JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model ogólny: y = f(x, A, ε), X = (,, x k ) - zmienne objaśniające (niezależne), y - zmienna objaśniana (wartość funkcji), A = (α 0, α 1,, α m ) - wektor parametrów, ε - składnik losowy Model liniowy: y = α 0 + α 1 + + α k x k + ε Wyniki obserwacji oznaczamy X 1 = dla zmiennych objaśniających (niezależnych) oraz Y = 1 1 1,, X k = dla zmiennej objaśnianej (zależnej) k k k Współczynnik x ij oznacza wartość j-tej zmiennej dla i-tej obserwacji 1 X = 1 1 2 k 1 1 2 k 1 1 2 k Y = Oszacowania parametrów α 0, α 1,, α k metodą najmniejszych kwadratów (MNK) otrzymujemy wzorem A = a 0 a 1 a k ( 1 = X X) T X T Y Wtedy Ŷ = ŷ 1 ŷ 2 ŷ n = XA E = Y Ŷ 1 W wielu podręcznikach ekonometrii jest stosowana symbolika odwrotna, lecz wtedy w macierzy X pierwszy dolny index przy x odpowiada za numer kolumny, a drugi wiersza co jest niezgodne z zasadami nauczania rachunku macierzowego 1
Współczynnik determinacji: y = 1 n ( + + + ) R 2 = 1 E T E Y T Y n, Skorygowany współczynnik determinacji R 2 = R 2 k(1 R2 ) n (k + 1) Ocena wariancji składnika losowego S 2 = E T E n (k + 1) ( X T X) 1 = [dij ] = d 11 d 12 d 1(k+1) d 21 2 d 2(k+1) d n1 d n2 d n(k+1) Błędy standardowe oszacowań parametrów: S ai = S 2 d (i+1)(i+1) Błędy względne oszacowań parametrów: S ai a i Prognoza wartości y t w punkcie (x t1, x t2,, x tk ): y t = X T t A, X T t = [ 1 x t1 x t2 x tk ] Średni błąd prognozy ex ante: S t = S 2 (1 + X Tt (X T X) 1 X t ) Względny średni błąd prognozy ex ante: S t y t Statytyka F : F = (n k 1)R2 k(1 R 2 ) Model nieliniowy sprowadzany do liniowego KROK 1 Sprowadzamy model nieliniowy y = f(,, x k, α 0, α 1,, α k, ε) 2
do liniowego przez przekształcenie obu stron równania funkcją φ otrzymując równanie φ(y) = φ(f((,, x k, α 0, α 1,, α k )) tak aby prawa strona miała postać: β 0 + β 1 z 1 + + β k z k, z k są odpowiednimi funkcjami zmiennych,, x k Krok 2 Szacujemy parametry B = (β 0, β 1,, β k ) wektorem B = (b 0, b 1,, b k ) Krok 3 Stosujemy przeksztalcenie odwrotne φ 1 i otrzymujemy dane Ŷ Miara dopasowania modelu do obserwacji: P = 1 n y j ŷ j y j 2 Przykład Definiujemy φ(t) = ln t Otrzymujemy y = α 0 x α 1 1 xα 2 2 ln y = ln(α 0 ) + α 1 ln( ) + α 2 ln( ) Podstawiamy u = ln y, z 1 = ln( ), z 2 = ln( ), β 0 = ln(α 0 ), β 1 = α 1, β 2 = α 2 otrzymując model liniowy u = β 0 + β 1 z 1 + β 2 z 2 Po oszacowaniu otrzymujemy liczby b 0, b 1, b 2, czyli wzór û = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 Po zastosowaniu przekształcenia odwrotnego do φ, czyli exp(t) = e t otrzymujemy a 0 = e b 0, a 1 = b 1, a 2 = b 2 ŷ = a 0 x a 1 1 xa 2 2, Dobór zmiennych niezależnych (objaśniających) do modelu - metoda Hellwiga,, x k będą zmiennymi objaśniającymi Możemy wybrać do modelu 2 k 1 podzbiorów B będzie wybranym niepustym podzbiorem liczb 1, 2,, k Dla zmiennej x i, i B definiujemy indywidualną pojemność nośników informacji: r i korelacja wektorów X i i Y 3 r ij korelacja wektorów X i i X j h ib = ri 2 j B r ij, Następnie obliczamy pojemność integralną kombinacji (podzbioru) nośników informacji: H B = i B h ib Należy wybierać takie podzbiory B do modelu, dla których H B jest największa 2 Ta miara wydaje się być niedobra dla danych mogących przyjmować zarówno dodatnie jak i ujemne wartości oraz wartości bliskie zeru (np bilans itp) 3 Przypominamy wzora kowariancję i korelację wektorów a = (a 1,, a n) i b = (b 1,, b n): kowariancja C(ab) = 1 n [(a1 a)(b 1 b) + + (a n a)(b n b)]; korelacja r ab = C(ab) ; a, b odpowiednie średnie, a s(a), s(b) odpowiednie odchylenia s(a)s(b) standardowe 3
ANALIZA PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH Numer Produkt Przepływy Produkt gałęzi globalny międzygałęziowe końcowy i x i x ij y i 1 1 2 n 2 1 2 n n 1 2 n Amortyzacja b j b 1 b 2 b n Płace x 0j x 01 x 02 x 0n Zysk z j z 1 z 2 z n Produkt globalny UWAGA: wiersz odpowiadający amortyzacji często sie pomija Równanie podziału Równanie kosztów Rownanie równowagi ogólnej Współczynniki kosztów x i = x ij + y i x j = x ij + b j + x 0j + z j (b j + x 0j + z j ) = y i i=1 a ij = x ij x j Macierz struktury kosztów A = [a ij ] = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = 1 2 1 2 n n 1 2 n W celu wytworzenia w j-tej gałezi produktu o wartości 1, trzeba zużyć produkcję z i-tej gałęzi o wartości a ij Współczynnik materiałochłonności j-tej gałęzi (suma elementów j-tej kolumny macierzy A: m j = a ij i=1 Rentowność j-tej gałezi MODEL LEONTIEFA r j = z j x j z j (I A)X = Y lub (I A) 1 Y = X, 4
X = Y = I A macierz Leontiefa,, (I A) 1 macierz współczynników pełnej materiałochłonności 5