Gdzie widać rybę? Marcin Braun Autor podręczników szkolnych

Podobne dokumenty
Odgłosy z jaskini (10) Kamień, ptak i drzewo

Materiały pomocnicze 14 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Fizyka fal cyrklem i linijką

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

SCENARIUSZ LEKCJI Temat lekcji: Soczewki i obrazy otrzymywane w soczewkach

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych. Scenariusz lekcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Optyka stanowi dział fizyki, który zajmuje się światłem (także promieniowaniem niewidzialnym dla ludzkiego oka).

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

Załamanie na granicy ośrodków

Badanie przy użyciu stolika optycznego lub ławy optycznej praw odbicia i załamania światła. Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela.

Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn R 1 i R 2.

Podstawy fizyki wykład 8

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

Zadania do rozdziału 10.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

Równania i nierówności trygonometryczne

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Dodatek 1. C f. A x. h 1 ( 2) y h x. powrót. xyf

Wyznaczanie współczynnika załamania światła

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

POMIARY OPTYCZNE 1. Wykład 1. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

Funkcje hiperboliczne

XXXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe

Funkcje dwóch zmiennych

XIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/1970). Stopień W, zadanie doświadczalne D.. Znaleźć doświadczalną zależność T od P. Rys. 1

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

POMIAR APERTURY NUMERYCZNEJ

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n

III. Funkcje rzeczywiste

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

- pozorny, czyli został utworzony przez przedłużenia promieni świetlnych.

Skrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3

Funkcje trygonometryczne

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

XLIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne

Zajęcia nr. 3 notatki

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Matura próbna matematyka poziom rozszerzony

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

35 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 2

Optyka geometryczna Tadeusz M.Molenda Instytut Fizyki, Uniwersytet Szczeciński. Załamanie światła

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY INFORMACJE DLA OCENIAJACYCH

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego zadania z fizyki, wzory fizyczne, fizyka matura

Wyznaczanie dyspersji optycznej pryzmatu metodą kąta najmniejszego odchylenia.

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:

Funkcje trygonometryczne

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

Sposób wykonania ćwiczenia. Płytka płasko-równoległa. Rys. 1. Wyznaczanie współczynnika załamania materiału płytki : A,B,C,D punkty wbicia szpilek ; s

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

34 OPTYKA GEOMETRYCZNA. CZĘŚĆ 1

LV Olimpiada Fizyczna(2005/2006) Etap II Część Teoretyczna(Rozwiązane) 1

OPTYKA W INSTRUMENTACH GEODEZYJNYCH

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl lutowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

Optyka. Wykład XI Krzysztof Golec-Biernat. Równania zwierciadeł i soczewek. Uniwersytet Rzeszowski, 3 stycznia 2018

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Transkrypt:

FOTON 128, Wiosna 2015 35 Gdzie widać rybę? Marcin Braun Autor podręczników szkolnych Jednym z najbardziej znanych przykładów załamania światła jest fakt, że gdy znad wody patrzymy na przepływającą rybę, to zwykle widzimy ją nieco wyżej i dalej niż znajduje się ona w rzeczywistości (rys 1) Rys 1 Na hasło ryba załamanie światła Google wyświetla ponad 112 tysięcy stron, a po angielsku (fish refraction) jest ich ponad 400 tysięcy Czy jednak zwrócili Państwo uwagę, że tak dobrze zapowiadający się temat nie jest rozwijany w podręcznikach dla starszych uczniów? Tymczasem możliwość kontynuacji narzuca się właściwie sama Przecież uczeń zakresu rozszerzonego może a nawet powinien zadać sobie pytanie, dlaczego właściwie twierdzimy, że ryba znajduje się pozornie w punkcie A, a nie w którymkolwiek z pozostałych punktów na przerywanej linii W końcu miejsce, gdzie coś widać, chociaż tam tego nie ma zwykle nazywamy w optyce obrazem pozornym Żeby takie miejsce znaleźć, kreślimy co najmniej dwa promienie i znajdujemy przecięcie ich przedłużeń Uczniom powtarzamy, że wystarczą dwa, bo przedłużenia pozostałych i tak przetną się w tym samym miejscu Tak jest w przypadku zwierciadła płaskiego, lupy i zawsze, gdy omawiamy obraz pozorny Z rybą jednak, jak widzimy na rys 2, nie jest już tak łatwo

36 FOTON 128, Wiosna 2015 Rys 2 Przedłużenia promieni wychodzących z punktu A nie przecinają się w jednym punkcie Gdzie w takim razie widzimy rybę? I dlaczego w ogóle widzimy jej ostry obraz, skoro przedłużenia promieni nie przecinają się w jednym punkcie? Aby odpowiedzieć na te pytania, musimy najpierw przypomnieć sobie, jaki sens ma w ogóle pojęcie obrazu pozornego Otóż gdy przedłużenia promieni wpadających do naszych oczu przecinają się w jednym punkcie A, to same promienie dochodzą do naszych oczu tak samo, jakby wychodziły z punktu A (rys 3) Nasz mózg przystosowany jest do najczęstszej skądinąd sytuacji, gdy promienie rozchodzą się po prostych, dlatego wydaje nam się, że przedmiot znajduje się w punkcie A Rys 3 Źródło: Marcin Braun, Weronika Śliwa, To jest fizyka, podręcznik dla gimnazjów, cz 4, s 34, Nowa Era, Warszawa 2011 (za zgodą wydawcy) Jednak do naszych oczu nie wpadają promienie rozchodzące się na wszystkie strony, ale tylko te, które biegną dostatecznie blisko siebie, tzn kąt między nimi jest niewielki Wystarczy więc zbadać, czy dostatecznie bliskie promienie pozornie rozbiegają się z jednego punktu

FOTON 128, Wiosna 2015 37 Dwa takie promienie widzimy na rys 4 Zbadamy położenie punktu A Jeśli okaże się, że dla dostatecznie bliskich promieni (to znaczy dla dostatecznie małego Δα) nie zależy ono od Δα, to będzie znaczyło, że wszystkie dostatecznie bliskie promienie przecinają się w tym punkcie Rys 4 Przedłużenia dwóch wybranych bliskich promieni wychodzących z punktu A przecinają się w punkcie A Dla przejrzystości narysujmy osobno promienie biegnące od punktu A do powierzchni wody (rys 5), a osobno przedłużenia promieni załamanych (rys 6) Rys 5 Fragment rys 4: promienie biegnące z punktu A do powierzchni wody

38 FOTON 128, Wiosna 2015 Rys 6 Fragment rys 4: przedłużenia promieni załamanych Analizując rys 5, otrzymujemy: a stąd Natomiast z rys 6 wynika: Stąd: tg BC d tg ( ) BC x, d x d(tg( ) tg ) tg x d ' tg( ) xx d ' x d'(tg( ) tg ) Porównując oba wzory na Δx, po przekształceniach dostajemy tg( ) tg d' d tg( ) tg Przy małym Δα i Δβ możemy zapisać to wyrażenie za pomocą pochodnych Skorzystajmy teraz z prawa Snelliusa tg' d' d tg' (*) sin sin( ) n sin sin( )

FOTON 128, Wiosna 2015 39 Wobec tego sin sin ( ) sin sin( ) sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin Ponieważ kąty Δα i Δβ są małe, można przyjąć, że cosinusy tych kątów są równe 1 Pozwala to uprościć wzór do postaci: sin sin cos sin sin sin cos sin Po wymnożeniu i uproszczeniu: czyli sin cos sin sin cos sin, sin tg, sin tg a ponieważ dla małych kątów sinus jest w dobrym przybliżeniu równy mierze kąta, możemy przyjąć tg tg Po porównaniu z wzorem (*) dostajemy: tg' tg d' d tg' tg Wynika stąd, że gdy Δα dąży do zera, d dąży do pewnej skończonej wielkości (przejście graniczne ukryte zostało we wcześniejszych przybliżeniach) Również x dąży do skończonej wielkości, bo x = d tg β Tak więc choć nie wszystkie przedłużenia promieni wychodzących z danego punktu ryby przecinają się w jednym punkcie, dzieje się tak dla wszystkich promieni w słabo rozbieżnej wiązce W punkcie przecięcia ich przedłużeń widać rybę z danego punktu nad wodą Jednak z innych miejsc widać ją gdzie indziej Pewnie dlatego obserwowanego położenia ryby nie nazywa się obrazem pozornym Słowa obraz używamy wtedy, gdy jego położenie nie zależy od tego, skąd patrzymy Im dalej, tym płyciej Zobaczmy, co się dzieje, gdy oddalamy się od ryby, to znaczy, gdy kąt α rośnie Nie może on oczywiście rosnąć w nieskończoność, ale tylko do wartości kąta granicznego Wzór na d możemy przekształcić do postaci:

40 FOTON 128, Wiosna 2015 1 d ' d cos d d sin 1 sin cos 3 3 2 3 2 2 2 2 tg sin cos 1 sin d n 2 3 2 2 1 tg sin cos sin 1 sin n 1sin 2 Wówczas zobaczymy, że jeśli α dąży do kąta granicznego, czyli jeśli sin 1, to d 0, czyli ryba znajduje się pozornie na coraz mniejszej głębokości n Dla uczniów? To zależy Kiedy zaczynałem wykonywać te obliczenia, sądziłem, że będę je mógł wykorzystać w podręczniku dla zakresu rozszerzonego Po godzinie pracy że przydadzą się w zadaniu z gwiazdką Jednak i ten poziom trudności szybko trzeba było przekroczyć Teraz sądzę, że problem ryby w wodzie stanowi dobry przykład tego zapasu umiejętności, którym nauczyciel powinien górować nad swoimi uczniami Dlatego właśnie napisałem o nim w czasopiśmie skierowanym przede wszystkim dla nauczycieli Sądzę też, że przynajmniej niektórzy z Państwa mogą polecić zbadanie tego problemu swoim uczniom, choćby tylko w jakiejś części Od naszych rozważań z pochodnymi i tożsamościami trygonometrycznymi łatwiejsze jest zastosowanie obliczeń numerycznych Arkusz kalkulacyjny * obliczy nam dla danego α i Δα wszystkie interesujące wielkości po kolei Zamiast obliczać granicę, sprawdzamy po prostu, jak zmienia się d przy coraz mniejszych wartościach Δα i jak małe Δα można przyjąć, aby dalsze zmniejszanie nie powodowało zauważalnych zmian d Wówczas można sprawdzić, co się dzieje przy rosnącym α Wynik wychodzi taki sam, jak metodą analityczną Marcin Braun jest współautorem podręczników do przyrody dla szkoły podstawowej (Na tropach przyrody) oraz fizyki dla gimnazjum (To jest fizyka) i szkoły ponadgimnazjalnej (Odkryć fizykę, Zrozumieć fizykę) * W wersji internetowej Fotonu