotności pierwiastków równania (x + px +1) = 0 w zależności od wartości p. 15. Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) i m-krotnym pierwiastkiem wielomianu V (x) (k > m). Uzasadnij, że liczba a jest także pierwiastkiem wielomianu Z(x), i ustal, jaką ma krotność, jeśli: a) Z(x) =W (x) V (x) b) Z(x) =W (x) (V (x)+3) c) Z(x) =W (x)+v (x) 9 WIELOMIANY

17 TEST T1. Wielomian (4x + 5)(4x x 7)(x +6) ma: A. sześć pierwiastków B. cztery pierwiastki C. trzy pierwiastki D. jeden pierwiastek T. Suma rozwiązań równania 6x 3 x 4x +8=0jestrówna: A. B. 1 3 C. 1 3 D. 4 T3. Liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu: A. x(x 1)(x 1) C. x3 (3x 1)(x 3) B. (x +1) 3 (x +1) 3 D. (x )(x x +1) DZIELENIE WIELOMIANÓW LOMIANÓW Wiadomo, że jeśli dana liczba naturalna a jest iloczynem pewnych dwóch liczb, to w wyniku dzielenia liczby a przez jedną z tych liczb otrzymamy drugą z nich. Na przykład równość: możemy zapisać w postaci: 4503 = : 57 = 79 Oznacza to, że liczba 4503 jest podzielna przez 57. W analogiczny sposób będziemy rozumieć dzielenie wielomianów. Wiesz już, że wielomiany można rozkładać na czynniki. Na przykład wielomian W (x) =x 3 4x +3x 6 można zapisać w postaci iloczynu: x 3 4x +3x 6=(x )(x +3) Powyższą równość będziemy także zapisywać inaczej: (x 3 4x +3x 6):(x )=x +3 Mówimy wówczas, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x. Wynikiem dzielenia wielomianu W (x) przez x jest wielomian x +3. Uwaga. Wielomian W (x) jest także podzielny przez dwumian x +3. DZIELENIE WIELOMIANÓW 93

18 A Jaki wielomian należy wstawić w miejsce kropek? 1. 3x 5 + x 3 = x (...) (3x 5 + x 3 ):x =.... 6x 7 8x 4 =x 3 (...) (6x 7 8x 4 ):x 3 = x +x +1=(x + 1)(...) (x +x +1):(x +1)= x 4 x 3 +x x =(x 1)(...) (x 4 x 3 +x x) :(x 1)=... Mówimy, że wielomian W (x) jest podzielny przez niezerowy wielomian P(x), jeśli istnieje taki wielomian Q(x), że: W (x) =P(x) Q(x) Piszemy wówczas: W (x) :P(x) = Q(x). Zauważ, że po rozłożeniu danego wielomianu na czynniki łatwo można wskazać wielomiany, przez które jest on podzielny, i podać wyniki takiego dzielenia. B Rozłóż wielomian x 5 4x 3 +x 4 na czynniki, wypisz kilka wielomianów, przez które ten wielomian jest podzielny, a następnie określ wynik dzielenia: 1. (x 5 4x 3 + x 4):(x ). (x 5 4x 3 + x 4):(x 3 +1) 3. (x 5 4x 3 + x 4):[(x + )(x 3 + 1)] 4. (x 5 4x 3 + x 4):(x 4) Istnieje metoda, która pozwala znaleźć wynik dzielenia dwóch wielomianów bez konieczności rozkładania pierwszego z nich na czynniki. Metoda ta przypomina pisemne dzielenie liczb naturalnych. Aby się nią posługiwać, potrzebna jest sprawność w obliczaniu ilorazu jednomianów. C Znajdź wynik dzielenia jednomianów (zapisz go w jak najprostszej postaci). 1. 1x 7 :4x. ( 8x 5 ):x x4 :x 3 4. ( 4x 5 ):6x 5. 1,5x 10 : ( 3x 8 ) ) x11 : ( 13 x7 94 WIELOMIANY

19 Pokażemy teraz, w jaki sposób znaleźć wynik dzielenia W (x) : P(x), gdzie W (x) =6x + x i P(x) =x + 1. Oto kolejne etapy dzielenia: D Upewnij się, że otrzymany wynik jest poprawny pomnóż wielomian 3x przez wielomian x + 1. Zauważ, że przy wykonywaniu dzielenia przedstawioną wyżej metodą obliczaliśmy różnice pewnych wielomianów (na przykład obliczaliśmy różnicę (6x x ) (6x +3x)). Gdy wykonujemy takie działania, łatwo o pomyłkę, dlatego warto nieco zmienić sposób zapisu dzielenia: DZIELENIE WIELOMIANÓW 95

20 P Wykonaj dzielenie wielomianów. E Wykonaj dzielenie (6x 3 +13x 6x +7) : (x +5x 7), a następnie sprawdź otrzymany wynik, mnożąc odpowiednie wielomiany. Podobnie jak przy dzieleniu liczb naturalnych, dzieląc wielomian przez inny wielomian, możemy otrzymać resztę różną od 0. Liczby 3 55 : reszta Wykonując dzielenie 55 : 17, otrzymujemy 3 i resztę 8, zatem: 55 = Reszta jest mniejsza od liczby, przez którą dzielimy. x 7 Wielomiany (x 3 7x x 6) : (x +3) x 3 6x 7x 8x 6 7x +1 8x + 15 reszta Wykonując dzielenie (x 3 7x x 6):(x +3), otrzymujemy x 7 iresztę 8x + 15, zatem: x 3 7x x 6 = (x 7)(x +3)+( 8x+15) Stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy. P Wykonaj dzielenie wielomianów. (x 7 10x 5 6x 4 +)=(x 3 6)(x 4 5x ) + ( 30x +) Jeśli dane są wielomiany W (x) ip(x), to obliczając iloraz W (x) :P(x), otrzymamy pewien wielomian Q(x) oraz pewną resztę R(x), która jest równa 0 lub jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia P(x). 96 WIELOMIANY

21 Wielomian W (x) można zatem zapisać w postaci: W (x) =P(x) Q(x) +R(x) Uwaga. Wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P(x) tylko wtedy, gdy reszta z dzielenia W (x) :P(x) jestrówna0(wówczasw (x) =P(x) Q(x)). F Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) =x 3 7x + x przez wielomian P(x) =x 1, a następnie sprawdź wynik, wykonując odpowiednie działania. Zauważ, że jeśli dzielimy wielomian przez dwumian pierwszego stopnia, to reszta jest zawsze liczbą, gdyż albo jest zerem, albo wielomianem stopnia mniejszego niż 1 (czyli wielomianem stopnia 0). ZADANIA 1. Podaj przykłady trzech wielomianów różnych stopni, przez które podzielny jest zarówno wielomian W (x), jak i wielomian V (x). a) W (x) = (3x +) 4 (x +5) 3, V (x) =(x +5) 3 (x +) b) W (x) = 1 3 (x 1)5 (4x 1)(x +), V (x) =(x +) 5 (x 1) (x 4). Wykonaj dzielenie: a) (x 3 8x +17x 10) : (x 5) b) (3x 3 +8x 18x 8):(x +4) c) (9x 3 18x 4x +1):(3x +1) d) (x 4 x 3 + x + x 1):(1 x) e) ( 4x 4 +1x 3 5x +17x 6):(x 3) f) (1x 4 +14x 3 8x 16x +5):(6x 5) g) ( 6x 6 7x 5 x 4 +9x +6):(3x +) h) (30x 8 6x 7 +10x 6 x 5 5x+1) : (5x 1) 3. Wykonaj dzielenie: a) (10x 5 x 4 +15x 3 +5x + 1) : (x +3) b) ( x 5 +6x 4 1x +8x) :(x 3x +) c) (15x 8 +7x 6 +3x 4 +1x 10) : (5x 4 x +5) 4. Znajdź taki wielomian W (x), aby spełniona była równość: a) (x 7) W (x) =x 4 +4x 3 x 14x 1 b) (x 3)(x +1) W (x) =5x 5 +x 4 18x 3 6x +9x c) 9x 3 +10x +5+W (x) (x +3x 5)=3x(x 3 x +1) DZIELENIE WIELOMIANÓW 97

22 1 3x 4 +x 3 x 4 3x + 3 x 3 +x x x 3 5 3x 3 +3x 5. Obok zapisano pięć różnych wielomianów. Nie wykonując dzielenia, wskaż, który wielomian jest wynikiem dzielenia: a) (3x 6 +9x 4 +x 3 3x +6x 9):(x +3) b) (3x 5 x 4 3x 3 3x +x +3):(x 3 1) c) (6x 6 x 4 9x 3 +6x +3x ):(3x 1) d) (6x 5 +15x 3 4x +9x 6):(x +3) 6. Ustal, jakie liczby należy wstawić w miejsce kratek, aby spełniona była równość: a) (6x 4 + x + ):( x +)=3x +1 b) ( x 6 +9x 4 0x 3 + x + x) :(x 3 x +5)= 4x 3 + x c) ( x 6 x 4 + ):(4x +)=3x 4 x Znajdź resztę z dzielenia wielomianu 6x 5 +x 5x +7przezwielomian: a) x 3 5 b) x +1 c) x Wykonaj dzielenie z resztą: a) ( 1x 3 +x 0x) :(3x 1) d) ( 9x 4 6x 3 + x +6):( 3x x +1) b) (8x 4 +x 3 11x 8x 14) : (x +3) e) ( 10x 5 +8x 4 x 3 +0x ):(x 3 4) c) (10x 3 4x +19x 9):(x +3) f) (15x 5 +18x 3 6x 4):(5x 3 + x ) 9. Znajdź taki wielomian W (x), że po podzieleniu go: a) przez x 3 x + 5 otrzymamy wielomian x 5 orazresztę 4x + 5, b) przez 5x + 4 otrzymamy wielomian 3x 3 5x + orazresztę 3x, c) przez x 5 3x+4 otrzymamy wielomian x x+3 oraz resztę 10x +17x Podaj przykład takiego wielomianu, aby reszta z jego dzielenia przez wielomian x 3 + była: a) liczbą, b) wielomianem stopnia pierwszego, c) wielomianem stopnia drugiego. 11. Dzieląc wielomian W (x) przez wielomian P(x), otrzymamy pewien wielomian Q(x) i resztę. Nie wykonując dzielenia, określ stopień wielomianu Q(x), gdy: a) W (x) =x 5 +3x 3 3, P(x) =x 3 x c) W (x) =3x 6 x, P(x) = 1 x6 + x 4 3 b) W (x) = x 4 7x +1, P(x) =x +1 d) W (x) =4x 1 9x + x 5, P(x) =x 98 WIELOMIANY

23 CIEKAWOSTKA Dzieląc dowolny wielomian W (x) przezdwumianpostacix a, możemyskorzystać z uproszczonej metody zwanej schematem Hornera. Sposób dzielenia tą metodą pokazano poniżej na przykładzie dzielenia wielomianu W (x) =x 4 4x 3 +x 5 przez dwumian x 4. W wyniku dzielenia wielomianu x 4 4x 3 +x 5 przez dwumian x 4 otrzymujemy x 3 +x +8 oraz resztę7,czyli: (x 4 4x 3 +x 5) = (x 4)(x 3 +x +8)+7 1. Zapisz dowolny wielomian piątego stopnia. Następnie podziel go przez dwumian x + 4. Wykonaj to dzielenie dwoma sposobami korzystając z poznanej wcześniej metody oraz ze schematu Hornera. Wskazówka. Dwumian x + 4 jest dwumianem postaci x a dla a = Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenie: a) (x 3 6x +1x 8):(x ) d) (x 5 9x 3 +x +5):(x +3) b) (x 4 + x 3 + x +4x +3):(x +1) e) (5x 5 7x 4 x 3 +4x +3x) :(x 1) c) (x 4 8x 3 +5x 0) : (x 4) f) ( 3x 4 +x 3):(x +) DZIELENIE WIELOMIANÓW 99

24 TEST T1. Przez który z wielomianów nie jest podzielny wielomian (x 1)(x +1)(x )? A. x + B.x x C. x + x 1 D. x +x +1 T. Wynikiem dzielenia wielomianu 6x 4 13x 3 17x +10x 1 przez dwumian x 3 jest wielomian ax 3 + bx + cx+ d. Która z wartości współczynników tego wielomianu jest prawidłowa? A. a =3 B.b =5 C.c = D.d = 4 T3. Reszta z dzielenia wielomianu x 4 x 3 5x +x +5 przez dwumian x 1 jest równa: A. B. x +5 C. 3x + D. x 1 TWIERDZENIE BÉZOUT NIE BÉZOUT A 1. Sprawdź, że pierwiastkiem każdego z poniższych wielomianów jest liczba 7.. Które z podanych wielomianów są podzielne przez dwumian x 7? (x 7)(x 5 x 3 +8) (x 7)(x 16) x 3 7x Każdy z wielomianów w ćwiczeniu A można zapisać w postaci (x 7) P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem. Można więc powiedzieć, że każdy z tych wielomianów jest podzielny przez dwumian x 7 oraz że liczba 7 jest pierwiastkiem każdego z tych wielomianów, gdyż (7 7) P(7) = 0 P(7) = 0. Ogólną własność wielomianów, która wiąże pierwiastek wielomianu z podzielnością tego wielomianu przez pewien dwumian, opisuje poniższe twierdzenie. Twierdzenie Bézout Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian x a. Uwaga. Powyższe twierdzenie można zapisać w następujący sposób: W (a) = 0 W (x) :(x a) = P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem Zauważ, że twierdzenie składa się z dwóch części: 1. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wielomian ten jest podzielny przez dwumian x a.. Jeśli wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x a, to liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu. 100 WIELOMIANY

25 Dowód Zauważmy najpierw, że wielomian W (x) można zapisać w postaci: W (x) =(x a) P(x)+R Wobec tego: P(x) jest pewnym wielomianem, a R pewną resztą; w tym wypadku reszta R jest liczbą, gdyż albo jest równa 0, albo jest wielomianem, którego stopień jest niższy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy. W (a) =(a a) P(a)+R =0 P(a)+R = R Otrzymaliśmy zatem równość: W (a) = R. Korzystając z tej równości, udowodnimy obie części twierdzenia. 1. Załóżmy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), czyli, że W (a) = 0. Ponieważ W (a) =R, zatemr = 0. Wynika stąd, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x a.. Załóżmy teraz, że wielomian W (x) dzieli się przez dwumian x a, czyli że R =0. Ponieważ W (a) = R, zatemw (a) = 0. Wynika stąd, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x). Analizując dowód twierdzenia Bézout, można zauważyć, że przy okazji uzasadniona została pewna ważna własność wielomianów: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x a jest równa W (a). B 1. Dany jest wielomian W (x) =x 4 + x 3 7x x + 6. Korzystając z twierdzenia Bézout, ustal, przez który z podanych dwumianów dzieli się wielomian W (x). x 1 x +1 x x +. Ustal reszty z dzielenia podanych wielomianów przez dwumian x. A(x) =x 3 x +3x 5 B(x) = 1 4 x5 x 7x +1 C(x) =x 4 6x 3 +5x +1 CIEKAWOSTKA Étienne Bézout ( ) był francuskim matematykiem. Zajmował się algebrą, ale znany jest głównie jako autor doskonałych podręczników. Jego książki napisane są niezwykle przystępnie, językiem precyzyjnym, ale nie całkiem naukowym. Sześciotomowe dzieło Bézout Kurs matematyki, przetłumaczone na angielski, było przez wiele lat podstawowym podręcznikiem na Uniwersytecie Harvarda. Twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało ani sformułowane, ani udowodnione przez Bézout było znane już wcześniej. Właściwie nie wiadomo, dlaczego w Polsce jest nazywane twierdzeniem Bézout. W większości krajów, nawet we Francji, nie używa się takiej nazwy. TWIERDZENIE BÉZOUT 101

26 Z twierdzenia Bézout można korzystać przy rozwiązywaniu niektórych równań. Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie wielomianowe W (x) =0iwiemy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x). Z twierdzenia Bézout wynika, że wielomian W (x) jest podzielny przez x a. Wobec tego po wykonaniu dzielenia W (x) :(x a) otrzymamy pewien wielomian Q(x), który jest wielomianem niższego stopnia niż W (x). W (x) =(x a) Q(x) Równanie W (x) = 0 możemy więc zapisać w postaci: (x a) Q(x) =0 Pozostałe pierwiastki znajdziemy, rozwiązując równanie niższego stopnia: Q(x) =0. P Sprawdź, że liczba 1 jest rozwiązaniem równania x 3 3x + = 0. Znajdź pozostałe rozwiązania tego równania =1 3+=0 Sprawdzamy, że liczba 1 spełnia równanie x 3 3x +=0. x x (x 3 3x +):(x 1) Dzielimy wielomian x 3 3x + przez dwumian x 3 + x x 1, aby rozłożyć go na czynniki. x + x x x + x 0 x 3 3x +=(x 1)(x x ) (x 1)(x x )=0 Zapisujemy równanie w innej postaci. x =1 lub x x =0 Δ=4 4 ( ) = 1 Δ= 1 = 3 x 1 = 3 x = + 3 =1 3 =1+ 3 Rozwiązujemy równanie niższego (drugiego) stopnia. Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x 1 =1 3, x =1+ 3, x 3 =1. 10 WIELOMIANY

27 Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy W (x) można przedstawić w postaci: W (x) =(x a) k P(x), gdzie P(x) jest wielomianem i P(a) 0. Zauważ, że jeśli liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), to wielomian ten jest podzielny przez wielomian (x a) k,aniejestpodzielny przez (x a) k+1. Jeśli W (x) =(x a) k P(x) i P(a) 0,toztwierdzeniaBézout wynika, że wielomian W (x) nie jest podzielny przez (x a) k+1. Gdyby bowiem wielomian W (x) był podzielny przez (x a) k+1,towielomianp(x) musiałbybyć podzielny przez x a. Z twierdzenia Bézout wynika, że zachodziłaby równość P(a) = 0, a zakładaliśmy, że P(a) 0. ZADANIA 1. Nie wykonując dzielenia, sprawdź, czy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian V (x), jeśli: a) W (x) =5x 14 6x +1, V (x) =x 1 d) W (x) = 1 9 x4 x + 1 x 1, V (x) =x 3 b) W (x) =3x 7 x 3 + x +1, V (x) =x +1 e) W (x) =x 4 1 x3 4x +1, V (x) =x 1 c) W (x) =x 3 +3x + x 10, V (x) =x + f) W (x) =x 8 3x 4 +x 3 7, V (x) =x+ 3. a) Dla jakiej wartości a wielomian 5x 5 ax 3 +3x 6x jest podzielny przez dwumian x? b) Dla jakiej wartości p wielomian px 5 px 3 1 x + jest podzielny przez dwumian x +? 3. a) Wykaż, że dla dowolnej liczby a wielomian x n a n jest podzielny przez dwumian x a. Wykaż też, że gdy n jest liczbą parzystą, to wielomian x n a n jest też podzielny przez dwumian x + a. b) Każdy z poniższych wielomianów przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielomianów, z których jeden jest dwumianem pierwszego stopnia. x 5 1 x 6 64 x Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia: a) (3x 7 5x 6 +4x 5 7):(x 1) d) (10x 5 13) : (x ) b) (8x 10 4x 8 +7x 7 +):(x +1) e) (5x 4 6x 3 ):(x + 10) ( c) (81x 4 9x + x 1):(x 3) f) 1 81 x7 + 9 x3 + 1 ) :(x +3) 3 TWIERDZENIE BÉZOUT 103

28 5. a) Dla jakiej wartości a reszta z dzielenia wielomianu 6x 3 4ax + x 3 przez dwumian x 1 jest równa 1? b) Dla jakiej wartości p reszta z dzielenia wielomianu x 4 x 3 + px +x + p przez dwumian x +1jestrówna 9? 6. a) Dla jakich wartości m i n wielomian 5x 4 +4x 3 + mx + nx +1 jest podzielny przez dwumian x 1? b) Wielomian x 4 tx 3 +3tx + x + s jest podzielny przez trójmian x x. Znajdź liczby t i s. c) Korzystając z twierdzenia Bézout, udowodnij twierdzenie podane obok. Liczby a i b (gdzie a b) są pierwiastkami wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez (x a)(x b). 7. Uzasadnij, że wielomian x 5 3x 3 + x +x jest podzielny przez x. 8. a) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + x x +7przezdwumianx a wynosi 7. Oblicz wartość a. b) Reszty z dzielenia wielomianów x 3 +5x 5x 7 i x 3 +4x x +3 przez dwumian x a są takie same. Znajdź liczbę a. 9. Sprawdź, że podana liczba jest pierwiastkiem równania, a następnie znajdź jego pozostałe pierwiastki. a) x 3 x 8x +4=0, d) 4x 3 4x 15x + 18 = 0, b) 6x 3 9x 6x +5=0, 5 e) x 4 x 3 14x +x +4=0, 3 c) x 3 +7x 5x 75=0, 3 f) x 4 +8x 3 +19x +3x + 60 = 0, Sprawdź, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), i rozłóż ten wielomian na czynniki stopnia pierwszego. a) W (x) =3x 3 35x +48x + 0, a =10 b) W (x) =10x 3 +63x 48x +7, a = 7 c) W (x) =x 4 +7x 3 +x 8x 4, a = 6 d) W (x) =x 4 3x 3 4x +6x + 40, a =4 11. Liczby 3 i są pierwiastkami wielomianu x 5 15x 3 10x +60x + 7. Określ krotności tych pierwiastków. 104 WIELOMIANY

29 1. Podana liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem danego wielomianu. Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu. a) x 4 +3x 3 3x +33x 14, 1 c) x 4 +0x 3 +96x 80x 400, 10 b) x 4 x 3 10x +4x + 4, d) x 4 x 3 11x +1x + 36, a) Liczby i 3 są pierwiastkami wielomianu ax 3 +bx 11x+30. Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu. b) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x 3 + mx 7x + n. Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu. 14. a) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przezx+ wynosi 7, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x 1 wynosi 1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian (x +)(x 1). b) Reszta z dzielenia wielomianu V (x) przezx 3 wynosi 45, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 wynosi 1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x x 3. Wskazówka. Szukana reszta ma postać ax + b. TEST T1. Tylko jeden z poniższych wielomianów nie jest podzielny przez dwumian x 1. Wskaż ten wielomian. A. 16x 7 5x 11 B. x 8 5x 6 x 5 +3x +x C. x 11 1 D. x 5 x 3 1 T. Wielomian x 6 x 3 6 jest podzielny przez: A. x B. x + C. x 3 D. x + 3 T3. Dla jakiej wartości m wielomian x 3 +mx +mx+3 jest podzielny przez dwumian x +3? A. m = 3 B.m =4 C.m =5 D.m =10 T4. Dzielenie wielomianu x 3 x x + 1 przez który z poniższych dwumianów daje największą resztę? A. x B.x 1 C.x +1 D. x + TWIERDZENIE BÉZOUT 105

30 MIANOWE (CD.) A RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.) Aby skorzystać z twierdzenia Bézout przy rozwiązywaniu równania wielomianowego, trzeba znać przynajmniej jedną liczbę spełniającą to równanie. Nawet gdy taka liczba istnieje, na ogół trudno ją znaleźć. Czasem jednak poszukiwanie pierwiastków wielomianu można usystematyzować. W tym rozdziale omówimy jedną z metod pozwalających znajdować pierwiastki niektórych wielomianów. Przyjrzyj się poniższym równaniom i nie rozwiązując ich, odpowiedz, o którym z nich możemy powiedzieć, że na pewno nie ma rozwiązań, które są liczbami całkowitymi. 1 x 3 +3x + 1 =0 x3 x + x 1=0 3 x 3 + x + x =0 Będziemy się teraz zajmować równaniami wielomianowymi, w których wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Spróbujemy odkryć, jakie warunki musiałyby być spełnione, aby jednym z rozwiązań tego typu równania mogła być liczba całkowita. Przypuśćmy na przykład, że szukamy rozwiązań równania: x 3 x 5x +6=0 To równanie możemy zapisać w postaci: x(x x 5)= 6 Wiadomo, że jeśli x jest liczbą całkowitą, to także x x 5 jest liczbą całkowitą. Z powyższej równości wynika, że liczba 6 jest iloczynem dwóch liczb: x oraz x x 5. Zatem jeśli liczba x jest całkowitym rozwiązaniem równania, to musi być dzielnikiem liczby 6. Jest więc także dzielnikiem liczby 6. Liczba 6 ma osiem całkowitych dzielników: 1, 1,,, 3, 3, 6, 6. Aby się dowiedzieć, które liczby całkowite są rozwiązaniami rozważanego równania, wystarczy sprawdzić, która z tych ośmiu liczb spełnia to równanie. Dla x = 1 otrzymamy: = 0. Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem danego równania. Dla x = 1 otrzymamy: ( 1) 3 ( 1) 5 ( 1) Zatemliczba 1nie jest rozwiązaniem tego równania. B Obliczając odpowiednie wartości wielomianu, znajdź pozostałe całkowite rozwiązania omawianego wyżej równania x 3 x 5x +6= WIELOMIANY

31 Aby rozwiązać równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, możemy skorzystać z następującego twierdzenia: Twierdzenie (o rozwiązaniach całkowitych) Załóżmy, że w równaniu wielomianowym: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0 wszystkie współczynniki a n, a n 1,..., a 0 są liczbami całkowitymi i a 0 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a 0. Dowód Oznaczmy przez c liczbę całkowitą, która jest rozwiązaniem równania: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0, gdzie współczynniki a n, a n 1,..., a 1, a 0 są liczbami całkowitymi i a 0 0. Wobec tego spełniona jest równość: a n c n + a n 1 c n a 1 c + a 0 =0 Zapiszmy tę równość w postaci: c ( ) a n c n 1 + a n 1 c n a 1 = a0 Założyliśmy, że a 0 0,zatem c 0. Wobec tego obie strony równości możemy podzielić przez c. a n c n 1 + a n 1 c n a 1 = a0 c Liczba a n c n 1 + a n 1 c n a 1 jest całkowita (bo założyliśmy, że wszystkie współczynniki równania są liczbami całkowitymi). Wynika stąd, że liczba a0 c jest liczbą całkowitą, a więc liczba a 0 musi być podzielna przez c. Wykazaliśmy w ten sposób, że liczba c jest dzielnikiem liczby a 0. C D Wykaż, że podane równanie nie ma rozwiązań całkowitych. 1. x 5 +x 11=0. x 7 +7=x 3. 4x 8 =x 10 Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania: 1. 3x 5 4x +1=0. x 4 + x 3 x + x =0 3. x 11 +8x 7 +10=0 E Sprawdź, że rozwiązaniem równania x 1 x 3 = 0 jest liczba, chociaż rozwiązanie to nie jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyjaśnij, dlaczego nie jest to sprzeczne z powyższym twierdzeniem. Stosując powyższe twierdzenie, można rozwiązywać niektóre równania typu W (x) =0, w których wielomian W (x) ma współczynniki całkowite. To twierdzenie pozwala także rozwiązywać niektóre równania o współczynnikach niecałkowitych. RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.) 107

32 P Rozwiąż równanie 1 4 x 3 x += x 3 x +=0 x 3 4x +8=0 4 Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać równoważne równanie o współczynnikach całkowitych. Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x) =x 3 4x +8: 1, 1,,, 4, 4, 8, 8 W (1)= W ( 1)= W () = =0 Liczby 1 i 1 nie spełniają równania x 3 4x +8=0. Liczba spełnia to równanie. x x 4 (x 3 4x +8):(x ) x 3 +x x +8 x 4x 4x +8 4x 8 0 Dzielimy wielomian x 3 4x +8 przez dwumian x. x 3 4x +8=(x )(x x 4) (x ) (x x 4)=0 Zapisujemy równanie w innej postaci i je rozwiązujemy. x = lub x x 4=0 Δ=4 4 ( 4) = 0 Δ= 5 x 1 = 5 x = + 5 =1 5 =1+ 5 Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x 1 =1 5, x =1+ 5 i x 3 =. Uwaga. Jeżeli korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych, nie znajdziemy żadnego rozwiązania równania wielomianowego, to oczywiście nie oznacza jeszcze, że równanie nie ma rozwiązań. Na przykład łatwo stwierdzić, że równanie x 4 x 3 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych, ale ma dwa rozwiązania (x = 3ix = 3). 108 WIELOMIANY

33 CIEKAWOSTKA W Boże Narodzenie 1534 roku rozpoczął się matematyczny pojedynek. Jego uczestnikami byli dwaj Włosi Mario Fior i Niccolò Fontana, zwany Tartaglia (jąkała). Takie naukowe zawody były wówczas bardzo popularne, gdyż dzięki nim rosła sława (i dochody) zwycięzcy. Fior wygrywał już wcześniej wiele turniejów, bo znał kilka równań trzeciego stopnia, które tylko on, jak mu się zdawało, umiał rozwiązać. Zawody polegały na tym, że w ciągu 50 dni obaj uczestnicy mieli rozwiązać kilkadziesiąt zadań przygotowanych przez przeciwnika. Wszystkie zadania Fiora dotyczyły równań trzeciego stopnia. Tydzień przed upływem terminu Tartaglia odkrył metodę rozwiązywania tego typu równań i wygrał turniej. Wielu uczonych pragnęło poznać tę metodę. Tartaglia jednak nikomu jej nie zdradził. Dopiero 10 lat później wydobył ją od niego Girolamo Cardano i niezbyt uczciwie opublikował pod własnym nazwiskiem. Od tego czasu wzory pozwalające rozwiązać równanie trzeciego stopnia nazywane są wzorami Cardana. ZADANIA 1. Znajdź wszystkie całkowite pierwiastki wielomianu: a) x 3 x x 3 c) x 3 3x 6x +8 e) x 5 3x 4 +6x +4x b) 3x 4 + x 3 x x d) x 3 +8x +8x +6 f) x 6 4x 5 6x 4 +4x 3 +5x. Dla jakich wartości n równanie x n + x + = 0 ma rozwiązania całkowite? Znajdź te rozwiązania. 3. Rozwiąż równanie: a) 5x 3 +10x +6x +1=0 e) x 3 6x + x 3=0 b) 3x 3 +8x 4x 3=0 f) 3x 4 +6x 3 8x +x 3=0 c) 10x 3 +11x 16x +4=0 g) x 4 5x 3 x +10x 4=0 d) 4x 3 1x +9x =0 h) 3x 4 +x 3 8x +6x +3=0 4. Rozwiąż równanie: a) x 3 +x +3=11x d) 5x(x +1) (3x +1) = x x 3 b) x(x +) +4x = 5 e) (x 1) + x(x +3) =11x +14x c) 5(x + 10) = x (8 x) f) (3x ) +4x(1 x )=6 5x 4 Wskazówka do e) i f). Wyłącz najpierw wspólny czynnik przed nawias. RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.) 109

34 TEST T1. Który z poniższych wielomianów nie ma pierwiastków całkowitych? A. x 3 x 5x B. 5x 4 +x 6x+1 C. x 3 +4x 3 D. x 5 +x 4 5x+ T. Jednym z rozwiązań równania x 3 +4x 31x 70 = 0 jest liczba 7. Suma pozostałych dwóch rozwiązań wynosi: A.3 B. 1 C.5 D.7 T3. Wielomian x 3 x +x +5: A. nie ma pierwiastków B. ma jeden pierwiastek C. ma dwa pierwiastki D. ma trzy pierwiastki WYMIERNE A ROZWIĄZANIA WYMIERNE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH 1. Sprawdź, że równanie x 3 x + x 6 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych.. Wypisz wszystkie dzielniki wyrazu wolnego oraz wszystkie dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze wielomianu x 3 x + x 6. Zapisz wszystkie ułamki p,gdziep jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze tego wielomianu. q 3. Wśród ułamków, które zapisałeś w punkcie, jest jedno z rozwiązań równania x 3 x + x 6 = 0. Znajdź to rozwiązanie. Metodę szukania rozwiązań wymiernych, którą posłużyłeś się w powyższym ćwiczeniu, można stosować dla dowolnego równania o współczynnikach całkowitych. Prawdziwe jest bowiem następujące twierdzenie: Twierdzenie (o rozwiązaniach wymiernych) Załóżmy, że w równaniu wielomianowym postaci: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0 wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi oraz a 0 0 i a n 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba wymierna, to można ją przedstawić w postaci ułamka p, gdzie licznik p jest dzielnikiem wyrazu q wolnego a 0, a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika a n przy najwyższej potędze. Dowód Aby zapis dowodu był bardziej przejrzysty, przeprowadzimy go dla równania stopnia trzeciego. Dowód dla równania dowolnego stopnia n jest niemal identyczny. 110 WIELOMIANY

35 Przyjmijmy, że liczby a 3, a, a 1 i a 0 występujące w poniższym równaniu są liczbami całkowitymi oraz a 0 0ia 3 0. a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 =0 Załóżmy, że pewna liczba p q,gdziep i q są liczbami całkowitymi różnymi od 0, jest rozwiązaniem równania. Możemy też założyć, że ułamek p jest nieskracalny (tzn. że p i q nie mają wspólnych dzielników różnych od 1 i od q 1). Zatem spełniona jest równość: p a 3 3 q + a 3 p q + a 1 p q + a 0 =0 Pokażemy najpierw, że p jest dzielnikiem liczby a 0. Po pomnożeniu obu stron równości przez q 3 otrzymamy: Zapiszmy tę równość w postaci: a 3 p 3 + a p q + a 1 pq + a 0 q 3 =0 Stąd: p(a 3 p + a pq + a 1 q )= a 0 q 3 a 3 p + a pq + a 1 q = a0q3 p Przyjęliśmy, że wszystkie liczby oznaczone w tej równości literami są całkowite, więc liczba a 3 p + a pq + a 1 q jest także całkowita. Zatem z równości tej wynika, że liczba a 0q 3 p jest całkowita. Liczba q 3 nie ma wspólnych dzielników zliczbąp (różnych od 1 i od 1), bo zakładaliśmy, że liczba q nie ma wspólnych dzielników z liczbą p. Wynika stąd, że liczba a 0 musi się dzielić przez liczbę p. Wykazaliśmy zatem, że p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0. Zapiszmy teraz otrzymaną wcześniej równość (a 3 p 3 + a p q + a 1 pq + a 0 q 3 =0) wpostaci:q(a p + a 1 pq + a 0 q )= a 3 p 3 Rozumując podobnie jak wyżej, dojdziemy do wniosku, że q jest dzielnikiem współczynnika a 3. B C Liczba jest rozwiązaniem jednego z poniższych równań. Którego? 5 6x 5 +3x 3 x 4=0 5x 3 +8x 14x +4=0 10x 3 +7x 5=0 x 4 +5x x +10=0 Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania 6x 3 + x 1=0. Zauważ, że jeżeli równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych nie ma rozwiązań wymiernych, to nie oznacza, że w ogóle nie ma rozwiązań. D Podaj przykład takiego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych, które ma rozwiązanie, ale nie ma rozwiązań wymiernych. Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych, możemy znaleźć wszystkie rozwiązania wymierne równania wielomianowego (w tym rozwiązania całkowite). Jednak rozwiązując równanie, warto rozpocząć od sprawdzenia, czy istnieją rozwiązania całkowite. W ten sposób często możemy uprościć dalsze rachunki. ROZWIĄZANIA WYMIERNE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH 111

36 P Rozwiąż równanie: x 3 5x + x +3=0. Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x) =x 3 5x + x + 3 to: 1, 1, 3, 3. W (1)= W ( 1) = ( 1) W (3) = Sprawdzamy, czy równanie ma pierwiastki całkowite. W ( 3) = ( 7) Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej to: 1, 1,, Możliwe rozwiązania wymierne: 1 1, 1,, 1, 3, 3, 3, 3 Jeśli równanie ma rozwiązanie wymierne p q, to licznik jest dzielnikiem liczby 3, a mianownik dzielnikiem liczby ; wypisujemy wszystkie takie liczby p q,żep {1, 1, 3, 3} oraz q {1, 1,, }. ( ) 1 W W ( 1 ) = ( ) 3 W ( 1 ) = ( ) ( ) = +3= =0 = Sprawdziliśmy już, że nie istnieją całkowite rozwiązania równania, zatem wystarczy sprawdzić, czy wśród liczb: 1, 1, 3, 3 jest rozwiązanie równania. x x (x 3 5x + x +3): x 3 +3x x + x +3 x 3x x +3 x 3 0 ( x 3 ) ( x 3 ) (x x )=0 x 3 =0 lub x x =0 : Dzielimy wielomian przez dwumian x 3. Zapisujemy równanie w innej postaci, a następnie je rozwiązujemy. x = 3 x x 1=0, Δ=5 Δ=1+4=5 x 1 = 1 5, x = 1+ 5 Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x 1 = 1 5, x = 1+ 5, x 3 = WIELOMIANY

37 Opisaną w tym rozdziale metodę rozwiązywania równań można też wykorzystać przy rozwiązywaniu równań o współczynnikach wymiernych (niekoniecznie całkowitych). Wystarczy zauważyć, że gdy obie strony takiego równania pomnożymy przez wspólny mianownik wszystkich współczynników, otrzymamy równoważne równanie o współczynnikach całkowitych. CIEKAWOSTKA Przedstawione tu metody rozwiązywania równań wielomianowych wydają się skomplikowane, a na dodatek można za ich pomocą rozwiązać tylko niektóre równania. Od razu nasuwa się pytanie, czy (podobnie jak dla równań kwadratowych) można podać wzory pozwalające znaleźć wszystkie rozwiązania równania wielomianowego. Okazuje się, że są takie wzory (choć znacznie bardziej skomplikowane) dla równań stopnia trzeciego i czwartego. Udowodniono także, że nie ma ogólnych wzorów na rozwiązania równań stopnia wyższego niż czwarty. Dokonał tego w roku 184 norweski matematyk Niels Henrik Abel (miał wtedy zaledwie lata!). Dowód tego faktu nie jest prosty, ale trudno się temu dziwić na ogół łatwiej udowodnić, że jakiś wzór istnieje (wystarczy go podać), niż wykazać, że na pewno nie uda się go znaleźć. ZADANIA 1. Jedna z pięciu liczb zapisanych obok wielomianu W (x) jest jego pierwiastkiem. Która? a) W (x) =5x 3 +3x 35x +10 b) W (x) =3x 5 x 4 6x 3 +x 45x +15 c) W (x) = 6x 3 11x +13x +15 d) W (x) = x 5 9x 4 9x 3 11x 10x , 3 5, 5, 4 5, 3 1, 1 3, 1 4, 5, , 5 6,, 4, , 1 14, 31, 7, 1. Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu: a) 10x 3 x 7x e) 4x 4 8x 3 +7x 8x +3 b) 1x 3 11x +x +1 f) 3x 4 8x 3 6x +3x c) x 3 +5x 5x +7 g) 6x 5 +17x 4 +4x 3 3x d) 6x 4 +5x 3 +5x 6 h) 1x 5 16x 4 x 3 +7x x ROZWIĄZANIA WYMIERNE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH 113

38 3. Rozwiąż równanie: a) x 3 x +13x 6=0 d) 1x 3 +0x +11x +=0 b) x 3 +15x +7x +10=0 e) 15x 3 +15x +=0 c) 3x 3 +7x 4=0 f) 8x 4 +10x 3 5x +10x +3=0 4. Uzasadnij, że równanie 97x 10 x + 1 = 0 nie ma rozwiązań wymiernych. 5. Dane są wielomiany: W (x) =4x 4 +4x 3 + x +4x 3 V (x) = 3x 5 +0x 4 6x 3 +10x 3x 10 Uzasadnij, że nie istnieje liczba wymierna, która jest wspólnym pierwiastkiem tych wielomianów. 6. Wyjaśnij, dlaczego wymierne pierwiastki wielomianu W (x) (jeśli istnieją) muszą należećdopodanegoprzedziału. a) W (x) =60x 4 8x 3 19x +x +1, 1, 1 b) W (x) =6x 4 +5x 3 11x 10x,, c) W (x) =8x 3 +49x +16x + a (a ), a, a 7. Dla jakich całkowitych wartości m wielomian 9x 3 mx +1 ma pierwiastek wymierny? 8. Wśród wymiernych pierwiastków wielomianu W (x) =5x 4 11x 3 + ax + bx są dwie liczby, które są pierwiastkami wielomianu Q(x) =x 4 + cx 3 + dx +9x +5. Znajdź współczynniki a, b, c i d. CIEKAWOSTKA Twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych można wykorzystać do uzasadnienia niewymierności niektórych liczb. Wykażemy przykładowo następujące twierdzenie: Liczba jest niewymierna. Dowód Rozważmy równanie x =0. Jedynymi kandydatami na rozwiązania wymierne tego równania są liczby 1 1, 1 1, 1 i. Ponieważ żadna z nich nie 1 spełnia równania x = 0, więc nie ma ono rozwiązań wymiernych. Wiadomo, że jednym z rozwiązań tego równania jest liczba. Wynika stąd, że niejestliczbąwymierną. 9. Przeczytaj ciekawostkę. Wykaż, że niewymierne są liczby: a) 5 b) 3 c) 3 7 d) WIELOMIANY

39 TEST T1. Liczba 3 7 wielomian. jest rozwiązaniem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż ten A. 3x 3 5x + x 7 B. 7x 4 3x 3 8x +6x 6 C. 6x 4 +x 3 3x x +14 D. x 5 3x 4 x +7x 1 T. Jedna z poniższych liczb jest rozwiązaniem równania 18x 3 x 31x 1=0. Wskaż ją. A. 9 B. 4 9 C. 5 D. 5 T3. Wielomian 30x 3 +11x +9x ma trzy pierwiastki wymierne. Która z poniższych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu? A. 1 B. 3 C. 1 5 D. 3 5 NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE MIANOWE A 1. Korzystając z wykresów, podaj rozwiązania nierówności zapisanych pod rysunkami.. Korzystając z wyników otrzymanych w punkcie 1., ustal, jakie liczby spełniają nierówność: (x + )( x +10x 1) > 0 Zastanów się najpierw, jaki warunek muszą spełniać dwie liczby, aby ich iloczyn był liczbą dodatnią. NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE 115

40 Potrafisz już rozwiązywać nierówności pierwszego stopnia oraz nierówności kwadratowe. Umiejętności te można wykorzystać przy rozwiązywaniu niektórych nierówności wyższych stopni. Przyda się przy tym prosta własność iloczyn dwóch liczb jest liczbą ujemną, gdy czynniki mają różne znaki, a liczbą dodatnią, gdy mają te same znaki. a b <0 { a >0 b <0 lub { a <0 b >0 a b >0 { a >0 b >0 lub { a <0 b <0 Pokażemy teraz, jak można rozwiązać nierówność: (x 3)(x + x )<0 Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy jeden z nich jest dodatni, a drugi ujemny. Aby rozwiązać nierówność (x 3)(x + x ) < 0, musimy zatem znaleźć takie liczby x, dla których wartości wyrażeń x 3 i x + x mają przeciwne znaki. W tym celu najwygodniej jest naszkicować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = x 3 oraz y = x + x, a następnie z rysunku odczytać, w jakich przedziałach wartości tych funkcji mają przeciwne znaki. Uwaga. Wykresów nie musimy rysować bardzo dokładnie, ważne jest tylko, aby można było z nich odczytać, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne, a dla jakich dodatnie (wystarczy więc wyznaczyć miejsca zerowe, określić kierunek prostej i położenie ramion paraboli). Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji y = x 3 oraz wykres funkcji y = x + x ; znakami plus i minus oznaczono, w jakich przedziałach funkcje te przyjmują wartości dodatnie, a w jakich ujemne. Z rysunku możemy odczytać, że wartości funkcji y = x 3 oraz y = x +x mają przeciwne znaki w przedziale ( ; ), a także w przedziale (1; 3). Zatem rozważana nierówność jest spełniona dla x ( ; ) (1; 3). 116 WIELOMIANY

41 B Podaj zbiory rozwiązań nierówności zapisanych pod rysunkami. Każdą z nierówności zapisanych obok można przekształcić tak, aby po jednej stronie znaku nierówności występował wielomian, a po drugiej 0. Takie nierówności nazywamy wielomianowymi. Przykłady nierówności wielomianowych: 3x 5 3x 3 +8>0 x 3 x 1 3x 4 +x <5 (x 3) (x 1) 0 P Rozwiąż nierówność: 4x 3 +x 1 x 3 +7x x 3 +x 7x 18 0 x (3x +) 9(3x +) 0 (3x +)(x 9) 0 Przekształcamy nierówność do postaci W (x) 0, gdzie W (x) jest wielomianem. Rozkładamy wielomian na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. 3x +=0 x 9=0 Znajdujemy miejsca zerowe funkcji f (x) =3x +ig(x) =x 9. x = x =3 lub x = 3 3 Szkicujemy wykresy funkcji f (x) = 3x + i g(x) =x 9 oraz zaznaczamy, dla jakich argumentów funkcje przyjmują wartości dodatnie, a dla jakich ujemne. x 3; 3; + ) 3 Z wykresu odczytujemy przedziały, w których wartości funkcji mają ten sam znak lub są równe 0. NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE 117

42 ZADANIA 1. Korzystając z wykresów funkcji f i g, podaj rozwiązanie nierówności zapisanej pod rysunkiem. a) f (x) = x +1 b) f (x) =x +4 c) f (x) = 1 5 (x + x 1) g(x) = x +7x 10 g(x) = 1 x + x 4 g(x) =x x ( x + 1)( x +7x 10) 0 (x +4)( 1 x + x 4) (x + x 1)(x x ) 0. Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji f i g. Zapisz taką nierówność, aby zbiór podany pod rysunkiem był zbiorem jej rozwiązań. a) f (x) = 1 4 x + 1 x b) f (x) =x 8x +15 c) f (x) =x 4x +3 g(x) = x 4x g(x) = x +4 g(x) = 1 3 x 1 3 x + 3. Rozwiąż nierówność: a) ( x +1)(x ) 0 e) (x 3x 10)(x 5x) 0 b) ( 3x)( 3x 4x )<0 f) (x 10)(3x 0) < 0 c) 5x(x x 1) 0 g) (x x)( x +x +11) 0 d) (3 x)(x +8x + 16) 0 h) (x 4x 5)(x +3x 4)>0 4. Rozwiąż nierówność (najpierw rozłóż wielomian na czynniki): a) 1 x 3 5x <0 e) 4x 3 +3x +4x 3>0 b) x 3 x 6x <0 f) x 3 + x +18x 9 0 c) x 4 +3x 3 +4x 0 g) x 3 +5x +8x d) x 7 3x 6 x 5 >0 h) x 4 + x 3 8x WIELOMIANY

43 5. Rozwiąż nierówność (skorzystaj z twierdzenia Bézout): a) 3x 3 x x 1 0 d) 7x x 3 x 3 b) x 3 x 3x 1 0 e) x 3 +3x 1>x +5x +5 c) 4x 3 +1x 5x 6<0 f) x 3 + x + x > x 6. a) Jaka powinna być wartość p, aby liczba p 3 + p 9p była większa od 9? b) Dla jakich liczb naturalnych n liczba n 3 +3n +4n 5 jest większa od liczby 3n 3 n + 15? 7. Określ dziedzinę funkcji: a) y = (x 3)(x 4) b) y = 4x 4 +1x 3 +9x c) y = 1 (x+3)(x 9x 5) 8. Dla jakiej ( wartości ) b zbiorem rozwiązań nierówności (x + b)(x + x 1)> 0 jest przedział 5 1 ;+? 9. Rozwiąż nierówność: a) (3x 7) 4 (x +9)<0 e) (5 x) (x 8) 3 >0 b) (4 5x) 3 (x 11) 6 >0 f) (x x 15) 4 (x +1) 0 c) (3x ) 4 (x 4) 3 (x +3) <0 g) (x + 3)(x 5)(1 x )<0 d) (x 6) 5 (6x 3) 5 ( x) 0 h) (x 7)(x + x 1)(3x + x ) Wyobraź sobie, że z kartonu w kształcie prostokąta o wymiarach 10 cm 1 cm w narożnikach odcinamy cztery jednakowe kwadraty, a następnie składamy prostopadłościenne pudełko. Jaką długość powinny mieć boki odciętych kwadratów, aby pojemność pudełka była większa niż 96 cm 3? TEST T1. Zbiorem rozwiązań której z poniższych nierówności jest przedział ( ; 1? A. ((x +1)(x 4) 0 B. x 1 ) (x +4 ) 0 C. (x + 1)(x +1) 0 D. (x + 1)(x 1) 0 T. Dziedziną funkcji x 1 (1 x)(x 4x +3) jest: A. (3; + ) B. ( ;3) C. ( ;1) (1; 3) D. (1; 3) NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE 119

44 IELOMIANOWE A B FUNKCJE WIELOMIANOWE Poniżej przedstawiono wzory i wykresy kilku funkcji. Wzór każdej z nich ma postać y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem. Tego typu funkcje nazywamy funkcjami wielomianowymi. y = x 3 +x +3x 3 y = x 4 + x 3 +x +1 y = x 50 (x +8x + 15)(x 6x +8) Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Jeśli dysponujesz kalkulatorem graficznym lub komputerem z odpowiednim programem, użyj ich do sporządzenia wykresów kilku dowolnych funkcji wielomianowych. Zauważ, że funkcje liniowe i funkcje kwadratowe (których własności poznałeś w pierwszej klasie) to także funkcje wielomianowe. Omówimy teraz niektóre własności funkcji wielomianowych postaci y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem stopnia wyższego niż. Zaczniemy od funkcji typu y = ax n. Przyjrzyj się narysowanym poniżej wykresom funkcji. 1. Podaj miejsce zerowe każdej z tych funkcji. Określ monotoniczność każdej z tych funkcji. 3. Który z wykresów jest symetryczny względem osi y, a który względem początku układu współrzędnych? 10 WIELOMIANY

45 Wykresy funkcji typu y = ax n przechodzą przez początek układu współrzędnych. Ponadto: Jeśli n jest liczbą parzystą, to wykres funkcji y = ax n ma oś symetrii jest nią oś y. W zależności od wartości współczynnika a funkcja może przyjmować tylko wartości nieujemne (dla a >0)lubtylko niedodatnie (dla a < 0). Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to wykres funkcji y = ax n ma środek symetrii jest nim początek układu współrzędnych. W zależności od wartości współczynnika a funkcja może być rosnąca (dla a >0) albo malejąca (dla a <0). C Naszkicuj wykresy podanych funkcji i ustal, czy te funkcje mają miejsca zerowe. Jeśli funkcja ma miejsca zerowe, to określ ich liczbę i znaki. f (x) =5x 4 6 g(x) = 7x h(x) = 3x 50 4 Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek. Obok przypominamy dwie ważne własności wielomianów. Wynika z nich, że: Funkcja wielomianowa y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem stopnia n, ma nie więcej niż n miejsc zerowych. Jeśli W (x) jest wielomianem nieparzystego stopnia, to funkcja postaci y = W (x) maconajmniej jedno miejsce zerowe. Uwaga. Jeśli W (x) jest wielomianem parzystego stopnia, to funkcja postaci y = W (x) może nie mieć miejsc zerowych. D Dane są funkcje: f (x) =(x 13)(x 5)(x +3) g(x) = 7(x + 3)(x + 8)(x 100) h(x) =(x x + 1)(x + 5)(1 x) 1. Znajdź największe miejsce zerowe każdej z tych funkcji i sprawdź dla kilku argumentów większych od tego miejsca zerowego, czy dla tych argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne.. Wzory funkcji f, g oraz h można zapisać w postaci y = a n x n a 1 x + a 0. Dla każdej z tych funkcji podaj znak współczynnika a n. FUNKCJE WIELOMIANOWE 11

46 Na rysunkach przedstawiono wykresy kilku funkcji wielomianowych postaci y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Z lewej strony przedstawiono funkcje, dla których a n > 0, a z prawej funkcje, dla których a n <0. Jeśli a n > 0 i funkcja wielomianowa y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ma miejsca zerowe, to dla argumentów większych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji są dodatnie. Jeśli nie ma miejsc zerowych, to wszystkie wartości funkcji są dodatnie. Jeśli a n < 0 i funkcja wielomianowa y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ma miejsca zerowe, to dla argumentów większych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji są ujemne. Jeśli nie ma miejsc zerowych, to wszystkie wartości funkcji są ujemne. Dla argumentów mniejszych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji mogą być dodatnie lub ujemne zarówno wtedy, gdy a n > 0, jak i wtedy, gdy a n <0. E Ustal, jak się zmienia znak wartości funkcji y =(x +) m (x 3) n przy przechodzeniu jej wykresu przez punkty (, 0) oraz (3, 0), w zależności od tego, czy m i n są liczbami parzystymi czy nieparzystymi. 1 WIELOMIANY

47 Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wykres funkcji postaci y = W (x) przechodzi przez punkt (a, 0). Po przejściu przez ten punkt wykres może pozostać po tej samej stronie osi x albo przejść na drugą stronę. Zależy to od krotności pierwiastka a: Jeśli a jest parzystokrotnym pierwiastkiem, to wykres po przejściu przez punkt (a,0) pozostaje po tej samej stronie osi x (znak wartości funkcji się nie zmienia). Jeśli a jest pierwiastkiem nieparzystokrotnym, to wykres po przejściu przez punkt (a,0) przechodzi na drugą stronę osi x (znak wartości funkcji się zmienia). F Przypuśćmy, że liczby 1 i są jedynymi pierwiastkami wielomianu W (x). Naszkicuj, jak może wyglądać wykres funkcji y = W (x), jeśli: 1. oba pierwiastki tego wielomianu są parzystokrotnymi pierwiastkami wielomianu,. liczba 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, a liczba pierwiastkiem trzykrotnym. ZADANIA 1. Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji: f (x) = 3x 4 g(x) = x 5 h(x) = 1 4 x3 k(x) = x 4 Dopasuj wykresy do odpowiednich wzorów funkcji. FUNKCJE WIELOMIANOWE 13

48 . Jeden z podanych wzorów opisuje funkcję, której wykres narysowano obok. Który to wzór? f (x) =( 3)x 3 g(x) =(π 3)x 5 h(x) =( 3)x 4 3. a) Naszkicuj wykres funkcji y = x 66 i y = x +1. Określ, ile rozwiązań ma równanie x 66 = x +1. b) Po naszkicowaniu odpowiednich wykresów określ, ile rozwiązań ma równanie x 100 x +1=0. c) Ile miejsc zerowych ma funkcja y = x 55 + x? 4. Na rysunku obok przedstawiono cztery wykresy funkcji wielomianowych trzeciego stopnia. Dla której z tych funkcji współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest dodatni? 5. Poniżej narysowano wykresy funkcji f oraz g. W jaki sposób należy przesunąć wykres każdej z tych funkcji, aby otrzymać wykres, który: a) nie przecina osi x, c) ma z osią x pięć punktów wspólnych, b) ma z osią x jeden punkt wspólny, d) ma z osią x sześć punktów wspólnych? 6. Poniższe rysunki przedstawiają krzywe, które są wykresami funkcji wielomianowych. Określ najniższy możliwy stopień odpowiednich wielomianów. 14 WIELOMIANY

49 7. Dopasuj zdania do wykresów funkcji przedstawionych na rysunkach. a) Dwa pierwiastki wielomianu są nieparzystokrotne. b) Wszystkie pierwiastki wielomianu są parzystokrotne. c) Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest liczbą ujemną. 8. Obok narysowano wykres pewnej funkcji wielomianowej. Odczytaj z niego pierwiastki wielomianu W (x) i określ, które z nich są parzystokrotne. 9. Podaj przykład wzoru funkcji wielomianowej o miejscach zerowych 1, 3 i 5, która przyjmuje: a) tylko wartości nieujemne, b) wartości ujemne tylko dla x (3; 5) (5; + ), c) wartości ujemne tylko dla x ( ;1). 10. Wszystkie współczynniki wielomianu W (x) są liczbami całkowitymi, a wykres funkcji y = W (x) przecinaośy w punkcie (0, 1). Wykaż, że miejscem zerowym tej funkcji nie może być żadna liczba całkowita różna od 1 i 1. ciekawostka Łatwo zauważyć, że wykres funkcji typu y = ax 3 ma środek symetrii (jest nim początek układu współrzędnych). Wydawać by się mogło, że wykresy innych funkcji wielomianowych trzeciego stopnia nie są tak regularne. Okazuje się jednak, że każdy wykres funkcji wielomianowej y = ax 3 + bx + cx + d, gdzie a 0, ma środek symetrii. Środkiem symetrii wykresu takiej funkcji jest ten punkt wykresu, którego pierwsza współrzędna jest równa b 3a. 11. Przeczytaj ciekawostkę. Tylko dwa z poniższych wykresów są wykresami funkcji wielomianowej stopnia trzeciego. Które? FUNKCJE WIELOMIANOWE 15

50 1. a) Oblicz współrzędne środka symetrii wykresu funkcji y = x 3 +3x +7x b) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki a, b, c oraz d we wzorze funkcji y = ax 3 + bx + cx + d, aby środek symetrii jej wykresu leżał na osi y? c) Podaj kilka przykładów funkcji wielomianowych trzeciego stopnia, których wykresy mają środek symetrii leżący na osi y. d) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki a, b oraz c, aby środek symetrii wykresu funkcji y = ax 3 + bx + cx leżał na osi x? TEST T1. Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f (x) = (x x)(x 1)? T. Rozważ funkcję wielomianową f (x) =a n x n a 1 x + a 0.Którezponiższych zdań jest prawdziwe? A. Jeśli n = 5, to funkcja f ma pięć miejsc zerowych. B. Jeśli a n > 0, to zbiorem wartości funkcji f jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych. C. Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu a n x n +...+a 1 x+a 0 są podwójne, to funkcja f nie przyjmuje wartości ujemnych. D. Jeśli funkcja f ma siedem miejsc zerowych, to n 7 T3. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f (x) =a(x b)(x c) 4 (x 3) d.która z wartości jest prawidłowa? A. a <0 B.b =5 C.c =1 D.d =3 16 WIELOMIANY

51 MIANOWE (CD.) A B NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.) W jednym z poprzednich rozdziałów rozwiązywaliśmy nierówności wielomianowe. Pokażemy teraz inną metodę rozwiązywania takich nierówności. Pamiętasz zapewne, że rozwiązując nierówność kwadratową, wygodnie było posługiwać się wykresem odpowiedniej funkcji kwadratowej. Wykres ten nie musiał być bardzo dokładny wystarczyło znać miejsca zerowe funkcji i wiedzieć, jak są skierowane ramiona paraboli. Rozwiąż nierówność x x 3 0. Przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowych wyższych stopni także wygodnie jest skorzystać z wykresu odpowiedniej funkcji. Obok narysowano wykres pewnej funkcji y = W (x). Odczytaj z tego wykresu rozwiązanie nierówności W (x) 0. Jeśli nie mamy do dyspozycji komputera albo kalkulatora graficznego, rysowanie wykresów funkcji wielomianowych jest na ogół bardzo trudne. Korzystając z omówionych w poprzednim rozdziale własności wykresów, możemy jednak naszkicować rysunek ilustrujący, jak zmienia się znak wartości funkcji. Oto sposób postępowania przy szkicowaniu rysunku przedstawiającego zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej postaci y = W (x), gdzie W (x) =a n x n a 1 x + a 0. Najpierw znajdujemy pierwiastki wielomianu W (x) i określamy ich krotności, a następnie zaznaczamy te pierwiastki na osi x (pierwiastki parzystokrotne można zaznaczyć kropką, a nieparzystokrotne kreseczką). Ustalamy, jaki znak ma współczynnik a n wielomianu W (x) przynajwyższej potędze zmiennej. Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony; gdy a n > 0 zaczynamy nad osią x, gdya n < 0 zaczynamy pod osią x. NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.) 17

52 Rysujemy linię przechodzącą przez punkty zaznaczone na osi. Jeśli punkt na osi odpowiada pierwiastkowi parzystokrotnemu linia pozostaje po tej samej stronie osi. Jeśli punkt odpowiada pierwiastkowi nieparzystokrotnemu linia przechodzi na drugą stronę osi x. Uwaga. Należy pamiętać, że linia, którą rysujemy w opisany wyżej sposób, nie jest wykresem danej funkcji wielomianowej. Linia ta tylko ilustruje, w jaki sposób zmienia się znak wartości funkcji. C Liczby a = 3, b =0ic = to jedyne pierwiastki wielomianu W (x). Wiedząc, że a jest pierwiastkiem dwukrotnym, b trzykrotnym, a c jednokrotnym, naszkicuj wykres ilustrujący, w jaki sposób zmienia się znak funkcji y = W (x), gdy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x jest liczbą ujemną. P Rozwiąż nierówność x 6 +x 5 4x 4 8x 3 0. x 6 +x 5 4x 4 8x 3 0 x 6 +x 5 4x 4 8x 3 = = x 3 (x 3 +x 4x 8)= = x 3 [x (x +) 4(x +)]= Rozkładamy wielomian na czynniki, aby znaleźć jego pierwiastki i określić ich krotności. = x 3 (x +)(x 4)=x 3 (x +) (x ) x 3 (x +) (x )=0 x =0 x = x = pierwiastek pierwiastek pierwiastek trzykrotny dwukrotny jednokrotny Znajdujemy pierwiastki wielomianu i ustalamy ich krotności. Szkicujemy wykres zmiany znaku wartości funkcji y = x 6 +x 5 4x 4 8x 3 ; szkicowanie rozpoczynamy z prawej strony ponad osią x, gdyż współczynnik przy x 6 jest dodatni; wykres przecina oś x w punktach (0, 0) oraz (, 0), a przechodząc przez punkt (, 0), pozostaje po tej samej stronie osi x. Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności. Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest x 0; { }. 18 WIELOMIANY

53 ZADANIA 1. Rozwiąż nierówność: a) (x 3) (x 1) 5 ( x 1 ) 3 0 e) (x 3x 10)(x 5) 3 (x +4x +4) 0 b) 1 x3 (x +4) 4 (x 3) 0 f) 3 (x 4)(x )(x 1)(x x )>0 c) 5x (x ) 3 (x + 3) 5 >0 g) 1 x(x +x 3)(x +6x +9)(x x) 0 d) 0,4(x 7) 6 (x +1) 8 (x 1) 7 <0 h) 3x (x 9)(x 6x +9)(x 3x) <0. Dla jakich argumentów obie funkcje f i g przyjmują wartości ujemne? a) f (x) =x(x +3) 3 (x 5) 4, g(x) =(x +1)(x 3) (x 5) 5 b) f (x) =(x +5)(x 1) 7 (x 6), g(x) = 3(x +5) 3 (x 1)(x 6) c) f (x) = 4x(x +1)(x +4) 3 (x 4), g(x) = 1 4 x4 (x +4)(x 4) 3 3. Znajdź argumenty, dla których wartości funkcji y = f (x) g(x) sądodatnie,gdy f (x) = (x +3) 3 (x 1) 6 (x 4) 4 (x 6) 5 i g(x) = 0,(x +3)(x +1) (x 1) Rozwiąż po dwa przykłady z zadań 3, 4 i 5 ze str , korzystając z metody opisanej w tym rozdziale. TEST T1. Zbiorem rozwiązań nierówności 3x (x 4) 4 (x +4) 5 >0jest: A. ( ; 4) B. ( 4; 4) C. ( ; 0) D. ( 4; 0) (0; 4) (4; + ) T. Jeśli x = 1ix = są trzykrotnymi pierwiastkami wielomianu a n x n +...+a 1 x+a 0 i wielomian ten nie ma więcej pierwiastków oraz a n < 0, to zbiorem rozwiązań nierówności a n x n a 1 x + a 0 <0jest: A. (; + ) B. ( ; 1) C. ( ; 1) (; + ) D. ( 1; ) T3. Dane są wielomiany: U(x) = (5 x)(x ) 3 V (x) =(5 x) (x ) W (x) = (5 x) 4 (x ) Dla jakich argumentów funkcja f (x) =U(x) V (x) W (x) przyjmuje wartości ujemne? A. dla x (5; + ) B. dla x ( ;) (; 5) C. dla x ( ;5) D. dla x (; + ) NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.) 19

54 POWTÓRZENIE 1. Dane są wielomiany: U(x) =4x 3 3x, V (x) = 3x 6x +, W (x) =x 4 x 3 3x. Wykonaj działania: U(x) W (x), W (x) + +U(x) 1 V (x), U(x) V (x)+w(x).. Jakie jednomiany należy wstawić wmiejscelitera, B i C, aby zachodziła równość wielomianów? a) A(3x x + B) =6x 4 + C +14x b) Ax + B +4=C(3x 5x +) 3. Dany jest wielomian: W (x) =(5x 3 3x ) 10 Oblicz sumę wszystkich współczynników tego wielomianu. 8. Znajdź pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności. a) x 5 (x 3)(x + 11) (x +4) 5 b) (x 3x +)( x +3x +)( x + x +1) c) (x 5 4x 3 +8x 3)(x 3 x ) 9. Znajdź liczbę, której kwadrat jest równy iloczynowi sześcianu tej liczby i liczby o od niej większej. 10. Wykonaj dzielenie: a) (x 5 +5x 4 3x 3 ):(x +3) b) ( 5x 4 +3x 3 +8x + 10) : (x ) c) (6x 4 x 3 x + x 1):(3x x +1) 4. Rozłóż wielomian na czynniki: a) 5x 4 0 b) 4x 4 +6x 3 1x c) x 3 +5x +6x +15 d) x 5 x 4 +7x 3 +8x 16x Rozłóż wielomian x 3 +x 3x +6 na czynniki, a następnie uzasadnij, że przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x <. 6. Określ, dla jakich liczb nie można obliczyć wartości poniższego wyrażenia. 3x 9x 3 3x 6 x 5 +15x 4 5x 3 Przedstaw to wyrażenie w prostszej postaci. 7. Rozwiąż równanie: a) (5x )(x +7) (4 1 ) 3 x =0 b) 5x 5 1x 4 0x 3 =0 c) x 4 11x 1=0 d) 5x 3 4x +45x 36=0 11. Dany jest wielomian 4x 3 + px + x. Dla jakiej wartości parametru p: a) wielomian ten jest podzielny przez dwumian x +, b) reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x 3jestrówna 1? 1. Dla jakich wartości parametrów m i n liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x 3 5x + mx + n? 13. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przezdwumianx 3 x, wiedząc, że W (0) =, W (1) = 1, W ( 1) = 3. Wskazówka. W (x) =(x 3 x) Q(x)+ax +bx+c. 14. a) Liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu 6x 3 55x +86x Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu. b) Znajdź pierwiastki całkowite wielomianu 10x 3 +3x 0x + 3, a następnie oblicz pozostałe jego pierwiastki. 15. Znajdź liczbę całkowitą spełniającą równanie x 4 x 3 13x +5x +15=0, a następnie znajdź pozostałe rozwiązania tego równania. 130 WIELOMIANY

55 16. Ustal, ile miejsc zerowych ma funkcja określona wzorem y = x 99 + x Dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g? 17. a) Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu 3x 3 x 9x +6. b) Czy wielomian x 4 +x 3 + x x 1 ma pierwiastki wymierne? Odpowiedź uzasadnij. 18. Korzystając z poniższego rysunku, podaj zbiór rozwiązań nierówności: a) (x x )( x +) 0 b) (x x )(x 4x +4)<0. Korzystając z rysunku, ustal, która zliczbm czy n jest parzysta oraz, jakie znaki mają liczby a i b. 19. Rozwiąż nierówność: a) (x x)(x +11x 6) 0 3. Rysunek przedstawia wykres funkcji wielomianowej y = W (x). Korzystając z niego, rozwiąż poniższe nierówności. b) 4x 3 +3x 8x 6>0 c) 3x 4 +10x 3 +5x <0 0. Dla jakich argumentów funkcja: f (x) = 3x 4 (x 5) 3 (x +) 7 przyjmuje wartości ujemne? a) W (x) 0 c) (x +5) W (x) <0 b) (x +)W (x) 0 d) x 5 W (x) >0 ZAGADKA Rozwiązaniem rebusu przedstawionego obok jest pewne pojęcie matematyczne (można je znaleźć w tym rozdziale). Jakie to pojęcie? WIELOMIANY 131

56 PRACA BADAWCZA PUNKTY I WYKRESY Jeśli w układzie współrzędnych zaznaczymy kilka punktów, których odcięte są różnymi liczbami (żadna para punktów nie leży na pionowej prostej), to przez punkty te można (na wiele sposobów) poprowadzić linię, która jest wykresem pewnej funkcji. Można się zastanawiać, czy przez te punkty można poprowadzić linię, która jest wykresem pewnej funkcji wielomianowej. Okazuje się, że niezależnie od liczby i położenia wybranych punktów taka funkcja wielomianowa zawsze istnieje. Jeżeli zaznaczymy dwa punkty, to można przez nie poprowadzić prostą (wykres funkcji wielomianowej pierwszego stopnia). Jeżeli zaznaczymy trzy punkty niewspółliniowe, to można przez nie poprowadzić parabolę (wykres funkcji wielomianowej drugiego stopnia). Uwaga. Jeśli przez trzy punkty można poprowadzić prostą, to nie można przez nie poprowadzić paraboli. Istotnie, prosta z parabolą nie mogą mieć trzech punktów wspólnych, gdyż dowolna prosta y = px + q ma z dowolną parabolą y = ax + bx + c co najwyżej dwa punkty wspólne, ponieważ układ równań { y = px + q y = ax + bx + c ma tyle rozwiązań, co równanie kwadratowe px + q = ax + bx + c (czyli co najwyżej dwa). Jeżeli zaznaczymy cztery punkty, które nie leżą na jednej prostej ani na żadnej paraboli, to można przez nie poprowadzić wykres funkcji wielomianowej trzeciego stopnia. A. Uzasadnij, że jeśli cztery punkty są współliniowe lub leżą na tej samej paraboli, to nie istnieje funkcja wielomianowa trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez te punkty. B. W układzie współrzędnych zaznacz punkty (0, 4), (1, 6) i (, ). Znajdź wzór funkcji wielomianowej drugiego stopnia, której wykres przechodzi przez te punkty. Wskazówka. Współrzędne podanych punktów muszą spełniać równanie y = ax + bx + c. Znajdź liczby a, b i c, rozwiązując odpowiedni układ trzech równań. Wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez cztery dane punkty, można otrzymać, rozwiązując układ czterech równań z czterema niewiadomymi. 13 WIELOMIANY

57 Pokażemy teraz prostszy sposób znajdowania wzoru odpowiedniej funkcji wielomianowej, który można stosować wówczas, gdy odcięte danych punktów są liczbami 1,, 3. Poniżej przedstawiono tabelkę wartości funkcji f (x) =ax 3 + bx + cx + d dla argumentów 0, 1, i 3. W kolejnych wierszach zapisano różnice między wyrażeniami zapisanymi w dwóch sąsiednich komórkach poprzedniego wiersza. Gdy szukamy wzoru funkcji, której wykres przechodzi przez punkty (0, 5), (1, 4), (, 11), (3, 58), wypełniamy analogiczną tabelkę. Porównując obie tabelki, otrzymujemy: a = 3 (z równości 6a = 18) b = (z równości 6a +b = 14) c =0 (z równości a + b + c = 1) d =5 Zatem szukana funkcja ma wzór: y = 3x 3 +x +5 C. Znajdź wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez punkty (0, ), (1, 0), (, 1) i (3, ). D. Obierz dowolne cztery punkty, których pierwszymi współrzędnymi są liczby 0, 1, i 3, a następnie znajdź wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez te punkty. Co dalej? 1. Określ, jaki jest związek między liczbą punktów a stopniem funkcji wielomianowej, której wykres przebiega przez te punkty.. Zbuduj tabelkę różnic dla funkcji wielomianowej czwartego stopnia. Wybierz pięć punktów o pierwszych współrzędnych 0, 1,, 3 i 4. Posługując się otrzymaną tabelką, znajdź wzór takiej funkcji, której wykres przechodzi przez wybrane przez ciebie punkty. PRACA BADAWCZA 133

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. Poziom podstawowy

WIELOMIANY. Poziom podstawowy WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Strona 1 Wstęp Zbiór Mój przedmiot matematyka jest zestawem 132 scenariuszy przeznaczonych dla uczniów szczególnie zainteresowanych matematyką. Scenariusze mogą być wykorzystywane przez nauczycieli zarówno

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część II: Wyrażenia algebraiczne Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu: RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

E-learning matematyka poziom rozszerzony

E-learning matematyka poziom rozszerzony Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E-learning matematyka poziom rozszerzony Temat: Wielomiany Materiały merytoryczne

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Skrypt 32. Przygotowanie do matury. Równania i nierówności

Skrypt 32. Przygotowanie do matury. Równania i nierówności Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt Przygotowanie do matury Równania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006

Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006 Wielomiany Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 17 marca 2006 Spis treści 1 Podstawowe pojęcia 1 2 Wykresy i własności 2 2.1 Wielomian trzeciego stopnia....................

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie

Bardziej szczegółowo

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem. Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi

Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy

Bardziej szczegółowo

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2 1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest

Bardziej szczegółowo

OLIMPIADA MATEMATYCZNA

OLIMPIADA MATEMATYCZNA OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z

Bardziej szczegółowo

Wielomiany zmiennej rzeczywistej

Wielomiany zmiennej rzeczywistej Wielomiany zmiennej rzeczywistej Przedmowa Niniejsze opracowanie jest poświęcone głównie wielomianom jednej zmiennej. Wielomiany wielu zmiennych będą pojawiać się tylko w formie ciekawostki. Omawianie

Bardziej szczegółowo