Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu równania........................... 3 1.4 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu................. 8 1.5 Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego............. 9 1.6 Rozwiązywanie równań niejednorodnych................... 11 1.6.1 Metoda uzmienniania stałych..................... 11 1.6.2 Metoda Cauchy ego.......................... 14 2 Zadania 16 2.1 Zadania na 3.0................................. 16 2.2 Zadania na 4.0................................. 16 2.3 Zadania na 5.0................................. 17 1 Wstęp 1.1 Istnienie rozwiązań Sprowadzenie do układu równań pierwszego rzędu. Każde jawne równanie różniczkowe rzędu n y n) = f x, y, y,..., y n 1)) można przez wprowadzenie nowych zmiennych: y 1 = y y 2 = y... y n 1 = y n 1) przekształcić do układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu: dy dx = y 1 1

dy 1 dx = y 2... dy n 1 dx = f x, y, y 1,..., y n 1 ) W porównaniu z powyższym bardziej ogólny układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu: dy i dx = f i x, y 1, y 2,..., y n ) dla i = 1, 2,..., n 1) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe określone i ciągłe w przedziale i spełniające warunek początkowy: jeśli tylko funkcje y i = y i x) dla i = 1, 2,..., n x 0 h x x 0 + h y i x 0 ) = y i0 dla i = 1, 2,..., n f i x, y 1, y 2,..., y n ) są ciągłe względem wszystkich zmiennych i spełniają warunek Lipschitza. 1.2 Rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego zawiera n niezależnych stałych: y = y x, C 1, C 2,..., C n ) Aby całka szczególna spełniała warunki początkowe, wartości C 1, C 2,..., C n muszą zostać wyznaczone z równań: y x 0, C 1,..., C n ) = y 0 [ ] d dx y x, C 1,..., C n ) = y 0 x=x 0... [ ] d n 1 dx n 1 y x, C 1,..., C n ) = y n 1) 0 x=x 0 Rozwiązanie ogólne układu 1) również zawiera n stałych dowolnych. Rozwiązanie to możemy przedstawić na dwa sposoby, w postaci rozwiązanej albo względem niewiadomych funkcji: y 1 = F 1 x, C 1,..., C n ) y 2 = F 2 x, C 1,..., C n ) 2

albo względem stałych dowolnych:... y n = F n x, C 1,..., C n ) φ 1 x, y 1, y 2,..., y n ) = C 1 φ 2 x, y 1, y 2,..., y n ) = C 2... φ n x, y 1, y 2,..., y n ) = C n Dla drugiego przypadku, każdą relację postaci φ i x, y 1, y 2,..., y n ) = C i nazywamy całką pierwszą układu 1). Jeśli dana jest jakakolwiek całka szczególna powyższej postaci to funkcja φ i x, y 1, y 2,..., y n ) musi spełniać następujące równanie różniczkowe cząstkowe: φ i x + f 1 x, y 1,..., y n ) φ i y 1 +... + f n x, y 1,..., y n ) φ i y n = 0 i odwrotnie, każde rozwiązanie φ i x, y 1,..., y n ) powyższego równania różniczkowego jest całką pierwszą układu 1). Rozwiązanie ogólne układu 1) można złożyć z n całek pierwszych tego układu, takich, że odpowiednie funkcje φ i x, y 1,..., y n ) pozostają liniowo niezależne. 1.3 Obniżanie rzędu równania Jedną z najważniejszych metod całkowania równań różniczkowych n-tego rzędu f x, y, y,..., y n)) = 0 jest podstawienie nowych zmiennych. Rozwiązywanie równań szczególnych typów: 1. Równanie bez jawnie występującego y: f x, y,..., y n)) = 0 Dokonujemy podstawienia: y = p. Jeśli pierwszych k pochodnych nie występuje w równaniu wyjściowym, to stosujemy podstawienie postaci: y k+1) = p 3

Przykład: Po podstawieniu y = p: y xy + y 3 = 0 p x dp ) dp 3 dx + = 0 dx Otrzymujemy równanie pierwszego rzędu. Rozwiązanie: Po podstawieniu i scałkowaniu: Po ponownym całkowaniu: p = C 1 x C 3 1 y = 1/2C 1 x 2 C 3 1x + C 2 y = 1/6C 1 x 3 C 3 1x 2 /2 + C 2 x + C 3 Równanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% 27%27-xy%27%27%27%2By%27%27%27^3+%3D+0. 2. Równanie bez jawnie występującego x: f y, y,..., y n)) = 0 Celem jest takie podstawienie aby otrzymać równanie różniczkowe rzędu n 1 z nową zmienną zależną p i zmienną niezależną y. Dokonujemy podstawienia: y = d2 p dx 2 = dp dp dy dx y = p 2) y = dp dx = dy dp dx dy = pdp dy = dp dp dx dy + pddp dy dx = pdp dy i redukujemy równanie do równania rzędu n 1. Przykład: yy y 2 = 0 yp dp dy p2 = 0 / : p p 0 y dp dy p = 0 / : py y 0 1 p dp 1 y dy = 0 ln p ln y = lne C 4 dp dy + p dy d dp dy dx dy = pdp dp dy dy + p2 d2 p dy 2 3)

p y = ec p = C 1 y C 1 0 dy dx = C 1y ln y = C 1 x + C 2 ln y = lne C 1x + lne C 2 y = C 3 e C 1x C 3 0 Gdy p = 0, to otrzymujemy funkcję stałą, która spełnia równanie, więc dołączamy C 1 = 0 i C 3 = 0. Gdy y = 0, jest to też stała, która już była rozpatrywana C 3 = 0). Więc ostatecznie y = C 3 e C 1x Równanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=yy% 27%27-y%27^2+%3D+0. Przykład Po zamianie zmiennych otrzymujemy y y = 0 4) p dp dp dy dy + p2 d2 p dy 2 p = 0 5) Możemy wyłączyć p przed nawias: ) dp dp p dy dy + p pd2 dy 2 1 = 0 6) Równanie jest spełnione gdy p = 0, czyli y = C oraz gdy spełnione jest drugie równanie. Następnie ponownie obniżamy rząd drugiego równania: gdzie t 2 + pt dt dp 1 = 0 7) p = t 8) Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, także Bernoulliego, http: //www.wolframalpha.com/input/?i=t^2+%2b+pt+dt%2fdp+-+1+%3d+0. Rozwiązanie c1 + p t p) = ± 2 9) p 5

Następnie powracamy do zmiennej p podstawiając 8) p = ± c1 + p 2 p 10) pp = ± c 1 + p 2 11) p 2 p 2 = c 1 + p 2 12) Równanie na wolframalpha.com http://www.wolframalpha.com/input/?i=p%28y% 29^2p%27^2+%3D+c1+%2B+p^2. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Wynik p = ± ±2c 2 y + c 2 2 c 1 + y 2 13) Następnie powracamy do zmiennej y podstawiając 2) y = ± ±2c 2 y + c 2 2 c 1 + y 2 14) y 2 = ±2c 2 y + c 2 2 c 1 + y 2 15) Równanie http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%28x%29^2+%3d+2c_2y% 28x%29+%2B+c_2^2+-+c_1+%2B+y%28x%29^2 oraz http://www.wolframalpha.com/ input/?i=y%27%28x%29^2+%3d+-2c_2y%28x%29+%2b+c_2^2+-+c_1+%2b+y%28x%29^2. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Rozwiązania y = 1 2 c 1 e c 3 x + e c 3+x 2c 2 ) 16) y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x ) 2c 2 2 y = 1 ) c 1 e c3 x + e c3+x + 2c 2 2 y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x ) + 2c 2 2 Możemy te rozwiązania połączyć ze sobą: y = 1 2 ) c 1 e c3 x + e c3+x + 2c 2 y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x + 2c 2 2) 17) 18) 19) 20) 21) gdzie c 2 = ±c 2. Równanie wyjściowe http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27-y% 27%3D0. 6

3. Funkcja f jest funkcją jednorodną zmiennych y, y,..., y n). Dokonujemy podstawienia: z = y y y 0 Przykład: Funkcja f jest jednorodna ponieważ: dz dx = y y y 2 y 2 yy y 2 = 0 λx 1 λx 2 λ 2 x 2 3 = λ 2 x 1 x 2 x 2 3 ) Po podstawieniu otrzymujemy: y 2 dz dx = 0 y = 0 z = C y y = C ln y = Cx + C 1 y = C 2 e Cx C 2 0 Po połączeniu z drugim rozwiązaniem y = 0 otrzymujemy y = C 3 e Cx gdzie C 3 R. Alternatywnie można zauważyć ogólnie, że y = e zdx y = ze zdx y = z e zdx + z 2 e zdx oraz dodatkowo musimy sprawdzić rozwiązanie y = 0. Po podstawieniu w przykładzie otrzymujemy ) e zdx z e ) 2 zdx + z 2 e zdx z e 2 zdx = 0 z = 0 z = C i dalej podobnie. Równanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha. com/input/?i=yy%27%27-y%27^2%3d0. 7

4. f jest postaci: y n) = f x) Rozwiązanie ogólne otrzymujemy przez n-krotne całkowanie: y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 +... + C n x n 1 + ψ x) gdzie ψ x) =... f x) dx) n = 1 x f t) x t) n 1 dt n 1)! x 0 1.4 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu Równanie różniczkowe postaci: y n) + a 1 x) y n 1) + a 2 x) y n 2) +... + a n 1 x) y + a n x) y = F x) 22) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Zakładamy, że funkcje F i a i zmiennej x są ciągłe w pewnym ustalonym przedziale. W przypadku, gdy a 1, a 2,..., a n są stałymi, równanie nazywamy równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach, gdy F 0 równaniem różniczkowym jednorodnym nie mylić z funkcjami jednorodnymi) i dla F 0 równaniem różniczkowym niejednorodnym. Układ n rozwiązań y 1, y 2,..., y n pewnego liniowego równania różniczkowego określamy jako podstawowy fundamentalny), jeśli funkcje te w rozpatrywanym przedziale są liniowo niezależne, innymi słowy kombinacja liniowa: C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n nie może znikać tożsamościowo dla jakichkolwiek wartości C 1, C 2,..., C n z wyjątkiem: C 1 = C 2 =... = C n = 0 Rozwiązania jednorodnego liniowego równania różniczkowego y 1, y 2,..., y n tworzą układ podstawowy, wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyznacznik Wrońskiego wrońskian) y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n W x) =............ y n 1) 1 y n 1) 2... y n n 1) jest różny od zera. Dla każdego układu rozwiązań rozważanego równania zachodzi wzór Liouville a: W x) = W x 0 ) e x a x 1 x)dx 0 Dla tego równania n rozwiązań y 1, y 2,..., y n są liniowo zależne wtw, gdy wrońskian przyjmuje wartość zero chociażby tylko w jednym punkcie x 0 rozpatrywanego przedziału. Jeśli natomiast rozwiązania y 1, y 2,..., y n tworzą układ podstawowy, to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego możemy zapisać w postaci: y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n 8

Przykład: y y = 0 Można łatwo sprawdzić, że powyższe równanie ma dwa rozwiązania szczególne: y 1 = e x y 2 = e x Aby zbadać czy są one liniowo zależne, czy też niezależne, tworzymy wrońskian: e W [y 1, y 2 ] = x e x = 2 0 e x e x Dlatego oba rozwiązania szczególne tworzą układ fundamentalny i rozwiązaniem ogólnym jest: y = C 1 e x + C 2 e x Równanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27- y%3d0. Przykład 2: Znajdziemy rozwiązanie równania różniczkowego przy pomocy wzoru Liouville a. y + p 1 y + p 2 y = 0 które ma rozwiązanie szczególne y 1. Ze wzoru Liouville a otrzymujemy: y 1 y y 1 y = Ce p 1 dx Po przekształceniu: Po scałkowaniu: y 1 y y 1y = Ce p 1 dx / : y 2 1 y 1 0 y = y 1 Ce p 1 dx dx + C 2 y 2 1 1.5 Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego Jeśli znamy pewne rozwiązanie szczególne y 1 równania jednorodnego, to pozostałe rozwiązania możemy wyznaczyć przez podstawienie: y = y 1 x) u x) z otrzymanego w ten sposób liniowego równania jednorodnego rzędu n 1 na funkcję u x) podstawienie u x) = vx)). Przykład: y + x 1 x y 1 1 x y = 0, x 1 9

Rozwiązaniem szczególnym jest: ponieważ: e x + Postulujemy rozwiązanie postaci: Podstawiamy: Po podstawieniu otrzymujemy: e x u x) + 2e x u x) + e x u x) + Podstawiamy następnie φ 1 = e x x 1 x ex 1 1 x ex = 0 1 + x 1 x 1 1 x = 0 1 1 x 1 1 x = 0 φ 2 = e x u x) y = e x u x) y = e x u x) + e x u x) y = e x u x) + 2e x u x) + e x u x) u x) + 2u x) + u x) + Rozwiązaniem tego równania jest: x e x u x) + e x u x) ) 1 1 x 1 x ex u x)) = 0 xu x) 1 x + xu x) 1 x u x) 1 x = 0 u x) + u x) 1 x + 2u x) xu x) u x) 1 x 1 x = 0 u x) + 2u x) xu x) 1 x u x) + u x) 2 x = 0 1 x = 0 ) = 0 u x) + u x) 1 + 1 1 x u x) = v x) v x) + v x) 1 + 1 ) = 0 1 x v x) = C 1 x) e x 10

Przyjmujemy C = 1. Skąd otrzymujemy: u x) = v x) dx = 1 x) e x dx = e x xe x dx + C = = e x + xe x Wybieramy C = 0, i otrzymujemy: e x dx + C = xe x + C φ 2 = e x u x) = x A więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać: y x) = C 1 e x + C 2 x Sprawdzić za pomocą Wrońskianu, że rozwiązania szczególne są liniowo niezależne. Równanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%2b+ x%2f%281-x%29y%27+-+1%2f%281-x%29y%3d0. 1.6 Rozwiązywanie równań niejednorodnych Jeśli znaleziony został podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego, to możemy zastosować następujące dwie metody. 1.6.1 Metoda uzmienniania stałych Po angielsku variation of parameters. Poszukiwane rozwiązanie postulujemy w postaci: y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n 23) gdzie C 1, C 2,..., C n nie są w tym przypadku stałymi, ale funkcjami zmiennej x, a y i to rozwiązania szczególne równania różniczkowego jednorodnego niezależne od siebie. Żądamy przy tym, aby spełnione były poniższe równania: Możemy zapisać te równania jako C 1y 1 + C 2y 2 +... + C ny n = 0 24) C 1y 1 + C 2y 2 +... + C ny n = 0 25)... C 1y n 2) 1 + C 2y n 2) 2 +... + C ny n 2) n = 0 C iy j) i = 0 dla j = 0, 1,..., n 2. Ostatnie równanie będzie następujące C 1y n 1) 1 + C 2y n 1) 2 +... + C ny n n 1) = F 11

Zapisane inaczej C iy n 1) i = F. 26) Z powyższych równań wyznaczamy C 1, C 2,..., C n, z których przez scałkowanie otrzymujemy funkcje C 1, C 2,..., C n. Dowód. Wyprowadzenie równania 26). Zauważmy, że różniczkując 23) otrzymujemy y = C 1y 1 + C 1 y 1 + C 2y 2 + C 2 y 2 +... + C ny n + C n y n Możemy podstawić do powyższego 24) i otrzymamy y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n Różniczkując kolejny raz powyższe otrzymujemy y = C 1y 1 + C 1 y 1 + C 2y 2 + C 2 y 2 +... + C ny n + C n y n Po podstawieniu 25) otrzymujemy y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n Ogólnie różniczkując j-krotnie otrzymujemy y j) = dla j = 0,..., n 1. A dla j = n otrzymujemy y n) = C iy n 1) i + C i y j) i 27) C i y n) i 28) ponieważ tego pierwszego składnika nie możemy już uprościć. Następnie podstawiamy wszystkie 27) oraz 28) do 22) i otrzymujemy: C iy n 1) i + C iy n 1) i + C i y n) i + a 1 x) C i y n 1) i +... + a n x) C i y i = F x) C i y n) i + a 1 x) y n 1) ) i +... + a n x) y i = F x) Ponieważ y i są rozwiązaniami równania jednorodnego, a więc drugi składnik sumy znika i otrzymujemy 26). 12

Równania od 1 do n 1 zostały dobrane w sposób arbitralny, aby były możliwie proste. A ostatnie równanie tak aby było spełnione równanie wyjściowe. Przykład: y + x 1 x y 1 1 x y = x 1 Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: y + x 1 x y 1 1 x y = 0 Równanie to zostało już wcześniej rozwiązane, rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać: y x) = C 1 e x + C 2 x Uzmiennianie stałych daje: Rozwiązaniem jest: Po scałkowaniu: y x) = u 1 x) e x + u 2 x) x 29) u 1 x) e x + u 2 x) x = 0 u 1 x) e x + u 2 x) = x 1 u 1 x) = xe x u 2 x) = 1 u 1 x) = 1 + x) e x + C 3 u 2 x) = x + C 4 Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest więc: y x) = 1 + x) + C 3 e x x 2 + C 4 x = 1 + x 2) + C 3 e x + C 5 x. Drugi sposób wykorzystuje następujące twierdzenie. Twierdzenie 1.1. Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Dla poprzedniego przykładu, bierzemy przykładowe u 1 x) i u 2 x) po scałkowaniu, i konstruujemy rozwiązanie szczególne, przykładowo bierzemy u 1 x) = 1 + x)e x i u 2 x) = x i rozwiązanie szczególne równania to po podstawieniu do 29) jest równe 1 + x) e x e x xx = 1 + x) x 2 30) Rozwiązanie ogólne konstruujemy jako sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Otrzymujemy C 1 e x + C 2 x 1 x x 2 = C 1 e x + C 3 x 1 x 2. 31) Równanie w wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27% 2Bx%2F%281-x%29y%27+-+1%2F%281-x%29y+%3D+x-1. 13

1.6.2 Metoda Cauchy ego Po angielsku method of undetermined coefficients. jednorodnego odpowiadającego równaniu 22) W rozwiązaniu ogólnym równania y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +... + C n y n stałym przypisujemy takie wartości, aby dla dowolnego parametru α po podstawieniu x = α spełnione były równania: y α) = 0 y α) = 0... y n 2) α) = 0 y n 1) α) = F α) Jeśli otrzymane w ten sposób rozwiązanie szczególne równania jednorodnego oznaczymy przez φ x, α) to: y = x x 0 φ x, α) dα jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, przy czym w punkcie x = x 0 funkcja ta wraz ze swoimi pochodnymi aż do rzędu n 1) włącznie przyjmuje wartość zero. Przykład: dla poprzedniego przykładu mamy rozwiązanie równania jednorodnego: dostajemy równania: Z tego otrzymujemy: x y x) = C 1 e x + C 2 x y α) = C 1 e α + C 2 α = 0 y α) = C 1 e α + C 2 = α 1 C 1 = αe α C 2 = 1 φ x, α) = αe α e x x y x) = αe α e x x ) dα = x 0 + 1) e x x 0 + x 0 1) x x 2 1 x 0 Jest to rozwiązanie szczególne, wybierzmy dowolne x 0, np. x 0 = 1, wtedy otrzymujemy y x) = 2x x 2 1 Rozwiązanie ogólne jest sumą rozwiązania równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego, a więc y x) = C 1 e x + C 2 x 2x x 2 1 = C 1 e x + C 3 x x 2 1 Ponadto dla równań liniowych zachodzi prawo superpozycji. 14

Twierdzenie 1.2. Prawo superpozycji. Jeśli mamy dwa rozwiązania szczególne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego y 1 i y 2 dla prawych stron F 1 i F 2, wtedy suma tych rozwiązań y = y 1 + y 2 jest rozwiązaniem szczególnym tego samego równania o prawej stronie F = F 1 + F 2. Przykład: Mamy równanie y 4y = 2x 2 8x + 3 Możemy rozwiązać 3 równania niejednorodne y 4y = 2x 2 Rozwiązaniem szczególnym jest Następne równanie Rozwiązaniem szczególnym jest Następne równanie Rozwiązaniem szczególnym jest y = x2 2 1 4 y 4y = 8x y = 2x y 4y = 3 y = 3 4 A więc rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest Rozwiązaniem równania jednorodnego jest A więc ostatecznym rozwiązaniem jest x2 2 1 4 + 2x 3 4 = x2 2 + 2x 1 C 1 e 2x + C 2 e 2x C 1 e 2x + C 2 e 2x x2 2 + 2x 1 Równanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+- 4y+%3D+2x^2+-+8x+%2B+3. 15

2 Zadania 2.1 Zadania na 3.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1. 2. 3. 4. 5. Odp.: Odp.: Odp.: y = y 2 y y > 0 y = C 2 e C 1x y + 1 4 y 2 = xy y = C 1 x x C 1 ) + C 2, y = x3 3 + C xy + y = 1 + x y = x3 12 + x2 2 + C 1x ln x + C 2 x + C 3 x 2 yy = y xy ) 2 xy y = x 2 2.2 Zadania na 4.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 16

1. z wartościami początkowymi: d 3 y dx 3 = ln x x 0 = 1, y 0, y 0, y 0 dowolne Znaleźć całkę ogólną tego równania. Odpowiedź: y = y 0 + x 1) y 0 + Rozwiązanie ogólne: 2.3 Zadania na 5.0 x 1)2 y 0 + 1 2 6 x3 ln x 11 36 x3 + 1 2 x2 1 4 x + 1 18 y = 1 6 x3 ln x 11 36 x3 + C 2 x 2 + C 1 x + C 0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1. Linia pościgu. Po osi Ox porusza się w kierunku dodatnim ze stałą prędkością a punkt P. Po płaszczyźnie Oxy porusza się punkt M ze stałą prędkością v tak, że wektor prędkości jest w każdej chwili skierowany do punktu P. Znaleźć równanie różniczkowe. Znaleźć tor punktu M. Odpowiedź: Literatura y 0 x = 2 1 + a ) v ) y 1+ a v y 0 y0 2 1 a ) v y y 0 ) 1 a v 1 ) + C 1 [1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompendium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004. [2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydawnictwa AGH, 2001. 17