Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo króla kier? (c) w rzucie symetryczną kostką wypadnie 6? (d) liczba wybrana losowo spośród liczb 1,..., 100 jest parzysta? (e) liczba wybrana losowo spośród liczb 1,..., 100 jest podzielna przez 3? (f) wybrany losowo dzień roku przestępnego jest w kwietniu? (g) suma oczek w rzucie dwoma symetrycznymi kostkami jest nieparzysta? (h) w każdym z sześciu rzutów symetryczną monetą wypadnie orzeł? 2. Siedem opon samochodowych zostało ponumerowanych liczbami od 1 do 7 w zależności od ich jakości (1 to najlepsza opona, a 7 najgorsza). Klient wybrał losowo bez zwracania cztery opony. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze najlepsza z wybranych opon ma jakość 3. 3. Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z dwóch cyfr i następnie czterech dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, ze pierwsza cyfra jest nieparzysta, a wsród liter są dokładnie dwie litery A. 4. Z pudełka zawierającego 90 śrub dobrych i 10 wadliwych wyjęto 10 śrub. Jakie jest prawdopodobienstwo, że wszystkie one są dobre? W rozwiązaniu okreslić precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną, modelującą podaną sytuację. 5. Z talii kart wyciągnięto cztery karty. Znaleźć prawdopodobieństwo, że będą wśród nich dokładnie dwa asy. 6. W skrzynce znajduje się 47 żarówek dobrych i 3 przepalone. Wyciągamy losowo pięć żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą wśród nich najwyżej dwie przepalone? 7. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie sumy oczek równej 8 w dwóch czy też w trzech rzutach symetryczną kostką? 8. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje się na dziesięciu piętrach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z pasażerów wysiądzie na innym piętrze? 9. Wśród 40 książek stojących na półce w losowej kolejności jest słownik trzytomowy. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że tomy słownika stoją obok siebie w rosnącej kolejności od lewej do prawej. 10. Zakładając, że urodzenia chłopca i dziewczynki są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie z dwójką dzieci jest co najmniej jeden chłopiec.
Lista 1a 2 11. Rzucamy raz trzema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) dwa oczka wypadną tylko na jednej kostce, b) trzy oczka wypadną przynajmniej na jednej kostce. 12. Na odcinku [0, 1] umieszczono losowo punkty L i M. Jaka jest szansa, że a) środek odcinka łączącego te punkty należy do [0, 1/3]? b) z L jest bliżej do M niż do zera? 13. Patyk został złamany w dwóch losowych miejscach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z powstałych trzech kawałków można zbudować trójk at. 14. Dwie osoby umawiają się na spotkanie. Każda z nich przychodzi w losowej chwili między godzina 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają? Ile czasu powinna czekać każda z osób, aby prawdopodobieństwo spotkania było większe niż 0.75?
Lista 2. Prawdopodobieństwo warunkowe 3 Lista 2. Prawdopodobieństwo warunkowe 1. Załóżmy, że E i F są zdarzeniami takimi, że Pr(E) = 1/3, Pr(F ) = 1/2, a Pr(E F ) = 2/5. Znaleźć Pr(F E). 2. Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe, że w w pięciu rzutach symetryczną monetą pojawią się cztery reszki, jesli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadła reszka? 3. Pierwsze pudełko zawiera dwie białe piłki i trzy niebieskie, a w drugim są cztery białe piłki i jedna niebieska. Frida najpierw losuje jedno z dwóch pudełek, a następnie wybiera z niego piłkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Frida wybrała piłkę z pierwszego pudełka, jeśli wiadomo, że ta piłka jest niebieska? 4. Załóżmy, że 8% kolarzy używa sterydów. Pozytywny wynik testu na doping ma 96% kolarzy zażywających sterydy oraz 9% kolarzy, którzy tego nie robią. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kolarz, który ma pozytywny wynik testu na obecność sterydów, jest na dopingu? 5. Jedna osoba na 10000 ludzi ma rzadkie genetyczne uszkodzenie. Test, wykrywający tę chorobę, daje wynik pozytywny u 99, 9% pacjentów mających to uszkodzenie i u 0, 02 % osób zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) osoba mająca dodatni wynik testu, jest chora? (b) osoba mająca ujemny wynik testu, jest zdrowa? 6. Przypuśćmy, że 5 wiadomości na 7 zawiera spam. Załóżmy ponadto, że prawdopodobieństwo wystąpienia słowa ekscytujący jest równe 0, 08, gdy wiadomość jest spamem i 0, 125 w przeciwnym razie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiadomość zawierająca słowo ekscytujący, zostanie uznana za spam?
Lista 3. Niezależność zdarzeń 4 Lista 3. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego. 1. Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że dziecko jest chłopcem wynosi 0, 51 i że płcie dzieci urodzonych w rodzinie są niezależne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci (a) są dokładnie trzej chłopcy? (b) jest co najmniej jeden chłopiec? (c) jest co najmniej jedna dziewczyna? (d) wszystkie dzieci tej samej płci? 2. Prawdopodobieństwo, że 4 pojawia na pierwszej kostce wynosi 2/7, a prawdopodobieństwo, że 3 pojawia na drugiej kostce to 2/7. Inne wyniki dla każdej z obu kostek pojawiają się z prawdopodobieństwem 1/7. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sumy 7 w rzucie tymi dwoma kostkami? 3. Znajdź prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci nie ma chłopca, jeśli płcie dzieci są niezależne i jeśli (a) prawdopodobieństwo, że urodzi się chłopiec jest równe 0, 5, (b) prawdopodobieństwo, że urodzi się chłopiec jest równe p, gdzie p jest ustaloną liczbą z przedziału (0, 1). (c) prawdopodobieństwo, że i-te dziecko jest chłopcem jest równe p i (i/100). = 0.5 4. Test składa się z 25 pytań. Odpowiadając na każde z nich można wybrać jedną z 4 możliwych odpowiedzi, przy czym trzy z nich są błędne. Zakładając, że student zgaduje odpowiedzi obliczyć prawdopodobieństwo, że odpowie on poprawnie na: (a) co najmniej 20 pytań, (b) mniej niż 5 pytań. 5. Pewne lekarstwo leczy 90% przypadków pewnej choroby. Poddajemy kuracji 20 losowo wybranych chorych. Znajdź prawdopodobieństwo tego, że wyleczymy (a) wszystkich chorych w naszej próbie, (b) wszystkich oprócz jednego, (c) dokładnie 18 chorych, (d) dokładnie 90% chorych w naszej próbie. 6. Pewne lekarstwo uszkadza wątrobę u 1% pacjentów. Testujemy lekarstwo na 50 pacjentach. Oblicz prawdopodobieństwo, że (a) żaden pacjent nie dozna uszkodzenia choroby, (b) co najmniej jeden pacjent dozna uszkodzenia wątroby. 7. Wyznacz prawdopodobieństwo każdego z poniższych zdarzeń w n doświadczeniach ze schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p:
Lista 3. Niezależność zdarzeń 5 (a) nie pojawi się żadna porażka, (b) pojawi się co najmniej jedna porażka, (c) pojawi się co najwyżej jedna porażka, (d) pojawią się dokładnie dwie porażki. 8. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wygenerowany ciąg bitów długości 10 zaczyna się od 1 i kończy się na 00, jeśli bity są generowane niezależnie i jeśli (a) bity 0 i 1 są równie prawdopodobne, (b) prawdopodobieństwo, że bit jest równy 1 wynosi 0, 6. (c) prawdopodobieństwo tego, że jest i-ty bit równy 1 wynosi 1, dla i = 1,..., 10. 2i 9. W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem 1 6 wygrywają goście, z 1 2 gospodarze, a z prawdopodobieństwem 1 będzie remis. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 14 3 meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i 3 remisy.
Lista 4. Dyskretne zmienne losowe 6 Lista 4. Dyskretne zmienne losowe. 1. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 2, 3, 5, 8 z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi 2/10, 4/10, 3/10, 1/10. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej i obliczyć (a) P (X 3), (b) P (X 2.5), (c) P (2.7 X < 5.1), (d) E(X), (e) Var(X). 2. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(n, p) z n = 10 i p = 1/2. Obliczyć (a) P (X = 5), (b) P (X 9), (c) P (3 X < 6), (d) E(X), (e) Var(X). 3. Jaka jest oczekiwana suma oczek w rzucie trzema symetrycznymi kostkami? 4. Jaka jest oczekiwana liczba orłów w pięciu rzutach symetryczna monetą? 5. Jaka jest oczekiwana liczba szóstek w dziesięciu rzutach symetryczną kostką? 6. Jaka jest oczekiwana suma oczek w dwóch rzutach kostką, która nie jest symetryczna i 3 pojawia się dwa razy częściej od pozostałych liczb? 7. Rzucamy symetryczna kostką tak długo az pojawi się szóstka lub wykonamy 10 rzut. Jaka jest oczekiwana liczba rzutów? 8. Rzucamy symetryczna monetą tak długo az pojawią się dwa orły lub wykonamy szósty rzut. Jaka jest oczekiwana liczba rzutów? 9. Rzucamy symetryczną kostką tak długo, aż wypadnie 6. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeba będzie wykonać n rzutów? (b) Jaka jest oczekiwana liczba wykonanych rzutów? 10. Jaka jest wariancja liczby orłów, wyrzuconych w 10 rzutach symetryczną monetą? 11. Jaka jest wariancja liczby szóstek, wyrzuconych w 10 rzutach symetryczną kostką?
Lista 5. Ciągłe zmienne losowe 7 Lista 5. Ciągłe zmienne losowe. 1. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale ( 1, 1). (a) Obliczyć P ( 0, 5 < X 0, 75). (b) Wyznaczyć liczbę x, dla której P ( x < X < x) = 0.9. 2. Czas potrzebny do przeprowadzenia pewnego testu krwi ma rozkład jednostajny na przedziale (50, 75) s. Jaki procent testów (a) trwa dłużej niż 70 s.? (b) kończy się przed upływem minuty? 3. Zmienna losowa X ma rozkład normalny wykładniczy z parametrem λ = 2. Wyznaczyć prawdopodobieństwa P (X > 1), P (X 3), P (1 X < 3), P ( 5 < X < 2). 4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(10, 2 2 ). Wyznaczyć prawdopodobieństwa P (X < 13), P (X > 9), P (6 < X < 14), P (2 < X < 4). 5. Wykorzystując odpowiednie tablice wyznaczyć kwantyle rzędu 1 α dla rozkładu (a) N(0, 1); (b) chi-kwadrat z v stopniami swobody; (c) t-studenta z v stopniami swobody. Przyjąć, że α {0.005, 0.025, 0.05} i v {1, 10, 20}.