Dynamika kondensatu Bosego Einsteina. Dynamics of the Bose Einstein condensate

Uniwersytet Wrocławski Wydział Fizyki i Astronomii Łukasz Tracewski Dynamika kondensatu Bosego Einsteina Dynamics of the Bose Einstein condensate Promotor pracy dyplomowej dr Andrzej Szczepkowicz Opiekun pracy dyplomowej dr Michał Zawada Wrocław, lipiec 2009

Dziękuję dr Andrzejowi Szczepkowiczowi za umożliwienie mi pracy w pasjonującej dziedzinie i opiekę promotorską. Nieoceniony wkład w niniejszą pracę miał dr Michał Zawada, któremu pragnę podziękować za wszystkie uwagi, komentarze i wyjaśnienia, jak także za pomoc w trakcie pobytu w KL FAMO. Dziękuję również pozostałym kolegom z zespołu: Rafałowi Gartmanowi, Jackowi Szczepkowskiemu, Marcinowi Tutmie i Marcinowi Witkowskiemu. Ich koleżeństwo i wsparcie tworzyły dobrą atmosferę pracy. 1

2

Spis treści Streszczenie 5 Wstęp 7 1 Opis teoretyczny kondensatu Bosego Einsteina 11 1.1 Gaz atomów nieoddziałujących..................... 12 1.1.1 Gęstość stanów dla rozkładu Bosego.............. 12 1.1.2 Przejście fazowe.......................... 13 1.1.3 Efekt skończonej liczby cząstek................. 15 1.2 Gaz atomów oddziałujących....................... 16 1.2.1 Równanie Grossa Pitajewskiego................. 17 1.2.2 Przybliżenie gaussowskie..................... 19 1.2.3 Przybliżenie Thomasa Fermiego................. 20 1.2.4 Atomy nieskondensowane..................... 22 1.2.5 Samouzgodniony model Hartree Focka............. 24 2 Aparatura i otrzymywanie kondensatu 25 2.1 Zarys eksperymentu........................... 25 2.2 Układ próżniowy............................. 26 2.3 Chłodzenie atomów............................ 27 2.3.1 Górna pułapka magneto optyczna................ 27 2.3.2 Transfer atomów......................... 31 2.3.3 Dolna pułapka magneto optyczna................ 31 2.3.4 Pułapka magnetyczna...................... 33 2.3.5 Przeładowanie do pułapki magnetycznej............ 34 2.3.6 Chłodzenie przez odparowanie.................. 36 2.4 Metoda pomiaru............................. 37 2.4.1 Układ obrazujący......................... 38 2.4.2 Obrazowanie............................ 39 2.4.3 Zdjęcie............................... 40 3 Metoda analizy wyników pomiarów 43 3.1 Wprowadzenie............................... 43 3.1.1 Rozkłady bimodalny....................... 44 3.1.2 Poszukiwane wielkości fizyczne.................. 46 3.2 Podstawy optymalizacji.......................... 46 3.2.1 Wykorzystywane metody optymalizacji............. 47 3.2.2 Ograniczenie wartości parametrów rozkładu.......... 47 3

3.3 Analizy zdjęć kondensatu w niezerowej temperaturze......... 48 3.3.1 Procedura dopasowywania rozkładu bimodalnego do danych. 49 3.3.2 Kalibracja rozmiaru części termicznej.............. 52 3.4 Dyskusja oceny niepewności pomiarowej................ 53 3.5 Porównanie z innymi metodami..................... 55 3.6 Wnioski.................................. 56 4 Spadek swobodny kondensatu 57 4.1 Wprowadzenie............................... 57 4.2 Pomiary aspect ratio w czystym kondensacie.............. 58 4.3 Pomiary aspect ratio w kondensacie o skończonej temperaturze.... 59 4.4 Kompresja kondensatu.......................... 60 4.5 Wnioski.................................. 61 5 Podsumowanie 63 A Wybrane właściwości 87 Rb i podstawowe stałe fizyczne 71 B Informacje o programie FitBEC 73 C Spis skrótów i oznaczeń 75 D Spis rysunków i tabel 79 4

Streszczenie Celem niniejszej pracy jest omówienie wybranych zagadnień dynamiki kondensatu Bosego Einsteina o skończonej temperaturze. W pracy została przedstawiona opracowana przez nasz zespół metoda analizy i kalibracji zdjęć absorpcyjnych chmury atomowej. Analiza takich zdjęć pozwala otrzymać informację o jej właściwościach fizycznych. Nastręcza też jednak wiele problemów w zakresie interpretacji danych doświadczalnych, jako że chmury atomów skondensowanych i termicznych przenikają się wzajemnie. Przedstawiona metoda pozwala na ilościową analizę zdjęć absorpcyjnych. Umożliwia przy tym ograniczenie do minimum możliwych błędów systematycznych związanych z określeniem rozmiarów każdej z grup atomów, a także na eliminację arbitralności obecnej w innych metodach. W pracy przedstawiono również eksperymentalne dowody na zależność dynamiki kondensatu Bosego Einsteina od oddziaływań z częścią termiczną. W szczególności, wyniki dowodzą, że w warunkach równowagi w pułapce, otaczające kondensat atomy termiczne prowadzą do jego kompresji. Abstract The goal of the following thesis is to cover selected aspects of Bose Einstein condensate dynamics at nonzero temperatures. It describes a method developed by our team for analysis and calibration of absorptive images of atomic clouds. Analysis of such images allows derivation of all relevant physical parameters. However, it also raises many interpretational challenges because of the coexistence and overlap of thermal and condensate components. The introduced method enables quantitative interpretation of absorptive images, reducing possible systematic errors associated with evaluation of the contribution of each fractions and eliminating arbitrariness of most of previous approaches. The thesis also provides clear experimental evidence that Bose Einstein condensate dynamics depends on the interaction with thermal fraction. In particular, the results proves that at equilibrium in a trap the shell of thermal atoms compresses the condensate. 5

6

Wstęp Kondensat Bosego Einsteina (ang. BEC: Bose Einstein Condensate) jest stanem materii otrzymywanym w wyniku schłodzenia atomów o całkowitym spinie (bozonów) do temperatur bliskich zeru absolutnemu. Jego idea pojawiła w połowie lat dwudziestych XX wieku w pracy Satyendry Natha Bosego [1], dotyczącej statystyki fotonów. Na jej podstawie Albert Einstein, rozważając gaz nieoddziałujących bozonów, doszedł do wniosku, że poniżej pewnej temperatury atomy będą zajmować najniższy możliwy stan energetyczny [2]. Pierwsze wskazówki dotyczące możliwości uzyskania tego egzotycznego stanu materii w 4 He podał w 1938 roku Fritz London [3], jednak silne oddziaływania występujące pomiędzy atomami tego izotopu nie pozwoliły na otrzymanie zadowalającego obsadzenia stanu podstawowego. Udowodniono później, że nadciekłość w nim występująca związana jest z kondensacją Bosego Einsteina, a skondensowanych atomów jest około 10% [4]. Dopiero rozwój technologii chłodzenia i pułapkowania atomów laserem (za co Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji i William D. Phillips otrzymali w 1997 roku nagrodę Nobla) dostarczył metod, dzięki którym możliwa była kondensacja atomów pierwiastków alkalicznych. Udało się to w 1995 roku grupom Wolfganga Ketterle [5] i Erica Cornella [6]. Za to osiągnięcie 6 lat później zostali uhonorowani wraz z Carlem Wiemanem (współpracownikiem Cornella) nagrodą Nobla. Wkrótce po sukcesie z kondensacją 87 Rb i 23 Na podjęto próby również z kolejnymi elementami tablicy Mendelejewa, co zaowocowało skondensowaniem: 1 H, 7 Li, 39 K, 41 K, 52 Cr, 85 Rb, 133 Cs, 170 Yb, 174 Yb i 4 He w stanie wzbudzonym. Doświadczenia zdobyte w tej dyscyplinie pozwoliły także na kondensację atomów o spinie połówkowym (fermionów) [7] w 2001. W normalnych warunkach nie mogą one obsadzać tego samego stanu energetycznego ze względu na zakaz Pauliego, jednak dzięki zastosowaniu tzw. rezonansów Feshbacha [8, 4] można je parować (na podobieństwo tzw. par Coopera [9]), a tym samym uzyskać w praktyce cząsteczkowy gaz bozonowy. Do grona kilkudziesięciu grup mogących poszczycić się otrzymaniem kondensatu dołączył 2 marca 2007 roku polski zespół z Krajowego Laboratorium Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optycznej w Toruniu. Zespół tworzyli: F. Bylicki, W. Gawlik W. Jastrzębski, A. Noga, J. Szczepkowski, M.Witkowski, J. Zachorowski i M. Zawada. Niesłabnące zainteresowanie tematyką kondensatu związane jest bezpośrednio z unikalną możliwością studiowania zjawisk świata kwantowego w skali makro. Nigdzie indziej nie można w takim zakresie badać na gruncie eksperymentalnym zjawisk związanych z interferencją fal materii [10] oraz optyką atomową wystarczy tutaj wspomnieć choćby laser atomowy [11], kwantowy efekt Halla [12], rozpraszanie Bragga [13] czy zrealizowane na kondensacie złącze Josephsona [14] oraz izolator 7

Motta [15]. Jednocześnie możliwy jest zarówno dokładny opis teoretyczny, nie uciekający się do swobodnych parametrów, jak i testowanie takich teorii fizycznych jak mechanika kwantowa wielu ciał czy teoria ciała stałego. W niezerowej temperaturze pojawia się kolejny aspekt dynamiki kondensatu, a mianowicie jego oddziaływanie z atomami nieskondensowanymi (określanymi często jako termiczne). Co ciekawe, rodzaj interakcji pomiędzy obiema frakcjami zależy od warunków zewnętrznych: w pewnych sytuacjach oddziaływania są silne, a innym razem zaniedbywalne. Ponadto, obecność atomów termicznych pozwala nam określić temperaturę układu. Badania w skończonej temperaturze nastręczają jednak wiele problemów w zakresie interpretacji danych doświadczalnych, jako że w eksperymencie otrzymujemy wzajemnie przenikające się chmury atomów skondensowanych i nieskondensowanych. Fizyczne parametry takiego układu ukryte są m.in. w ich gęstościach aby je wydobyć niezbędna jest komputerowa analiza danych. Temu właśnie przede wszystkim poświęcona jest niniejsza praca. Rozdział 1 zawiera wprowadzenie teoretyczne do tematyki gazów bozonowych w pułapce. Omówione jest w nim wyprowadzenie właściwości termodynamicznych kondensatu dla atomów nieoddziałujących oraz przybliżone rozwiązania dla atomów oddziałujących, oparte w znacznej mierze na tzw. równaniu Grossa Pitajewskiego. W rozdziale można również znaleźć krótki opis zachowania atomów nieskondensowanych oraz ich oddziaływania z kondensatem. Rozdział oparty jest przede wszystkim na pracach [4, 16], gdzie znajdują się bardziej szczegółowe informacje. Warta polecenia jest też znakomita praca przeglądowa zamieszczona na łamach Review of Modern Physics [17]. Na rozdział 2 składają się opis aparatury i procedury służącej do otrzymywania kondensatu. Ze względu na fakt, że autor niniejszej pracy nie uczestniczył w ich tworzeniu, a także istnienie dość dokładnego opisu w innych pracach [18, 19], część ta omawia tylko najistotniejsze zagadnienia dotyczące tego tematu. W rozdziale 3 przedstawiona została innowacyjna, opublikowana w [20], metoda analizy wyników pomiarów kondensatu znajdującego się w skończonej temperaturze. W szczególności omówione w nim zostały następujące zagadnienia: ˆ Dopasowywanie rozkładów odpowiadających profilom gęstości atomów skondensowanych i nieskondensowanych. ˆ Kalibracja rozmiarów części nieskondensowanej. ˆ Porównanie otrzymanych wyników z innymi metodami i przewidywaniami teoretycznymi. 8

Opracowany algorytm jest wkładem całego zespołu, a w szczególności Jacka Szczepkowskiego, będącego twórcą skryptu napisanego w programie Mathematica do analizy wyników pomiarów. W ramach przedstawianej pracy magisterskiej powstał program FitBEC, rozszerzony względem pierwowzoru o graficzny interfejs użytkownika i możliwość kompleksowego opracowania danych wynikowych. Zasadnicza różnica, będącą motywacją do jego napisania, polega na wydajności: jest on około 40-krotnie szybszy. Ponadto, zaprojektowany został z użyciem powszechnie dostępnych, darmowych bibliotek 1 w popularnym języku programowania C++, co umożliwia jego prostą rozbudowę o dowolną funkcjonalność. Z drugiej strony, Mathematica jest programem płatnym, którego obszar zastosowań jest w znacznej mierze ograniczony do zadań naukowych. Rozdział 4 omawia zagadnienie spadku swobodnego kondensatu o skończonej temperaturze, poza tzw. reżimem Thomasa Fermiego. Zostały w nim przedstawione eksperymentalne dowody na istnienie oddziaływań pomiędzy atomami termicznymi i skondensowanymi. Ich zaobserwowanym efektem jest kompresja kondensatu przez znajdującą się na jego obwodzie część termiczną. Wyniki przedstawione w tej części stanowią rezultat pracy całego zespołu, a także jego byłych członków 2. Autor niniejszej pracy współuczestniczył w zbieraniu danych i ich analizie. Na ich podstawie powstała praca opublikowana w [21] o nią oparty jest opisywany rozdział. W załącznikach zostały zawarte podstawowe stałe fizyczne, wybrane właściwości rubidu, informacje na temat napisanego w ramach niniejszej pracy programu FitBEC oraz spis rysunków, tabel, skrótów i oznaczeń. 1 Biblioteką w informatyce nazywa się zbiór klas i funkcji, z których mogą następnie korzystać programy. 2 Romaric Abdoul zrealizował w KL FAMO pracę magisterską poświęconą temu zagadnieniu [18]. Zawiera ona jednak tylko część wyników i pochodzi z okresu, kiedy nie była jeszcze opracowana teoria stojąca za obserwowanymi efektami. 9

10

1. Opis teoretyczny kondensatu Bosego Einsteina Jak zostało już nadmienione we wstępie, kondensat Bosego Einsteina jest stanem materii bozonów, w temperaturze bliskiej zeru absolutnemu (0 K, 273.15 ). W takich warunkach znaczna część atomów obsadza najniższy możliwy stan energetyczny zewnętrznego potencjału pułapkującego. Wraz ze zmniejszaniem temperatury zwiększa się długość fali de Broglie a, jak to pokazano na rysunku 1. W pobliżu temperatury krytycznej przejścia fazowego fale de Broglie a zaczynają się nakładać i powstaje kondensat. Rys. 1. (a) Atomy w wysokiej temperaturze. (b) Wraz ze zmniejszaniem temperatury zwiększa się długość fali de Broglie a. (c) W pobliżu temperatury krytycznej przejścia fazowego fale de Broglie a zaczynają się nakładać, powstaje kondensat (pogrubiona linia). (d) Czysty kondensat w zerowej temperaturze. Kondensacja następuje zarówno w przestrzeni pędów, jak i położeń [22]. Funkcje falowe poszczególnych cząstek wzajemnie się nakładają, a tym samym atomy stają się nierozróżnialne. Potocznie mówi się niekiedy, że tworzą one super atom, ze względu na możliwość opisu takiego układu z użyciem jednej funkcji falowej. Kondensatem można nazwać dowolny układ, w którym prawie wszystkie cząstki obsadzają jeden stan. Matematycznie oznacza to, że N 0 = N, gdzie N0 to liczba skondensowanych atomów, a N to całkowita liczba atomów. W praktyce kondensat produkowany jest w stanie podstawowym, jako że ze wszystkich mikrostanów największe prawdopodobieństwo ma ten o najniższej energii. Poniżej temperatury krytycznej T c następuje gwałtowne zwiększenie obsadzenia stanu podstawowego. W granicy termodynamicznej moment ten jest przejściem fazowym, a jego efektem jest właśnie kondensat Bosego Einsteina. Ze stanu podstawowego możliwe jest spójne 11

przeniesienie kondensatu do wyższych stanów, nie należy zatem wiązać BEC wyłącznie z najniższym możliwym poziomem energetycznym. 1.1. Gaz atomów nieoddziałujących Bozonami nazywamy zarówno cząstki elementarne, jak i całe atomy, posiadające całkowity spin. Oznacza to, że funkcja falowa dowolnej liczby bozonów jest symetryczna względem zamiany miejscami jakichkolwiek dwóch cząstek. Konsekwencją tego jest możliwość obsadzenia danego stanu przez dowolną liczbę bozonów. Opis kondensatu Bosego Einsteina jako nieoddziałujących bozonów ma charakter półklasyczny i pomimo swej prostoty daje stosunkowo dobre przewidywania. Funkcja falowa idealnego kondensatu ma w takim przypadku postać Ψ( r 1, r 2,..., r N0 ) = φ 0 ( r 1 )φ 0 ( r 2 ) φ 0 ( r N0 ) = N 0, 0, 0,.... (1) Stąd jednocząstkowa macierz gęstości jest równa ρ( r, r ) = ˆψ ( r) ˆψ( r ) = N 0 Ψ ( r, r 2,..., r N0 )Ψ( r, r 2,..., r N0 )d 3 r 2 d 3 r N0 = N 0 φ 0( r)φ 0 ( r ). (2) 1.1.1. Gęstość stanów dla rozkładu Bosego W równowadze termodynamicznej średnie obsadzenie pojedynczego stanu ν w wielkim zespole kanonicznym dane jest przez f 0 (ɛ ν ) = 1 e (ɛν µ)/k BT 1, (3) przy czym: ɛ ν > µ, gdzie k B jest stałą Boltzmanna, T temperaturą, a ɛ ν energią stanu ν dla ustalonego potencjału pułapkującego. Potencjał chemiczny µ występujący w równaniu jest funkcją liczby cząstek, temperatury i związany jest warunkiem N = ν f 0 (ɛ ν ), (4) stwierdzającym, że liczba wszystkich cząstek N musi się równać sumie obsadzeń na poszczególnych poziomach. Wraz z obniżaniem temperatury, przy zachowaniu stałej gęstości, potencjał chemiczny µ będzie rósł i w skończonej temperaturze osiągnie wartość energii stanu podstawowego µ = ν. Następuje wtedy pełne obsadzenie stanu podstawowego, czyli N 0 = N. 12

W celu przekonania się, przy jakiej temperaturze następuje proces, obliczmy gęstość stanów dla harmonicznego potencjału pułapkującego, będącego dobrym przybliżeniem realnych układów. Ma on postać V ( r) = 1 2 m ( ω 2 xx 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2), (5) gdzie m jest masą cząstki, a ω i dla i = x, y, z i-tą częstością pułapki harmonicznej. Poziomy energetyczne takiego potencjału są dane przez ( ɛ(n x, n y, n z ) = ω x n x + 1 ) ( + ω y n y + 1 ) ( + ω z n z + 1 ), (6) 2 2 2 gdzie n i dla i = x, y, z obsadzenie i-tego poziomu energetycznego. Określmy teraz liczbę stanów G(ɛ) o energii mniejszej od zadanej wartości ɛ. Dla energii dużych w porównaniu z ω i możemy w dalszych rozważaniach pominąć człon związany z zerowym modem drgań i potraktować (6) jako zbiór ciągły. W tym celu wygodnie jest wprowadzić układ współrzędnych zdefiniowany przez ɛ i = ω i n i, w którym powierzchnia o stałej energii (6) dana jest płaszczyzną ɛ = ɛ x +ɛ y +ɛ z. Liczba stanów będzie zatem proporcjonalna do objętości w pierwszej potędze, ograniczonej płaszczyzną ɛ [4]. G(ɛ) = 1 3 ω x ω y ω z ɛ 0 ɛ ɛx ɛ ɛx ɛy dɛ x dɛ y dɛ z. (7) 0 0 Liczba stanów G(ɛ) o energii znajdującej się pomiędzy ɛ a ɛ + dɛ wynosi g(ɛ)dɛ, gdzie g(ɛ) jest poszukiwaną gęstością stanów, zatem g(ɛ) = G(ɛ) dɛ. (8) Podstawiając następnie do równania (8) wyrażenie (7) otrzymujemy poszukiwany wzór na gęstość stanów g(ɛ) = ɛ 2 2 3 ω x ω y ω z. (9) 1.1.2. Przejście fazowe Jak wspomniano w poprzednim punkcie, dla wystarczająco dużej liczby cząstek możemy zaniedbać drgania wynikające z energii próżni 3. Liczba cząstek znajdująca się w stanach wzbudzonych dana jest przez N ex = 0 g(ɛ)f 0 (ɛ)dɛ = 1 2 3 ω x ω y ω z 0 ɛ 2 dɛ. (10) e (ɛ µ)/k BT 1 3 Poprawka wynikająca z jej uwzględnienia została opisana w rozdziale 1.1.3. 13

Osiąga ona maksymalną wartość dla µ = ɛ dla pewnej skończonej temperatury zwanej temperaturą krytyczną T c. Jeśli następnie przejdziemy do zmiennej bezwymiarowej x = ɛ/k B T c, to równanie (10) przybierze postać N = N ex (T c, µ = 0) = k3 BT 3 c 2 3 ω x ω y ω z 0 x 2 dx. (11) e x 1 Całkę z równania (11) można rozwiązać poprzez rozwinięcie jej mianownika w szereg potęgowy 0 x 2 e x 1 dx = 0 Powtórna zamiana zmiennych y = lx pozwala otrzymać l=1 e lx x 2 dx. (12) l=1 1 e y y 2 dy = ζ(3)γ(3). (13) l 3 0 Funkcja Γ daje szczególnie prosty wynik, wyrażający się dla liczb naturalnych wzorem Γ(n + 1) = nγ(n) = = n!, natomiast wartość funkcji ζ Riemanna wynosi ζ(3) = 1.202. Wprowadźmy dodatkowo oznaczenie ω = (ω x ω y ω z ) 1/3 na średnią geometryczną częstością oscylatora harmonicznego. Łącząc (13) oraz (11) dostaniemy N = k3 BTc 3 Γ(3)ζ(3). (14) 2 3 ω 3 Zatem poszukiwane wyrażenie na temperaturę krytyczną przejścia fazowego to T c = Wzór (15) można wygodnie przybliżyć poniższą formą 1/3 ωn. (15) k B [ζ(3)] 1/3 ( ) f T c 4.5 N 1/3 nk, (16) 100Hz gdzie f = ω/2π, a ζ Riemanna została zastąpiona odpowiadającą jej wartością. Policzmy teraz frakcję 4 kondensatu. Poniżej temperatury krytycznej, analogicznie do wzoru (14), liczba cząstek w stanach wzbudzonych dana będzie wyrażeniem N ex = k3 BT 3 Γ(3)ζ(3). (17) 2 3 ω 3 4 Przez frakcję kondensatu należy rozumieć stosunek liczby atomów skondensowanych N 0 do wszystkich atomów N. 14

Z kolei liczba skondensowanych cząstek wyraża się przez N 0 (T ) = N N ex (T ). (18) Po podstawieniu do równania (18) wyrażeń na liczbę cząstek w stanie wzbudzonym (17) i liczbę wszystkich cząstek (14) otrzymamy poszukiwaną frakcję kondensatu [ ( ) N 0 T 3 ] N = 1. (19) Tc Należy podkreślić, że powyższe wnioski zostały wyprowadzone w granicy termodynamicznej. Tylko wtedy możemy mówić o przejściu fazowym w ścisłym z termodynamicznego punktu widzenia tego słowa znaczeniu, gdy takie wielkości fizyczne jak ciepło właściwe wykazują nieciągłość w punkcie krytycznym (co pokazano na rysunku 2). Rys. 2. Ciepło właściwe C w funkcji zredukowanej temperatury T/T c. Parametr α związany jest z wymiarowością zagadnienia: α = 3 odpowiada omawianemu w tekście przypadkowi trójwymiarowej pułapki. Rysunek zaczerpnięty z [4]. 1.1.3. Efekt skończonej liczby cząstek Rozważmy teraz, jak zmienią się równania z poprzedniego podrozdziału, jeśli uwzględnimy skończoną liczbę cząstek. Naturalnie w takiej sytuacji układ nie znajduje się w granicy termodynamicznej, a tym samym brak jest między innymi nieciągłości w temperaturze krytycznej pokazanej na rysunku 2. Poprawka do T c, wynikająca z uwzględnienia zerowego modu drgań, zwiększa minimalną energię przypadającą na jedną cząstkę o czynnik ɛ min = 3 ω m 2, gdzie ω m = (ω x + ω y + ω z ). (20) 3 15

Poprawka ma w tym przypadku postać [4] T c = ζ(2) ω m. (21) 2ζ(3) k B Wstawienie do równania (21) wyrażenia (15) na temperaturę krytyczną pozwala dokonać ilościowej oceny poprawki T c T c = ζ(2) 2[ζ(3)] 2/3 ω m ω N 1/3 0.73 ω m ω N 1/3. (22) Tak jak można było tego oczekiwać, wraz ze wzrostem liczby cząstek maleje wartość poprawki, jaką należy uwzględnić w rozważaniach. 1.2. Gaz atomów oddziałujących Poprzedni podrozdział traktował o kondensacie jako zbiorze zupełnie nieoddziałujących ze sobą atomów umieszczonych w pułapce. Przybliżenie to daje jakościowo w pełni poprawne wyniki, jednak w kategoriach ilościowych odbiegają już one od danych doświadczalnych. Wskazuje to na konieczność uwzględnienia, oprócz poprawki na skończoną liczbę cząstek (22), również oddziaływań pomiędzy atomami. W takiej sytuacji w skończonej temperaturze opis staje się nieporównanie bardziej skomplikowany, a przy tym nie posiadający analitycznego rozwiązania. Celem jego otrzymania stosuje się zatem dwa uproszczenia: 1. Zaniedbanie oddziaływań w nieskondensowanej części atomów. Podyktowane jest to ich względnie dużą energią kinetyczną, która dominuje nad częścią związaną z energią potencjalną. Przybliżenie to sprawdza się w większości przypadków, jednak nie pozwala na opisanie bardziej subtelnych efektów, o których traktuje podrozdział 1.2.5. 2. Pominięcie energii kinetycznej związanej ze skondensowanymi atomami (tzw. przybliżenie Thomasa Fermiego). O tym zagadnieniu traktują rodziały 1.2.2 i 1.2.3. Dodatkowo zakłada się, że obie frakcje termiczna i skondensowana nie oddziałują ze sobą. Szersze omówienie tego tematu wraz z eksperymentalnym potwierdzeniem rozdzielenia obu grup atomów znajduje się w rozdziale 4. Gęstość gazu determinuje częstość i typ zderzeń pomiędzy atomami. Jeśli jest duża, to częstość zderzeń trójciałowych jest znaczna (odwrotnie proporcjonalna do kwadratu gęstości). Prowadzą one do powstania cząsteczek, których chłodzenie jest praktycznie niemożliwe. W celu uniknięcia tego efektu w doświadczeniu wykorzystywany jest rozrzedzony gaz. Spełniony jest zatem warunek na 3 1, gdzie n jest 16

gęstością chmury atomowej, natomiast a długością rozpraszania w zderzeniach dwuciałowych, charakterystyczną dla danego pierwiastka. Co zadziwiające, parametr ten w praktyce wystarcza do opisu danego układu. Jest on związany z falą typu s właściwą stanowi podstawowemu (tj. o bardzo niskiej energii), a w takim właśnie stanie znajduje się kondensat dlatego też we wszystkich dalszych rozważaniach na temat oddziaływań możemy posługiwać tym jednym parametrem. Dla rozrzedzonego gazu składającego się z dużej liczby atomów (rzędu kilkudziesięciu tysięcy) możliwe jest zastosowanie przybliżenia średniego pola do wyznaczenia funkcji falowej stanu podstawowego. Temat ten będzie kontynuowany w następnym podrozdziale 1.2.1, tymczasem skupimy się jedynie na wynikach. W tym przypadku można je otrzymać metodą Hartree Focka, dzięki której uzyskujemy postać zależności liczby skondensowanych atomów od temperatury [23] [ ] N 0 T 3 N = 1 η ζ(2) [ ] T 2 [ ] 2/5 N0. (23) T c ζ(3) Tc N Pierwsze dwa wyrazy powyższego równania odpowiadają sytuacji bez oddziaływań z równania (19), natomiast η jest parametrem skalującym, charakteryzującym oddziaływania między atomami kondensatu w postaci η = µ T =0 k B T c = 1 2 ζ(3)1/3 [ 15N 1/6 a ] 2/5. (24) Należy podkreślić, że równanie (23) jest dobrym przybliżeniem pod warunkiem temperatur niezbyt odległych od T c i wartości parametru η < 0.4. Kolejne przybliżenie polega na zastąpieniu ostatniego członu równania (23) wyrażeniem odpowiadającym przypadkowi bez oddziaływań (19). Nie wprowadza to dużego błędu ze względu na jego nikły wpływ na pozostałą część równania. Porównanie opisu kondensatu jako idealnego gazu Bosego w pułapce z przypadkiem uwzględniającym oddziaływania w atomach znajduje się na rysunku 3, przedstawiającym zależność frakcji kondensatu N 0 /N od zredukowanej temperatury T/T c. W następnym podrozdziale zostanie nakreślone wspomniane wcześniej przybliżenie pola średniego. 1.2.1. Równanie Grossa Pitajewskiego Kondensat można opisać przedstawionym na początku rozdziału wyrażeniem (1). Jeśli do funkcji Hamiltona takiego układu wprowadzimy oddziaływania, to wartość 17

Rys. 3. Zależność frakcji kondensatu N 0 /N od zredukowanej temperatury T/T c. Linia ciągła opisuje idealny gaz Bosego bez oddziaływań (równanie (19)), natomiast przerywana przedstawia sytuację z uwzględnieniem oddziaływań (równanie (23)) dla parametru η = 0.387 charakteryzującego nasz układ. oczekiwana hamiltonianu będzie wynosić E = Ψ Ĥ Ψ = N0 [ d 3 2 r 2m φ( r) 2 + U( r) φ( r) 2 + g ] 0 2 (N 0 1) φ( r) 4, gdzie N 0 oznacza liczbę cząstek, U( r) potencjał pułapki, a g 0 = 4π 2 a m (25) jest parametrem modelowym potencjału średniego pola. Jego obecność jest konsekwencją zastosowania przybliżenia pola średniego, w którym to zagadnienie N 0 ciał zastępujemy jednym ciałem z pewnym uśrednionym, efektywnym potencjałem. Wyrażenie N 0 (N 0 1) /2 stanowi całkowitą liczbę możliwych ustawień bozonów w pary i jest proporcjonalne do energii oddziaływań dwóch cząstek w stanie φ( r). Otrzymane równanie rozwiązywane jest metodą wariacyjną, polegającą na zminimalizowaniu energii układu. Zgodnie z twierdzeniem Noether rozwiązanie to będzie funkcją falową stanu podstawowego danego układu. [ ] 2 2m 2 + U( r) + g 0 (N 0 1) φ( r) 2 φ( r) = µφ( r). (26) Ma ono postać bardzo podobną do równania Schrödingera, z wyjątkiem nieliniowego członu, będącego wynikiem średniopolowego oddziaływania atomu z resztą atomów. Dla N 0 1, który to warunek jest zawsze spełniony w eksperymencie, N 0 1 = N 0, 18

zatem równanie (26) można uprościć do postaci [ ] 2 2m 2 + U( r) + g 0 N 0 φ( r) 2 φ( r) = µφ( r). (27) Charakter oddziaływań jest zdeterminowany przez długość rozpraszania. Jeśli a > 0, to potencjał jest odpychający, a w przeciwnym przypadku przyciągający. Przykładem tej drugiej sytuacji jest izotop 85 Rb, posiadający ujemną długość rozpraszania. W normalnych warunkach nie można skondensować atomów tego pierwiastka, jako że przyciągając się tworzą one molekuły. Przy pomocy rezonansów Feshbacha [8, 4] można jednak zmienić oddziaływanie na odpychające i utworzyć kondensat. Ponowna zmiana znaku potrafi doprowadzić do powstania tzw. bosenowej [24]. Kondensat ulega gwałtownej kompresji poza granice wykrywalności, a następnie wybucha na podobieństwo supernowej. 1.2.2. Przybliżenie gaussowskie W eksperymentach najczęściej wykorzystywane są pułapki harmoniczne. W celu uproszczenia opisu i oszacowania zależności energii od liczby cząstek, w dalszych rozważaniach dla tego podrozdziału można założyć izotropowy charakter harmonicznego potencjału pułapkującego, tj. U( r) = mω 2 r 2. Dzieląc następnie równanie (27) przez ω oraz wyrażając długość w jednostkach oscylatorowych /mω (mających zwykle rząd kilku mikrometrów), otrzymamy [ 1 2 2 + 1 2 r2 + g 0 N 0 φ( r) 2 ] φ( r) = µφ( r), (28) gdzie µ jest wyrażone w jednostkach energii ω, a g 0 = 4πa/σ. Należy podkreślić, że wielkości w tak otrzymanym równaniu (28) nie są wielkościami w układzie SI, zatem licząc np. energię otrzymany wynik należy pomnożyć przez ω. Gdy długość rozpraszania a 0, nieliniowość w powyższym równaniu zanika i rozwiązanie dla stanu podstawowego ma charakter gaussowski /2σ 2 φ( r) = e r2. (29) π 3/4 σ3/2 Dla potencjału modelowego g 0 niewiele różnego od zera można znaleźć rozwiązanie w postaci funkcji Gaussa, dobierając wariacyjnie parametr σ. Wstawiając (28) do funkcjonału energii i wykonując całkowanie otrzymamy jej wartość oczekiwaną E(σ) = 3 4σ + 3 2 4 σ2 + χ 2σ, 3 gdzie χ = 2 π N 0 a /mω. (30) 19

Pierwszy człon równania (30) odpowiada energii kinetycznej ( 1/σ 2 ), drugi energii potencjalnej pułapki ( σ 2 ), a trzeci oddziaływaniu pomiędzy atomami, proporcjonalnemu do gęstości atomów w pułapce ( N 0 /σ 3 ). Rozpatrzmy następnie sytuację, w której długość rozpraszania jest dodatnia, a tym samym oddziaływanie między atomami jest odpychające. Przeciwny przypadek jest mniej interesujący ze względu na poruszone już w rozdziale 1.2.1 problemy z kondensacją tego typu atomów. Znalezienie rozwiązania na stan podstawowy układu sprowadza się do znalezienia minimum funkcji (30). de(σ 0 ) dσ 0 = 0 σ 5 0 = σ 0 + χ. (31) Dla χ 1 odtwarzamy rozwiązanie dla układu nieoddziałującego, tj. σ 0 = 1. Gdy a 1, otrzymujemy σ 0 χ 1/5 N 1/5 0, czyli gęstość prawdopodobieństwa φ( r) 2 rozciąga się przestrzennie tym dalej, im więcej atomów jest w pułapce. Energia kinetyczna zachowuje się jak N 2/5 0, a energia potencjalna i energia oddziaływania pomiędzy atomami jak N 2/5 0. Oznacza to, że w takiej sytuacji energia kinetyczna w porównaniu z pozostałymi jej postaciami jest zaniedbywalna. 1.2.3. Przybliżenie Thomasa Fermiego Opierając się na ostatnim wniosku podrozdziału 1.2.2 możemy zaniedbać w równaniu Grossa Pitajewskiego (27) człon związany z energią kinetyczną, co prowadzi do równania [ V ( r) + g0 N 0 φ( r) 2] φ( r) = µφ( r). (32) gdzie V ( r) jest potencjałem harmonicznym (5). Rozwiązanie równania (32) ma postać φ( r) = µ V ( r) g 0 N 0, (33) jeśli wyrażenie pod pierwiastekiem jest dodatnie i φ( r) = 0 w przeciwnym przypadku. Warunek graniczny można również określić jako V ( r) = µ. Zatem w reżimie Thomasa Fermiego (TF) atomy wypełniają pułapkę do poziomu danego przez potencjał chemiczny µ (zilustrowany na rysunku 4). Ten z kolei znajdujemy z warunku normalizacji d 3 r φ( r) 2 = 1 µ = ω 2 ( 15 N ) 2/5 0a. (34) /m ω 20

Stąd gęstość atomów n( r) = N 0 φ( r) 2 w trójwymiarowej pułapce harmonicznej będzie miała postać odwróconej paraboli przedstawionej na rysunku 4 ( n( r) T F = n(0) T F 1 x2 y2 Rx 2 Ry 2 ) z2, (35) Rz 2 gdzie n(0) T F = N 0µ g 0 jest gęstością atomów w centrum kondensatu, a R promieniami w odpowiednich kierunkach. Gęstość kondensatu ma zatem kształt elipsoidy o półosiach danych przez x = ±R x, y = ±R y oraz z = ±R z i ograniczonych warunkiem 1 2 mω2 i R 2 i = µ, gdzie i = x, y, z. (36) Rys. 4. W reżimie Thomasa Fermiego kondensat ma ten sam kształt, co potencjał pułapkujący. Na rysunku (a) został przedstawiony potencjał harmoniczny, a na (b) rozkład gęstości atomów w pułapce harmonicznej. Rysunek zaczerpnięty z [25]. Harmoniczny potencjał pułapkujący może być asymetryczny lub mieć wyróżnione symetrie sferyczną bądź osiową. W dalszych rozważaniach zajmiemy się ostatnim przypadkiem, jako że to właśnie z nim mamy do czynienia w naszym eksperymencie. Niech zatem współrzędną osiową będzie z, a radialną r. Odpowiadające im częstości 21

pułapkujące oznaczmy ω z oraz ω r ω z = ω y. Ich stosunek η ω = ω x /ω r wyznacza kształt potencjału pułapki: jeśli η ω < 1, ma on kształt cygara, a jeśli η ω > 1 dysku. W eksperymencie możemy mierzyć nie zwykłą, trójwymiarową gęstość n(x, y, z), a gęstość kolumnową ñ(r, z), będącą jej dwuwymiarowym odpowiednikiem. Jest ona wyznaczana przez całkowanie po składowej, wzdłuż której przechodzi wiązka obrazująca (zagadnienie obrazowania zostało omówione w rozdziale 2.4.2). Gęstość kolumnową możemy zapisać następująco ( ) r 2 ( ) ) z 2 3/2 ñ(r, z) T F = ñ(0) T F (1, (37) Rr Rz gdzie R r oznacza promień kondensatu w kierunku radialnym, a R z promień kondensatu w kierunku osiowym. Jak wykazano, zastosowane przybliżenie pola średniego pozwala otrzymać relatywnie proste rozwiązania. Okazuje się, że jeśli tylko eksperyment utrzymywany jest w ryzach narzuconych przez specyfikę zastosowanych uproszczeń tj. rozrzedzony gaz bozonowy w niskiej temperaturze, składający się z dużej liczby atomów błąd przybliżenia TF jest znikomy. Poprawki do potencjału chemicznego i energii nie przekraczają 1% [17], a wyniki teoretyczne są w dobrej zgodności z pomiarami w zakładanym reżimie. Warunki stosowalności przybliżenia TF są automatycznie spełnione dla znakomitej większości eksperymentów na świecie. 1.2.4. Atomy nieskondensowane W niezerowej temperaturze mamy do czynienia nie tylko z atomami skondensowanymi, ale również również i z tymi, które nie uległy kondensacji tzw. atomami termicznymi. Ich kolumnowy rozkład gęstości dla symetrii osiowej jest dany przez funkcję Gaussa [ ñ(r, z) Gauss = ñ(0) Gauss exp 1 2 r 2 σr 2 1 2 z 2 ] σz 2, (38) gdzie kolejno ñ(0) Gauss oznacza gęstość chmury w centrum, a σ r i σ z jej rozmiary w kierunku radialnym i osiowym. W pobliżu i poniżej temperatury krytycznej, dominującym dla atomów termicznych staje się rozkład Bosego (3), jednak pozbawiony potencjału chemicznego. Jego brak podyktowany jest tym, że liczba wzbudzeń w takim układzie nie jest zachowana: energia wzbudzenia równa się różnicy energii pomiędzy stanem wzbudzonym i podstawowym, a tym samym zależy od temperatury. Zatem dla µ = 0 atomy nieskondensowane lepiej opisuje funkcja Gaussa z poprawką na rozkład Bosego, ang. 22

Bose enhanced Gaussian (Gauss BE) [26, 27] [ [ ( ) 2 ( ) ]] 2 g 2 exp 1 r 2 σ r 1 z 2 σ z ñ(r, z) EnhGauss = ñ(0) EnhGauss, (39) g 2 (1) gdzie g 2 (x) = n=1 x n /n 2. Wraz z oddalaniem się od miejsca o największej gęstości ñ(0) EnhGauss, wyrazy szeregu (39) maleją do zera. Zatem od pewnego wyrazu funkcja ta staje się bardzo podobna do rozkładu Gaussa (38). Oznacza to, że nie ma znaczenia, którym z tych dwóch rozkładów opisane zostaną obrzeża chmury termicznej. Jedyna różnica jest oczywista: funkcja Gaussa ma znacznie prostszą postać. Jednym z wniosków wypływających z rozważanego modelu atomów oddziałujących jest separacja przestrzenna znajdujących się w pułapce atomów kondensatu i termicznych. Gdy tylko skondensowana część atomów jest większa od kilku procent, gęstość kondensatu znacznie przekracza gęstość części termicznej. Tym samym pochodzące od niego pole średnie jest silniejsze i wypycha atomy termiczne z centrum pułapki, tworząc dziurę w profilu gęstości nieskondensowanych atomów [17]. Pojawia się również dodatkowy efekt kompresja kondensatu przez otaczające je atomy termiczne [13], co zostało zobrazowane na rysunku 5. Przedstawione dotychczas w tej pracy teorie nie ujmują efektów prowadzących do takiego zjawiska, co wskazuje na konieczność rezygnacji z części przybliżeń. Rys. 5. Profil gęstości atomów skondensowanych i termicznych w pułapce. Kondensat jest w środku, a dookoła znajdują się atomy termiczne. W pułapce atomy nieskondensowane oddziałując ze skondensowanymi prowadząc do ich kompresji. Po wypuszczeniu z pułapki atomy spadają swobodnie w polu grawitacyjnym, ekspandując swobodnie ze stałą szybkością. Chmura termiczna dąży do kształtu sferycznie symetrycznego 5 i nie oddziałuje z kondensatem. Po odpowiednio długim czasie przyjmuje rozkład Bosego Einsteina i nakłada się przestrzennie z atomami skondensowanymi [17]. 5 Chmura dążyłaby do kształtu sferycznie symetrycznego, gdyby zupełnie nie było oddziaływań w pułapce pomiędzy atomami termicznymi [28]. 23

1.2.5. Samouzgodniony model Hartree Focka Przedstawione w poprzednich podrozdziałach przybliżenia zapewniają w większości przypadków wyniki poprawne jakościowo, jakkolwiek nie są w stanie ująć niektórych bardziej subtelnych efektów, jak choćby zaprezentowanej na rysunku 5 kompresji kondensatu przez atomy termiczne. Dzieje się tak, ponieważ nie uwzględniają one oddziaływań, jakie istnieją między atomami termicznymi w pułapce, oraz wpływu tych oddziaływań na kondensat. Dodać je można w ramach przybliżenia Hartree Focka, odpowiadającego samouzgodnionemu potencjałowi V eff ( r) = V ext ( r) + 2g 0 n 0 ( r) + 2Un th ( r), (40) gdzie V eff to efektywny potencjał, V ext zewnętrzny potencjał pułapkujący, n 0 gęstość atomów skondensowanych, a n th gęstość atomów termicznych. W równowadze termodynamicznej gęstość kondensatu nie jest już prostym profilem Thomasa Fermiego, ale zależy również od gęstości chmury termicznej n 0 ( r) = µ V ext( r) 2g 0 n th ( r) g 0. (41) Uzyskanych równań nie można policzyć na drodze analitycznej; niezbędne stają się zatem metody numeryczne. Rozwiązania uzyskane tą drogą przewidują następujące, potwierdzone doświadczalnie, efekty: 1. Obniżenie temperatury krytycznej kondensacji [29]. 2. Kompresję kondensatu [13]. 24

2. Aparatura i otrzymywanie kondensatu W rozdziale tym zostały opisane aparatura używana w eksperymencie oraz podstawy otrzymywania kondensatu. Ze względu na fakt, iż autor niniejszej pracy nie pracował nad konstrukcją aparatury, rozdział ten ograniczony został do minimum niezbędnego do wprowadzenia Czytelnika w zagadnienie. Szczegółowe omówienie tego tematu, wraz z dokładniejszym wprowadzeniem do teorii magneto optycznego chłodzenia neutralnych atomów, można znaleźć w pracach magisterskich zrealizowanych w naszym laboratorium: Romarica Abdoula [18] oraz Rafała Gartmana [30]. Proces otrzymywania BEC został znakomicie przedstawiony w sposób popularnonaukowy stronie Wydziału Fizyki Uniwersytetu Colorado [31]. 2.1. Zarys eksperymentu W naszym laboratorium kondensat Bosego Einsteina otrzymywany jest z atomów 87 Rb, będącego pierwiastkiem alkalicznym, a zatem posiadającym jeden elektron walencyjny. Ta klasa atomów jest szczególnie uprzywilejowana względem chłodzenia przy pomocy metod opartych na laserach. Poziomy energetyczne ich przejść optycznych (innymi słowy częstotliwości, przy których atomy te efektywnie absorbują promieniowanie) mają szczególnie prostą strukturę. Stąd przeważnie wystarczają dwa lasery, żeby otrzymać przejście cykliczne. Szczegóły związane z wybranymi właściwościami rubidu można znaleźć w załączniku A. W skrócie, cały proces otrzymywania kondensatu można podzielić na następujące etapy: 1. Wstępne chłodzenie atomów do temperatury około 1 mk w pierwszej pułapce magneto optycznej (MOT 1, od ang. Magneto Optical Trap) oraz ich transfer do drugiej pułapki magneto optycznej (MOT 2). 2. Dalsze chłodzenie optyczne z użyciem tzw. gradientu polaryzacji; temperatura zostaje obniżona do poziomu około 100 µk. 3. Przepompowanie optyczne i transfer atomów do pułapki magnetycznej. 4. Chłodzenie przed odparowanie i kondensacja atomów. 5. Obrazowanie atomów. 6. Analiza otrzymanego zdjęcia; temu zagadnieniu poświęcony jest rozdział 3. Próżnia panująca w MOT 1 jest wystarczająco dobra, by umożliwić sprawną pracę pułapki magneto optycznej. Jednocześnie przy panującym w niej ciśnieniu, atomów rubidu jest na tyle dużo, by proces ich wychwytywania z otoczenia pułapki 25

był wydajny. Próżnia ta jednak jest za słaba, aby możliwa była kondensacja. Stąd też konieczność zastosowania MOT 2, umieszczonego w próżni wyższej o trzy rzędy wielkości. Wiązki optyczne niezbędne na poszczególnych etapach otrzymywane są na stole optycznym i prowadzone do komór próżniowych, gdzie ma miejsce właściwa część eksperymentu. 2.2. Układ próżniowy Układ próżniowy przedstawiony został na rysunku 6. Rys. 6. Schemat aparatury próżniowej. Górna komora wykonana jest ze stali nierdzewnej i posiada sześć okienek z pyreksu, przez które wprowadza się wiązki. Dolna komora jest komórką z kwarcu. Obie komory połączone są grafitową rurką, umożliwiającą pompowanie różnicowe. Składa się on z dwóch części umożliwiających dostęp optyczny: ˆ Górnej komory próżniowej. Ciśnienie panujące w środku wynosi 10 8 mbar i jest utrzymywane przez pompę jonową o wydajności pompowania 20 l/s. W tym miejscu odbywa się wstępne chłodzenie i pułapkowanie atomów w pierwszej (górnej) pułapce magneto optycznej (MOT 1). ˆ Dolnej komory próżniowej. Ciśnienie wynosi mniej, niż 10 11 mbar i jest utrzymywane przez pompę jonową o wydajności pompowania 55 l/s i tytanową pompę sublimacyjną. W tym miejscu następuje dalsze chłodzenie w drugiej (dolnej) pułapce magneto optycznej 26

(MOT 2), kondensacja i obrazowanie. Wymóg tak wysokiej próżni podyktowany jest tym, że jakiekolwiek cząsteczki podgrzewałyby spułapkowane atomy, a tym samym utrudniały chłodzenie. Obie komory połączone są wykonaną z grafitu rurką do pompowania różnicowego o średnicy 4.5 mm i długości 120 mm, umożliwiającą utrzymanie różnicy ciśnień i jednocześnie transfer atomów z górnej komory do dolnej. Do górnej komory podłączone jest źródło par rubidu, tzw. geter. Natężenie prądu rzędu 2 3 A powoduje na nim znaczny wzrost temperatury, skutkiem którego jest emisja atomów z wydajnością rzędu 10 7 na sekundę. Na tym etapie mają one temperaturę około 650, odpowiadającą średniej szybkości około 350 m/s. 2.3. Chłodzenie atomów 2.3.1. Górna pułapka magneto optyczna Przez okienka w górnej komorze wprowadzane są trzy wzajemnie ortogonalne, spolaryzowane kołowo przeciwbieżne wiązki laserowe, które przecinają się w jednym punkcie, a następnie dzięki układowi płytek ćwierćfalowych oraz luster wracają po tych samych torach z przeciwną polaryzacją. Schemat takiego układu przedstawiono na rysunku 7. Częstotliwości laserów dopasowane są do przejścia 5 2 S 1/2 F = 2 Rys. 7. Schemat układu wiązek laserowych w MOT 1. Wiązka przechodząc przez płytkę ćwierćfalową λ/4 zmienia polaryzację na kołową σ +, trafia na chmurę atomów, a następnie wraca z przeciwną polaryzacją σ. Na rysunku nie została pokazana trzecia para przeciwbieżnych wiązek, ortogonalna względem dwóch pozostałych. 5 2 P 3/2 F = 3, przedstawionego na rysunku 8. Ich zadaniem jest chłodzenie atomów, stąd też nazywa się je często wiązkami chłodzącymi bądź pułapkującymi. Im 27

częstotliwość światła laserowego będzie bliżej omawianego przejścia, tym większe również będzie prawdopodobieństwo absorpcji fotonu przez atomy rubidu. Absorpcja skutkuje przekazaniem pędu fotonu, co prowadzi do powstania siły optycznej, nazywanej też ciśnieniem światła. Chłodzenie z wykorzystaniem tego efektu nosi nazwę melasy optycznej [32]. Rys. 8. Poziomy energetyczne dla atomów 87 Rb, linia D 2. Na rysunku zostały zilustrowane interesujące z punktu widzenia eksperymentu przejścia optyczne. Rysunek wzięty z [18]. Działanie melasy optycznej na przykładzie dwupoziomowego atomu zostało zilustrowane na rysunku 9. Chłodzenie ma miejsce pomiędzy parą przeciwbieżnych, nieznacznie odstrojonych ku czerwieni, wiązek laserowych. Pożądanym stanem jest nieporuszający się, stacjonarny atom (b). Działające na niego siły optyczne równoważą się. Sytuacja wygląda inaczej dla atomu mającego pewną prędkość, co zostało pokazane na przykładzie atomu poruszającego się w prawo (c). Rysunek został wykonany w układzie odniesienia związanym z atomem. Efekt Dopplera prowadzi w tej sytuacji do zwiększenia częstotliwości wiązki laserowej widzianej przez atom poruszający się w jej kierunku. Skutkiem tego częstotliwość tej wiązki staje się bliska rezonansowej, co prowadzi do częstszej absorpcji fotonów z prawej strony. Efektem tego jest spowolnienie, a tym samym ochłodzenie, atomu. Z drugiej strony, przeciwbieżna wiązka zostaje jeszcze mocniej odstrojona w dół od danego przejścia 28

atomowego, przez co nie przyspiesza atomu. Rys. 9. Schemat chłodzenia laserowego z użyciem tzw. melasy optycznej. Na rysunku (a) zilustrowane zostały w postaci strzałek trzy wzajemnie ortogonalne wiązki laserowe przecinające się w jednym punkcie, gdzie ma miejsce chłodzenie. Częstotliwość wiązek ω znajduje się 12 MHz poniżej częstotliwości przejścia pomiędzy podpoziomami 2 S 1/2 F = 2 i 2 P 3/2 F = 3 atomu 87 Rb. (b) Jednowymiarowy przypadek przedstawiający nieruchomy atom i parę przeciwbieżnych wiązek laserowych. Na atom nie działa żadna siła wypadkowa, ponieważ absorpcja fotonów z obu stron jest identyczna. W przypadku poruszającego się atomu (c) efekt Dopplera prowadzi do większej absorpcji ze strony przeciwnej względem kierunku prędkości atomu. Ta nierównowaga sił prowadzi do wytracania szybkości przez atom, a makroskopowo do obniżenia temperatury. Rysunek wykonany jest w układzie spoczywającego atomu. Ilustracja zaczerpnięta z [25]. Skutkiem absorpcji fotonu jest wzbudzenie atomu, po którym musi nastąpić emisja spontaniczna. Ma ona charakter przypadkowy i izotropowy, zatem uśrednia się w czasie do zera. Wariancja takiego procesu jest jednak niezerowa, co narzuca pewne ograniczenia na minimalną temperaturę, jaką takie chłodzenie jest w stanie zapewnić. Siła w melasie optycznej zależy od różnicy odstrojeń pomiędzy wiązkami przeciw i współbieżną, a więc wprost od prędkości atomów. Atomy są chłodzone, ale nie pułapkowane niezbędne jest zatem uzależnienie siły działającej na cząstkę od jej położenia. Aby zapewnić przestrzenne zlokalizowanie atomów, umieszcza się je w 29

niejednorodnym polu magnetycznym, które, dzięki efektowi Zeemana, powoduje rozszczepienie podpoziomów atomowych zależnie od ich położenia. W ten sposób każde przesunięcie atomu ze środka pułapki w dowolnym kierunku powoduje, że jeden z podpoziomów magnetycznych zbliża się do rezonansu z promieniowaniem laserowym, a polaryzacje wiązek są tak wybrane, że absorbowane jest to światło, które spycha atom ku środkowi pułapki. Osiowy gradient takiego pola wynosi 12 G/cm i jest tworzony przez dwie cewki w odwrotnej konfiguracji Helmholtza (tj. z prądem w cewkach płynącym w przeciwnych kierunkach). Cały układ, wraz z wiązkami chłodzącymi (melasą optyczną), nosi nazwę pułapki magneto optycznej [33]. Jej schemat został pokazany na rysunku 10. Rys. 10. Schemat pułapki magneto optycznej (MOT). Składają się na nią 3 pary przeciwbieżnych wiązek laserowych oraz para cewek w odwrotnej konfiguracji Helmholtza. Litery σ określają polaryzację wiązki, a I kierunek prądu. Rysunek z [25]. Odstrojenie od rezonansu w naszym przypadku wynosi 2Γ/2π, gdzie Γ to naturalna szerokość omawianego przejścia, wynosząca 2π 6MHz jest to zatem 12 MHz. Moc wiązek pułapkujących wchodzących do pułapki wynosi 40 mw, a ich średnica to 17 mm. Po przejściu przez chmurę atomów moc wiązek jest osłabiona, skutkiem czego tworzona przez MOT 1 pułapka nie jest sferycznie symetryczna na tym etapie kształt jednak nie gra roli. Wszystkie powyższe rozważania mają sens jedynie wówczas, gdy atom znajduje 30

się w stanie 2 S 1/2 F = 2, umożliwiającym jego oddziaływanie z chłodzącą wiązką laserową. Może się tymczasem zdarzyć, że po absorpcji fotonu nastąpi przejście do stanu 2 S 1/2 F = 1. Jest to tzw. stan ciemny pułapki, jako że nie jest on widziany przez laser pułapkujący. Dlatego też stosowana jest dodatkowa wiązka, tzw. repompująca, dostosowana do przejścia 5 2 S 1/2 F = 1 5 2 P 3/2 F = 2. Ma ona moc 25 mw i średnicę 17 mm. Ładowanie pułapki ze źródła rubidu zajmuje około 5 s i pozwala zgromadzić 10 8 atomów o temperaturze około 1 mk. Jest ona niedaleka minimalnej temperatury dostępnej z użyciem MOT dla atomów rubidu (wynoszącej 142 µk), znanej jako granica chłodzenia dopplerowskiego. Ostatecznie w MOT 1 otrzymujemy chmurę o średnicy 5 7 mm zawierającą około 10 9 atomów, co odpowiada gęstości rzędu 10 11 /cm 3. 2.3.2. Transfer atomów Atomy chłodzone w MOT 1 są w sposób ciągły przenoszone do dolnej komory, gdzie przechwytywane są przez MOT 2, tak jak to pokazano na rysunku 11. Transfer pomiędzy obiema częściami odbywa się za pośrednictwem rurki do pompowania różnicowego, a odległość pomiędzy dwoma pułapkami wynosi 415 mm. Wiązka przepychająca jest spolaryzowana kołowo i odstrojona od rezonansu o 12 MHz, a jej moc to jedynie 4 mw. Na jej drodze ustawiony jest układ soczewek ogniskujący promień laserowy na chmurze atomów, przez co siła działająca na atomy jest znaczna. Po przejściu przez ognisko natężenie wiązki spada w MOT 2 jej natężenie jest 6 tysięcy razy mniejsze, a tym samym jej wpływ na procesy tam zachodzące jest zaniedbywalny. Wiązka przepychająca pozbawiona jest domieszki repompującej, skutkiem czego atomy, nim trafią do MOT 2, przechodzą do ciemnego stanu 2 S 1/2 F = 1. Stanowi to dodatkowy mechanizm zabezpieczający przed ich nadmiernym przyspieszeniem. Dzięki temu atomy raz wypchnięte kierują się przez grafitową rurkę do MOT 2. 2.3.3. Dolna pułapka magneto optyczna W dolnej pułapce magneto optycznej cały proces przebiega prawie identycznie jak w MOT 1 z podrozdziału 2.3.1, z kilkoma różnicami natury technicznej. W przypadku MOT 2 wszystkich sześć wiązek przygotowywanych jest niezależnie, nie mamy zatem do czynienia z osłabieniem którejkolwiek z nich. Jest to istotne, ponieważ efektywność dalszych etapów chłodzenia będzie tym mniejsza, im bardziej kształt chmury będzie odbiegać od sferycznego. Ponadto średnica wiązek pułapkujących jest mniejsza (10 cm), a moc każdej wynosi prawie 40 mw. Moc wiązki repompującej wynosi 31

Rys. 11. Schemat aparatury próżniowej wraz z wiązkami górnego i dolnego MOTa oraz wiązką przepychającą. Na początku drogi wiązki przepychającej ustawiona jest soczewka. Rysunek z [18]. 80 mw. Większe niż w MOT 1 moce wiązek pozwalają na spułapkowanie dużej liczby atomów. Osiowy gradient kwadropulowego pola magnetycznego generowany przez cewki jest tutaj nieznacznie mniejszy i wynosi 10 G/cm. Proces transferu atomów z MOT 1 do MOT 2 trwa 40 sekund, po których wyłączana jest górna pułapka oraz wiązka przepychająca. Na tym etapie, podobnie jak w MOT 1, w pułapce znajduje się około 10 9 atomów o temperaturze 1 mk. Następnie włączana jest dodatkowa cewka, która przesuwa środek MOT 2 o 2 3 mm w dół, gdzie będzie miało miejsce chłodzenie magnetyczne. Kolejnym krokiem jest faza zimnego MOTa, w trakcie której odstrojenie wiązki pułapkującej jest powiększane do 6Γ (36 MHz), co powoduje zwiększenie gęstości chmury atomowej. Następnie wyłączane jest pole magnetyczne MOT 2. Atomy nie są już zatem spułapkowane, ale za to na tyle powolne, że w praktyce ich ucieczka jest niemożliwa. Faza melasy optycznej trwa przez 12 ms, w trakcie której odbywa się chłodzenie tzw. gradientem polaryzacji [34, 35]. Stanowi ono przykład chłodzenia subdopplerowskiego, umożliwiającego obniżenie temperatury do 100 µk. Teoretyczna granica jego efektywności wyznaczona jest przez szybkość odrzutu, jaka nadawana jest atomom w trakcie emisji spontanicznej. Temperatura ta wynosi dla przejścia 5 2 S 1/2 5 2 P 3/2 361.96 nk [36]. Osiągane w praktyce temperatury są co najmniej o jeden rząd wyższe [25]. 32

2.3.4. Pułapka magnetyczna Obniżenie temperatury atomów poniżej granicy chłodzenia subdopplerowskiego jest możliwe dzięki wyrzuceniu najgorętszych atomów jest to tzw. chłodzenie przez odparowanie [37, 38]. W tym celu w naszym eksperymencie wykorzystuje się specjalny rodzaj pułapki magnetycznej, zaprojektowanej na wzór układu zespołu Jeana Dalibarda [35], umożliwiającej pracę ze względnie niskimi natężeniami prądu 6. W celu utworzenia odpowiedniego potencjału harmonicznego wykorzystuje się cewki magnetyczne w konfiguracji przedstawionej na rysunku 12 jest to tzw. układ Ioffe Pritcharda [26, 39]. Rys. 12. Przekrój poprzeczny pułapki magnetycznej. Składają się na nią trzy cewki wytwarzające pole magnetyczne o potencjale harmonicznym oraz dwie cewki offsetowe, przesuwające minimum potencjału. Oś z wyznacza kierunek osiowy, a r kierunek radialny. Na ilustracji nie zostały przedstawiony pary cewek kompensujących ziemskie pole magnetyczne. Rysunek wzięty z [19]. Jeśli atom zostanie umieszczony w gradiencie pola magnetycznego, będzie działa na niego siła Sterna Gerlacha [25] F z = g F µ B z (m F B), (42) gdzie z oznacza kierunek wektora indukcji magnetycznej B, gf Landégo, a µ B magnetonem Bohra. jest czynnikiem Jeśli centrum pułapki o potencjale harmonicznym znajduje się w punkcie z = 0, to dla g F m F > 0 siła F z będzie skierowana do wnętrza pułapki (atomy znajdą się w studni potencjału), a w przeciwnym przypadku na zewnątrz pułapki (atomy znajdą się na górce potencjału). Dla m F = 0, siła F z = 0. Jeśli założymy F = 2, jak to ma miejsce w naszym eksperymencie, to stanami szukającymi minimum potencjału są te, dla których m F = 1, 2. Atomy w stanie m F = 0 niemal nie będą oddziaływać 6 Niskie natężenia prądu w cewkach umożliwiają ich szybkie przełączanie i wyłączanie, co jest istotne w dalszej fazie eksperymentu. 33

z polem, natomiast m F = 1, 2 będą odpychane od minimum pola. Para cewek kwadrupolowych (w odwrotnej konfiguracji Helmholtza) służy do wytworzenia pola kwadrupolowego, tworzącego potencjał pokazany na rysunku 13(a). Takie pole przedstawia jednak jeden zasadniczy problem: atomy zbierałyby się w pobliżu centrum, gdzie B = 0, a tym samym różnica w separacji pomiędzy podpoziomami zeemanowskimi byłaby bardzo niewielka. W takiej sytuacji atom o danym rzucie całkowitego momentu spinu m F może łatwo zmienić stan 7, tym samym uniemożliwiając jego pułapkowanie. Z tego względu wykorzystywana jest dodatkowa cewka, Rys. 13. (a) Potencjał wytwarzany przez dwie przeciwległe cewki kwadrupolowe. (b) Podniesiony potencjał powstały po dodaniu trzeciej cewki - tzw. cewki Ioffego. Rysunek wzięty z [25]. zwana cewką Ioffego. Jej zadaniem jest podniesienie potencjału, jak przedstawiono na rysunku 13(b). Efektem ubocznym użycia cewki tego typu jest silne rozsunięcie poziomów zeemanowskich, dlatego też stosuje się dodatkową parę cewek (zwanych cewkami offsetowymi) kompensujących ten efekt 8. Układ trzech jednakowych cewek tworzy pułapkę sferycznie symetryczną. Cewki offsetowe, oprócz zmniejszenia pola w środku, kompresują dwa kierunki pola. Przy zadanej przez nas geometrii cewek i natężeniu prądu 39 A, częstotliwość w kierunku radialnym ω r wynosi 2π 137 Hz, natomiast w kierunku osiowym ω z jest równa 2π 12.07 Hz. Otrzymany przy takich parametrach kształt pułapki, zgodnie z warunkiem postawionym w rozdziale 1.2.3, będzie miał postać cygara. 2.3.5. Przeładowanie do pułapki magnetycznej W obecności niejednorodnego pola magnetycznego poziomy energetyczne w atomie ulegają rozszczepieniu, a liczba podpoziomów zależy od całkowitego momentu pędu F : dla F = 2 będzie ich 5, tak jak przedstawiono na rysunku 14. 7 Omówiony proces w literaturze anglojęzycznej określany jest jako Majorana spin flip [40, 41]. 8 Istnieją układy z taką cewką Ioffego do podniesienia potencjału, że cewki offsetowe nie są potrzebne, jednak w czasie ich włączania przez chwilę tworzą się dwa minima potencjału. 34

Rys. 14. Rozszczepienie energetyczne poziomu o całkowitym momencie magnetycznym F = 2 na pięć podpoziomów wskutek efektu Zeemana. Na osi x znajduje się odległość od środka pułapki. Krzywa gaussowska opisuje rozkład gęstości w chmurze atomów o m F = 2 w zależności od odległości od środka pułapki. Rysunek wzięty z [42]. Aby samo pułapkowanie mogło mieć miejsce, atomy muszą wcześniej znaleźć się w pożądanym stanie, czyli o m F = 1, 2 dla atomu o F = 2. Z technicznego punktu widzenia łatwiej otrzymać skrajny, tj. F = 2, m F = 2. Oznacza to, że stany o m F = 0 i niższym nie będą pułapkowane - jeśli jakikolwiek atom w nich się znajdzie, opuści pułapkę. Należy zatem zadbać, aby jak najwięcej atomów znalazło się w odpowiednim stanie. Po zakończeniu etapu melasy optycznej wyłączane są wiązki pułapkujące. Działająca wiązka repompująca umieszcza atomy w stanie o F = 2, z równym obsadzeniem wszystkich poziomów zeemanowskich. Włączenie słabego pole magnetycznego (o wartości 1 Gs i kierunku wzdłuż wiązki pompującej z następnego akapitu) powoduje zniesienie ich degeneracji. Przez następną milisekundę atomy są oświetlane słabym światłem laserowym o polaryzacji kołowej σ +, będącym w rezonansie z przejściem F = 2 F = 3. Atom absorbując foton z wiązki o takiej polaryzacji zwiększa m F o jeden, a następnie w akcie emisji spontanicznej wraca do stanu podstawowego o F = 1 lub F = 2. Jednocześnie, zgodnie z regułami wyboru dla przejść optycznych [25], atom może przejść do stanu o m F o jeden większym, o jeden mniejszym bądź równym temu, jaki był w stanie wzbudzonym. Średnio atomy będą zatem przechodzić do stanów o coraz wyższym m F, aż znajdą się w wymaganym m F = 2. Po 0.5 ms wyłączana jest również wiązka repompująca. Kolejność tutaj jest istotna, jako że to od niej zależy, w którym ze stanów nadsubtelnych F znajdą się atomy. Ostatecznie otrzymujemy zatem atomy w stanie F = 2, m F = 2, który umożliwia ich pułapkowanie. 35

Po włączeniu cewek kwadrupolowych i cewki Ioffego, potencjał pułapki najpierw przybiera kształt, który odpowiada chmurze atomów. Następnie przez zwiększanie natężenia prądu i uruchomienie cewek offsetowych, chmura jest kompresowana adiabatycznie do kształtu cygara. Po zakończeniu przeładowania w środku pułapki znajduje się około 10 8 atomów o gęstości 10 12 /cm 3 i temperaturze 100 µk. Tak przygotowane cząstki są gotowe do ostatniego etapu chłodzenia. Efektywność procesu przeładowania wynosi około 75%. 2.3.6. Chłodzenie przez odparowanie Chłodzenie laserowe z wykorzystaniem gradientu polaryzacji pozwala obniżyć temperaturę poniżej granicy Dopplera, jednak i ta technika przez odrzut atomów ma ograniczoną efektywność. Chłodzenie przez odparowanie pozwala pokonać tę granicę. Podobnie jak w kubku z gorącą herbatą utrata ciepła jest spowodowana unoszeniem energii przez parę, tak w pułapce magnetycznej temperatura jest obniżana przez umożliwienie najgorętszym atomom ucieczki. Każdy taki atom uciekając z pułapki zabiera ze sobą pewną, większą od przeciętnej, ilość energii. Proces ten prowadzi do obniżenia temperatury do poziomu umożliwiającego kondensację. Rys. 15. (a) Zeemanowskie rozszczepienie energetyczne poziomu o F = 2. Na osi x znajduje się odległość od środka pułapki. Energia hν RF określa separację pomiędzy poszczególnymi podpoziomami w zależności od odległości od centrum. Krzywa gaussowska opisuje rozkład gęstości w chmurze atomów o m F = 2. (b) Atomy w potencjale harmonicznym. Ewolucja rozkładu prędkości pokazana jest na kolejnych ilustracjach: (c) początkowy rozkład prędkości zgodnie z rozkładem Boltzmanna; (d) rozkład prędkości po obniżeniu wysokości potencjału; (e) rozkład prędkości chwilę później, kiedy pozostałe atomy zdążyły termalizować. 36

Proces chłodzenia przez odparowania można zilustrować na prostym modelu, przedstawionym na rysunku 15. Atomy po etapie melasy optycznej i przeładowaniu znajdują się w potencjale harmonicznym (b), gdzie mają rozkład prędkości zgodny z rozkładem Boltzmanna (c). Następnie przy pomocy promieniowania elektromagnetycznego o częstotliwościach radiowych ν RF obniżamy wysokość potencjału pułapkującego do poziomu wyznaczonego przez r cut (a), czego efektem jest umożliwienie ucieczki atomom o prędkości większej od v cut (d). Pozostałe cząstki w wyniku oddziaływań wymieniają energię między sobą, co prowadzi do równowagi termodynamicznej innymi słowy układ termalizuje. Ustala się nowa temperatura, niższa od początkowej. Właściwy jej rozkład prędkości pokazany jest na rysunku (e). W ramach modelu zakłada się bardzo dużą liczbę takich małych kroków, prowadzących do obniżenia temperatury o trzy rzędy wielkości względem chłodzenia subdopplerowskiego. Podejście przeciwne tj. mała liczba dużych kroków skutkowałoby wyrzuceniem naraz znacznej części atomów i brakiem czasu na termalizację. Tym samym proces taki byłby skrajnie nieefektywny. W rzeczywistości, w eksperymencie proces obniżania wysokości potencjału jest ciągły, jednak dostatecznie powolny (57 sekund), aby atomy mogły termalizować. Szybkość termalizacji związana jest z częstością zderzeń pomiędzy atomami oraz czasem, przez jaki mogą z sobą oddziaływać. Moc wytwarzanego promieniowania radiowego RF (od ang. Radio Frequency) wynosi 6.4 W, a jego częstotliwość eksponencjalnie maleje od 18 MHz do 0.7 MHz. W trakcie odparowywania następuje znaczne obniżenie zarówno temperatury, jak i liczby cząstek. Gdy długość fali de Broglie a atomów staje się większa od odległości między nimi, zachodzi kondensacja Bosego Einsteina (por. z rys. 1). Liczba wszystkich atomów waha się w granicach 1% wartości, jaka była po zakończeniu etapu melasy optycznej. 2.4. Metoda pomiaru Celem potwierdzenia uzyskania kondensatu Bosego Einsteina należy dokonać pomiaru. Najczęściej używaną techniką jest obrazowanie absorpcyjne [5, 6]. Sposób ten, pokazany na rysunku 16, polega na rejestrowaniu przez kamerę CCD cienia wypuszczonych z pułapki atomów oświetlanych rezonansowym światłem lasera. Pozwala to otrzymać dwuwymiarowy profil głębokości optycznej chmury atomowej, będący odzwierciedleniem jej gęstości przestrzennej. Analizie takiego obrazu poświęcony jest rozdział 3, natomiast w tym omówiona została procedura prowadząca do uzyskania finalnego zdjęcia. 37

Rys. 16. Obrazowanie absorpcyjne kondensatu. Chmura atomów po wypuszczeniu z pułapki jest oświetlana rezonansowym światłem lasera. W wyniku absorpcji fotonów przez atomy zmniejsza się natężenie wiązki. Osłabienie to jest tym większe, im większa była gęstość chmury. Natężenie wiązki po przejściu przez chmurę jest następnie rejestrowane przez kamerę CCD, co pozwala uzyskać dwuwymiarowy profil głębokości optycznej chmury. Na zilustrowanym profilu obszarowi o większej gęstości optycznej odpowiada ciemniejszy kolor. 2.4.1. Układ obrazujący Chmura atomów, będąc w pułapce, znajduje się w polu widzenia układu obrazującego, jednak na tym etapie nie wykonuje się jej obrazowania ze względu na silnie nieliniowe efekty optyczne, jakie byłyby konsekwencją dużej gęstości optycznej kondensatu. Zamiast tego pole magnetyczne jest wyłączane, co powoduje swobodny spadek chmury atomów w polu grawitacyjnym. W trakcie spadku uwolniona chmura ekspanduje we wszystkich kierunkach, co prowadzi do obniżenia gęstości. Po kilkunastu milisekundach gęstość optyczna jest dostatecznie niska, aby możliwe było wykonanie wiarygodnego pomiaru. Chmura atomów znajduje się w polu widzenia kamery przez 30 ms od chwili rozpoczęcia spadku. Obrazowanie wykonywane jest trwającym 150 µs spolaryzowanym kołowo impulsem laserowym, dostrojonym do przejścia F = 2, m F = 2 F = 3, m F = 3 [26]. Atom po pochłonięciu fotonu przejmuje jego pęd, tym samym wskutek efektu Dopplera ulega zmianie częstotliwość, na której zachodzi wskazane przejście. Im więcej fotonów zaabsorbuje, tym większe jest jego odstrojenie, a w konsekwencji mniejsze oddziaływanie z wiązką obrazującą. Dodatkowo, atom może uciec do stanu ciemnego F=1. Zwykle jeden atom pozostaje w rezonansie około 20 µs. Dzięki temu nie obserwuje się efektu rozmycia, jaki mógłby powstać wskutek długiego naświetlania zdjęcia poruszających się atomów. Proces obrazowania jest niszczący dla kondensatu, nie ma więc możliwości wykonania drugiego pomiaru na tej samej chmurze atomów. 38

2.4.2. Obrazowanie Wyznaczenie fizycznych właściwości chmury atomów jest możliwe dzięki prawu Lamberta Beera, opisującemu pochłanianie promieniowania elektromagnetycznego w ośrodku, przez który przechodzi. Wychodząc z założenia, że wielkość absorpcji wiązki laserowej wzdłuż danej osi x jest proporcjonalna do jej natężenia promieniowania I, gęstości chmury atomowej n(x, r, z) (jak poprzednio r jest kierunkiem radialnym, a z osiowym), przekroju czynnego na absorpcję w rezonansie σ 0 dla atomów 87 Rb oraz grubości warstwy dx, otrzymamy następujące wyrażenie łączące te wielkości ( ) If ln = σ 0 I i n(x, r, z)dx, (43) gdzie I i jest natężeniem wiązki laserowej przed wejściem w chmurę, a I f po przejściu przez nią. Całka w równaniu (43) to gęstość kolumnowa chmury ñ(r, z), czyli klasyczna gęstość n(x, r, z) scałkowana po grubości chmury właśnie tę wielkość będziemy starali się wyznaczyć z otrzymanego zdjęcia. W eksperymencie kamera rejestruje natężenie wiązki, która przeszła przez chmurę atomów. Dzięki temu, znając σ 0, możemy uzyskać gęstość kolumnową ñ(r, z). Należy jednak wziąć pod uwagę, że rozkład natężenia wiązki obrazującej nie jest w pełni jednorodny, podobnie jak tło (szum obecny jest nawet przy wyłączonych laserach). W celu rozwiązania wymienionych problemów stosowana jest następująca sekwencja pomiarów: 1. Najpierw wykonuje się zdjęcie chmury atomów, skąd uzyskiwany jest rozkład natężenia wiązki I f (r, z) po przejściu przez chmurę. Pomiar ten powoduje zniszczenie kondensatu skondensowany atom już po absorpcji pojedynczego fotonu opuszcza stan podstawowy, co błyskawicznie powoduje destrukcję BEC. 2. Po rozpadzie kondensatu, wykonywane jest zdjęcie samej wiązki obrazującej I i (r, z). 3. Na koniec wykonywane jest zdjęcie przy wyłączonej wiązce obrazującej, co daje rozkład natężenia tła I d (r, z). Następnie od rozkładów natężeń wiązek przed i po przejściu przez chmurę odejmujemy tło, otrzymując zależność ln I f I d I i I d = σ 0 ñ(r, z). (44) Wielkość po lewej stronie nosi nazwę kolumnowej gęstości optycznej OD(r, z) (od ang. Optical Density) i to właśnie ona jest rejestrowana w eksperymencie. Dla wiązki spolaryzowanej kołowo i zamkniętego przejścia F = 2, m F = 2 F = 3, m F = 3 39

przekrój czynny na absorpcję przy długości fali λ dany jest przez σ 0 = 3λ 2 /2π [36]. Równanie (44) pozwala nam zatem wyznaczyć gęstość kolumnową próbki ñ(r, z) = OD(r, z) 3λ 2 /2π. (45) Jeśli weźmiemy następnie pod uwagę, że istnieje pewna graniczna wartość nasycenia przejścia atomowego przez wiązkę obrazującą I sat, to poprawiony wzór na rozkład kolumnowej gęstości optycznej będzie miał postać OD n (r, z) = OD(r, z) + [1 exp ( OD(r, z))]. (46) 2.4.3. Zdjęcie Otrzymane ostatecznie zdjęcie przedstawione jest na rysunku 17. Kolory na nim widoczne są wynikiem interpretacji danych pomiarowych przez program komputerowy. Typ danych wynikowych to liczby całkowite ze znakiem o długości 16 bitów 9, zatem każdej wartości może być przyporządkowany kolor. Środkowy, czarny obszar, odpowiada miejscu o największej kolumnowej gęstości optycznej. Natomiast im dalej od centrum, tj. w kierunku cieplejszych kolorów, tym kolumnowa gęstość optyczna jest mniejsza. Najmniejsza jest w czerwonym obszarze, stanowiącym tło. Dzięki znajomości rozkładów gęstości charakterystycznych dla atomów skondensowanych i termicznych można wyznaczyć obszar kondensacji Bosego Einsteina. Na przedstawionym rysunku 17 znajduje się on razem z atomami nieskondensowanymi w centrum, natomiast dookoła widoczne są atomy termiczne. Wielkość zdjęcia wynosi 2184 pikseli w poziomie oraz 1472 pikseli w pionie, a jednemu pikselowi odpowiada odległość 6.8 µm. Ze względu na obecność teleskopu zbudowanego z dwóch soczewek na drodze wiązki obrazującej, otrzymywany obraz jest powiększony. Niezbędne staje się więc odpowiednie skalowanie wymiarów przestrzennych. W przeprowadzonych eksperymentach powiększenie wynosiło 2.222, zatem występujące na zdjęciach rozmiary musiały być skalowane przez czynnik 1/2.222 = 0.45. Wskutek wykorzystania w procesie obrazowania spójnego światła, na otrzymanych zdjęciach powstają prążki interferencyjne, widoczne na rysunku 17(a). Gdyby zdjęcia chmury atomów i wiązki obrazującej następowały zaraz po sobie (zob. rozdz. 2.4.2), prążki odjęłyby się od siebie, bo byłyby jednakowe. Ponieważ jednak mija pomiędzy nimi 5 sekund, drobne fluktuacje temperatury przesuwają je na drugim zdjęciu. Efekt ich odjęcia widoczny jest na zdjęciu różnicowym. Po poddaniu zdjęcia dwuwymiarowej szybkiej transformacie Fouriera (FFT, ang. Fast Fourier Transform) otrzymujemy obraz w przestrzeni częstotliwości i fazy. Pik- 9 Liczbom 16-bitowym ze znakiem odpowiada zakres wartości od 2 15 do 2 15. 40

Rys. 17. Zdjęcie chmury atomów. Im zimniejszy kolor, tym większa gęstość optyczna danego obszaru. Kolor czarny jest obszarem o największej kolumnowej gęstości optycznej, na którym dominują atomy skondensowane (z niewielką frakcją atomów termicznych). (a) Zdjęcie przed usunięciem prążków interferencyjnych (b) i po ich usunięciu. sele w centrum rysunku odpowiadają niskim częstotliwościom przestrzennym. Im dalej od środka, tym są one wyższe. Chmurze atomowej odpowiadają względnie niskie częstotliwości przestrzenne, zatem to ona znajduje się w centrum. Z kolei prążki interferencyjne zajmują wysokie częstotliwości przestrzenne, są więc oddalone od środka. Zamaskowanie tych częstotliwości pozwala usunąć prążki ze zdjęcia. Do wykonania FFT można wykorzystać darmowy program ImageJ [43]. Przykład zdjęcia poddanego transformacie pokazany jest na rysunku 18. W części (a) dookoła centralnego obszaru widnieje sześć zakreślonych miejsc, w środku których znajdują się jaśniejsze rejony odpowiadające wyznaczonym empirycznie częstotliwościom prążków interferencyjnych. W programie ImageJ zamaskowanie ich sprowadza się do zamalowania tych obszarów efekt pokazany został w części (b) rysunku. Rys. 18. Zdjęcie chmury atomów poddane szybkiej transformacie Fouriera w programie ImageJ. (a) Zaznaczono obszary, wewnątrz których znajdują się jaśniejsze miejsca odpowiadające częstotliwościom prążków interferencyjnych. (b) Te same miejsca zamalowane, co stanowi graficzny sposób maskowania wskazanych częstotliwości. 41

Następnie wystarczy wykonać odwrotną szybką transformatę Fouriera (inverse FFT), aby otrzymać zdjęcie pozbawione niechcianych prążków. Kolejnym krokiem jest zapisanie zdjęcia we właściwym, pierwotnym formacie, czyli w.spe 10. W tym celu do programu ImageJ należy dołączyć odpowiedni podprogram (wtyczkę) dostępny w Internecie [44]. Ze względu na to, że tak zapisane zdjęcie ma przesuniętą w górę wartość wszystkich pikseli o 32000, należy następnie od wartości każdego piksela odjąć tą liczbę 11. Tak przetworzone zdjęcie gotowe jest już do właściwej analizy fizycznych parametrów chmury atomów. 10 Jest to format używany przez program Princeton Instruments WinView, wykorzystywany do pobierania zdjęć z kamery. 11 Można tą operację wykonać w programie Winview wybierając opcję Linear z menu Process, a następnie wpisując żądaną wartość do odjęcia. Należy przy tym pamiętać, że typ danych to liczby całkowite (int), natomiast domyślnym są zmiennoprzecinkowe (float). Typ danych można ustalić rozwijając okno Linear przyciskiem More. 42

3. Metoda analizy wyników pomiarów W rozdziale tym omówiona została ilościowa analiza zdjęć kondensatu Bosego Einsteina otrzymywanych techniką obrazowania absorpcyjnego. Jest to najczęściej stosowana w eksperymentalnej realizacji technika, używana do określenia takich parametrów chmury atomowej jak: ˆ Temperatura chmury atomów T. ˆ Liczba atomów skondensowanych N 0. ˆ Całkowita liczba atomów N. 3.1. Wprowadzenie Wynikiem obrazowania jest dwuwymiarowy rozkład gęstości optycznej, będący odwzorowaniem gęstości przestrzennej chmury atomowej, z której można wyznaczyć poszukiwane wielkości fizyczne. Analiza ta jest niełatwym zadaniem, jako że w skończonej temperaturze atomom skondensowanym towarzyszą również atomy termiczne, co po wypuszczeniu chmury z pułapki prowadzi do wzajemnego nałożenia się rozkładów kolumnowych gęstości optycznych obu grup atomów (jest to tzw. rozkład bimodalny). Istnieje możliwość zredukowania liczby atomów nieskondensowanych do minimum, a tym samym uzyskania prostego rozkładu właściwego kondensatowi. Tracona jest jednak wtedy informacja o temperaturze chmury, związanej nierozłącznie z atomami termicznymi. Ponadto, jak zostało to opisane w pracy [13] oraz w rozdziale 4, dynamika oddziaływania między sobą obu frakcji jest interesującym przedmiotem badań. Problematyka związana z analizą zdjęć absorpcyjnych jest znanym zagadnieniem [26, 27, 45]. Jedną z metod pozwalających na obejście problemu z rozkładem bimodalnym jest zastosowanie dyfrakcji Bragga [13], umożliwiającej rozdzielenie przestrzenne obu frakcji. Ten sam efekt można uzyskać również z wykorzystaniem koherentnego tunelowania przez bariery potencjału [46]. Obie te metody są jednak trudne w realizacji i wprowadzają dodatkowe oddziaływania wpływające na parametry, które maja być wyznaczone. Jest to szczególnie niekorzystne w badaniach nad dynamiką kondensatu. Najczęściej zatem przychodzi zmierzyć się z analizą zdjęcia chmury atomowej o bimodalnym rozkładzie gęstości. Popularnie stosowana metoda polega na analizie części termicznej wyłącznie w obszarach zewnętrznych chmury atomowej, gdzie nie ma domieszki kondensatu. W tym miejscu pojawia się największy problem omawianej techniki, jako że rozgraniczenie pomiędzy kondensatem i atomami nieskondensowanymi nie jest wyraźne. 43

W związku z tym wybór obszaru zajmowanego przez atomy termiczne jest wysoce arbitralny. Jeśli zostanie wyłączony zbyt duży centralny rejon (z kondensatem), to stosunek ilości danych do szumu będzie niewystarczający. Wyłączenie zbyt małego regionu spowoduje z kolei uwzględnienie również atomów kondensatu w dopasowywaniu rozkładu właściwego atomom termicznym. Przedstawione trudności rodzą konieczność opracowania niewrażliwej na nie procedury, prowadzącej do uzyskania możliwie dokładnych wyników ilościowych. Temu zagadnieniu poświęcone są kolejne podrozdziały. 3.1.1. Rozkłady bimodalny Tak jak zostało już nakreślone w rozdziałach 1 i 2, atomy termiczne i skondensowane są w znacznej mierze odseparowane w pułapce magnetycznej. Po jej wyłączeniu chmura atomów spada swobodnie w polu grawitacyjnym i obie grupy jednocześnie ekspandują, nie oddziałując już ze sobą. Prowadzi to do nałożenia się obu grup w centralnej części chmury, podczas gdy w jej zewnętrznych partiach znajdują się wyłącznie atomy termiczne. Na zdjęciu otrzymujemy zatem rozkład bimodalny, złożony z rozkładu właściwego atomom nieskondensowanym i rozkładu odpowiadającego atomom skondensowanym. Zostały one przedstawione w rozdziałach 1.2.3 i 1.2.4, tutaj podane są w formie uwzględniającej fakt, że otrzymywane z pomiarów dane nie są klasycznymi gęstościami, a rozkładami kolumnowymi gęstości optycznych (por. z 2.4.2). Znacznie powyżej temperatury krytycznej kolumnowa gęstość optyczna chmury termicznej może być opisana rozkładem Gaussa OD(r, z) Gauss = OD Gpeak exp [ 1 2 ( r rc σ r ) 2 1 2 ( ) ] z zc 2. (47) gdzie OD Gpeak jest wartością maksymalną kolumnowej gęstości optycznej frakcji termicznej, r c i z c współrzędnymi tego maksimum, natomiast σ r i σ z to szerokości chmury termicznej na połowie mocy (FWHM, z ang. Full Width Half Maximum) w kierunku radialnym i osiowym, określające jej wielkość. W pobliżu temperatury krytycznej i poniżej wykorzystywany jest rozkład Gaussa BE (39). Naturalnie, w praktyce ten nieskończony szereg należy uciąć w pewnym miejscu. Okazuje się, że wzięcie trzech pierwszych wyrazów jest znakomitym kompromisem pomiędzy jakością opisu, a wydajnością obliczeniową. Poprawka wynikająca z uwzględnienia czwartego wyrazu mieści się w granicach niepewności pomiarowej. W praktyce uwzględnienie jej może nic nie zmieniać bądź wręcz prowadzić do pogorszenia rezultatów ze względu na problemy natury numerycznej (np. skończoną arytmetykę komputerowych obliczeń σ z 44

na liczbach rzeczywistych bądź specyfikę wykorzystywanego algorytmu). OD(r, z) EnhGauss = 36 ( [ 49 OD Gpeak exp 1 ( ) r rc 2 ( ) ] 1 z zc 2 2 σ r 2 σ z [ ( ) r rc 2 ( ) ] z zc 2 + exp + exp [ 3 2 σ r ( r rc σ r ) 2 3 2 σ z ( ) ]) z zc 2. σ z (48) Kolumnowa gęstość optyczna atomów skondensowanych w reżimie Thomasa Fermiego (TF) jest z kolei opisywana rozkładem TF ( ( ) r rc 2 ( ) ) z zc 2 3/2 OD(r, z) TF = OD TFpeak max 0, 1, (49) gdzie OD TFpeak jest maksimum kolumnowej gęstości optycznej dla rozkładu TF, a R r i R z promieniami TF w kierunkach radialnym i osiowym. Poza reżimem TF kondensat jest dobrze opisywany przez rozkład Gaussa [26] (zob. rozdz. 1.2.2). Schemat profilu gęstości optycznej chmury atomów skondensowanych i termicznych został przedstawiony na rysunku 19. R r R z Rys. 19. Schemat bimodalnego profilu gęstości optycznej, jaki przybiera chmura atomów po odpowiednio długim czasie ekspansji. Kolorem zielonym została zaznaczona frakcja termiczna, niebieskim profil Thomasa Fermiego odpowiadający kondensatowi, natomiast żółtym obszar nakładania się obu grup. Wielkości OD TFpeak i OD Gpeak, to, odpowiednio, kolumnowa gęstość optyczna kondensatu i chmury termicznej, (r c, z c ) współrzędne środka, R promień TF, a σ FWHM nieskondensowanych atomów. 45

Podsumowując, rozkład kolumnowej gęstości optycznej chmury atomów może być opisany następującym bimodalnym rozkładem OD(r, z) = OD(r, z) EnhGauss + OD(r, z) TF + stałe tło. (50) W wyrażeniu (50) znalazł się również dodatkowy parametr: stałe tło. Niezależnie od procedury opisanej w 2.4.2 na zdjęciu pojawia się szum dodany parametr ma na celu uwzględnienie tego faktu. 3.1.2. Poszukiwane wielkości fizyczne Jedną z elementarnych wielkości fizycznych opisujących chmurę atomów jest jej temperatura. Dla samego kondensatu pojęcie to jest sprawą dyskusyjną, jako że jest zależne od przyjętej definicji temperatury. Nie ma za to wątpliwości względem atomów nieskondensowanych. Po wypuszczeniu z pułapki chmura termiczna (podobnie jak kondensat) ulega ekspansji, a szybkość tej ekspansji zależy bezpośrednio od energii kinetycznej cząstek. Ta z kolei związana jest przez zasadę ekwipartycji z temperaturą. Zatem im szybsza ekspansja, tym większy rozmiar chmury termicznej po czasie t. Ilościowo wyraża to poniższy wzór [29] T = 2τ 2 z 1 + 3τ 2 z T r + 1 + τ z 2 T 1 + 3τz 2 z, (51) gdzie dla i = r, z τ i = ω i t, a T i jest efektywną temperaturą zdefiniowaną jako T i = m ωi 2 σi 2 (t). (52) 2k B 1 + τi 2 Ze znajomości parametrów rozkładów, całkując po całym rozkładzie gęstości kolumnowej, możemy również wyznaczyć liczbę atomów termicznych N th = OD th (r, z)drdz = (2π) 3/2 OD Gpeak σ 0 σ 2 r(t)σ z (t) (53) i skondensowanych N 0 = OD TF (r, z)drdz = 8 15 π OD TFpeak σ 0 R 2 r(t)r z (t). (54) 3.2. Podstawy optymalizacji Otrzymanie parametrów rozkładów kolumnowych gęstości optycznych jest zagadnieniem optymalizacji nieliniowej, polegającym na numerycznym znalezieniu funkcji (50) możliwie najlepiej dopasowanej do danych ze zdjęcia. Powstaje zatem pytanie: 46

skąd komputer ma wiedzieć, na ile wyznaczone przez niego parametry θ są bliskie idealnym θ (tzn. będących najlepszym możliwym dopasowaniem). Najpopularniejszą metodą statystycznej estymacji jest metoda najmniejszych kwadratów. Sprawdza się ona tak długo, dopóki mamy do czynienia z dużą ilością danych nie zawierających znaczącej liczby mocno odstających punktów pomiarowych. Oba te warunki są w naszym przypadku spełnione. Weźmy zbiór k punktów (r 1, z 1, y 1 ), (r 2, z 2, y 2 ),..., (r k, z k, y k ) oraz funkcję modelową y = f( r, z, θ), której zmienne niezależne r i z zależą od n parametrów θ = (θ 1, θ 2,..., θ n ), z warunkiem k n. Zagadnienie polega na znalezieniu takiego wektora parametrów θ, że następująca suma kwadratów χ 2 ( θ) k = y i f(r i, z i, 2 θ) i=1 σi 2 jest minimalizowana. Litera σ i oznacza tu niepewność wyznaczenia pomiaru y i, natomiast cała suma nazywana jest statystyką χ 2 i stanowi podstawę oceny błędu. Więcej na temat nieliniowej metody najmniejszych kwadratów można znaleźć np. w [47], natomiast szczegóły numeryczne zostały opisane m.in. w [48, 49]. (55) 3.2.1. Wykorzystywane metody optymalizacji Sposób poszukiwania minimum funkcji (55) zależy od wyboru konkretnego algorytmu. Do najlepszych należy metoda Davidon Fletcher Powella o zmiennej metryce [50, 51], zaimplementowana w używanej przeze mnie bibliotece Minuit pod nazwą MIGRAD [52]. Należy ona do grupy metod quasi-newtonowskich zakładających, że funkcja może być lokalnie przybliżona funkcją kwadratową w otoczeniu optimum. W celu znalezienia punktów stacjonarnych 12 używa gradientu i hesjanu (kwadratowej macierzy drugich pochodnych cząstkowych). Może się zdarzyć, że błąd obliczenia pochodnych będzie na tyle duży, że algorytm MIGRAD nie uzyska zbieżności. W takiej sytuacji zatrzymywane jest jego działanie i uruchomiona zostaje metoda Simplex [48, 53]. Jest ona znacznie wolniejsza, ponadto jej ocena błędu jest niewiarygodna [52], jednak nie wymaga liczenia pochodnych może sobie zatem poradzić tam, gdzie MIGRAD zawiódł. Po opuszczeniu kłopotliwego miejsca program zwraca sterowanie optymalizacją do MIGRAD. 3.2.2. Ograniczenie wartości parametrów rozkładu Wielkości występujące w naszych funkcjach możemy podzielić na dwie grupy: 12 Punkt, w którym pierwsza pochodna funkcji przyjmuje wartość zero. Jeśli w tym punkcie druga pochodna istnieje i jest dodatnia, to funkcja ma minimum lokalne. 47

ˆ Zmienne niezależne: do nich należą współrzędne radialne i osiowe na zdjęciu. ˆ Parametry: w tej grupie znajdują się wielkości charakterystyczne dla frakcji termicznej OD th, σ r, σ z oraz skondensowanej OD TF, R r, R z. Ponadto zaliczane są tu współrzędne środek chmury atomowej (r c, z c ) oraz poziom tła. Zmienne niezależne są zatem po prostu współrzędnymi danej kolumnowej gęstości optycznej ze zdjęcia, natomiast parametry mają ścisłą interpretację fizyczną i to one podlegają optymalizacji. Jednak dopóki nie zostaną na nie narzucone ograniczenia, mogą przybrać dowolną wartość ze zbioru liczb rzeczywistych również niefizyczną. Celem uniknięcia takiej sytuacji ustala się czasami dla nich limity. Jeśli chcemy uzyskać ograniczenie z dołu przez a i z góry przez b, biblioteka Minuit przeprowadza następującą transformację używanej zmiennej P int [52] ( P int = arcsin 2 P ) ext a b a 1, (56) P ext = a + b a 2 (sin P int + 1), (57) przez co wewnętrzna (używana w obliczeniach) zmienna P int może przyjmować dowolne wartości, podczas gdy zewnętrzna P ext może przyjąć jedynie wartości pomiędzy a i b. Należy w tym miejscu podkreślić, że ponieważ transformacja ta jest nieliniowa, może znacznie utrudnić obliczenia, obracając proste zagadnienie w znacznie bardziej skomplikowane. Co gorsza, wprowadza dodatkową niedokładność numeryczną 13. Negatywne efekty związane z precyzją obliczeń będą tym silniejsze, im bliżej zewnętrzna zmienna P ext zbliżać się będzie do którejś z granic: dla przykładu przy ograniczeniu [0, 10 10 ], wartości 0.0 i 1.0 są nierozróżnialne. Jeśli parametr przyjmie wartość graniczną, algorytm może zakończyć procedurę z sukcesem. Niemniej niestety możemy być pewni, że nie jest to globalne minimum, ponadto w tej sytuacji jakakolwiek ocena niepewności danego parametru jest nierzetelna. Z wymienionych przyczyn ograniczenia na parametry powinny być stosowane tylko w ostateczności, w sytuacji gdy parametry mają realną możliwość znalezienia się poza fizycznym zakresem. Nawet wtedy, po znalezieniu minimum funkcji, należy zdjąć limity i ponownie przeprowadzić procedurę. Daje to szansę poprawnego wyznaczenia minimum oraz oceny niepewności. 3.3. Analizy zdjęć kondensatu w niezerowej temperaturze Rozdział ten opisuje procedurę analizy zdjęć absorpcyjnych kondensatu Bosego Einsteina o skończonej temperaturze. Omówione w nim zostały kroki prowadzące 13 Omówienie zagadnień związanych z precyzją obliczeń komputerowych można znaleźć w [48]. 48

do uzyskania informacji na temat frakcji kondensatu oraz temperatury chmury atomowej. Przedstawione zostało także szczegółowo zagadnienie wyznaczania obszaru zajmowanego przez atomy skondensowane. 3.3.1. Procedura dopasowywania rozkładu bimodalnego do danych Analiza zdjęcia składa się z następujących etapów: 1. Usunięcie prążków interferencyjnych. Pierwszy krok procedury polega na usunięciu prążków interferencyjnych powstałych w procesie obrazowania. Część ta została szczegółowo opisana w rozdziale 2.4.3. 2. Wybranie obszaru zajmowanego przez chmurę atomową. Użytkownik może samodzielnie w programie Winview (służącym do pobierania zdjęć z kamery) zaznaczyć na zdjęciu obszar chmury atomowej bądź też zdać się na automatyczną procedurę załączonego skryptu FitAll.bat, analizującego wszystkie zdjęcia w wybranym katalogu. 3. Oszacowanie obszaru zajmowanego przez kondensat. W tym celu rozkład bimodalny przybliża się za pomocą sumy dwuwymiarowych rozkładów Gaussa (47) i Thomasa Fermiego (49) oraz tła, po czym dopasowuje do kolumnowej gęstości optycznej chmury atomowej jest to tzw. wstępne fitowanie. Bierze w nim udział 9 parametrów, zatem ze względu na realną możliwość znalezienia minimum funkcji w niefizycznym zakresie parametrów, stosowane są ograniczenia, omówione w rozdziale 3.2.2. Jakość dopasowania może być następnie sprawdzona na ekranie kontrolnym, pokazanym na rysunku 20. Na tym etapie nie ma potrzeby wykorzystania dokładniejszego opisu frakcji termicznej przy pomocy rozkładu Gauss BE (48), jako że zajmowałoby to zauważalnie więcej czasu, nie polepszając zauważalnie jakości dopasowania. Dominującym problemem na tym etapie jest duża liczba parametrów, skutkiem której nie można spodziewać się dokładnych wyników. Jeśli jakość wstępnego dopasowania jest dobra, należy przejść do następnego etapu. Jeśli nie, powrócić do kroku drugiego, czyli wybrania nowego np. większego obszaru przeznaczonego do analizy. 4. Usunięcie kondensatu ze zdjęcia. Znając promienie Thomasa Fermiego R r i R z z rozkładu (49), można wyciąć ze zdjęcia część zajmowaną przez skondensowane atomy. Granica pomiędzy nimi i częścią termiczną nie jest wyraźna; same promienie TF również nie są dokładnie określone. Stąd też promienie TF, a tym samym rozmiar 49

Rys. 20. Wynik wstępnego fitowania w programie FitBEC. W dolnej części znajdują się przekroje przez centrum kolumnowej gęstości optycznej chmury atomowej w kierunku radialnym i osiowym wraz ze wstępnym dopasowaniem (kolor niebieski). Lewa górna ćwiartka zawiera rzut z góry, pozwalający w trybie rzeczywistym na inspekcję w prawej górnej ćwiartce dowolnego przekroju w kierunku radialnym wraz z dopasowaniem (kolor czerwony). usuwanego obszaru, są skalowane poprzez przemnożenie ich przez współczynnik S. Procedura jego wyboru opisana jest w podrozdziale 3.3.2. Strefa nakładania się obu rozkładów jest trudna z numerycznego punktu widzenia, natomiast fizycznie jest to najistotniejszy obszar. Od prawidłowego wyboru współczynnika skalującego S zależy precyzja otrzymanych wyników, bez której nie jest możliwe studiowanie subtelnych efektów na granicy obu faz. Stąd powstała konieczność opracowania rzetelnej i opartej na fizycznych podstawach metody wyboru S. 5. Określenie rozkładu gęstości optycznej atomów termicznych. Działania z poprzedniego punktu pozwoliły określić rozmiar kondensatu i usunąć go ze zdjęcia. Pozostałe atomy należą do części termicznej można do niej następnie dopasować rozkład Gauss BE (48) z pewnym tłem. Tym razem pozostaje tylko 6 parametrów, dzięki czemu procedura przebiega znacznie efektywniej. Wartościami początkowymi przy szukaniu optymalnych parametrów tego rozkładu są wyniki dla części termicznej otrzymane z dopasowywania rozkładu bimodalnego w punkcie drugim. Sprawia to, że punkty startowe dla algorytmu znajdują się w pobliżu minimum, a tym samym 50

nie ma potrzeby stosowania ograniczeń na parametry (zob. rozdz. 3.2.2). 6. Odjęcie części termicznej. Znając rozkład części termicznej chmury oraz poziom tła można je odjąć od pierwotnego zdjęcia, uzyskując tym samym czysty kondensat. Dodatkowo odrzucane są wszystkie punkty o wartości poniżej pewnego progu, zwykle ustalanego na poziomie 5 12.5% maksymalnej wartości gęstości optycznej. Podyktowane jest to koniecznością usunięcia danych będących na zdjęciu rejonem przenikania się atomów termicznych ze skondensowanymi. W przypadku paraboli odrzucanie danych z dołu nie ma jednak negatywnego wpływu na wyniki. Wizualizacja tak otrzymanych danych pokazana została na rysunku 21. Rys. 21. Wizualizacja danych opisujących czysty kondensat, już po usunięciu części termicznej, tła oraz punktów poniżej zadanego progu. Aby ułatwić ocenę kolumnowej gęstości optycznej OD wyrysowany został także jej dwuwymiarowy rzut, którego kolory odpowiadają wartości OD. 7. Określenie rozkładu gęstości optycznej kondensatu. Ostatecznie, do tak otrzymanych danych opisujących kondensat, dopasowywany jest rozkład Thomasa Fermiego (49). Podobnie jak punkcie piątym, tutaj również wartościami początkowymi algorytmu minimalizującego funkcję są parametry otrzymane ze wstępnego fitowania. Z tego samego powodu, co podany wcześniej, ograniczenia na parametry nie są potrzebne. Krok ten kończy całą procedurę. Na tym etapie znane są już wszystkie parametry rozkładu bimodalnego (50), możliwe jest zatem wyznaczenie poszukiwanych wielkości fizycznych opisanych w podrozdziale 3.1.2. 51

3.3.2. Kalibracja rozmiaru części termicznej Kalibracja rozmiaru frakcji termicznej ma na celu określenie obszaru, jaki na zdjęciu zajmują prawie wyłącznie atomy nieskondensowane. Procedura ta polega na pomnożeniu promieni TF przez współczynnik skalujący S. Dla danego zdjęcia stosowanych jest kilkanaście różnych wartości S, zwykle zawierających się w przedziale [0.8, 2.2] z krokiem 0.1. Okazuje się, że dla pewnego zakresu współczynnika skalującego temperatura nie zmienia się, co pokazano na rysunku 22. W przykładzie tym dla S < 1 wycięty rejon okazuje się zbyt mały i rozkład właściwy atomom termicznym dopasowywany jest również do skondensowanej części, za to dla S > 1.8 usunięty obszar jest zbyt duży, skutkiem czego stosunek ilości danych do szumu jest niewystarczający. Niestety, w sytuacji gdy na zdjęciu jest duży szum, kryterium to może okazać się niewystarczające, jako że fluktuacje temperatury będą nazbyt duże. Rys. 22. Przykład zależności temperatury w kierunku radialnym T r i osiowym T z (wzór (52)) od wartości współczynnika skalującego S. Zaznaczony obszar wskazuje zakres S, w którym odpowiadająca mu temperatura nie zmienia się o więcej niż jedno odchylenie standardowe. Dodatkowym kryterium przy wyborze właściwego S jest jego wpływ na wyliczoną frakcję kondensatu N 0 /N, co można zobaczyć na rysunku 23, przedstawiającym jej zależność od zredukowanej temperatury T/T c. Na wykresie zostały przedstawione wyniki otrzymane z czterech zdjęć, każde oznaczone innym symbolem. Każde zdjęcie najpierw przechodziło kroki 1 3 procedury dopasowywania rozkładu bimodalnego z podrozdziału 3.3.1. Po zaakceptowaniu wyników wstępnego fitowania kroki 4 7 były powtarzane w pętli dla wartości współczynnika skalującego S z zakresu [0.8, 1.8] z krokiem 0.1, stąd też dla każdego zdjęcia znaleźć można 11 wyników. Część z nich grupuje się, co wskazuje na słabą zależność od wyboru S. Obierając zatem S z takiego zakresu możemy być w miarę pewni, że właściwie określiliśmy rozmiar 52