Ciśnienie i gęstość płynów Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy zarówno ciecze jak i gazy. Płyny, w odróżnieniu od ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, łatwo zmieniają swój kształt, a w przypadku gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia. Mówimy, że płyny nie mają sprężystości kształtu, a mają sprężystość objętości. Dlatego rozwiązanie zagadnień zmechaniki płynów wymaga posługiwania się nowymi pojęciami takimi, jak ciśnienie i gęstość. Ciśnienie i gęstość Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe jest związana z tym, że w cieczy siły występują tylko przy zmianie objętości, a nie jak w ciałach stałych przy ich deformacji (zmianie kształtu). W związku z tym w cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą parcia, musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu, podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć. W związku z tym będziemy opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego następująco: DEFINICJA Definicja 1: Definicja ciśnienia Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni. Ciśnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów zawsze prostopadle do tych ścianek i przekrojów. Jednostki 2 Ciśnienie jest wielkością skalarną. Jednostką ciśnienia w układzie SI jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m. Inne stosowane jednostki to bar (1 bar = 10 5 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), milimetr słupka rtęci (760 mm Hg = 1atm). Rozważmy teraz zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (zob. Rys. 1). Dowolny element powierzchni ds jest reprezentowany przez wektor powierzchni ds. Rysunek 1: Element powierzchni ds reprezentowany przez wektor powierzchni ds. DEFINICJA Definicja 2: Definicja wektora powierzchni Długość wektora S. jest równa polu powierzchni S, jego kierunek jest prostopadły do powierzchni, a zwrot na zewnątrz powierzchni.
Siła F wywierana przez płyn na ten element powierzchni wynosi F = ps (1) Ponieważ F i S mają ten sam kierunek więc ciśnienie p można zapisać p = F S (2) Do opisu płynów stosujemy również pojęcie gęstości ρ wyrażonej jako ρ = m V (3) Gęstość płynów zależy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie. W tabeli 1 przedstawiony jest zakres gęstości spotykanych w przyrodzie materiałów. Materiał przestrzeń międzygwiezdna najlepsza próżnia laboratoryjna 10 17 powietrze (1 atm 0 C) 1.3 powietrze (50 atm 0 C) 6.5 Ziemia: wartość średnia Ziemia: rdzeń Ziemia: skorupa białe karły jądro uranu Tabela 1: Zakres gęstości materiałów ρ[ kg/m 3 ] 10 18 10 21 5.52 10 3 9.5 10 3 2.8 10 3 10 8 10 15 10 17 Ciśnienie wewnątrz nieruchomego płynu Równanie ( 2 ) opisuje ciśnienie wywierane przez płyn na powierzchnię, która go ogranicza. Możemy także mówić o ciśnieniu wewnętrznym płynu. W tym celu rozpatrzmy element płynu w kształcie cienkiego dysku znajdującego się na głębokości h pod powierzchnią płynu pokazany na Rys. 2. Grubość dysku wynosi dh, a powierzchnia podstawy wynosi S. Masa takiego elementu wynosi ρsdh a jego ciężar ρgsdh. Pamiętajmy, że siły działające na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni. Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Ponieważ płyn jest nieruchomy więc wypadkowa siła działająca na element płynu jest równa zeru. Rysunek 2: Siły działające na element cieczy znajdujący się na głębokości h Zachowanie równowagi w kierunku pionowym wymaga aby (p + dp)s = ps + ρgsdh (4) a stąd dp = ρgdh czyli dp dh = ρg (5) Powyższe równanie pokazuje, że ciśnienie zmienia się z głębokością płynu. Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy
punktami, dla których mierzymy różnicę ciśnień. Wielkość ρg nazywamy ciężarem właściwym płynu. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe) więc możemy obliczyć ciśnienie cieczy na głębokości h całkując równanie ( 5 ) p = p 0 + ρgh (6) gdzie p 0 jest ciśnieniem na powierzchni cieczy ( h = 0). Zazwyczaj jest to ciśnienie atmosferyczne. Równanie ( 6 ) nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest jednakowe dla punktów o tej samej głębokości, a nie zależy od kształtu naczynia (paradoks hydrostatyczny). Założenie o stałej gęstości ρ nie jest jednak prawdziwe dla gazów gdy mamy do czynienia ze znaczną zmianą wysokości (np. gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie i zmienia się też ρ. Pomiar ciśnienia (barometr) E. Torricelli skonstruował w 1643 r. barometr rtęciowy. Barometr Torricellego składa się z rurki wypełnionej rtęcią ( ρ Hg = 13.6 10 3 kg/m 3 ), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak na Rys. 3. Rysunek 3: Barometr Torricellego Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami podczas gdy p A p B = ρgh = p atm. (7) (8) Ciśnienia w punktach A i B są jednakowe bo punkty te są na jednakowej wysokości więc ρgh = p atm. (9) skąd h = p atm. ρg (10) Mierząc więc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileid=1253
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileid=1089 Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Czas generacji dokumentu: 2015-08-27 12:04:24 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=d378306f68e26f7b5f153ea4b13d3572 Autor: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha