Wykład10(11V2011) Formy kwadratowe, własności i zastosowania Treść wykładu. Formy kwadratowe, redukcja form, postacie kanoniczne Macierz formy, zapis macierzowy formy, wyznaczenie współczynników, Sprowadzanie do postaci kanonicznej metodą uzupełniania do kwadratu(lagrange a); Zamiana zmiennych w formie kwadratowej, zależność między macierzami formy względem par układów zmiennych; Twierdzenie o bezwładności 10.1 Postać kanoniczna formy kwadratowej 10.1.1 Macierz formy kwadratowej Wprowadziliśmyjuzpoprzedniopojęciefunkcjikwadratowychna R n szczególnymiprzypadkami takichfunkcjisąfunkcjepostaci(x 1,...,x n )=x x 1 x 2,lubx x 2 1 iimpodobneiloczynypar współrzędnych. Za pomocą kombinacji liniowych takich funkcji można otrzymać dowolną formę kwadratową, jak to pokazuje następująca definicja. Definicja 10.1(Forma kwadratowa i jej macierz) NiechA=[a ij ] M n (R)będziemacierząkwadratowąowspółczynnikachliczbowych.Funkcjęq: R n R daną wzorem q(x)= a ij x i x j, gdzie x R n, (10.1) nazywamy formą kwadratową n zmiennych(lub bardziej poprawnie, formą kwadratową określoną na R n ).Liczbya ij nazywamywspółczynnikamiformykwadratowej,a=[a ij ] M n (R) jejmacierzą. Ten sposób przedstawienia formy kwadratowej jest bardzo wygodny z zagadnieniach teoretycznych, gdyż związanie ich z macierzami daje możliwość stosowania pełnego aparatu algebry macierzy do badania ich własności. Tę możliwość będziemy intensywnie wykorzystywać w dalszym ciągu, jednak zanim do tego przejdziemy, trzeba wyjaśnić pewną niejednoznaczność, która obciąża ten zapis. Ze względu na przemiennośćmnożeniafunkcjetakiejakx 1 x 2 ix 2 x 1 sąjednakowe ogólniemówiączachodząrównościx i x j =x j x i dlawszystkichi,j {1,...,n}iztegopowoduróżnymmacierzommożeodpowiadać jedna i ta sama forma kwadratowa. Dla ilustracji rozważymy przypadek dwóch zmiennych(n = 2) i zbudujemy zgodnie ze wzorem (10.1) formy kwadratowe odpowiadające macierzom B= [ ] [ ] [ ] 2 1 2 1 2 0, A=, C=. 3 4 1 4 2 4 57
58 ALiGA Wykład 10. Forma kwadratowa o współczynnikach danych macierzą B wyraża się wzorem q(x)=2x 2 1 x 1x 2 +3x 2 x 1 4x 2 2 Biorącpoduwagęrównośćx 1 x 2 =x 2 x 1 możemyzredukowaćwyrazypodobneotrzymując q(x)=2x 2 1 +2x 1x 2 4x 2 2. (10.2) Do takiej samej postaci można doprowadzić formy o współczynnikach danych macierzą A lub C q(x)=2x 2 1 +x 1x 2 +x 2 x 1 4x 2 2 =2x2 1 +2x 1x 2 4x 2 2, q(x)=2x 2 1+2x 2 x 1 4x 2 2=2x 2 1+2x 1 x 2 4x 2 2. W praktycznych zagadnieniach, w których mamy do czynienia z formami kwadratowymi o współczynnikach danych przez konkretne liczby, stosuje się zazwyczaj sposób zapisu uwzględniający równości typu x 1 x 2 =x 2 x 1.Stwarzatoproblemwyboru którązmacierzya,b,c(lubnieskończeniewieluinnych macierzyodpowiadającychformie(10.2))wybraćdoprzedstawieniaformyq(x)=2x 2 1+2x 1 x 2 4x 2 2? Rozpatrzmy ten problem dla ogólnej formy kwadratowej, ograniczając się do przypadku dwóch zmiennych. Wzór(10.1) przybiera postać q(x)= 2 a ij x i x j =a 11 x 2 1 +a 12x 1 x 2 +a 21 x 2 x 1 +a 22 x 2 2 aporedukcjiwyrazówpodobnych(zuwzględnieniemx 1 x 2 =x 2 x 1 )otrzymamy q(x)=a 11 x 2 1 +(a 12+a 21 )x 1 x 2 +a 22 x 2 2. Widzimy więc, że informacja, którą dysponujemy z praktycznego punktu widzenia, pozwala wyznaczyć wyrazydiagonalnemacierzya 11,a 22 isumęa 12 +a 21 współczynnikówpołożonychpozadiagonalą. Dla uniknięcia takich niejednoznaczności podaną wyżej definicję uzupełniamy przez konwencję, że macierz A współczynników formy kwadratowej jest macierzą symetryczną, tj. dla wszystkich i,j 1,...,nzachodząrównościa ij =a ji.przytymdodatkowymzałożeniumacierzomsymetrycznym stopnia n odpowiadają wzajemnie jednoznacznie formy kwadratowe n zmiennych. Ogólną formę kwadratową będziemy więc zapisywali wzorem q(x)= a ij x i x j =x t Ax, (10.3) traktującx R n jakowektorkolumnowyizakładając,żemacierzajestsymetryczna,tj.a=a t. Na zakończenie tych wstępnych rozważań wyodrębnimy klasę form kwadratowych o szczególnym znaczeniu. Definicja 10.2(Forma kwadratowej w postaci kanonicznej) Powiemy, że forma kwadratowa n zmiennych q(x) ma postać kanoniczną, jeśli q(x)=λ 1 x 2 1+λ 2 x 2 2+...+λ n x 2 n= λ i x 2 i, gdzie λ i R. i=1 Inaczejmówiąc,formamapostaćkanoniczną,jeżeliwyrazymieszanepostacix i x j zi jwystępują tylko z zerowymi współcznynnikami, lub jeszcze inaczej, jeżeli macierzą formy jest macierz diagonalna.
A. Strasburger Konspekt wykładów ALiGA(przygotowany 17 czerwca 2011 roku) 59 10.1.2 Zamiana zmiennych w formie kwadratowej Przy badaniu własności form kwadratowych podstawową rolę odgrywają(liniowe) przekształcenia układu współrzędnych zamiany zmiennych. Można by powiedzieć, że własności form kwadratowych odsłaniają się w pełni dopiero w odpowiednio dobranym układzie współrzędnych. Poszukiwania takiego układu stanowią motyw przewodni obecnego wykładu. Definicja 10.3(Równoważność form kwadratowych względem liniowej zamiany zmiennych) Formykwadratoweq(x)iq (x)nzmiennychnazywamyrównoważnymi,jeśliistniejeodwracalneodwzorowanieliniowe(zamianazmiennych)p: R n R n,takieże q (x)=q(px)=q P(x). (10.4) JeśliAiA odpowiedniosąsymetrycznymimacierzamiformqiq,toformytesąrównoważnewtedyi tylkowtedy,gdya =P t AP. 10.1.3 Redukcja formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Twierdzenie o bezwładności formy Twierdzenie 10(O możliwości sprowadzenia formy kwadratowej do postaci kanonicznej) Każdą formę kwadratową n zmiennych q(x) można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomoca liniowej zamiany zmiennych. Dokładniej, jeśli q(x)= a ij x i x j =x t Ax, gdzie x R n, ia=[a ij ] M n (R)jestmacierząsymetryczną,toistniejetakamacierzodwracalnaP=[p ij ] M n (R), że P t AP=diag(λ 1,λ 2,...,λ n ), iwówczasprzyzamianiezmiennychx=px zachodzi q P(x )=q(px )= λ i (x i) 2. i=1 Twierdzenie 11(Twierdzenie o bezwładności formy kwadratowej) Jeśli formę kwadratową sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą różnych liniowych zamian zmiennych, to liczba dodatnich, odpowiednio ujemnych, współczynników w każdej z tych postaci jest taka sama (nie zależy od sposobu sprowadzenia formy do postaci kanonicznej). 10.1.4 Sygnatura i rząd formy kwadratowej. Określoność formy Definicja 10.4(Sygnatura i rząd formy kwadratowej) Jeśli p jest liczbą dodatnich współczynnikówformyqwpostacikanonicznejir liczbąujemnychwspółczynników,toparę(p,r)nazywamy sygnaturą formy kwadratowej q i oznaczamy sgn(q) =(p, r). Rzędem formy kwadratowej nazywamy rg(q) = p + r liczbę niezerowych współczynników w postaci kanonicznej. Definicja 10.5(Formy określone dodatnio(ujemnie)) Niech q będzie formą kwadratową n zmiennych.jeślisgn(q)=(p,0),gdziep<n,toqnazywamyformąnieujemną(lubdodatniopółokreśloną),ajeślisgn(q)=(n,0) formądodatniookreśloną. Analogicznie definiujemy formy niedodatnie(ujemnie określone).
60 ALiGA Wykład 10. Zauważmy,żejeśliformaqjestokreślonadodatnio,todlakażdegoróżnegoodzerax R n mamy q(x)>0,ajeśliformaqjest(tylko)półokreślonadodatnio,todlakażdegox R n mamyq(x) 0,a przytymistniejetakix 0,żeq(x)=0. Nazwy te stosujemy również do macierzy symetrycznych nazywając taką macierz określoną dodatnio (ujemnie), jeśli odpowiadająca jej forma kwadratowa jest określona dodatnio, odpowiednio ujemnie. Tę samą zasadę stosujemy w przypadku form kwadratowych półokreślonych, odnosząc tę nazwę do odpowiadających im symetrycznych macierzy. Wniosek 13(Dodatnia(ujemna) określoność macierzy) Symetryczna macierz kwadratowa A M n (R)jestmacierzą: dodatniookreślonągdyx t Ax= n a jm x j x m >0dlakażdegox 0; ujemnieokreślonągdyx t Ax= n a jm x j x m <0dlakażdegox 0. Macierz symetryczna odpowiada formie półokreślonej, jeśli w powyższych warunkach zamiast nierówności ostrych występują nietrywialnie nierówności nieostre nietrywialnie, to znaczy przynajmniej dla jednego niezerowego wektora nie ma miejsca nierównośc ostra. 10.2 Metoda Lagrange a redukcji formy kwadratowej 10.2.1 Przykłady redukcji formy kwadratowej do postaci kanonicznej metodą Lagrange a Rozważamy formę kwadratową a w zapisie macierzowym f(x,y,z)=4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz, (10.5) t x 4 4 0 x f(x,y,z)= y 4 3 1 y. z 0 1 2 z Przez uzupełnianie do kwadratu w wyrażeniu po prawej będziemy eliminować kolejne zmienne. Zaczniemyodprzekształceniasumywszystkichskładnikówzawierającychzmiennąx,tj.od4x 2 8xy,za pomocą dobrze znanego sposobu uzupełniania do pełnego kwadratu. Mamy 4x 2 8xy=4(x y) 2 4y 2. Podstawiając to wyrażenie do wyjściowej formy otrzymamy 4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 y 2 +2yz 2z 2. Otrzymaliśmy nową postać formy, która zawiera pełny kwadrat liniowej funkcji x y, a pozostała część sumy,tj.2yz y 2 2z 2 jestformąkwadratowązmiennychyiz.ponieważniejestonapełnymkwadratem, ani do niego proporcjonalna, raz jeszcze zastosujemy podobny chwyt uzupełniania do kwadratu otrzymując 2yz y 2 2z 2 = (y z) 2 z 2. Wyjściową formę możemy zatem zapisać w postaci f(x,y,z)=4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 (y z) 2 z 2. W ten sposób wykazaliśmy, że podstawienie zmiennych w postaci x =x y y =y z z =z z odwróceniem w postaci x =x +y +z y =y +z z =z
A. Strasburger Konspekt wykładów ALiGA(przygotowany 17 czerwca 2011 roku) 61 sprowadza formę do postaci kanonicznej x t 1 0 0 4 4 0 1 1 1 x f P(x,y,z )= y 1 1 0 4 3 1 0 1 1 y z 1 1 1 0 1 2 0 0 1 z x t 4 0 0 x = y 0 1 0 y z 0 0 1 z =4(x ) 2 (y ) 2 (z ) 2. Nakreślona powyżej metoda nie jest jednoznaczna, moglibyśmy na przykład w drugim kroku zastosować formułę co doprowadziłoby nas do odmiennego wyniku. 2yz y 2 2z 2 = 2(z 1 2 y)2 1 2 y2, f(x,y,z)=4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 2(z 1 2 y)2 1 2 y2. W ogólności możliwe jest przeprowadzenie redukcji na wiele innych sposobów, przez uzupełnianie do pełnego kwadratu innych grup zmiennych. Otrzymane na różnych drogach wyniki(postacie kanoniczne formy kwadratowej) mogą być odmienne. Zilustrujemy to przeprowadzając redukcję innym niż poprzedni sposobem.tymrazemrozpoczniemyproceduręoduzupełnieniaodkwadratuwyrażenia3y 2 8xy+2yz, które obejmuje wszystkie składniki zawierające zmienną y. Mamy 3y 2 8xy+2yz=3(y 2 8 3 xy+2 3 yz)=3(y 4 3 x+1 3 z)2 + 8 3 xz 16 3 x2 1 3 z2. co pozwala formę z równania(10.5) przepisać w postaci f(x,y,z)=3(y 4 3 x+1 3 z)2 + 8 3 xz+(4 16 3 )x2 (2+ 1 3 )z2. Trzy ostatnie składniki sumy po prawej stronie nie zawierają już zmiennej y i przedstawiają formę kwadratową zmiennych x, z, którą można zapisać w postaci 8 3 xz+(4 16 3 )x2 (2+ 1 3 )z2 = 4 3 (x2 2xz+z 2 ) z 2 Grupując uzyskane częściowe wyniki otrzymamy 4 3 (x z)2 z 2. f(x,y,z)=3(y 4 3 x+1 3 z)2 4 3 (x z)2 z 2. Wprowadzimy teraz nowe zmienne za pomocą wzorów x =x z y =y 4 3 x+1 3 z z =z z odwróceniem w postaci x =x +z y = 4 3 x +y +z z =z lub w postaci macierzowej x x 1 0 1 y =Q y 4, gdzie Q= 1 1 z z 3. 0 0 1
62 ALiGA Wykład 10. To pozwoli wyjściową formę kwadratową(10.5) zapisać w postaci kanonicznej f Q(x,y,z )=3(y ) 2 4 3 (x ) 2 (z ) 2. Porównując otrzymane różnymi drogami wyniki widzimy, że wyjściową formę można przedstawić w postaci 4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 (y z) 2 z 2 =4(x y) 2 2(z 1 2 y)2 1 2 y2 =3(y 4 3 x+1 3 z)2 4 3 (x z)2 z 2. Jednak choć otrzymane postaci są różne, liczby dodatnich i ujemnych współczynników stojących przy pełnych kwadratach, są w każdym przypadku jednakowe. 10.2.2 Wyznacznikowe kryterium dodatniej określoności macierzy NiechA M n (R)będziemacierząkwadratowąstopnian.Dlak=1,...,nprzezD k (A)oznaczmy minor główny stopnia k macierzy A, tj. minor złożony z elementów macierzy A występujących w pierwszychkkolumnachipierwszychkwierszach.ogólnied k (A)=det[a jl ] j k,l k,awszczególności dlak=1,2,3mamy D 1 (A)=a 11, a D 2 (A)= 11 a 12 a 21 a 22 =a 11a 22 a 12 a 21, a 11 a 12 a 13 D 3 (A)= a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 +a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 32 a 23. Stwierdzenie16NiechA M n (R)będziemacierząsymetryczną,tzn.A t =A.Wówczas x t Ax= x t Ax= a jm x j x m >0, dlawszystkichx 0, D k (A)>0 dlak=1,...,n; (10.6) a jm x j x m <0, dlawszystkichx 0, ( 1) k D k (A)>0 dlak=1,...,n. Przykład10.2.1 Rozważmyiloczynx t Axdlamacierzysymetrycznej [ ] 1 2 A= idowolnegowektora x= 2 5 Prosty rachunek daje [ x1 ] R 2. x 2 x t Ax= [ ] [ ][ ] 1 2 x1 x 1 x 2 = [ ] [ x x 2 5 x 1 +2x 2 2x 1 +5x 1 2 ]=x 2 x 2 1 +4x 1x 2 +5x 2 2 =(x 1+2x 2 ) 2 +x 2 2 2 (10.7) Toostatniewyrażeniejestdodatniedlakażdegoróżnegoodzerawektorax R 2,codowodzi,żemacierzAjestdodatnio określona. Z drugiej strony minory główne macierzy A spełniają D 1 (A)=1>0, D 2 (A)= 1 2 2 5 =1>0, zgodnie z treścią Stwierdzenia 16.