Polish Academy of Sciences

Transkrypt

1 INSTITUTE OF MATHEMATICS Polish Academy of Sciences

2

3 INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK LIPIEC 1993 PREPRINT 30. SERIA D FELIKS PRZYTYCKI. JAN SKRZYPCZAK WSTĘP DO TEORII I T E R A C J I WYMIERNYCH NA SFERZE RΙΕΜΑΝΝΑ

4 INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK ŚNIADECKICH 8 SKR. POCZT WARSZAWA

5 Spis treści CZĘŚĆ II I Przedmowa i wstęp do Wstępu 1 II Zbiór Julii i jego własności. Przypadek wielomianów 4 1. Zbiór Julii 4 (Podstawowe własności, punkty wyjątkowe, gęstość punktów okresowych) 2. Sprzężenie w okolicy ścieku i basen A dla wielomianów.. 17 (Sprzężenie z λ z lub z k ) 3. Wielomiany stopnia dwa 23 (Spójność J(fc) <=> c Μ) III Składowe uzupełnienia zbioru Julii Niestała funkcja graniczna 30 (Sytuacja gdy w zbiorze granicznym dla ciągu funkcji f n \u dla składowej U istnieje funkcja niestała. Składowe osobliwe: dyski Siegela, pierścienie Hermana.) 2. Wszystkie funkcje graniczne są funkcjami stałymi 41 (Składowa okresowa U na której wszystkie funkcje graniczne ciągu f n \u są stałe. Baseny bezpośredniego przyciągania ścieków i punktów neutralnych wymiernych (parabolicznych).) IV Punkty krytyczne Punkty krytyczne w składowych okresowych Punkty krytyczne w zbiorze Julii. Expanding 59 V Punkty neutralne 66 (Klasyczne oszacowania liczby orbit, okresowych ścieków i punktów neutralnych) VI Podsumowanie 80 iii

6 CZĘŚĆ II VII Twierdzenia Sullivana 83 (Nieistnienie składowych błądzących) 1. Homeomorfizmy quasikonforemne i mierzalne struktury konforemne Sformułowanie Dowód w przypadku (I) Dowód w przypadku (II) Przestrzenie Teichmullera 98 DODATKI Dodatek 1. Automorfizmy dysku Poincare go: podstawowe definicje Dodatek 2. Dowód Twierdzenia Montela 110 Bibliografia 117 iv

7 CZĘŚĆ I I Przedmowa i wstęp do Wstępu Przedstawiony tekst to notatki części cyklu wykładów wygłoszonych przez pierwszego z autorów w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego w roku 1987/1988. Drugi z autorów był wtedy studentem, słuchaczem tych wykładów i on jest głównym redaktorem tego tekstu. Wykład składał się z dwóch części: 1. Ogólnej dotyczącej klasycznej części teorii iteracji funkcji wymiernych z czasów Julii i Fatou oraz zastosowanie teorii przekształceń kwazikonforemnych w Twierdzeniu Dennisa Sullivana o nieistnieniu dziedzin błądządzych i oszacowaniu liczby orbit dziedzin okresowych. 2. Dotyczącej iteracji wielomianów kwadratowych - teorii Douady'ego-Hubbarda geometrii zbiorów Julii i zbioru Mandelbrota. Przedstawiony tekst dotyczy tylko części 1, i to też z dużymi lukami. W ostatnich latach pojawiło sie kilka nowych podręcznikowych tekstów dotyczących podstaw teorii iteracji funkcji wymiernych [Beardon, Carleson, Milnor]. Uznaliśmy jednak, że nasz tekst mimo już paroletniego leżenia na półce nadal może jeszcze być pożyteczny nawet w formie niekompletnej i postanowiliśmy go udostępnić czytelnikom w postaci tego skryptu. W teorii iteracji funkcji wymiernych klasyfikuje się punkty sfery Riemanna C w zależności od zachowania się ich trajektorii. Jeśli f oznacza przekształcenie wymierne (iloraz dwóch wielomianów) to chodzi o trajektorie w przód z, f(z), f 2 (z),... gdzie f n oznacza złożenie η razy przekształcenia /: f n = f o f o f o... o f. Popularnym obiektem badań jest 1

8 2 zbiór Julii: J(f) := { z C dla każdego otoczenia U punktu z ciąg iteracji f n \u nie jest normalny w sensie Montela} Podstawy tej teorii stworzyli na początku XX wieku matematycy francuscy Gaston Julia i Pierre Fatou. Jednak do lat 70-tych teoria ta była mało znana i uważana za nudną. Za to w ciągu ostatnich 15 lat uzyskano wiele pięknych rysunków zbiorów Julii przy użyciu komputerów. Dzięki temu między innymi stara teoria odżyła i dokonano w niej dużych postępów. Na ogół zbiór Julii ma niezwykły "fraktalny" kształt: jego wymiar Hausdorffa jest większy niż wymiar topologiczny jego dowolnie małe fragmenty są podobne do dużych (własność samopodobieństwa). Innym popularnym zbiorem, tym razem w zbiorze parametrów jest tzw. zbiór Mandelbrota M. Oznaczmy fc(z) = z 2 + c. Definiujemy Μ = {c Ć : f n c (0) } Z tym zbiorem związanych jest wiele nadal nie rozwiązanych problemów, na przykład nie wiadomo czy miara Lebesgue'a w wymiarze 2 brzegu Μ jest dodatnia czy nie i nie wiadomo czy ten brzeg jest lokalnie spójny. Ciekawe, że dla wielu parametrów zbiór Julii dla fc jest podobny do zbioru Mandelbrota w otoczeniu tego parametru c.

9 Rysunek z książki H.-O. Peitgen, Ρ. H. Richter The Beauty of Fractals". 3

10 II Zbiór Julii i jego własności. Przypadek wielomianów

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 III Składowe spójności uzupełnienia zbioru Julii

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61 IV Punkty krytyczne

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72 V Punkty neutralne

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86 VI Podsumowanie

87

88

89 CZĘŚĆ II VII Twierdzenie Sullivana

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111 DODATKI Dodatek 1. Automorfizmy dysku Poincare'go: podstawowe definicje. Sfera Riemanna C to płaszczyzna zespolona C uzupełniona punktem w oo ze strukturą holomorficzną daną przez mapy hi, h2 : C C, h\(z) = z,h.2(z) = l/z. Standardowa metryka Riemanna na C to przeniesiona przez hi, i = 1,2 metryka euklidesowa na C podzielona przez funkcję (1 -I- \z\ 2 ) 2 to znaczy dla v, w Ε TzC (υ, w) = (Re(v) Re(w) + Im(v) Im(u/))/(l + \z\ 2 ) 2 (h2 oh~ l jest izometrią w tej metryce.) Grupą Móbiusa nazywamy grupę wszystkich przekształceń sfery Riemanna generowanych przez inwersje względem okręgów i symetrie względem prostych w C. Oznaczmy ją przez Moeb2. Grupę wszystkich elementów Moeb2 zachowujących orientację będziemy oznaczać przez Moeb^. Można sprawdzić, że Moebt = izh az ^ a,6,c,d 6 C, ad - bc φ ()} L cz + d J Te przekształcenia stanowią grupę wszystkich holomorficznych automorfizmów C. Nazywa się je homografiami. Można teraz wyróżnić w Moeb2 i MoebJ podgrupy A i odpowiednio A + elementów zachowujących dysk jednostkowy D = {z C : z < 1}. Są to odpowiednio wszystkie przekształcenia będące złożeniami inwersji względem okręgów prostopadłych do okręgu jednostkowego <9D = { z = 1} lub hoinografie postaci Λ, a < 1, λ = 1, tak zwane przekształcenia Blaschke. Są to dokładnie wszystkie konforemne, odpowiednio holomorficzne, automorfizmy D.

112

113

114

115

116 Dodatek 2. Dowód Twierdzenia Montela.

117

118

119

120

121

122

123 Bibliografia. [Be] A. Beardon, It.eration of Rational Functions. Graduate Texts in Math. 132, Springer-Verlag [BI] P. Blanchard, Complex analytic dynamics on the Riemann sphere. Bull. Amer. Math. Soc. 11, (1984), [Ca] C. Camacho, On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields. Asterisąue (1978), [C] L. Carleson, preprint [L] M. Lyubich, The dynamics of rational transformatios: the topological picture. Russian Math. Surveys 41.4 (1986), Uspehi Mat Nauk 41.4 (1986), [M] J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Preprint 1990/#5, Institute for Mathematical Sciences, SUNY at Stony Brook 117

124

125

126

127

128