ZAJĘCIA III Metody numeryczne w zadanach dentyfkacj Rozwązywane układów równań lnowych Mnmalzacja funkcj Symulacja układów dynamcznych Transformata sygnału do dzedzny częstotlwośc
WPROWADZENIE Komputerowa dentyfkacja obektów Współczesne systemy dentyfkacj wykorzystują do przetwarzana sygnałów pomarowych (danych dentyfkacyjnych) komputery. Na nch są wyznaczane rozwązana układów równań lnowych, jake powstają np. przy dentyfkacj model lnowych metodą najmnejszych kwadratów. Wskaźnk jakośc dopasowana odpowedz modelu do odpowedz obektu w przypadku dentyfkacj model o nelnowej zależnośc od parametrów są mnmalzowane metodam numerycznym optymalzacj nelnowej. Parametry losowe zakłóceń czy estymat parametrów są szacowane numerycznym metodam statystyk. Zmana dzedzny zmennej nezależnej w przypadku dentyfkacj w dzedzne częstotlwośc jest wykonywana na próbkach sygnałów numeryczną mplementacją transformaty czas-częstotlwość (np. FFT). Wreszce podstawowa czynność przy metodze dentyfkacj z modelem to symulacyjne generowane odpowedz modelu na zadane pobudzene w celu dopasowana do zmerzonej odpowedz dentyfkowanego obektu. Każda metoda numeryczna ma określone własnośc dotyczące odpornośc na zaburzene danych (spowodowane skończoną dokładnoścą reprezentacj lczb w komputerze), złożonośc oblczenowej szybkośc zbeżnośc do rozwązana metod teracyjnych. Ponższe opracowane daje przegląd wybranych algorytmów numerycznych wykorzystywanych w dentyfkacj obektów zarówno pod kątem zasady dzałana jak własnośc numerycznych z przykładam w Matlabe. Przykład (od problemu dentyfkacj do układu równań lnowych): Dzałane statycznego układu lnowego z dwoma wejścam jednym wyjścem możemy zapsać w postac modelu y = au + a2u2. Żeby wyznaczyć pomarowo współczynnk a a 2 musmy przygotować co najmnej dwa różne pomary wejść wyjść: { u () () (), u2, y }, { (2) (2) (2), 2, } u u y. Jak zapsać macerzowo problem do rozwązana?
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH ZWYKŁYCH I NADOKREŚLONYCH Układem równań lnowych nazywamy układ jednoczesnych równań: a,x + a,2x 2 +... + a,nx n = b a2,x + a2,2x 2 +... + a2,nx n = b2 a x + a x +... + a x = b m, m,2 2 m,n n m a, a,2 a, n x b a2, a2,2 a 2, n x 2 b 2, lub Ax = = = b am, am,2 a m, n xn bm Dla b=0 układ jest nazywany jednorodnym. W zależnośc od wartośc m n (wymarów macerzy A) może wystąpć: nedookreśloność to sytuacja gdy lczba newadomych x przewyższa lczbę równań (m<n). nadokreśloność to sytuacja gdy lczba równań przewyższa lczbę newadomych (m>n). Wtedy mogą stneć rozwązana sprzeczne. Szczególna nterpretacja sprzecznego układu równań ma mejsce w regresj lnowej. W tym przypadku poszukuje sę rozwązana, które spełna układ równań z najmnejszym błędem. Dla m=n układ równań ma jednoznaczne rozwązane. Problem: Jak rozwązać układ równań z kwadratową macerzą A? Pomysły: - Metoda wyznacznków jak w szkole średnej (bardzo dużo oblczeń) - Odwrócć macerz A pomnożyć przez tę odwrotność obe strony równana, wtedy x = A b (dużo oblczeń) - Przez proste operacje na obu stronach sprowadzć macerz A do jednostkowej (mało oblczeń)
Rozwązywane układu równań metodą elmnacj Gaussa Zakładamy, że macerz jest kwadratowa neosoblwa, z czego wynka że stneje jednoznaczne rozwązane. Zakładamy dodatkowo, że elementy dagonalne są nezerowe. Wtedy z ostatnch n- równań można wyelmnować x odejmując od -tego równana perwsze równane pomnożone przez m, 2,,, = a, a, = n Przekształcone równana przyjmują postać: a, a,2 a, n x b ( 2) ( 2) ( 2) 0 a2,2 a 2, n x 2 b 2 = ( 2) ( 2) ( 2) 0 a x n,2 an, n n bn gdze nowe współczynnk dane są wzoram: ( 2) a, 2,,, j = a, j m,a, j = n ( 2) b = b, 2,, m,b j = n Dalej postępujemy podobne z kolejnym elementam pod dagonalą, aż do momentu, gdy dolna trójkątna część macerzy zostane wyzerowana. Możemy wyzerować też górny trójkąt, ale ne ma potrzeby. Końcowa postać układu równań to: a, a,2 a, n x b ( 2) ( 2) ( 2) 0 a2,2 a 2, n x 2 b 2 = ( n) ( n) 0 0 a x b nn, n n Ostatn wersz pozwala na wyznaczene x n, na podstawe którego możemy wyznaczyć x n- z przedostatnego wersza, td. Poprzez kolejne podstawena w tył można wyznaczyć wektor newadomych x.
Przykład: Symbolczne na przypadku 2x2 Komputerowa dentyfkacja obektów Początkowa postać układu równań: a, a,2 x b a a = x b 2, 2,2 2 2 krok /: krok /2: krok 2/: a,2 b a x, a, a x = 2, a2,2 2 b 2 a,2 b a, x a, = x a,a2,2 a2,a,2 a,b2 a2,b 0 a 2, a, a,2 a x, = 0 x b a, 2 2, 2 a,a2,2 a2,a,2, a b a b (dzelmy wersz przez element dagonalny a, ) (zerujemy kolumnę: wersz - wersz x a, ) (dzelmy wersz2 przez element dagonalny a 2,2 ) krok 2/2: 0 x = 0 x 2 a b a b a a a a 2,2,2 2, 2,2 2,,2 a b a b a a a a, 2 2,, 2,2 2,,2 (zerujemy kolumnę2: wersz - wersz2 x a,2 ) Wynk zgadza sę z rozwązanem ze wzoru Cramera. Uogólnene elmnacj Gaussa dekompozycje macerzy LU, QR, SVD Elmnacja Gaussa może być wdzana jako rozkład (dekompozycja) macerzy A na loczyn macerzy trójkątnej dolnej górnej, tj. A = L*U. Macerz L to macerz współczynnków, przez które mnożone były wersze w trakce
elmnacj, a macerz U to macerz końcowego układu równań. Dekompozycję LU na macerze trójkątne wykonuje w Matlabe funkcja lu. Przy rozwązywanu zadań dentyfkacj rzadko korzysta sę bezpośredno z metod rozwązywana układów równań, poneważ te są wywoływane nejawne np. przy odwracanu macerzy. Efektywne rozwązane układu równań jest zamplementowane w Matlabe poprzez operatory dzelena macerzowego / \. Różnca mędzy nm ma tylko charakter kolejnośc operandów, obydwa korzystają z elmnacj Gaussa, obydwa są w szczególny sposób nterpretowane, jeśl macerz w manownku operacj ne jest kwadratowa. W tym przypadku wyznaczane jest rozwązane w sense najmnejszej sumy kwadratów (jak estymator LS, który będze nedługo omawany) wewnętrzne używana jest dekompozycja SVD lub QR (odpowednk LU dla macerzy nekwadratowych, których tu już ne omawamy). Przykład: Rozwązane naszego początkowego problemu dentyfkacyjnego możemy teraz wyznaczyć jako: U=[u, u2; u2, u22]; y=[y; y2]; a=nv(u)*y; % można ~ 3 razy szybcej precyzyjnej a=u\y; % wlasne tak Przyjmjmy U=[ 2;2 4], y=[3; 6]. Czy z takch danych pomarowych można wyznaczyć dobre rozwązane?
MINIMALIZACJA FUNKCJI Komputerowa dentyfkacja obektów Standardowe matematyczne sformułowane zadana mnmalzacj brzm: Dla danej funkcj f dla danego obszaru S E k znaleźć punkt x * S tak, że f(x * ) f(x) dla wszystkch x S, gdze E k jest k-wymarową przestrzeną eukldesową parametrów, x jest punktem tej przestrzen, czyl wektorem wartośc parametrów. Przestrzeń poszukwana wartośc parametrów może być ogranczona. Ogranczena mają najczęścej charakter przedzałów, rzadzej postać ogranczeń równoścowych czy nerównoścowych. x x x g ( ) = 0, =,, n l u x ( x ) 0, =,, g n Podstawowe dee rozwązań problemu mnmalzacj Przypadk rozwązywalne analtyczne: problemy LP (Lnear Programmng) - kryterum ogranczena są lnowym funkcjam parametrów problemy QP (Quadratc Programmng) - kwadratowe kryterum lnowe ogranczena Problemy NP (Nonlnear Programmng) wymagają użyca teracyjnych metod poszukwana opartych na nformacj o wartoścach kryterum w wybranych punktach przestrzen parametrów. Numeryczna mnmalzacja lokalna: poszukwane pojedynczego mnmum. Efektywne metody wykorzystują przyblżena pochodnych funkcj. W trudnych przypadkach (np. necągłośc) korzystają tylko z wartośc funkcj. Mnmalzacja globalna: poszukwane jednego punktu mnmalnego przy welu mnmach lokalnych. Jest to trudne zadane oblczenowe. Pomysły na rozwązane to welokrotne starty metody lokalnej z różnych punktów lub zasada błądzena wokół beżącego rozwązana dla znalezena sąsadującego lepszego rozwązana (np. smulated annealng, algorytmy genetyczne).
Numeryczne metody mnmalzacj lokalnej bez użyca pochodnych Metody wymagające podana przedzału zawerającego mnmum (w Matlabe funkcja fmnbnd) metoda złotego podzału metoda nterpolacj kwadratowej sześcennej Metoda smpleksów (w Matlabe fmnsearch) kerunek spadku wyznaczany z nachylena najprostszej fgury geometrycznej Metody lokalne wykorzystujące nformację z gradentu Naturalne w przypadku mnmalzacj lokalnej jest wykorzystane nformacj o zachowanu sę mnmalzowanej funkcj zawartej w jej pochodnych kolejnych rzędów. Informacje te są dostarczane przez użytkownka procedury mnmalzującej w postac jawnej, lub uzyskwane drogą numerycznego przyblżena różncowego. Najstarsze metody tego typu wykorzystywały nformację zawartą w perwszej pochodnej, opsującej nachylene zbocza funkcj w aktualnym punkce (stąd nazwa metody gradentowe). Przykładowo w metodze najwększego spadku (ang. Steepest Descent) następne przyblżene mnmum jest poszukwane w kerunku przecwnym do gradentu, tj. d=- f(x). W szczególnych przypadkach, jak np. funkcja Rosenbrocka, metody te są bardzo wolno zbeżne do rozwązana. Wyznaczene kerunku poszukwana mnmum jest perwszym etapem pojedynczego kroku metody mnmalzacj welowymarowej. Drugm etapem jest jednowymarowe poszukwane mnmum wzdłuż wyznaczonego kerunku, tzn. mnmalzacja względem α zależnośc: x x d = + k+ k α metodam np. złotego podzału, cągu Fbonaccego, metodam nterpolacj/ekstrapolacj.
Metody lokalne wykorzystujące nformację z hesjanu (macerzy drugch pochodnych) Metoda gradentowa używała modelu perwszego rzędu (lnowego) zachowana sę funkcj w okolcy beżącego punktu. Dokładnejsze wyznaczene kerunku poszukwana mnmum otrzymuje sę przy uwzględnenu nformacj różnczkowej drugego rzędu. Model otoczena beżącego punktu ma wtedy postać kwadratową, z zastępczym problemem mnmalzacj: T T mn c n xhx+ bx +, x R 2 gdze H jest symetryczną dodatno określoną macerzą hesjanu aproksymowanej funkcj, b wektorem gradentu w beżącym punkce, c stałą. Z przyrównana pochodnej modelu względem x do 0 otrzymuje sę kerunek d poszukwana mnmum (kerunek Newtona): d= H b Metody z bezpośrednm wyznaczanem hesjanu są nazywane metodam Newtona. Wyznaczane macerzy hesjanu jest jednak kosztowne oblczenowo. Z tego względu opracowano metody z teracyjną aktualzacją tej macerzy nazywane metodam quas-newtona (lub metodam zmennej metryk). Najpopularnejsze formuły aktualzacj to BFGS (pokazana dla przykładu): H qq HssH T T T = k k k k k k k+ H + k T T qs k k shs k k k s = x x q = f ( x ) f ( x ) k k+ k k k+ k DFP aktualzująca bezpośredno odwrotność macerzy hesjanu. Obydwe są do wyboru w Matlabe w funkcjach fmnunc, fmncon.
ALGORYTMY DLA PROBLEMU NIELINIOWEJ NAJMNIEJSZEJ SUMY KWADRATÓW (NLS) Problem najmnejszej sumy kwadratów czynnków nelnowych względem parametrów powstaje przy wszelkch dopasowanach typu least-squares, np. w dentyfkacj obektów dynamcznych metodą dopasowana odpowedz modelu do pomarów. Problem ma określoną strukturę, węc możemy sę spodzewać uproszczeń w oblczenach. 2 T Kryterum mnmalzacj ma węc postać: f ( x) = F ( x) = F( x) F( x ) Lcząc gradent G hesjan H kryterum uzyskamy: T ( ) = 2 ( ) ( ) Gx Jx Fx, gdze J jest jakobanem wektora F, T Hx ( ) = 2Jx ( ) Jx ( ) + Qx, ( ) gdze ( ) = F ( ) ( ) Q x x H x, H jest hesjanem -tej składowej. Pomjając czynnk Q pozbylśmy sę macerzy drugch pochodnych, korzystamy tylko z jakobanu. Metoda Gaussa-Newtona Stosując kerunek Newtona do powyższego uzyskamy jego wersję dla problemu NLS. Skutkuje to kerunkem będącym rozwązanem problemu lnowego LS: ( ) ( ) 2 2 mn Jxd+ Fx d T T czyl układu równań: Jx ( ) Jxd ( ) = Jx ( ) Fx ( )
Metoda Levenberga-Marquardta Jest to ulepszene metody Gaussa-Newtona dla przypadku kedy czynnk Q(x) ne może być pomnęty. Rozsądne wyjśce, to ne korzystać wtedy w ogóle z hesjanu tylko wybrać krok metody najwększego spadku. Take zachowane można zapewnć doberając współczynnk λ w uogólnonej regule wyznaczana kerunku: T ( ) ( ) + λ = ( ) ( ) Jx Jx Id JxFx Dla λ równego zero jest to kerunek Gaussa-Newtona natomast dla dużego λ perwszy czynnk zwązany z hesjanem trac na znaczenu o kerunku decyduje prawa strona zwązana z gradentem. Implementacją tej metody jest funkcja Matlaba lsqnonln (w starszych wersjach leastsq). Jest to metoda polecana np. do dentyfkacj, poneważ dobrze zachowuje sę z dala od mnmum (od dobrego dopasowana do pomarów) - wtedy korzysta z modelu lnowego najwększego spadku, jak w okolcy mnmum gdze modeluje kryterum funkcją kwadratową.
Przykład: Porównane efektywnośc poszczególnych metod na funkcj Rosenbrocka A B a) steepest descent 000 teracj b) quas-newton BFGS 40 teracj c) Gauss-Newton 48 teracj d) Levenberg-Marquardt 90 teracj C D
ROZWIĄZANIA PROBLEMU MINIMALIZACJI GLOBALNEJ Metoda pokryca satką prostokątną lub nerównomerną Poszukwane mnmum globalnego funkcj jest w tym przypadku zastąpone zadanem poszukwana mnmum dyskretnego skończonego zboru wartośc. Koneczność wyznaczana wartośc kryterum w wykładnczo rosnącej z wymarem problemu lczbe punktów. Proste metody poszukwana losowego Pokryce satką losową. Ulepszane rozwązana przez mnmalzację lokalną z najlepszego z wylosowanych punktów lub mnmalzacja lokalna z każdego z wylosowanych punktów z wyborem najlepszego rozwązana. Zaawansowane metody losowe Wprowadzene czynnka losowego do efektywnych metod mnmalzacj lokalnej (smpleksów, najwększego spadku, quas-newtona) zaburza kerunek poszukwana umożlwając przejśce do sąsednego dołka. Zmenny udzał czynnka losowego w kerunku powoduje, że w początkowej faze optymalzacj przeszukwana jest cała przestrzeń parametrów dla znalezena otoczena punktu mnmum globalnego, a faza końcowa wyznacza z wększą dokładnoścą położene tego punktu. Przykładem takej mplementacj jest metoda Smulated Annealng analoga do procesu chłodzena w termodynamce [zob. Numercal Recpes]. Algorytmy genetyczne Poszukwane mnmum wg zasad ewolucj bologcznej, stosowane głowne w problemach optymalzacj dyskretnej.
PRZEGLĄD FUNKCJI ANALIZY CZASOWEJ I CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ MODELI W MATLABIE Dzedzna czasu: step, mpulse, lsm, flter Stara postać wywołana ze współczynnkam transmtancj lub równań stanu, np.: step(k*w0^2, [ 2*ks*w0 w0^2]) Nowa składna (Matlab 6.x, klasy obekty) wymaga opsu systemu LTI, np.: step(tf(k*w0^2, [ 2*ks*w0 w0^2])) Jak to dzała: Wyznaczane odpowedz czasowej polega na sprowadzenu modelu do równoważnej postac dyskretnych równań stanu (lub fltra cyfrowego IIR) teracyjnym oblczanu kolejnych wartośc odpowedz. Jest to węc odpowednk prostego stałokrokowego algorytmu symulacj dynamcznej (o czym dalej). Możlwa automatyka doboru zakresu kroku na podstawe dynamk modelu. W dzałanu wykorzystywane są funkcje: c2d przejśce do równoważnego opsu dyskretnego z aproksymacją wejśca ZOH (zero order hold) lt/trange - automatyczny dobór kroku czasowego na podstawe mn(re[λ]) macerzy dynamk A. lt/tmscale automatyczny dobór zakresu czasu na podstawe max(re[λ]) macerzy dynamk A. Dzedzna częstotlwośc: bode, freqs, freqz Uwag o starej nowej składn wywołana jak wyżej Jak to dzała: Wyznaczane odpowedz częstotlwoścowej polega na wyznaczenu wartośc welomanów lcznka manownka w zadanych punktach częstotlwoścowych. Możlwa automatyka doboru zakresu kroku na podstawe dynamk modelu. Do tego wykorzystywana jest funkcja: freqpck automatyczny wybór zakresu częstotlwośc przez analzę położena zer begunów
METODY SYMULACJI KOMPUTEROWEJ - PRZYDATNOŚĆ MODELI DO OBLICZEŃ KOMPUTEROWYCH Metoda symulacj zależy od postac modelu. Jak zobaczymy są lepsze gorsze modele dla oblczeń numerycznych. Transmtancja (oblczena przez mnożene wdm zespolonych): Y( jω) = U( jω) G( jω) Komputerowe oblczena z tym modelem są wygodne gdy sygnały są okresowe o ogranczonym wdme. j k ( ) = kcos( ω0 + ϕk), U( jkω0 ) Ae ϕ j ( k arg( G) ) = k, Y( jkω0 ) = Ak G e ϕ +, y ( t) = Yk cos ω0t + arg[ Yk] u t A t k k ( ) Odpowedź mpulsowa (oblczena przez numeryczną całkę splotu w dzedzne czasu): () = () () = ( ) ( ) y t h t u t h τ u t τ dτ 0 Podstawowa nedogodność modelu splotowego to brak akumulacj nformacj z poprzednch punktów czasowych Równana stanu (oblczena przez teracyjne całkowane numeryczne zależnośc różnczkowej): dx ( t) dt ( () t, () t ), ( t ) = f x u x = x ( ) () t = () t, () t y g x u 0 0 Wyznaczane odpowedz model dyskretnych, typu FIR, IIR czy dyskretne równana stanu, polega na prostym mnożenu współczynnków próbek (analoga do modelu cągłego z całkowanem prostym algorytmem Eulera).
Przykład: Oblczena na modelu transmtancyjnym, przenoszene sygnału okresowego przez układ drugego rzędu. Poszukujemy odpowedz przetwornka drugego rzędu opsanego transmtancją wdmową: = ω + 0.02jω (jaką wartość mają standardowe parametry K, ξ, ω 0 tego modelu?) ( ) 2 G jω na sygnał okresowy złożony z dwóch harmoncznych: () = sn( 0.5 ) + 0.2sn( ) = cos( 0.5 π 2) + 0.2cos( π 2) u t t t t t Wdmo sygnału ma dwa prążk dla pulsacj 0.5 [rad/s] o ampltudach 0.2 oraz fazach π 2. 0.033 Transmtancja wdmowa w częstotlwoścach prążków to: G( j0.5) =.33e j 2, G( j) 50e jπ Zrekonstruowany sygnał wyjścowy ma postać czasową: y t t π t 2 () =.33cos 0.5 0.033 + 0cos( π ) =. Implementację oblczeń w Matlabe dla dowolnej lczby składowych o zadanych częstotlwoścach zostawam jako zadane..5 0.5 0-0.5 - u(t) Magntude (db) Phase (deg) 40 20 0-20 -40 0-45 -90-35 G(jw) 5 0 5 0-5 -0 y(t) -.5 0 2 4 6 8 0 2-80 0-0 0 0 Frequency (rad/sec) -5 0 2 4 6 8 0 2
Przykład: oblczena na modelu splotowym, przenoszene sygnału neokresowego przez układ perwszego rzędu. Poszukujemy odpowedz wzmacnacza dolnopasmowego opsanego odpowedzą mpulsową: 0t () 000e ht = (jaką wartość mają standardowe parametry K, T modelu?) na sygnał neokresowy mpulsu prostokątnego: () u t 50[mV], 0 t 0.3[ s] = 0[mV], 0 > t > 0.3[ s] 0.3s u(t 0 -t) u(t) t 0 t Zgodne z zależnoścą splotową, żeby wyznaczyć wartość odpowedz w pojedynczym punkce czasowym t 0, musmy scałkować loczyn odwróconego przesunętego sygnału wejścowego odpowedz mpulsowej układu: ( ) = ( ) ( ) y t h τ u t τ dτ 0 0 0 W naszym przypadku sytuacja upraszcza sę, bo sygnał wejścowy w wększośc czasu jest zerowy zakres całkowana jest ogranczony: ( ) 50 ( τ ) y t0 = h dτ 0 t 0 t 0.3 Wyznaczene odpowedz w następnym punkce wymaga powtórzena całej procedury całkowana z nnym przesunęcem. h(τ) u(t 0 -τ) h(τ) y(t) t 0 t 0 -t τ τ y(t 0 ) t
Realzacja numeryczna Komputerowa dentyfkacja obektów Praktyczne całkowane zawsze prowadz sę w ogranczonym zakrese dzęk zmerzanu odpowedz mpulsowej z czasem do zera (wzmocnene statyczne układu to całka z jego odpowedz mpulsowej, odpowedź mpulsowa reprezentuje pamęć układu). W przypadku spróbkowanego co t sygnału wejścowego najprostsza realzacja to całkowane numeryczne metodą prostokątów z dyskretyzacją obcęcem odpowedz mpulsowej do N+ próbek: N N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y k t = t u k t t h t = t u k t h t = uk h f = 0 = 0 p = 0 W ten sposób dochodzmy do wyrażena analogcznego do splotu dyskretnego. Dokładnejsze oblczena są możlwe, jeśl znane są wartośc wejśca w dowolnej chwl t (np. przebeg dany analtyczne lub przez nterpolację mędzy próbkam) to można zastosować dokładnejsze algorytmy całkowana. W Matlabe take algorytmy całkowana to quad() - adaptacyjna rekursywna metoda Smpsona (trapezów) dokładnejsza quad8() - adaptacyjna rekursywna metoda Newtona-Cotesa (po szczegóły odsyłam do kursu Oblczeń Numerycznych /~ttward/numer). Przykład : Wyznaczene odpowedz układu RC (np. układ Sample&Hold w faze podtrzymana) o stałej czasowej T=[s] jednostkowym wzmocnenu na skokową zmanę wejśca. Metoda splotowa z dokładnejszą całką. Plk główny, odpowedz.m : plk funkcja.m : T=; tv=0:0.:5; yv=[]; for t=tv yv=[yv, quad8('funkcja, 0, 0, [], [], t, T)]; end; plot(tv, yv); functon f=funkcja(tau, t0, T) % uwaga: tau może być wektorem skok=tau<t0; h=/t*exp(-tau/t); f=h.*skok;
SYMULACJA Z MODELEM RÓWNAŃ STANU KRÓTKI PRZEGLĄD ALGORYTMÓW Problemem oblczenowym jest rozwązana dynamcznego równana stanu. Równane wyjśca jest prostą operacją arytmetyczną. Symulacja polega na wyznaczanu wartośc stanu w kolejnych chwlach czasu począwszy od stanu początkowego. dx ( t) dt ( () t, t), ( t ) = f x x = x 0 0 Informacja dostępna w beżącym (w szczególnośc zerowym) punkce: x dx dt = x x (, ) = f x t Wynka stąd najprostszy algorytm Eulera (ekstrapolacyjny): ( ) x x t f x t = + +, Jego odmaną jest nterpolacyjny algorytm Eulera w postac uwkłanej: (, ) x = x + t f x t + + + x f(x,t ) x t t + x f(x +,t + ) x t t +?????? t t Wadą algorytmu Eulera jest kumulacja błędów w kolejnych krokach koneczność stosowana małych kroków symulacj t dla osągnęca dużej dokładnośc.
Grupa algorytmów Rungego-Kutty wykorzystuje dodatkową nformację w pośrednch punktach próbnych. Pochodna decydująca o następnym punkce trajektor rozwązana jest uśrednenem wartośc pochodnych ze wszystkch punktów próbnych. W ten sposób lokalna krzywzna trajektor (wyższe pochodne) mnej zaburza rozwązane numeryczne. Ilość punktów próbnych decyduje o rzędze metody. Przykładowo metoda RK rzędu czwartego ma postać: x = x + t + k k k k 6 + + + ( 2 2 ) 2 3 4 gdze: x k (, ) = f x t t t k2 = f x + k, t + 2 2 t t k3 = f x + k2, t + 2 2 (, ) 4 3 k = f x + k t t + t x t k 2 k t + t/2 k 3 k 4 Tak jak metoda Eulera, metody Rungego-Kutty są samostartujące (wystarcza m pojedynczy punkt startowy x 0 ), w przecweństwe do dalej opsanych. t + t Tak jak nne algorytmy, metody RK mogą meć postać zmennokrokową, adaptacyjne dopasowującą krok symulacj do lokalnej dynamk stanu. Adaptacja dzała na zasadze porównana wynku metody z metodą wyższego rzędu (w przypadku RK z wększą loścą punktów próbnych). Jeśl ch wynk ne różną sę znaczne oznacza to dobrą dokładność. Jeśl sę różną, to zmnejszana jest długość koku t.
Grupa algorytmów Adamsa-Bashfortha Adamsa-Moultona wykorzystuje nformację w poprzedno wyznaczonych punktach zmennej stanu. Informacja o lokalnej krzywźne (wartośc wyższych pochodnych) jest węc naczej wydobywana kompensowana w rozwązanu. W ogólnej postac jest to zależność: K (, ) x = a x + t b f x t + k + k k + k + k k= k= 0 K Algorytmy perwszej grupy, tj. metody Adamsa-Bashfortha, mają charakter ekstrapolacyjny (b 0 =0) ne dają równana uwkłanego. Przykładowo, metoda rzędu trzecego: x = x + ( 23f 6f + 5f ) t 2 + 2 Metody Adamsa-Moultona to metody nterpolacyjne, wymagające rozwązana równana uwkłanego (b 0 0). Przykładowo, metoda rzędu trzecego: x = x + ( 5f + 8f f ) t 2 + + Szczególne efektywna stablna dla rozwązywana układów sztywnych (źle uwarunkowane równana stanu) okazała sę metoda Geara. Jest to algorytm uwkłany, korzysta tylko z poprzednch wartośc stanu z wartośc pochodnej stanu w szacowanym punkce. Przykładowo metoda Geara rzędu czwartego: x = ( 48x + 36x + 6x + 3x ) + 2 t f 25 25 + 2 3 + Do wystartowana tych metod, klka perwszych wartośc stanu wyznacza sę metodą samostartującą (np. RK). x x -2 t -2??? t - t t + t A co z symulacją obektów dynamcznych o parametrach rozłożonych? patrz następny wykład.
ŚRODOWISKO SYMULACJI W SIMULINKU Od strony technk symulacj, Smulnk dzała na baze opsu model równanam stanu, cągłym lub dyskretnym. Grafczne bloczk modelujące elementy dynamczne, na pozome kodu wykonywalnego zawerają take właśne opsy. Całkowane równań stanu może być wykonywane metodam stałokrokowym (fxed step) zmennokrokowym (varable step) czyl adaptacyjnym. Do wyboru mamy algorytmy: stałokrokowe : Rungego-Kutty (ode3 5), Eulera (ode, ode2), zmennokrokowe: RK (ode45, ode23), Adamsa-Bashfortha-Moultona (ode3), NDF (uogólnene Geara, ode5s), neomawane (ode23s, ode23t, ode23tb). Domyślny algorytm to zmennokrokowy od45 Rungego-Kutty czwartego rzędu z kontrolą adaptacj pątego rzędu. Panel zadawana parametrów symulacj znaczene wyberanej dokładnośc względnej bezwzględnej oblczeń pokazano na rysunkach.
W przypadku kedy generowane odpowedz elementu lub systemu w celu wyznaczena kryterum jest trudne do zrealzowana metodam analtycznym, wtedy wykorzystujemy symulację. Przykład połączena algorytmu mnmalzacj symulacyjne wyznaczonego kryterum przedstawa ponższy przykład. Przykład: optymalzacja kryterum jakośc wyznaczanego drogą symulacj Dla modelu symulacyjnego podanego w przykładze welokrotnej symulacj dla wyznaczena charakterystyk: Punkt mnmalny dla kryterum J (lna czerwona) chcemy wyznaczyć metodą mnmalzacj numerycznej Przykładowa sesja Matlaba ma postać: >> op=smset('reltol',e-5,'abstol',e-6, 'MaxStep',e-3, 'srcworkspace', 'current'); >> Topt=constr('eval_J',.5, [], 0.2, 2, [], op) Topt =.0403 gdze eval_j jest plkem z funkcją zwracającą wartość kryterum: functon [Jval, G]=eval_J(T,op) sm('ex_opt_t', 5*T, op); Jval=J; G=[]; W powyższym kodze zapewnono określoną dokładność maksymalny krok symulacj. Ostatna para parametrów wywołana funkcj smset określa środowsko (workspace) oblczana wyrażeń Matlaba, które pojawły sę w modelu Smulnka. Ustawene tego parametru na current powoduje, że w modelu symulacyjnym w Smulnku jest wdoczna zmenna lokalna T funkcj eval_j wywołującej symulację. Constant T.s+ Transfer Fcn Transport Delay.5 0.5 u 2 Math Functon u Abs s Integrator s Integrator 0 0 0.5.5 2 J To Workspace J2 To Workspace
SZYBKA DYSKRETNA TRANFORMATA FOURIERA Komputerowa dentyfkacja obektów Funkcja Matlaba fft wykonuje transformację danych czasowych do dzedzny częstotlwośc. Właścwa nterpretacja danych polega na wyznaczenu wartośc ampltudy, fazy częstotlwośc poszczególnych prążków wyznaczonego wdma. Dla N-punktowego FFT pulsacj próbkowana ( ) ( ) ( N ) ( k ) ω =, ω = k ω = ω, k =,, N ω s N k s N ω = ω = 0, ω = ω = ω ω s N N s N s ω s częstotlwość prążków wyznaczamy jako: Poneważ dla sygnałów rzeczywstych wdmo jest symetryczne, to ampltuda składowych o nezerowej częstotlwośc rozkłada sę po połowe na symetryczne prążk. Faza składowych symetrycznych jest zaś przecwna. Dodatkowo prążk wdma są skalowane wartoścą N. Ostateczne dla ff=fft(syg): A0 = abs( ff () ) N 2 A = abs ( ff () ), > N ϕ = angle ff, > ( ()) Efekty nepożądane w analze FFT to alasng rozmyce wdma. Ne omawamy tych problemów teoretyczne, a w praktyce zaobserwujemy je przy przetwarzanu pomarów na zajęcach.
ZADANIA KOMPUTEROWE ALGORYTMY OBLICZENIOWE W IDENTYFIKACJI Zadane Mnmalzacja kryterum dopasowana FFT Do zarejestrowanego z użycem karty pomarowej sygnału snusodalnego (dane dostępne na serwerze) dopasuj wzorcową snusodę sparametryzowaną przez ampltudę, częstotlwość fazę. Odczytaj dopasowane wartośc. Wyznacz te same welkośc poprzez algorytm FFT. Z czego wynkają różnce? Przedstaw hstogram z reszt dopasowana, które odpowadają szumow pomarowemu. Czy ten szum jest zdomnowany przez efekt kwantowana? Zadane 2 Wygeneruj dowolną metodą symulacj odpowedź obektu nercyjnego perwszego rzędu na sygnał wejścowy w postac rampy (sygnał lnowo narastający). Sprawdź, na jaką cechę wyznaczonej odpowedz wpływa wartość stałej czasowej. LITERATURA DODATKOWA Guzak T., Kamńska A., Pańczyk B., Skora J., Metody numeryczne w elektrotechnce, Wydawnctwa Poltechnk Lubelskej 998 Björck Å., Dahlqust G., Metody numeryczne, PWN Warszawa 987 Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterlng W.T., Numercal Recpes n C, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge 993 MathWorks, Optmzaton Toolbox - User Gude, 994 (dokumentacja dostępna na serwerze MathWorks)