Adam Słowk Mchał Bałko Wydzał Elektronk Poltechnka Koszalńska ul. JJ Śnadeckch 2, 75-453 Koszaln Ewolucyjne projektowane fltrów cyfrowych IIR o netypowych charakterystykach ampltudowych Słowa kluczowe: sztuczna ntelgencja, algorytmy ewolucyjne, fltry cyfrowe IIR, projektowane, netypowe charakterystyk ampltudowe STRESZCZENIE W artykule przedstawono zastosowane algorytmów ewolucyjnych do projektowana fltrów cyfrowych IIR o netypowych charakterystykach ampltudowych. Wprowadzono dwuwarstwowe chromosomy, które w bardzej naturalny sposób reprezentują opsywany problem (górna wartwa lcznk, dolna warstwa manownk funkcj transmtancj). Przy pomocy opsanej metody zaprojektowano fltr o nestandardowej charakterystyce ampltudowej. 1. WPROWADZENIE W przypadku fltrów IIR każda próbka wyjścowa zależy od poprzednch próbek sygnału wejścowego poprzednch próbek sygnału wyjścowego. Fltry IIR są bardzo efektywne wymagają znaczne mnejszej, w stosunku do fltrów FIR lczby mnożeń dla wylczena pojedynczej próbk sygnału wyjścowego przy zapewnenu wymaganej charakterystyk częstotlwoścowej. Ze sprzętowego punktu wdzena oznacza to, że fltry IIR mogą być bardzo szybke, pozwalając na dzałane w czase rzeczywstym [5]. Funkcja opsująca problem dotyczący zaprojektowana danego fltru IIR jest funkcją welomodalną, co powoduje, że algorytmy bazujące na metodach gradentowych mogą łatwo utknąć w ekstremum lokalnym [2]. Węc, aby otrzymać ekstremum globalne wymagane jest zastosowane technk optymalzacj globalnej chocażby właśne technk opartej na algorytme ewolucyjnym [3][4], który poprzez stnene operatora mutacj oraz operatora krzyżowana potraf wybrnąć z ekstremum lokalnego. Standardowe metody wyznaczana optymalnych wartośc współczynnków fltru przeszukują tylko pewen podzbór przestrzen potencjalnych rozwązań [1], natomast zastosowane algorytmu ewolucyjnego, może prowadzć do otrzymana rozwązana, które jest nedostępne dla standardowych metod. Podczas projektowana fltrów ważne jest aby spełnały one, jak najwernej postawone w faze projektowana założena, którym mogą być: szerokość pasma przepustowego, szerokość pasma zaporowego, zafalowana w paśme przepustowym oraz wartość tłumena w paśme zaporowym. Projektując fltry o typowych charakterystykach ampltudowych można skorzystać z stnejących aproksymacj: Butterworth a, Czebyshev a (z zafalowanam w paśme przepustowym lub zaporowym) czy Cauer a. Jednak problem komplkuje sę
w przypadku, kedy fltr ma posadać netypową charakterystykę ampltudową, wówczas typowe aproksymacje stają sę bezużyteczne. W artykule przedstawono możlwość zastosowana algorytmu ewolucyjnego do projektowana fltrów cyfrowych IIR o netypowych charakterystykach ampltudowych. Wprowadzono dwuwarstwowe chromosomy, które w bardzej naturalny sposób reprezentują opsywany problem (górna warstwa lcznk funkcj transmtancj, dolna warstwa manownk funkcj transmtancj). Operatory genetyczne przystosowano do operowana na takej strukturze danych. Celem jest zapewnene projektowanym fltrom wymaganej charakterystyk ampltudowej stablnośc. 2. FILTR CYFROWY IIR Fltr cyfrowy IIR można opsać przy pomocy struktury przedstawonej na rys. 1. Rys. 1 Fltr cyfrowy IIR struktura Natomast transmtancja fltru w dzedzne z jest określana według zależnośc (1) H 1 2 ( n 1) n Y ( z) b0 + b1 z + b2 z +... + bn 1 z + bn z z) = = (1) 1 2 ( n 1 n X ( z) 1 ( a z + a z +... + a z + a z ) ( ) 1 2 n 1 3. ZASTOSOWANY ALGORYTM EWOLUCYJNY Do realzacj zadana polegającego na zaprojektowanu fltru IIR, zastosowano algorytm ewolucyjny, którego schemat blokowy przedstawono na rys. 2A. n Rys. 2 Schemat blokowy zastosowanego algorytmu ewolucyjnego (A); operator krzyżowana (B), mutacj (C) Algorytm ewolucyjny, którego schemat blokowy przedstawono na rys. 2A dzała w następujący sposób. W perwszym kroku tworzono populację początkową, w której
osobnk (struktura danych w postac dwuwarstwowych chromosomów) ncjalzowano przy pomocy rozwązana uzyskanego z paketu Matlab Sgnal Processng Toolbox według zależnośc (2): b = B ± β (2) a = A ± α gdze: b, a wartośc genów w osobnku; B, A wartośc współczynnków fltru otrzymane z paketu Matlab; β = 0.1 Random(1) B; α = 0.1 Random(1) A Po utworzenu populacj początkowej, dokonywano przekształcena FFT współczynnków b (1) na górnej warstwe chromosomu zawerającej lcznk funkcj transmtancj (dolna zawerała manownk transmtancj). Następne dokonywano przekształcena FFT współczynnków a (1) na dolnej warstwe chromosomu. W dalszej częśc dzelono otrzymane wynk dla górnej warstwy chromosomu przez wynk otrzymane dla dolnej warstwy chromosomu, przez co można było wyznaczyć odpowedne charakterystyk transmtancj fltru w funkcj częstotlwośc. Dysponując charakterystykam fltru dokonywano oceny poszczególnych osobnków (krytera oceny przedstawono w punkce 4.1) na tej podstawe wyznaczano wartość przystosowana poszczególnych osobnków (algorytm ewolucyjny w trakce swojej pracy dążył do mnmalzacj funkcj celu). Następne sprawdzano czy algorytm ewolucyjny może zakończyć pracę (kryterum zakończena pracy była nezmenność wartośc najlepszego rozwązana przez m pokoleń podczas eksperymentów przyjęto m=100). W algorytme stosowano operator selekcj eltarystycznej, operator krzyżowana jednopunktowego na dwuwarstwowym chromosome (rys. 2B) oraz operator mutacj (rys. 2C). Dzałane operatora mutacj polegało na dodanu bądź odjęcu od wybranego losowo genu wartośc. Przy czym na początku wartość ta wynos: 1 =0.02 Max( b, a ). Należy równeż zaznaczyć, że jeśl wylosowano gen z górnej warstwy wówczas mutacj podlegał równeż jego symetryczny odpowednk, aby zachować symetryczność górnej warstwy chromosomu. Wartość malała skokowo wraz ze wzrostem lczby populacj zgodne z zależnoścą (4), którą stosowano w przypadku, gdy przez k pokoleń (podczas eksperymentów przyjęto k=15) od ostatnej zmany najlepszy osobnk ne uległ poprawe to: 1 = ; = 2,3,4,5 (4) 10 Mechanzm tak został zastosowany dlatego poneważ okazał sę bardzej efektywny od mutacj prostej, która wprowadzała za duże losowe zmany do wybranego osobnka, powodując utratę przyjętego tropu przez algorytm ewolucyjny. 4. OPTYMALIZACJA CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ 4.1 Ops defncje Celem pracy jest wyznaczene takego zboru współczynnków transmtancj fltru, aby kształt charakterystyk ampltudowej spełnał określone wymagana. W tym celu zastosowano algorytm ewolucyjny, opsany w punkce 3. Natomast teraz przedstawony zostane blok wyznaczający określone charakterystyk fltru oraz blok dokonujący oceny każdego osobnka pod względem spełnana założeń projektowych odnośne charakterystyk ampltudowej. Mając wynk zespolone FFT, wyznaczano charakterystykę ampltudową fltru H( f ) [db], zgodne z zależnoścą (5), aby porównać ją z założenam projektowym. 2 2 ( H real ( f ) + H mag ( f ) ) [ ] H ( f ) = 20 log (5) 10 db W wynku tego otrzymywano błąd charakterystyk ampltudowej dla każdego osobnka,
będący sumą błędów częścowych wyznaczanych dla poszczególnych częstotlwośc f. Sposób wyznaczana błędów częścowych charakterystyk ampltudowej przedstawono przy pomocy rys. 3A. Rys. 3 Sposób wyznaczana błędów częścowych charakterystyk ampltudowej (A), grafczna prezentacja parametrów projektowanego fltru (B) W przypadku, gdy charakterystyka ampltudowa, dla danej częstotlwośc f spełna założena projektowe (spełna ogranczena) wówczas błąd częścowy AmpError posada wartość 0, natomast w przypadku, gdy charakterystyka ampltudowa, dla danej częstotlwośc f ne spełna założeń projektowych, wówczas błąd częścowy AmpError równy jest wartośc e. Wartość e jest tym wększa m bardzej charakterystyka ampltudowa dla danej częstotlwośc f ne spełna ogranczeń. Ostateczny błąd charakterystyk ampltudowej fltru Error Amp będący sumą błędów częścowych AmpError przedstawono przy pomocy zależnośc (6). Error = AmpError (6) Amp Następne oblczano wartośc begunów funkcj transmtancj H( z ), aby zapewnć stablność fltru, m węcej begunów leżało poza lub na kole jednostkowym w płaszczyźne z tym błąd stablnośc fltru Error Stab był coraz wększy. Sposób wyznaczana błędu stablnośc fltru przedstawono przy pomocy zależnośc (7) częścowy błąd dla -tego beguna, (8) ostateczny błąd stablnośc fltru. C, gdy ty begun ne leży w kole jednostkowym bladstab = (7) 0, gdy ty begun leży w kole jednostkowym gdze: C dowolna lczba rzeczywsta wartość kary (podczas eksperymentów przyjęto C=1000) Error = bladstab (8) Stab Ostateczny błąd każdego osobnka wyznaczano według zależnośc (9). Wartość Error, była jednocześne funkcją celu algorytmu ewolucyjnego. Error = Error + Error (9) Amp Stab 4.2 Przeprowadzone eksperymenty W celu dokonana weryfkacj opsanej metody przystąpono do zaprojektowana fltru cyfrowego typu IIR o netypowej charakterystyce ampltudowej, opsanej następującym parametram: znormalzowane perwsze pasmo przepustowe (B1 0.2dB ) 0.0 0.3 [f / f Nyqust ] znormalzowane druge pasmo przepustowe (B2 2dB ) 0.4 0.5 [f / f Nyqust ] zafalowana w perwszym paśme przepustowym 0.2 [db]
zafalowana w drugm paśme przepustowym 2.0 [db] znormalzowane pasmo zaporowe (Bz 40dB ) 0.7 1.0 [f / f Nyqust ] średna wartość tłumena w: perwszym paśme przepustowym 0.0 [db] drugm paśme przepustowym 20 [db] mnmalne tłumene w paśme zaporowym 40 [db] Podczas przeprowadzonych eksperymentów przyjęto welkość populacj algorytmu ewolucyjnego 100, prawdopodobeństwo krzyżowana równe było 0.5, prawdopodobeństwo mutacj wynosło 0.1. Przyjęto równeż, że populację początkową ncjalzowano współczynnkam fltru 10 rzędu o aproksymacj Butterworth a, który posadał następujące parametry (oś częstotlwośc została znormalzowana przyjmuje wartośc od 0 do 1, gdze wartość 1 oznacza częstotlwość Nyqust a): znormalzowana częstotlwość przepustowa 0.3 [f / f Nyqust ], zafalowana w paśme przepustowym 0.2 [db], znormalzowana częstotlwość zaporowa 0.5 [f / f Nyqust ], mnmalne tłumene w paśme zaporowym 40 [db]. Wszystke parametry charakterystyk ampltudowej projektowanego fltru przedstawono na rys. 3B. Ponżej na rys. 4 przedstawono dokładne najlepszą charakterystykę ampltudową (Error=0) jaka została znalezona po 234 pokolenach. Rys. 4a Charakterystyka ampltudowa Rys. 4b Perwsze pasmo przepustowe Rys. 4c Druge pasmo przepustowe Rys. 4d Beguny funkcj transmtancj Utworzony fltr jest fltrem stablnym poneważ wszystke beguny funkcj transmtancj znajdują sę wewnątrz koła jednostkowego na płaszczyźne z (rys. 4d). Z rysunków rys. 4a 4c wdać, że zaprojektowany fltr przy pomocy metody opartej o algorytm ewolucyjny spełna wszelke założena jake były postawone we wstępnej faze projektowana. 5. PODSUMOWANIE
Podsumowując należy stwerdzć, że możlwe jest projektowane fltrów IIR o netypowych charakterystykach ampltudowych przy pomocy algorytmu ewolucyjnego. Omówoną metodę można równeż określć manem metody hybrydowej, poneważ początkowa populacja w algorytme ewolucyjnym jest tworzona na podstawe wynków uzyskanych przez jedną z tradycyjnych metod projektowana fltrów. Take podejśce znaczne zmnejsza czas oczekwana na rezultat pracy algorytmu ewolucyjnego, gdyż startuje on z dobrego punktu. Ze względu na przyjętą funkcję celu, która jest sumą odchyłek pomędzy charakterystyką ampltudową fltru a założonym ogranczenam, opsana metoda daje możlwość wyznaczena współczynnków fltru o dowolnej charakterystyce ampltudowej. BIBLIOGRAFIA [1] J. F. Mller, D. Job, V. K. Vasslev, Prncples n the Evolutonary Desgn of Dgtal Crcuts -- Part I, Journal of Genetc Programmng and Evolvable Machnes, Vol. 1, No. 1, pp. 8-35, 2000 [2] S. Chen, R.H. Istepanan and B.L. Luk, Dgtal IIR flter desgn usng adaptve smulated annealng, Dgtal Sgnal Processng, Vol.11, No.3, pp. 241-251, July 2001 [3] D. Goldberg, Algorytmy genetyczne ch zastosowana, WNT, Warszawa 1998 [4] Z. Mchalewcz, Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT, Warszawa 1999 [5] R. Lyons, Wprowadzene do cyfrowego przetwarzana sygnałów, WKŁ, Warszawa 2000 [6] M. Erba, R. Ross, V. Lberal and A. G. B. Tettamanz, Dgtal Flter Desgn Through Smulated Evoluton, n Proceedngs of European Conference on Crcut Theory and Desgn (ECCTD '01), Espoo, Fnland, vol. 2, pp. 137-140, August 2001 [7] A. Słowk, M. Bałko, Projektowane fltrów IIR przy zastosowanu algorytmu ewolucyjnego, X KK KOWBAN 2003, 22-24 paźdzernk 2003, s. 209 [8] A. Słowk, Porównane standardowych metod projektowana fltrów cyfrowych IIR z metodą opartą o algorytm ewolucyjny, V Mędzynarodowa Konferencja Elektronk Telekomunkacj Studentów Młodych Pracownków Nauk SECON 2003, s. 57, WAT, Warszawa, Lstopad 2003