Płyny. ρ 12-1 W Y K Ł A D XI Gęstość. m = V

Transkrypt

1 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 135 W Y K Ł A D XI Płyny. Płynami nazywamy zarówno ciecze jak i gazy. Ciecze pod wpływem grawitacji płyną aŝ zajmą najniŝszą pozycję w naczyniu. Gazy rozprzestrzeniają się na całą objętość naczynia bez względu na kształt naczynia. W gazach odległość pomiędzy dwiema molekułami jest duŝa w porównaniu z rozmiarami cząsteczki. W związku z tym cząsteczki mają mały wpływ na siebie oprócz ich częstych, ale krótkich zderzeń. W cieczach lub ciałach stałych odległości między cząsteczkami są tak małe, Ŝe siły jakie wywierają na siebie są porównywalne z siłami wiąŝącymi atomy w tych cząsteczkach. W cieczach cząsteczki tworzą chwilowe, krótko zasięgowe wiązania, które cały czas są zrywane w wyniku tego, iŝ cząsteczki posiadają określoną energię kinetyczną ( energię cieplną ) i ponownie ulegają połączeniom. Wiązania te powodują, Ŝe ciecz jest stabilna; gdyby wiązania te nie występowały, to ciecz momentalnie wyparowałaby. Wielkość energii wiązania w cieczach zaleŝy od rodzaju cząsteczek. Na przykład, wiązania między atomami helu są bardzo słabe i z tego powodu hel nie przechodzi w stan ciekły przy ciśnieniu atmosferycznym, aŝ do momentu, gdy temperatura spodnie do 4,2K lub niŝszej Gęstość. WaŜną własnością materii jest stosunek masy do jej objętości, zwany gęstością: mas Gęstość objętość Zwykle do oznaczenia gęstości uŝywa się greckiej litery ρ (ro) : m = V ρ 12-1 Definicja gęstości. Dawniej gram był zdefiniowany jako masa jednego centymetra sześciennego wody. W układzie cgs gęstość wody wynosi 1g/m 3. W układzie jednostek SI gęstość wody jest równa: 3 1g kg 100cm 3 3 ρ w = = 10 kg / m cm 10 g m Gęstość większości materiałów, w tym wody, zmienia się wraz z temperaturą. Gęstość wody osiąga swoją największą wartość, daną równaniem 12-2 w temperaturze 4 0 C. Wygodną jednostką objętości płynów jest litr ( l ): 1l = 10 3 cm 3 = 10 3 m 3 W tych jednostkach gęstość wody w 4 0 C wynosi 1,00kg/l. Większość ciał stałych i cieczy rozszerza się tylko w niewielkim stopniu, kiedy są podgrzewane i kurczy się, kiedy poddawane są zwiększonemu zewnętrznemu ciśnieniu. PoniewaŜ zmiany te są stosunkowo niewielkie, to

2 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 136 często traktujemy gęstość ciał stałych i cieczy jako niezaleŝne od temperatury i ciśnienia. Natomiast gęstość gazów silnie zaleŝy zarówno od temperatury i ciśnienia, dla tego teŝ zmienne te muszą być określone kiedy opisujemy konkretną gęstość gazu. Zgodnie z konwencją warunki standardowe (normalne) to ciśnienie na poziomie morza (p=1atm.) i temperatura 0 0 C. Przykładowe wartości gęstości w warunkach standardowych podane są w poniŝszej tabeli. Materiał Gęstość [kg/m 3 ] Złoto 19,3 X 10 3 Ołów 11,3 X 10 3 Miedź 8,93 X 10 3 Aluminium 2,70 X 10 3 Szkło 2,4-2,8 X 10 3 Woda 1,00 X 10 3 Alkohol etylowy 0,81 X 10 3 Powietrze 1,293 Hel 0,1786 Wodór 0, Ciśnienie płynów. JeŜeli ciało jest zanurzone w płynie, na przykład w wodzie, to płyn wywiera siłę prostopadłą do powierzchni ciała w kaŝdym punkcie na powierzchni. Siłę tę na jednostkę powierzchni nazywamy ciśnieniem p płynu: p = 12-3 A Definicja ciśnienia W układzie jednostek SI ciśnienie jest mierzone w paskalach (Pa): 1Pa = 1N/m Inną popularną jednostką jest atmosfera fizyczna (atm), która określa w przybliŝeniu ciśnienie na poziomie morza: 1atm = 101,325kPa 12-5 Ciśnienie wywierane przez płyn na ciało próbuje ścisnąć ciało. Stosunek zmiany ciśnienia ( zmniejszenia objętości ( V / V ) nazywa się modułem ściśliwości : p ) do ułamka Znak minus w równaniu 12-6 wprowadza się, aby B było dodatnie, poniewaŝ wszystkie materiały zmniejszają swoją objętość, jeŝeli przyłoŝyć dodatkowe ciśnienie zewnętrzne.

3 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 137 B p V / V = 12-6 Definicja modułu ściśliwości. Im trudniej jest ścisnąć materiał przy danym ciśnieniu, tym mniejszy jest stosunek V / V, a tym większy moduł ściśliwości. PoniewaŜ ciała stałe i ciecze są praktycznie nieściśliwe, to mają bardzo duŝe moduły ściśliwości ( diament 620GN/m 2, stal - 160GN/m 2, aluminium - 70GN/m 2, rtęć - 27GN/m 2, woda 2,0GN/m 2. Z drugiej strony, gazy łatwo ulegają ściskaniu i wartości B silnie zaleŝą od ciśnienia i temperatury. Jak wiadomo kaŝdemu nurkowi, ciśnienie w jeziorze, czy morzu wzrasta wraz z głębokością. Podobnie ciśnienie atmosferyczne maleje wraz z wysokością. RozwaŜmy walec cieczy, wyodrębniony myślowo z większej objętości, o wysokości h i polu przekroju A ( Rysunek 12-1 ). Aby podtrzymać cięŝar tego walca ciśnienie działające od dołu musi być większe niŝ ciśnienie działające od góry. CięŜar walca cieczy jest równy: P = mg = ρ Vg = ρahg JeŜeli p 0 jest ciśnieniem działającym od góry, a p ciśnieniem wywieranym na dno walca, to wypadkowa siła działająca do góry wynosi pa p0 A. Walec cieczy musi znajdować się w równowadze, dlatego ta wypadkowa siła działająca do góry musi być równa cięŝarowi cieczy zawartej w walcu: pa p0 A = ρahg lub p = p0 + ρgh ( = const ρ ) 12-7 Rysunek 12-1 Definicja ciśnienia hydrostatycznego Mimo, iŝ wzór ten dotyczy dowolnej cieczy, czy gazu ciśnienie wyraŝone wzorem 12-7 nosi nazwę ciśnienia hydrostatycznego. Z faktu, iŝ na głębokości h ciśnienie cieczy w naczyniu jest większe niŝ na powierzchni o ρ gh moŝna wyciągnąć wniosek, Ŝe jest ono niezaleŝne od kształtu naczynia. Po za tym, ciśnienie jest we wszystkich punktach połoŝonych na danej głębokości takie same. JeŜeli zwiększymy ciśnienie poprzez nacisk tłokiem na Mały tłok DuŜy tłok górną powierzchnię cieczy, to zwiększenie będzie jednakowe we wszystkich punktach cieczy. PowyŜsze stwierdzenie znane jest jako prawo Pascala: Ciśnienie wywierane na ciecz w naczyniu jest przenoszone bez zmiany wartości do kaŝdego punktu cieczy i do ścianek naczynia. Typowym przykładem zastosowania prawa Pascala jest podnośnik hydrauliczny pokazany na rysunku Niewielka siła r 1 działając na Rysunek 12-2

4 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 138 mały tłok powoduje zmianę ciśnienia 1 / A1, która jest przekazywana przez ciecz do duŝego tłoka. PoniewaŜ ciśnienia przy duŝym i małym tłoku są jednakowe, to musi zachodzić równość 2 / A2 1 / A1 =. PoniewaŜ powierzchnia duŝego tłoka jest znacznie większa od powierzchni małego = 2 A / A tłoka, to siła działająca na duŝy tłok ( 2 1 ) 1 jest znacznie większa od siły 1. Rysunek 12-3 przedstawia zbiornik z wodą składający się z róŝnych części. Na pierwszy rzut oka mogło by się wydawać, Ŝe ciśnienie w najszerszym naczyniu powinno być największe i powinno wypychać wodę w najwęŝszym naczyniu na największą wysokość. akt, Ŝe takie zjawisko nie zachodzi nazywa się paradoksem hydrostatycznym. Ciśnienie zaleŝy tylko od głębokości pod powierzchnią cieczy, a nie od kształtu zbiornika, tak więc na tych samych głębokościach ciśnienia są jednakowe we wszystkich częściach naczynia. Pomimo, iŝ woda w największym zbiorniku waŝy najwięcej, to część cięŝaru wody jest podtrzymywana przez nachylone ścianki najszerszego naczynia. akt, Ŝe zmiana ciśnienia jest proporcjonalna do wysokości słupa cieczy moŝna wykorzystać do pomiaru nieznanych ciśnień. Rysunek 12-4 przedstawia prosty przyrząd pomiarowy tzw. manometr otwarty, składający się z U-rurki wypełnionej cieczą i słuŝący do pomiaru małych róŝnic ciśnień. Górna część rurki jest otwarta i na ciecz w tym ramieniu działa ciśnienie atmosferyczne p at. W drugim ramieniu rurki panuje ciśnienie p, które ma być mierzone. RóŜnica nad p pat p jest równe ρ gh, którą moŝna nazwać nadciśnieniem, gdzie ρ jest gęstością cieczy w rurce. Ciśnienie, które mierzymy w kole rowerowym, czy samochodowym jest właśnie nadciśnieniem. Kiedy opona jest całkowicie miękka ( kapeć ), wtedy nadciśnienie jest równe zeru i w oponie panuje ciśnienie atmosferyczne. Rzeczywiste ciśnienie panujące w naczyniu otrzymamy ze wzoru: Rysunek 12-3 Paradoks hydrostatyczny Rysunek 12-4 Manometr z otwartą rurką do mierzenia nieznanego ciśnienia p. RóŜnica p pat = ρgh Rysunek 12-5 Barometr w kształcie litery U do mierzenia ciśnienia atmosferycznego.

5 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 139 p = p nad + p at 12-8 Rysunek 12-5 przedstawia barometr rtęciowy w kształcie U-rurki słuŝący do mierzenia ciśnienia atmosferycznego. Górny koniec rurki jest zamknięty i w przestrzeni nad rurką nie ma powietrza, czyli ciśnienie nad rtęcią wynosi zero. Na drugim otwartym końcu panuje ciśnienie atmosferyczne. Ciśnienie atmosferyczne pat jest równe ρ gh, gdzie ρ jest gęstością rtęci. Ćwiczenie W temperaturze 0 0 C gęstość rtęci wynosi 13,595 X 10 3 kg/m 3. Jaka jest wysokość słupa rtęci w U-rurce, jeŝeli barometr wskazuje ciśnienie 1atm = 101,325kPa?(Odpowiedź h = p/ρg = 0,760m = 760mm). Spotyka się jeszcze czasami jednostkę ciśnienia milimetr słupa rtęci (1mmHg) zwanej inaczej torem. Podsumowując: 1atm = 760mmHg = 760torów = 101,325kPa. Rzadko moŝna spotkać jednostkę bar: 1bar = 10 3 milibarów = 100kPa. Dla gazów związek między wysokością (lub głębokością), a ciśnieniem jest bardziej skomplikowany, poniewaŝ gęstość gazów nie jest stała, a zmienia się wraz z ciśnieniem. Gęstość gazów jest w przybliŝeniu proporcjonalna do ciśnienia gazów. W miarę jak wznosimy się z powierzchni Ziemi, ciśnienie słupa powietrza maleje, ale nie liniowo, tak ja to ma miejsce w przypadku wody. Zamiast tego, ciśnienie powietrza zmienia się o stały ułamek na jednakowych odcinkach wysokości, jak widać to na rysunku Na wysokości około 5,5km ciśnienie atmosferyczne jest równe połowie swojej wartości na poziomie morza. JeŜeli wznieść się o następne 5,5km ciśnienie znów zmaleje o połowę i w rezultacie będzie równe jednej czwartej wartości ciśnienia z poziomu morza i tak dalej. Ten przykład z ciśnieniem atmosferycznym zmniejszającym się wykładniczo nazywa się prawem atmosferycznym. Wnętrza samolotów pasaŝerskich latających na duŝych wysokościach muszą być w związku z tym hermetyczne. Gęstość powietrza jest proporcjonalna do ciśnienia, a zatem równieŝ gęstość powietrza maleje wraz z wysokością. Z tego powodu wysoko w górach jest znacznie Rysunek 12-6 mniej tlenu niŝ na niewielkich wzniesieniach i wspinaczka w Himalajach staje się dodatkowo niebezpieczna Prawo Archimedesa. JeŜeli cięŝki przedmiot zanurzony w wodzie jest waŝony poprzez zawieszenie go na wadze spręŝynowej, to odczyt na skali wagi jest mniejszy niŝ wtedy gdy ten przedmiot waŝymy w powietrzu ( Rysunek 12-7a ). Dzieje się tak dlatego, Ŝe woda wywiera siłę skierowaną do góry, częściowo równowaŝącą siłę grawitacji. Siła ta przejawia się jeszcze wyraźniej, jeŝeli zanurzyć kawałek korka. Gdy korek jest całkowicie zanurzony w wodzie, to doznaje on działania siły skierowanej do góry i spowodowanej ciśnieniem wody, i która to siła jest większa od siły grawitacji, w wyniku czego korek przyspiesza w kierunku powierzchni wody. Siła wywierana przez płyn na zanurzone w nim ciało nazywa się siłą wyporu.

6 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 140 Ciało całkowicie lub częściowo zanurzone w płynie doznaje siły wyporu, która jest skierowana do góry i wartość jej jest równa cięŝarowi wypartej cieczy. Prawo Archimedesa PowyŜsze prawo nosi nazwę prawa Archimedesa. Prawo Archimedesa moŝna wyprowadzić z zasad dynamiki Newtona rozpatrując siły działające na jakąś wyodrębnioną część płynu i przyjmując, Ŝe w stanie równowagi wypadkowa siła musi być równa zero. Rysunek 12-7b przedstawia pionowe siły działające na przedmiot, który waŝymy gdy jest on zanurzony. Te siły to: siła r AR P r P r grawitacji P r skierowana do dołu, siła r s pochodząca od spręŝyny wagi, siła r 1 działająca do dołu wywołana ciśnieniem płynu Rysunek 12-7 AR wywieranym na górną powierzchnię i siła r 2 działająca do góry i spowodowana ciśnieniem płynu wywieranym na dolną powierzchnię. PoniewaŜ waga spręŝynowa pokazuje siłę mniejszą niŝ cięŝar ciała, to siła r 2 musi być większa co do wartości od siły r 1. Siła wyporu wynosi zatem AR = 2 1. Na rysunku 12-8 waga spręŝynowa została usunięta, a zanurzony przedmiot został zastąpiony przez identyczną objętość płynu (zaznaczoną linią przerywaną). Siła wyporu AR = 2 1 działająca na tę objętość tego płynu jest taka sama jak siła wyporu działająca na pierwotny przedmiot, poniewaŝ płyn otaczający tę przestrzeń jest taki sam. Wydzielona część płynu znajduje się w równowadze, a zatem wypadkowa siła musi być równa zero. W rezultacie siła wyporu działająca do góry musi być równa cięŝarowi cieczy: wydzielonej objętości P p Rysunek 12-8 AR = P p 12-9 Zwróćmy uwagę, Ŝe wynik ten nie zaleŝy od kształtu zanurzonego przedmiotu. JeŜeli rozpatrywać nieregularny kształt pewnej wydzielonej ilości płynu, to musi istnieć siła wyporu działająca na nią, wynikająca z obecności otaczającego płynu i równa cięŝarowi tej wydzielonej ilości. W ten sposób udowodniliśmy prawo Archimedesa. Archimedes ( p.n.e) otrzymał zadanie sprawdzenia, czy korona króla Hierona II jest zrobiona z czystego złota, czy jest podrobiona poprzez dodanie tańszego metalu na przykład srebra. Zadanie polegało na określeniu gęstości korony bez uszkadzania jej. Jak mówi legenda, Archimedes rozwiązał ten problem podczas zanurzania się balii z wodą i natychmiast wyskoczył nagi i pobiegł ulicami Syrakuz krzycząc Eureka ( odkryłem to ).

7 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 141 Zmierzony cięŝar AR : r s ciała zanurzonego w płynie jest róŝnicą między prawdziwym cięŝarem, a siłą wyporu = P s AR JeŜeli gęstość ciała wynosi ρ, jego objętość V a gęstość płynu a siła wyporu ρ gv ρ p, to cięŝar ciała jest równy P = ρgv, AR = p. Pomiar cięŝarów w wodzie i w powietrzu pozwala nam wyznaczyć gęstość badanego ciała ρ ( na przykład korony): 12-4 Ruch płynu. ρ = p ρ p P AR = ρgv ρ pgv = ρgv 1 = P ρ ρ s 1 Ruch poruszającego się płynu moŝe być skomplikowany. Popatrzmy, na przykład, na wznoszący się dym z płonącej zapałki. Początkowo dym wznosi się regularnym strumieniem, ale szybko ten prosty, ustalony przepływ ulega zaburzeniu i dym zaczyna wirować w sposób całkowicie chaotyczny (ruch turbulentny). Ruch turbulentny jest trudny do opisania nawet jakościowo. Dlatego teŝ zajmiemy się tylko opisem ruchu nie turbulentnego ustalonego przepływu cieczy doskonałej to znaczy nie posiadającej lepkości, czyli gdy nie występują siły rozpraszające energię mechaniczną. Zakładamy równieŝ, Ŝe płyn jest nieściśliwy, co jest dobrym przybliŝeniem dla większości cieczy. W cieczy nieściśliwej gęstość w całej objętości jest stała. Rysunek 12-9 przedstawia płyn przepływający przez rurę o zmiennym przekroju poprzecznym. Zacieniona część z lewej strony przedstawia objętość płynu przepływającego przez przekrój poprzeczny rury w ciągu czasu t. JeŜeli prędkość płynu na całej powierzchni A 1 wynosi v 1, to objętość płynu przepływająca w tym czasie wyniesie : V = A v1 1 t PoniewaŜ załoŝyliśmy, Ŝe płyn jest nieściśliwy, to taka sama objętość musi wypływać z prawej strony. JeŜeli w punkcie 2 przekrój poprzeczny wynosi A 2, a prędkość przepływu v 2, to objętość wypływająca w tym miejscu wynosi = A v t. Objętości te są jednakowe, a zatem: V 2 2 v1 t = A2v t lub A 1v1 = A2v A1 2 Wielkość Av określa szybkości przepływu objętości płynu I V. Wymiarem I V jest objętość przez czas. Dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu, w dowolnym punkcie szybkości przepływu objętości płynu jest stała: Rysunek 12-9

8 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 142 I V = Av = const Równanie nazywa się równaniem ciągłości. Równanie ciągłości