Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 4: Benoit Mandelbrot i inni

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 4: Benoit Mandelbrot i inni P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 1 / 22

Arthur Cayley o metodzie stycznych (1879)... Problem polega na tym, żeby określić obszary płaszczyzny tak, że jeśli weźmiemy P gdziekolwiek w pierwszym obszarze, to zawędrujemy ostatecznie do punktu A; jeśli gdziekolwiek w drugim obszarze to do punktu B; i tak dalej, dla wszystkich punktów będących pierwiastkami danego równania. Rozwiązanie jest łatwe i eleganckie w przypadku równania kwadratowego, ale już kolejny przypadek równań sześciennych wydaje się przedstawiać istotne trudności. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 2 / 22

Liczby zespolone: a crash course Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych (inaczej: punkty płaszczyzny, z odpowiednio określonymi działaniami) Dokładniej, liczba z C to z = (a, b) = a + bi, gdzie i 2 = 1 nazywa się jednostką urojoną, natomiast a, b R. Działania na liczbach zespolonych: dodawanie: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), inaczej: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. mnożenie: (a, b) (c, d) = (ac bd, bc + ad), inaczej: (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac bd) + (bc + ad)i Początki operowania tymi liczbami: około połowy XVI w. (Girolamo Cardano i inni matematycy włoscy) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 3 / 22

Tartaglia, Cardano, Bombelli 1535 45: wzory na rozwiązania równań stopnia 3 1572: podręcznik algebry Bombellego P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 4 / 22

Długie oswajanie... Kartezjusz, 1637 (Geometria, księga III): nazwa liczby urojone; nazwa Kartezjusza miała zamierzone znaczenie pejoratywne; ostateczne zadomowienie C w matematyce: 1799 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 5 / 22

Długie oswajanie... Kartezjusz, 1637 (Geometria, księga III): nazwa liczby urojone; nazwa Kartezjusza miała zamierzone znaczenie pejoratywne; ostateczne zadomowienie C w matematyce: 1799 Zasadnicze twierdzenie algebry (Gauss, 1799). Każdy wielomian zmiennej z C o współczynnikach zespolonych ma w C pierwiastki. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 5 / 22

Geometria C, czyli płaszczyzna Gaussa dodawanie z = (a, b) to przesunięcie o wektor (a, b). mnożenie przez z to złożenie jednokładności o skali z = a 2 + b 2 i obrotu o kąt θ = arc cos b a2 + b 2 z to moduł liczby z; kąt θ to argument z. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 6 / 22

Konkurs francuskiej Akademii Nauk, 1915 Temat konkursu: badanie iteracji przekształceń zmiennej zespolonej, z globalnego punktu widzenia. Główni pretendenci do pierwszej nagrody: Gaston Julia, Mémoire sur l itération des fonctions rationnelles, 1918. (Grand Prix, 3000 fr., grudzień 1918) Pierre Fatou, Sur les équations fonctionnelles, 1919 1920. To długie prace poświęcone iterowaniu funkcji wymiernych zmiennej zespolonej, później niemal całkowicie zapomniane. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 7 / 22

1982: The fractal geometry of nature. Benoit Mandelbrot: 20.11.1924 (Warszawa) 14.10.2010 (Cambdridge, USA)... Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 8 / 22

Matematyka to nie głoszenie kazań Przykład krytyki stanowiska Madelbrota: Kluczowa różnica między geometrią fraktalną i rachunkiem różniczkowym polega na tym, że za pomocą geometrii fraktalnej nie rozwiązano żadnych problemów. Hipotezy stawiane przez ludzi zajmujących się geometrią fraktalną mówią tylko (podobnie jak badane przez nich obiekty) same o sobie. Generuje się obrazki po to, żeby dowiedzieć się czegoś o obrazkach, a nie po to, żeby coś głębiej zrozumieć. Steven Krantz P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 9 / 22

Poirytowany Steven Krantz, cd. Kłopot z każdą dziedziną, opartą raczej na wynikach eksperymentów komputerowych niż na teorii, polega na tym, że trzeba się zastanowić, co właściwie ma się do powiedzenia. (... ) Słynny kontrprzykład Costy w teorii powierzchni minimalnych został ponoć zainspirowany przez brazylijski film dokumentalny o szkołach samby. Sam kiedyś myślałem o innym ciekawym kontrprzykładzie, leżąc na plaży i obserwując latające mewy. Jednak tancerki i mewy, niezależnie od swych różnorodnych zalet i zasług, (... ) nie tworzą matematyki. Dlaczego geometrów fraktalnych mielibyśmy traktować inaczej? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 10 / 22

Co najbardziej irytuje matematyka? Irytuje mnie szczególnie to (... ) że społeczna percepcja tego, co właściwie robią dziś matematycy, wypływa w znacznej mierze z lektury książek o fraktalach, lektury Chaosu Jamesa Gleicka i czytania w gazetach o błędnych dowodach słynnych hipotez. To ostatnie cóż, szkoda, trudno, tak czasem musi być; pierwsze dwa źródła są jednak okropnie mylące. Steven Krantz P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 11 / 22

Iterowanie funkcji: typowe zagadnienia zachowanie punktów dziedziny podczas iteracji punkty stałe: przyciągające (ścieki), odpychające (źródła), neutralne punkty okresowe (cykle) baseny przyciągania ścieków zachowanie różnych przekształceń z jakiejś ustalonej rodziny Motywacje: np. metody numeryczne, metody matematyczne mechaniki. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 12 / 22

Metoda Newtona w C: baseny przyciągania pierwiastków wielomianu z 3 1 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 13 / 22

Banalny przykład: iteracje funkcji liniowej x cx. Trajektoria jednego punktu: x cx c(cx) = c 2 x c 3 x c 4 x... Gdy patrzymy z lotu ptaka, nic ciekawego się nie dzieje: 1 Dla c > 1 wszystkie punkty 0 uciekają do nieskończoności; 2 Dla c < 1 wszystkie punkty uciekają do zera. Przypadek c = 1 jest nieciekawy (choć rozgranicza obie sytuacje). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 14 / 22

Subtelny przykład: tzw. rodzina kwadratowa Dla zespolonych parametrów c C rozpatrujemy przekształcenia z f c (z): = z 2 + c, z C. Gdy c = 0, sytuacja jest bardzo prosta: Start wewnątrz dysku D(0, 1) ucieczka do zera, Start na zewnątrz D(0, 1) ucieczka do nieskończoności. (Dwa baseny ścieków, rozgraniczone okręgiem: piękną, regularną krzywą.) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 15 / 22

Zbiór Julii (wielomianu f), równoważne określenia Brzeg zbioru tych punktów, które podczas iteracji uciekają do nieskończoności Brzeg zbioru tych punktów, których orbity są ograniczone z f(z) f(f(z)) = f 2 (z) f 3 (z)... Domknięcie zbioru punktów okresowych odpychających Najmniejszy zbiór, który zawiera co najmniej trzy punkty i jest niezmienniczy względem f Zbiór punktów skupienia pełnych orbit wstecz P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 16 / 22

Zbiór Mandelbrota: katalog zbiorów J(f c ) Formalnie: zbiór Mandelbrota M to zbiór tych parametrów c C, dla których orbita zera jest ograniczona 0, f c (0), f c (f c (0)) = f 2 c(0), f 3 c(0),... Równoważnie: zbiór tych punktów c, dla których zbiór Julii J(f c ) jest zbiorem spójnym (składa się z jednego kawałka) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 17 / 22

Struktura M Bąble, złożone z parametrów, dla których f c ma cykl przyciągający. Głębiej: Spiralki, satelity, anteny, koniki morskie, podwójne haczyki etc. etc.; bardzo zawiły kształt brzegu. Twierdzenie (Douady, Hubbard, 1984). Zbiór Mandelbrota jest spójny. Jego uzupełnienie jest homeomorficzne z zewnętrzem dysku jednostkowego. Twierdzenie (Shishikura, 1998). Brzeg zbioru Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 18 / 22

Problemy otwarte, dotyczące M: Czy M jest lokalnie spójny? Czy brzeg zbioru M ma dodatnie pole? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 19 / 22

Inny problem otwarty: hipoteza Fatou Hiperboliczne składowe zbioru Mandelbrota M: bąble (parametry, dla których f c ma cykl przyciągający). Hipoteza: to są jedyne składowe wnętrza M. Ściślej, dla otwartego i gęstego zbioru parametrów c M przekształcenie f c (z) = z 2 + c ma okresowy cykl przyciągający. To jeden z najważniejszych problemów otwartych we współczesnej dynamice holomorficznej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 20 / 22

Hipoteza Fatou w rzeczywistej rodzinie kwadrawej Twierdzenie (J. Graczyk, M. Lyubich, G. Świątek, lata 90-te). Hipoteza Fatou zachodzi dla wielomianów rzeczywistych. Ściślej, w rzeczywistej rodzinie kwadratowej f a (x) = ax(1 x), 0 < a 4 zbiór tych a, dla których f a ma okresową orbitę przyciągającą, jest otwarty i gęsty w przedziale (0, 4). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 21 / 22

Zakończenie Uderzająca jest złożoność tej figury; nawet nie próbuję jej narysować. Nic nie może nam lepiej uświadomić, jak skomplikowane jest zagadnienie trzech ciał i wszelkie zagadnienia dynamiki w ogóle. (Henri Poincaré, badania orbit asymptotycznie okresowych w zagadnieniu trzech ciał.) Medale Fieldsa w teorii układów dynamicznych: Jean-Christophe Yoccoz (1994) Curtis T. McMullen (1998) Wendelin Werner (2006) Stanisław Smirnow (2010) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka... 4. Mandelbrot i inni 24.10.2011 22 / 22