Statyka najstarszy dział mechaniki, zajmujący się zachowaniem obiektów (ciał) fizycznych poddanych działaniu sił, lecz pozostających w spoczynku 1.

Transkrypt

1 12. Statyka. Hydrostatyka Podstawowe pojęcia Statyka najstarszy dział mechaniki, zajmujący się zachowaniem obiektów (ciał) fizycznych poddanych działaniu sił, lecz pozostających w spoczynku 1. Komentarz Spoczynek obiektu fizycznego może istnieć tylko wtedy, gdy działające na obiekt siły oraz tzw. momenty sił (temat nieomawiany na wykładzie) równoważą się. Nowe pojęcia Sprężystość postaci cecha materii polegająca na przywracaniu postaci (kształtu) obiektu fizycznego po usunięciu sił powodujących jego odkształcenie. Sprężystość objętości cecha materii polegająca na przywracaniu objętości obiektu po usunięciu sił powodujących jego odkształcenie. Ciała stałe ciała (obiekty) fizyczne mające sprężystość postaci oraz sprężystość objętości. Płyny 2 mają co najwyżej jedną z wymienionych form sprężystości: ciecze sprężystość objętości, gazy nie mają żadnej formy sprężystości. 1 Nie poruszających się ruchem postępowym, ani ruchem obrotowym w danym układzie współrzędnych. 2 Płyn = ciecz lub gaz. 107

2 Wyjaśnienia Ciecze: a) nie zachowują kształtu (dopasowują się do kształtu naczynia, wypełniając jego część), czyli nie mają sprężystości postaci, a jednocześnie... b) są prawie nieściśliwe ( przeciwstawiają się próbie zmiany objętości),...czyli mają sprężystość objętości. Ciecz tworzy powierzchnię swobodną oddzielającą ją od otoczenia (na ogół od powietrza, patrz Rys. 12.1). Gazy: a) gazy, podobnie jak ciecze nie zachowują kształtu, czyli nie mają sprężystości postaci, ale w odróżnieniu od cieczy wypełniają spontanicznie całe naczynie (nie tworzą powierzchni swobodnej); jednocześnie... b) są bardzo ściśliwe nie mają sprężystości objętości. Zestawienie Ciała stałe Ciecze Płyny Gazy Sprężystość postaci Sprężystość objętości

3 Kolejne pojęcie... Hydrostatyka statyka cieczy; tutaj siły (pozostające, jak zawsze w statyce, w równowadze) działają w nieruchomych cieczach lub są wywierane przez takie ciecze na powierzchnie ciał stałych. Przykład Do foliowego woreczka wlewamy wodę. Ścianki woreczka wyginają się, co świadczy o działaniu na nie od wewnątrz sił wywieranych przez wodę: powierzchnia swobodna cieczy h F N Uwaga! Na rysunku, ze względów technicznych, siły pokazano jako rozsunięte; w rzeczywistości działają wzdłuż tej samej prostej. Rys Ciśnienie cieczy. F wartość siły wywieranej przez wodę na ściankę, N wartość siły wywieranej przez ściankę na wodę, N - (31) F (III zasada dynamiki Newtona). 109

4 Problemy (do rozważenia): 1) Siły F oraz N są skierowane prostopadle do powierzchni ścianki (stąd znak ). 2) Jaka jest natura tych sił (skąd się biorą)? 3) Siły F oraz N rosną wraz z głębokością (wniosek z doświadczenia). Wprowadzamy nowe pojęcie a jednocześnie wielkość fizyczną: ciśnienie skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca siłę wywieraną przez płyn na dowolną powierzchnię w płynie lub powierzchnię ciała stykającego się z płynem 3 : F p, (32) S gdzie: F wartość wektora siły wewnętrznej prostopadłej do powierzchni S. ciśnienie zewnętrzne ciśnienie związane z siłą zewnętrzną działającą na powierzchnię swobodną cieczy, prostopadłą do powierzchni (Rys. 12.2): p z F z, (33) S 3 Dalej, w tym rozdziale, zajmować się będziemy wyłącznie cieczami 110

5 gdzie: F wartość wektora siły zewnętrznej z wywieranej na powierzchnię S cieczy. F z S Rys Siła zewnętrzna działająca na ciecz Prawo Pascala Ciśnienie zewnętrzne p z wywierane przez siłę F z na powierzchnię S cieczy będącej w równowadze przenosi się w cieczy i jest takie samo w każdym jej punkcie. S F z p z p z F z S const Rys. 12.2a. 111

6 W szczególności, ciśnienie wywierane jest na ścianki boczne naczynia, a także na każdą powierzchnię zanurzoną w cieczy. Uwaga: strzałkami zaznaczono przykładowe kierunki działania sił związanych z ciśnieniem cieczy (zawsze do powierzchni, na które te siły działają). Założenie Prawo Pascala w przedstawionej formie obowiązuje w sytuacji, gdy siła zewnętrzna wywierana na powierzchnię swobodną jest jedyną siłą aktywną działającą na ciecz. Wiemy jednak, że na Ziemi sama ciecz, podobnie jak każde ciało fizyczne, podlega działaniu siły grawitacji (ciążenia) Q. Jak w prawie Paskala uwzględnić tę siłę? h S Q m g [ V] g [ ( S h)] g S h g gdzie: gęstość cieczy, 2 g 9.81 m/s. Rys Ciśnienie hydrostatyczne 112

7 Siłę Q, będącą ciężarem cieczy znajdującej się nad powierzchnią S można traktować jak siłę zewnętrzną działającą na tę powierzchnię, wywierającą na nią ciśnienie zewnętrzne: Q S h g p g h, (34) S S Z godnie z prawem Pascala ciśnienie to rozchodzi się w całej cieczy znajdującej się poniżej powierzchni S. Ciśnienie wywierane przez ciecz, dane wzorem (34) nazywa się ciśnieniem hydrostatycznym. Ogólne prawo Pascala Całkowite ciśnienie p panujące w cieczy na głębokości h jest równe sumie (stałego) ciśnienia zewnętrznego p z wywieranego na ciecz i (zmiennego) ciśnienia hydrostatycznego, równego na tej głębokości g h: p p g h (35) Komentarze z 1) Siła F wywierana przez wodę w przykładzie przedstawionym na Rys pochodzi od ciśnienia hydrostatycznego, czyli ostatecznie od ciężaru cieczy znajdującej się nad powierzchnią przechodzącą przez punkt działania siły. 2) Przyjrzyjmy się raz jeszcze rysunkom 12.2, 12.2a i 12.3 oraz wzorom (33 35). 113

8 W związku z tym, że siła F Z jest wektorem można by formalnie zdefiniować: F Z p, (33a) Z S... czyli uznać ciśnienie zewnętrzne za wektor. Jak jednak wynika z prawa Pascala, w cieczy taki wektor, zachowując swą wartość traci kierunkowość! W tym właśnie sensie ciśnienie nie jest wektorem a skalarem. 3) Prawo Pascala nie obowiązuje dla ciał stałych. W statyce ciał stałych za formalny odpowiednik prawa Pascala można uznać stwierdzenie: Siła wywierana na powierzchnię ciała stałego będącego w równowadze przenosi się wzdłuż kierunku swego działania na całe ciało i jest taka sama w każdym punkcie ciała. Tutaj kierunkowość działania siły jest zachowana! I nie ma potrzeby wprowadzania ciśnienia jako nowej, skalarnej wielkości fizycznej związanej z siłą. Obliczenia 1. Jednostki ciśnienia Na podstawie wzoru (33), w układzie SI jednostką ciśnienia jest wartość ciśnienia pochodzącego od siły 1 N (niuton) działającej na powierzchnię 1 m

9 Takie ciśnienie nazywa się paskalem (1 Pa): m 1 kg 1 1 N 2 kg 1 Pa = s m 1 m m s W użyciu są m.in. hektopaskale (por. prognozy pogody): 1 hpa 100 Pa. 2. Ciśnienie hydrostatyczne Mamy dwa szklane pojemniki w kształcie tzw. menzurek, o zbliżonych wysokościach lecz różnych średnicach i polach powierzchni dna (odpowiednio D i S oraz d i s). Pojemniki są wypełnione rtęcią do tej samej wysokości h. Obszary nad rtęcią są puste, pozbawione powietrza (górna część każdego pojemnika jest szczelnie, próżniowo zamknięta pokrywą): h D, S d, s Rys Naczynia z cieczą (rtęć). 115

10 Dane: h 760 mm 0,76 m, D Oblicz: 1 10 cm 10 m; d g kg 13, cm m 3 0,5 cm 5 10 m 1) Wartość ciężaru rtęci w każdym z pojemników (Q, q), 2) Ciśnienie hydrostatyczne rtęci wywierane na dno każdego z pojemników (P, p). 3) Wartość siły hydrostatycznej, związanej z ciśnienieniem hydrostatycznym na dno każdego z pojemników (F, f). Uwaga Strzałką zaznaczono wybrany kierunek i odpowiednią powierzchnię działania ciśnienia hydrostatycznego (P i p). Strzałki obrazują wektory sił pochodzących od ciśnień hydrostatycznych w wybranym kierunku (F i f ). Ad 1. dla większego z pojemników: S V M D (10 ) ,14 7, m, S h 7, , 76 5, m, 3 V , ,119 kg, Q M g 81,119 9,81 795, 78 N. 116

11 Analogicznie, dla mniejszego z pojemników: s v 5 2 1, m, 5 3 1,49 10 m, m 1 2,03 10 kg (20,3 dag) q 1,99 N. Ad 2. W obu przypadkach ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna pojemnika jest takie samo: kg m P p g h ,81 0, 76 [ m] 3 2 m s ,6 Pa 1013,216 hpa 1013 hpa. Ad 3. W każdym z przypadków siła hydrostatyczna związana z ciśnieniem hydrostatycznym, działająca na dno jest inna, gdyż inne są pola powierzchni dna każdego z pojemników. Dla większego z pojemników: F 3 2 P S ,6 7, [Pa m ] 795,78 N Dla mniejszego z pojemników, odpowiednio: f 5 p s ,6 1, N 1,99 N. 117

12 Komentarze 1) Nie dziwi nas, że otrzymane wartości sił hydrostatycznych F i f, działających na dna pojemników są odpowiednio równe wartościom ciężarów Q i q, gdyż jak pamiętamy źródłem ciśnienia hydrostatycznego jest działanie siły ciężkości! 2) W większym z pojemników: masa M 80 kg, związany z nią ciężar rtęci Q 800 N oraz równa mu wartość siły działającej na dno F 800 N to pokaźne wielkości! Nieznaczne podniesienie takiego pojemnika (samo w sobie bardzo trudne!) spowoduje, że siła działająca na dno nie będzie zrównoważona przez reakcję stołu. Jakie mogą być tego skutki? Dno dużego pojemnika może ulec oderwaniu. Skutków tych najprawdopodobniej nie będzie dla mniejszego z pojemników Naczynia połączone h 118

13 Na pojemnikach z rtęcią użytych w przedstawionych powyżej obliczeniach przeprowadzimy teraz serię doświadczeń. Najpierw połączymy pojemniki rurką, tuż przy dnie, w sposób przedstawiony na rysunku powyżej. Okaże się, że takie połączenie obu pojemników niczego nie zmienia w przedstawionym obrazie fizycznym (nie następują żadne ruchy cieczy pomiędzy pojemnikami)! Co więcej, mogą być w ten sposób podłączane kolejne pojemniki o dowolnym kształcie, byle tylko były wypełnione rtęcią do tej samej wysokości! 4 Poziom cieczy w naczyniach połączonych jest zawsze taki sam, niezależnie od kształtu połączonych naczyń. Dlaczego? W obu naczyniach (i w każdym następnym) ciśnienie hydrostatyczne cieczy na tym samym poziomie nad wspólnym poziomem dna pojemników jest takie samo. Zgodnie bowiem ze wzorem (35) zależy ono wyłącznie od głębokości h (nie zależy m.in. od kształtu naczynia) Naczynia połączone prasa hydrauliczna Wykonujemy kolejne doświadczenie z cieczą (rtęć). (Rozmiary naczyń jak w poprzednich przykładach) 4 Niezbędne może okazać się jedynie niewielkie uzupełnienie ilości rtęci, dla wypełnienia rurek łączących. 119

14 Usuwamy pokrywy naczyń, a na poziomie powierzchni swobodnych cieczy w każdym z naczyń wstawiamy szczelne, nieważkie (pozbawione ciężaru idealizacja) tłoczki, jak w strzykawkach medycznych... Komentarz Operację zdejmowania pokryw i wstawiania tłoczków wykonujemy w warunkach próżniowych, tak iż obszary nad powierzchniami swobodnymi cały czas wypełnia próżnia, a ostatecznie część tych obszarów zajęta zostaje przez tłoczki. f Z h F Z p Z Oddziałujemy teraz siłą zewnętrzną f Z na mniejszy z tłoczków. Wytwarza to w cieczy w prawym naczyniu ciśnienie zewnętrzne: p Z f Z. s 120

15 Zgodnie z prawem Pascala ciśnienie to rozchodzi się równomiernie w całej cieczy (w obu naczyniach połączonych!). Działa więc także w kierunku do góry na większy z tłoczków. Ile wynosi związana z nim wartość siły F Z? Z prawa Paskala: f Z s F Z p P. Z Z Po przekształceniu: F f Z Z S S, co czyta się: siły wywierane na tłoczki s są wprost proporcjonalne do ich powierzchni. Z danych tego przykładu: S s 7, m 3 2 1, m , zatem F 400 f! Z Z Widać, że użycie naczyń połączonych może dać znaczny zysk na sile! Uwaga Krytyczny Słuchacz zauważy, że w przedstawionej analizie nie uwzględniliśmy ciśnienia hydrostatycznego cieczy. Czy to błąd? (patrz Pytania i problemy, pkt. 5). 121

16 12.5. Naczynia połączone ciśnienie aerostatyczne - barometr W kolejnym doświadczeniu ciągle z wykorzystaniem naszych naczyń połączonych (!) usuwamy tłoczki i przywracamy pokrywy naczyń i ich próżniowe uszczelnienie. Tym razem jednak, w pokrywie większego z naczyń umieszczamy dodatkowe dwa zawory próżniowe (nie pokazane na rysunku), przez które będziemy: a) stopniowo usuwać ciecz (rtęć) z większego z naczyń [zawór nr 1] przy jednoczesnym... b) stopniowym doprowadzaniu powietrza do obszaru nad powierzchnią swobodną cieczy w tym naczyniu [zawór nr 2]. Jeśli tempo obu procesów będzie odpowiednio dobrane to zauważymy, że w prawym (mniejszym) naczyniu NIC SIĘ NIE DZIEJE! Nawet po całkowitym usunięciu rtęci z większego z pojemników i pełnym otwarciu zaworu nr 2 (co jest równoważne ponownemu otwarciu pokrywy dużego naczynia) poziom rtęci w prawym naczyniu nie zmieni się i będzie ciągle wynosić ok. 760 mm! Dlaczego? Wyjaśnienie Ciśnienie hydrostatyczne rtęci przy dnie lewego, większego naczynia początkowo równe ciśnieniu hydrosta- 122

17 tycznemu w prawym (mniejszym) naczyniu maleje w miarę opróżniania tego naczynia z rtęci, ale jest zastępowane przez dodatkowe ciśnienie zewnętrzne pochodzące od ciśnienie napuszczanego powietrza. Ciśnienie powietrza (gazu) nazywa się ciśnieniem aerostatycznym. Komentarz Ciśnienie aerostatyczne atmosfery Ziemi, zwane ciśnieniem atmosferycznym pochodzi od ciężaru powietrza znajdującego się ponad daną powierzchnią, jest zatem, co do swego pochodzenia, identyczne do ciśnienia hydrostatycznego dla cieczy. Z uwagi jednak na inne niż dla cieczy właściwości gazu (ściśliwość) jego zależność od głębokości (wysokości) w atmosferze jest zupełnie inna niż dla cieczy (nie omawiane na wykładzie). Końcowa sytuacja naczyń połączonych opisanych w tym rozdziale: a) mamy teraz w naczyniach dwa płyny: powietrze (w lewym, otwartym na otoczenie) i rtęć (w prawym), b) istnieje równowaga ( nic się nie dzieje ) dwóch ciśnień: ciśnienia hydrostatycznego rtęci (od prawej) i ciśnienia atmosferycznego powietrza (od lewej), c) z punktu Ad 2 na stronie 117 wiemy, że ciśnienie hydrostatyczne rtęci przy dnie mniejszego naczynia wynosi p 1013 hpa. 123

18 Zatem: Ciśnienie atmosferyczne powietrza przy powierzchni Ziemi wynosi ok hpa. Wartość 1013,25 hpa nazywa się ciśnieniem atmosferycznym normalnym dla warunków: T 20 o C, pomiar na poziomie morza. Komentarz 1) W taki sposób niejako po drodze innych rozważań skonstruowaliśmy przyrząd do pomiaru ciśnienia powietrza atmosferycznego! Wystarczy tylko mniejsze z naczyń (to z rtęcią ) zaopatrzyć w podziałkę i mamy barometr. 2) Oczywiście, warunki przykładu z naczyniami połączonymi były specjalnie, dydaktycznie dobrane pod kątem ostatecznego celu doświadczeń. Bardziej realistyczny model barometru jest przedstawiony poniżej: p p h Rys Barometr Torricellego 124

19 Jest to tzw. barometr rtęciowy Torricellego (Evangelista Torricelli, , fizyk i matematyk włoski, udowodnił istnienie ciśnienia atmosferycznego z pomocą skonstruowanego przez siebie przyrządu). Sądzimy, że Czytelnik dostrzeże w działaniu barometru Torricellego mechanizmy analogiczne do omówionych poprzednio dla naszych naczyń połączonych... (patrz Pytania i problemy, pkt. 6) Siła wyporu prawo Archimedesa Spróbujmy zanurzać w wodzie (np. w jeziorze) piłkę. Zauważymy, że pojawia się opór, tym większy im głębsze zanurzenie. Ten opór to tzw. siła wyporu działająca na piłkę. Istnienie siły wyporu jest jeszcze jedną z konsekwencji prawa Pascala. h h + H H p, f, S P, F, S Prawo Pascala Rys Pochodzenie siły wyporu 125

20 Dla uproszczenia przyjmijmy, że mamy do czynienia z całkowicie zanurzonym w cieczy ciałem fizycznym w postaci graniastosłupa o polu podstawy S i wysokości H. Na rysunku powyżej podano wielkości fizyczne mające znaczenie dla obliczenia siły wyporu. Są to: ciśnienie hydrostatyczne (p, P) na danej głębokości, siła hydrostatyczna (f, F) związana z tym ciśnieniem, pole powierzchni graniastosłupa, na którą działa ciśnienie (S) oraz głębokość w cieczy na której znajduje się dana powierzchnia (h, h+h). Małymi literami (p, f, h) oznaczono odpowiednie wielkości dla górnej, zaś dużymi (P, F, h+h ) dla dolnej powierzchni graniastosłupa. Pola obu powierzchni (górnej i dolnej) są oczywiście jednakowe. Obraz fizyczny Siła hydrostatyczna działające od dołu na zanurzone ciało jest większa od siły hydrostatycznej działającej od góry, gdyż: ciśnienie hydrostatyczne panujące głębiej jest większe (wzór 35), ciśnienie hydrostatyczne rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach, zatem również do góry (prawo Pascala). Powstająca w ten sposób siła wypadkowa to właśnie siła wyporu (patrz Pytania i problemy, pkt. 8). 126

21 Prawo Archimedesa Na ciało zanurzone w płynie (cieczy lub gazie) działa, jako dodatkowa, pochodząca od płynu, siła wyporu W skierowana ku górze, o wartości równej ciężarowi płynu wypartego przez to ciało: W m g g V, gdzie: gęstość płynu, V objętość wypartego płynu. W innym sformułowaniu, które wykorzystamy w następnym podrozdziale, prawo Archimedesa głosi, że: Ciało fizyczne zanurzone w cieczy traci na ciężarze tyle, ile waży wyparta przez nie ciecz. Tak więc, ciało zanurzone w cieczy staje się lżejsze. Intuicyjnie rozumiemy, że mogą w ten sposób powstać warunki dla pływania ciała. Pływanie ciał Na ciało fizyczne zanurzone w cieczy działa: siła ciężkości G (w dół ) oraz siły pochodzące od ciśnienia hydrostatycznego, których wypadkową jest siła wyporu W skierowana do góry. 127

22 W G Konkurencja tych dwóch sił decyduje o tym czy: ciało pływa na powierzchni, pływa całkowicie zanurzone, czy też tonie. Nasze rozważania rozpoczynamy od analizy warunków pływania ciała całkowicie zanurzonego w cieczy. Ten rodzaj pływania występuje, gdy przy całkowitym zanurzeniu ciała spełniony jest warunek: G W. Z prawa Archimedesa W g V, zaś z ww. warunku: G m g ( V ) g W g V, gdzie: c znacznik c dotyczy ciała. Ostatecznie otrzymujemy: c Ciało pływa całkowicie zanurzone w cieczy, jeśli jego gęstość jest równa gęstości cieczy:. c Na podstawie podobnych rozważań możemy sformułować zasadę: Ciało pływa na powierzchni cieczy, jeśli jego gęstość jest mniejsza od gęstości cieczy :. c 128

23 Podobnie: Ciało tonie w cieczy, jeśli jego gęstość jest większa od gęstości cieczy : Przykłady:. c 3 3 Lód ( 0,9 g cm ) pływa w wodzie ( 1 g cm ), 3 lecz tonie w alkoholu etylowym ( 0,8 g cm ). Stal (żelazo) tonie w wodzie ( ), lecz Fe H O statek wykonany ze stali nie. Dlaczego? W objętości statku dominują puste przestrzenie, tak iż średnia gęstość całej konstrukcji jest znacznie mniejsza od gęstości stali (żelaza) i mniejsza od gęstości wody. Dlatego statek pływa na powierzchni wody. Pytania i problemy 1. Na podstawie informacji z rozdz. 11 objaśnij naturę oddziaływania ścianki woreczka na zawartą w nim wodę (Rys. 12.1), reprezentowanego na tym rysunku przez siłę N. 2. Podaj definicję ciśnienia wewnątrz cieczy i wyjaśnij, dlaczego jest ono określone jako skalar, mimo że pochodzi od siły (wektor). 3. Na Rys. 12.2a pokazano zanurzony w cieczy cienki krążek wraz zaznaczeniem przy pomocy strzałki kierunku działającej nań siły pochodzącej od ciśnienia 2 129

24 hydrostatycznego. Czy jest jeszcze jakaś inna siła tej samej natury działająca na krążek, którą należało pokazać? 4. Wyjaśnij na podstawie wzoru na ciśnienie hydrostatyczne w cieczy dlaczego ciśnienie hydrostatyczne na Księżycu będzie inne niż na Ziemi. Ile razy inne? 5. Dlaczego w rozważaniach dla prasy hydraulicznej (rozdział 12.4) możliwe było pominięcie ciśnienia hydrostatycznego? 6. Objaśnij działanie barometru rtęciowego Torricellego. Co znajduje się w obszarze zaznaczonym czerwoną strzałką na Rys. 12.5? 7. Jak wyglądałby hipotetyczny barometr Torricellego, w którym zamiast rtęci użyto wody? 8. Na podstawie rozważań w rozdziale 12.6 i danych do znajdującego się tam rysunku 12.6 wyprowadź wzór na siłę wyporu dla ciała fizycznego całkowicie zanurzonego w cieczy (prawo Archimedesa dla całkowitego zanurzenia). 130