Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl
Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej ciągłej Rozkłady ciągłe: jednostajny, wykładniczy i normalny.
Rozkład zmiennej losowej ciągłej Uwagi o zmiennej losowej ciągłej: Liczba wszystkich możliwych i wzajemnie wykluczających się zdarzeń elementarnych jest nieskończona Dystrybuanta dla dowolnej zmiennej losowej F() P (X<), Zmienna losowa o dystrybuancie F jest typu ciągłego, jeśli istnieje unkcja, spełniająca równość F ( ) ( ) d (1) Funkcję nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
Związek dystrybuanty i gęstości zmiennej losowej ciągłej Dla dowolnej unkcji, będącej gęstością prawdopodobieństwa zachodzi zależność F ( ) ( ) d 1 Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi równość Stąd wynika, że: P (a X b) F(b) F (a) P (X a) ponieważ P (X a) P (a X a) F (a) - F (a)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Funkcja gęstości prawdopodobieństwa odgrywa najważniejszą rolę w deiniowaniu rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych losowych typu ciągłego. Deinicja Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy unkcję (), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, taką że: () ( przyjmuje wartości nieujemne) oraz dla dowolnych a < b zachodzi b ( ) d P( a < X < b) a
Interpretacja graiczna związku unkcji gęstości z prawdopodobieństwem () a b b ( ) d P( a < X < b) a
Własności unkcji gęstości prawdopodobieństwa Funkcja gęstości jest nieujemna;. W punktach, w których jest ciągła zachodzi równość: () F (); unkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty. Każda unkcja, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej. Z aktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe zeru, nie wynika, że zdarzenie to jest niemożliwe, bo P( X ) lim P( X < + ) lim + ( ) d ( ) d
Przykład czy dana unkcja może być unkcją gęstości Sprawdzić czy dana unkcja, ( ) e dla dla < 1. jest gęstością prawdopodobieństwa 2. znaleźć dystrybuantę F() 3. obliczyć P (X<,5) P (1<X<2) 4. przedstawić graiczną interpretację wyników obliczeń
Rozwiązanie Czy jest gęstością prawdopodobieństwa: 1. Funkcja jest nieujemna 2. ( ) d d + e d e 1 Dystrybuanta F ( ) 1 e dla dla > P(X<,5) F(,5) 1- e -,5 P(1<X<2) F(2) F(1) (1- e -2 ) ( 1- e -1 ) e -1 + e -2
Zadanie do domu Wyznaczyć stałą A taką, aby unkcja była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć P(X>1) Zinterpretować otrzymane wyniki na wykresie gęstości i dystrybuanty ( ) 3 Ae dla dla <
Funkcje zmienne losowej Niech zmienna losowa Y będzie unkcją pewnej zmiennej X, tzn Y( ω) g(x(ω)) Znając rozkład zmiennej X możemy wyznaczyć rozkład zmiennej Y Zadanie : Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y (dystrybuantę i gęstość), gdy : Y ax+b, gdzie: a X jest zmienną losową typu ciągłego z gęstością X i dystrybuantą F X Rozważmy dwa przypadki : a> i a<
Funkcje zmienne losowej - rozwiązanie dla a> F Y (y) P (Y<y) P (ax+b <y) P (X<(y-b)/a) F X ((y-b)/a) zauważmy, że unkcja F X jest różniczkowalna w punktach ciągłości X więc Y d d y b d ( y ( y) FY ( y) FX ( ) dy dy a dy y b ( ) a dla a< F Y (y) P(Y<y) P(aX+b <y) P(X >(y-b)/a) 1- F X ((y-b)/a) zauważmy, że unkcja F X jest różniczkowalna w punktach ciągłości X więc Y d d y b d ( y) FY ( y) [1 FX ( )] dy dy a dy y b) / a X ( ) d ( ) d 1 a X 1 a y b ( ) X X ( b)/ a a gęstość Y (y) możemy zapisać Y ( y) 1 a X ( y b ) a
Wartość przeciętna i wariancja zmiennej losowej ciągłej Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ciągłej, o gęstości prawdopodobieństwa wartość oczekiwana/nadzieja matematyczna [ ] [ ] 1 ) ( ) ( 1 _ + e e d e e d e d X E < ) ( dla e dla [ ] 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 _ 2 2 2 + d e e e d d e d X E wariancja/dyspersja: D 2 (X) E[X-E(X)] 2 E(X 2 )-(E(X)) 2 D 2 (X) 2-1 2 1
Mediana, Medianę zmiennej losowej X oznaczaną 1/2 lub m e deiniują następujące wzory P( {ω: X(ω) m e }) 1/2 i P( {ω: X(ω) m e }) 1/2 Dla zmiennej losowej ciągłej medianę wyznacza się ze wzoru 1 2 Przykład czyli 1- ep(- m e )1/2 m e m e _ e d ( ) d 1 2 stąd m e ln2
Kwantyle Mediana jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego parametru, zwanego Kwantylem. Deinicja Kwantylem rzędu p (<p<1) zmiennej losowej X, o dystrybuancie F, nazywamy liczbę p, taką że F( p ) p F( p +) Dla zmiennej losowej ciągłej kwantyl p jest wyznaczany z wzoru F( p ) p Mediana jest kwantylem rzędu 1/2
Rozkład jednostajny Rozkład jednostajny (zwany teżrównomiernym lub prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru. Ponieważ rozkład jest ciągły, nie ma większego znaczenia czy punkty a i b włączy się do przedziału czy nie. Rozkład jest określony parą parametrów a i b, takich że b>a.
Rozkład jednostajny Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( ) ; < a 1 ; a b a ; > b b Dystrybuanta Wartość oczekiwana E( X ) a + b 2 Wariancja D ( X ) ( b ) 2 a 12 2
Zastosowanie rozkładu jednostajnego Rozkład jednostajny: ma zastosowanie przy analizie niepewności systematycznych. Gęstość prawdopodobieństwa () jest stała wewnątrz przedziału (a, b) i równa zero poza nim. Dla pomiarów obarczonych niepewnością systematyczną, mamy b a 2, zatem S D ( ) ( b 2 2 X a 12 ) 3
Zadanie Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu koła o promieniu r. Niech O będzie ustalonym punktem okręgu, natomiast X długością łuku łączącego punkty OM. Określić rozkład zmiennej losowej X Narysować wykres unkcji gęstości i dystrybuanty zmiennej X Obliczyć P (X<πr) oraz P(X> 3πr/2) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję X M O
Rozwiązanie zadania postać unkcji gęstości ( ) 1 2πr ; ; ; < 2πr ; > 2πr Rozwiązanie należy dokończyć samodzielnie
Zadanie praca samodzielna Pociągi przyjeżdżają na stację dokładnie co 1 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnej przypadkowej chwili. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu. Należy: Określić unkcję gęstości prawdopodobieństwa, wykonać wykres Określić dystrybuantę F, wykonać wykres Obliczyć P(X<8) i przedstawić interpretację graiczną Obliczyć oczekiwany/średni czas czekania na przyjazd pociągu
Rozkład wykładniczy Funkcja gęstości () λ e - λ Dystrybuanta: F() 1- e - λ Wartość oczekiwana E() λ -1 Wariancja D (X) λ -2 Znajduje zastosowanie do obliczania prawdopodobieństwa przejścia obiektu ze stanu X w stan Y w czasie δt, przy stałym, w jednostce czasu, prawdopodobieństwie zmiany stanu obiektu z X na Y.
Rozkład wykładniczy - zastosowania w zagadnieniach ruchu na liniach teleonicznych w problemach czasu eksploatacji elementów maszyn w problemach czasu obsługi i czasu oczekiwania na obsługę przy maszynach, w sklepach itp Niezawodność urządzenia to prawdopodobieństwo tego, że urządzenie wykona zamierzone zadanie w określonym przedziale czasu i w określonych warunkach prawdopodobieństwo niewystąpienia uszkodzeń w ciągu czasu t. Sprawdzono, że dobrą aproksymacją niezawodności jest unkcja N(t) e -λt dla t> (wykładnicze prawo niezawodności) z tego wynika, że N(t)1-F(t) gdzie F(t) jest dystrybuantą w punkcie t, zmiennej losowej T (czas poprawnej pracy) o rozkładzie wykładniczym
Rozkład normalny Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej spotykanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej. Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym σ, co symbolicznie zapisuje się: X ~ N ( µ,σ )
( ) 2 2 2 2 1 ) ( σ µ π σ e Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym N(µ,σ), ma postać: i jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej losowej X. Rozkład normalny unkcja gęstości
Rozkład normalny wykres unkcji gęstości i interpretacja () σ µ Parametry rozkładu N(µ,σ), µ - Wartość oczekiwana σ 2 - Wariancja
Graiczna interpretacja unkcji gęstości i prawdopodobieństwa (dystrybuanty)
Cechy charakterystyczne unkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym: jest symetryczna względem prostej µ w punkcie µ osiąga wartość maksymalną ramiona unkcji mają punkty przegięcia dla µ -σ oraz µ + σ Kształt unkcji gęstości zależy od wartości parametrów: µ,σ: - parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej, - parametr σ decyduje o smukłości krzywej.
Wykresy unkcji gęstości rozkładów N (µ, σ) Przykłady unkcji gęstości rozkładów N (µ,σ) dla różnych wartości µ i σ,5 N(,1) N(3,1) N(,2) N(3,2) -4-3 -2-1 1 2 3 4
Wykresy dystrybuanty rozkładów N (µ, σ) Wykresy dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ,σ), dla różnych wartości µ i σ 1,2 1,8,6 N (,1) N (3,1) N (,2) N (3,2),4,2 -,2-4 -3-2 -1 1 2 3 4
Rozkład normalny Reguła 3 sigma Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(µ,σ) to: - 68,3 % populacji mieści się w przedziale (µ -σ; µ + σ) - 95,5 % populacji mieści się w przedziale (µ - 2σ; µ + 2σ) - 99,7 % populacji mieści się w przedziale (µ - 3σ; µ + 3σ)