Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 11: Funkcje w matematyce szkolnej Semestr zimowy 2018/2019

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 11: Funkcje w matematyce szkolnej Semestr zimowy 2018/2019

2 Funkcje uwagi historyczne Wprowadzenie liczb rzeczywistych i liczb zespolonych (Bombelli XVI w., Stifel XV-XVI w.). Stworzenie algebry symboli (Viète XVI w., Kartezjusz XVII w.). Badanie ruchu jako centralnego problemu nauki (Kepler XVI-XVII w., Galileusz XVI-XVII w.). Połączenie geometrii i algebry (Fermat XVII w., Kartezjusz). Rozwinięty w XVII wieku rachunek różniczkowy i całkowy (Newton, Leibniz) omijał precyzyjną definicję funkcji, zajmował się krzywymi. W 1692 roku Leibniz traktował funkcję jako obiekt związany z krzywą.

3 Funkcje definicje (historia) W 1718 roku Johann Bernoulli podał następującą definicję: Funkcją wielkości zmiennej nazywamy analityczne wyrażenie utworzone w dowolny sposób za pomocą tej wielkości oraz stałych. W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler napisał: Funkcją wielkości zmiennej nazywamy analityczne wyrażenie utworzone w dowolny sposób za pomocą tej wielkości oraz za pomocą liczb i wielkości stałych. Kolejny etap to definicja Dirichleta: y jest funkcją zmiennej x określonej na przedziale a < x < b, jeśli każdej wartości x z tego przedziału odpowiada jednoznacznie określona wartość y. Ponadto, nie ma znaczenia, w jaki sposób określono to przyporządkowanie.

4 Zasada trzech etapów w nauczaniu funkcji etap enaktywny Przykłady (nauczanie wczesnoszkolne)

5 Zasada trzech etapów w nauczaniu Przykłady (SP) funkcji etap enaktywny

6 Zasada trzech etapów w nauczaniu funkcji etap enaktywny Przykłady (SŚ) Uczniowie, podzieleni na grupy, obserwują swobodny spadek ciał, przyporządkowując wysokości, z jakiej spada np. kulka plasteliny, czas tego spadania. Wyniki pomiarów mogą zapisywać w wybrany przez siebie sposób. Do tej wersji doświadczenia potrzebny jest CBR (urządzenie do rejestracji i analizy ruchu) oraz kalkulator TI 83. Urządzenie CBR (Calculator Based Ranger) emituje fale, które, odbijając się od obiektu poruszającego się na linii emisji fal, wracają do CBR; zebrane dane przesyłane są do kalkulatora, w którym można wyświetlić funkcje: odległość obiektu od CBR w zależności od czasu, prędkość tego obiektu i przyśpieszenie.

7 CBR Uczniowie w zeszytach wykonują wykres obrazujący zależność przebytej drogi od czasu w ruchu jednostajnym. Uczniowie w zeszytach za pomocą wykresu ilustrują zmiany prędkości w zależności od czasu w ruchu jednostajnym. Uczniowie za pomocą wykresu ilustrują zmiany prędkości w zależności od czasu w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. Uczniowie na wykresie próbują zilustrować zmiany przebytej odległości w zależności od czasu w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. CBR: rejestracja ruchu dwóch obiektów: nieruchomej ściany oraz poruszającego się ucznia. Uczniowie na ekranie mogą zobaczyć trzy wykresy obrazujące zależność odległości (drogi), prędkości i przyśpieszenia przy zmieniającym się czasie. CBR (opcja MATCH): Program RANGER zainstalowany w kalkulatorze generuje różne wykresy przedstawiające zależność odległości poruszającego się obiektu przy zmieniającym się czasie. Zadaniem uczniów jest poruszanie się tak, aby ich ruch jak najdokładniej przypominał ruch wygenerowany przez kalkulator.

8 Funkcje w szkole odczytywanie danych i własności z wykresu, etap ikoniczny Pierwsze kontakty z funkcjami (dawniej trzecia klasa gimnazjum) powinny dotyczyć wykresów, nie mówimy jeszcze o funkcji, używamy sformułowania Wykres przedstawia, jak zmienia się.... Wiadomo, że woda podczas ogrzewania od 0 0 do 4 0 zmniejsza swoją objętość, a gdy ogrzewamy ją dalej objętość się powiększa. Który z powyższych wykresów opisuje to zjawisko?

9 Przykłady cd.

10 Przygotowanie do wprowadzenia formalnej definicji

11 Funkcje etap symboliczny

12 Funkcje etap symboliczny

13 Funkcje etap symboliczny

14 Definicja funkcji wykładniczej w podręcznikach Przykład 1 (podręcznik GWO, II klasa)

15 Definicja funkcji wykładniczej w podręcznikach Przykład 2 ( Matematyka się liczy, klasa 3, 2004) Na kilka miesięcy przed rozpoczęciem sezonu wędkarskiego liczba ryb w pewnym stawie zaczyna się zwiększać o 12% miesięcznie. Jeśli t oznacza liczbę miesięcy, które upłynęły od początku sezonu, to zależność N t = ,12 t modeluje liczbę ryb w tym okresie. Ile ryb było na początku sezonu? Ile ryb będzie 3,5 miesiąca później? A ile ich było miesiąc przed rozpoczęciem sezonu? Po zadaniu pojawia się typowa definicja funkcji wykładniczej, z tą różnicą, że w stosunku do definicji z przykładu 1 zakłada się, że w f x = a x liczba a jest różna od 1.

16 Stefan Straszewicz 1985 r., podręcznik licealny WSiP Kolejne etapy wprowadzania potęgi: potęga a n, gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią: a 1 = 1, a n+1 = a n a potęga o wykładniku zerowym lub ujemnym: a 0 = 1 dla a 0, a n = 1/a n dla n N {0} potęga o wykładniku wymiernym: dla dowolnego a > 0 i dowolnych liczba całkowitych m, n, przy czym n 0 definiujemy: a m/n = (a 1 n ) m dla n > 0 oraz a m/n = a m/ n = (a 1/ n ) m dla n < 0 potęga o wykładniku rzeczywistym Wprowadzenie tej definicji zostało poprzedzone uzasadnieniem następującej własności potęg o wykładniku wymiernym: Potęga liczby większej od 1 zwiększa się, gdy zwiększamy wykładnik. Na przykładzie potęgi 2 π pokazuje się jak określić tę liczbę: przybliżamy liczbę π z góry i z dołu przez zbiegające do niej przybliżenia, na przykład: 3, 3.1, 3.14, < π < 4, 3.2, 3.15, Dalej otrzymuje się nierówności 2 r < 2 π < 2 r, gdzie r to dowolna liczba ze zbioru {3, 3.1, 3.14, } a liczba r należy do zbioru {4, 3.2, 3.15, }. Pojawia się liczba g kres górny liczb 2 r oraz liczb g kres dolny liczb 2 r. Końcowe stwierdzenie zacytujemy dokładnie: Ponieważ liczby 2 r i 2 r różnią się dowolnie mało, o ile tylko różnica r r jest dostatecznie mała (stwierdzimy to, jak poprzednio), więc g i g są jedną i tą samą liczbą, tj. g = g. Liczbę tę nazywamy 2 π. W kolejnym rozdziale pojawia się definicja funkcji wykładniczej: Funkcja f określona dla danego a > 0 wzorem f(x) = a x dla każdego x R nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a, a jej wykres krzywą wykładniczą.

17 Egzamin 4 lutego, godz , aula 1 Opisz metody szukania zer wielomianów. Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć. Twierdzenia i ich dowody w matematyce szkolnej. Nauczanie algorytmów w szkole. Matematyczne modelowanie w szkole. Etapy definiowania pola figury płaskiej. DGS: charakterystyka wybranego programu, blaski i cienie. Funkcje w matematyce szkolnej. Etapy definicji funkcji wykładniczej. Prawdopodobieństwo w szkole.

18 Uwaga W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.