Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 7 maja Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 7 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

2 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia miary zmienności miary asymetrii miary koncentracji. Analiza współzależności zjawisk. Analiza dynamiki zjawisk. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

3 Poznaliśmy dotychczas następujace współczynniki służace ocenie zależności między dwiema cechami: współczynnik korelacji liniowej Pearsona dwie cechy ilościowe (mierzalne) współczynnik korelacji rang Spearmana dwie cechy ilościowe (mierzalne) jedna cecha ilościowa i jedna cecha jakościowa (porzadkowa) współczynnik zbieżności V-Cramera dwie cechy jakościowe jedna cecha ilościowa i jedna cecha jakościowa Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

4 Współczynnik zbieżności V-Cramera V c - oparty na statystyce χ 2 dwie cechy jakościowe jedna cecha jakościowa i jedna ilościowa V c określa siłę zależności wyżej opisanych cech. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

5 Własności V c przyjmuje wartości z przedziału [0; 1] im wartość bliższa 1, tym zależność jest silniejsza im wartość bliższa 0, tym zależność słabsza. Interpretacja : - jak wcześniej: wartość : bardzo słaby zwiazek wartość : słaby zwiazek wartość : umiarkowany zwiazek wartość : silny zwiazek wartość : bardzo silny zwiazek Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

6 X r wariantów (czyli tabela korelacyjna ma r wierszy) Y k wariantów (czyli tabela korelacyjna ma k kolumn) Procedura wyliczenia statystyki χ 2 : Dla każdego pola w tabeli wyliczamy liczebności teoretyczne, tzn. ˆn ij = n i n j, n gdzie n i oznacza liczebność cechy x i, a n j oznacza liczebność cechy y j. wyliczamy wartość statystyki χ 2 : (n ij ˆn ij ) 2 χ 2 = i j ˆn ij Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

7 (n ij ˆn ij ) 2 χ 2 = i j ˆn ij Uwaga dane powinny być tak pogrupowane tak, by ˆn ij 5 χ 2 = 0 gdy wszystkie liczebności teoretyczne i zaobserwowane sa takie same. Wówczas cechy sa niezależne. χ 2 xy = χ 2 yx Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

8 Przykład 2 Wyznaczyć wartość χ 2 dla następujacych danych: X oczywiście n = 100 przyjmujemy oznaczenia : Y n 00 = 10, n 01 = 20 n 10 = 40, n 11 = 30 Dla każdego pola w tabeli wyliczamy liczebności teoretyczne, tzn. ˆn ij = n i n j, i, j = 0, 1 n gdzie n i oznacza liczebność cechy x i, a n j oznacza liczebność cechy y j. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

9 sumujemy liczebności w wierszach i kolumnach: Y 0 1 Suma X n 0 = n 1 = 70 Suma n 0 = 50 n 1 = 50 n = 100 wyliczamy liczebności teoretyczne: ˆn 00 = n 0 n 0 n ˆn 01 = n 0 n 1 n ˆn 10 = n 1 n 0 n ˆn 11 = n 1 n 1 n = = = = = = = = 35 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

10 musimy wyliczyć (n ij ˆn ij ) 2 χ 2 = i w tabeli korelacyjnej wpisujemy w odpowiednich komórkach wyliczone liczebności teoretyczne (czyli ˆn ij ) j Y 0 1 Suma X 0 10 (15) 20 (15) n 0 = (35) 30 (35) n 1 = 70 Suma n 0 = 50 n 1 = 50 n = 100 ˆn ij χ 2 = (10 15) (20 15) (40 35)2 35 = = (30 35)2 35 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

11 współczynnik zbieżności V-Cramera χ V c = 2 n g gdzie g = min{r 1, k 1}. χ 2 = r i=1 j=1 k (n ij ˆn ik ) 2 ˆn ik, ˆn ik = n i n j n r liczba wierszy, k liczba kolumn, n liczebność próby Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

12 współczynnik zbieżności V-Cramera Przykład 2- c.d. k = 2 liczba kolumn r = 2 liczba wierszy n = 100 χ 2 = Jeżeli g = min{r 1, k 1} to χ V c = 2 n g g = min{r 1, k 1} = min{2 1, 2 1} = min{1, 1} = V c = = oznacza słaby zwiazek między cechami Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

13 Zadanie Niech X oznacza płeć studentów a Y - rodzaj studiów (stacjonarne/niestacjonarne). Dane z 2013 roku ( źródło: bank danych lokalnych) wygladaj a następujaco: Płeć Studia Stacjonarne Niestacjonarne K M Zbadać, czy rodzaj trybu podejmowanych studiów zależy od płci? Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

14 Wartość współczynnika V Cramera wskazuje na brak zależności między płcia a rodzajem wybieranego trybu studiów. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

15 wypisane na poprzednim slajdzie liczebności teoretyczne zostały wyliczone następujaco: ˆn K,St = n K n St n ˆn K,Nst = n K n Nst n ˆn M,St = n M n St n ˆn M,Nst = n M n Nst n = = , = = , = = , = = , Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

16 Regresja X, Y - dwie cechy, do których chcemy dopasować pewna funkcję opisujac a zależność między nimi Zależność korelacyjna między cechami oznaczała, że zmiana wartości zmiennej niezależnej powoduje ściśle określona zmianę wartości średniej zmiennej zależnej (objaśnianej). Funkcja regresji jest pewna matematyczna funkcja, która stanowi przybliżenie faktycznej zależności. Jeśli X - zmienna niezależna, a Y - zmienna zależna (opisywana), to ŷ i = f (x i ), gdzie ŷ i - oczekiwana wartość zmiennej Y dla X = x i. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

17 X - zmienna niezależna, Y - zmienna zależna (opisywana), to ŷ i = f (x i ), gdzie ŷ i - oczekiwana wartość zmiennej Y dla X = x i. zaobserwowane wartości y i odchylaja się od funkcji regresji ŷ i o pewna wartość e i, czyli y i = ŷ i + e i. Wyrażenia e i nazywamy resztami, a pojawiaja się one: na skutek czynników losowych pod wpływem cech nie uwzględnionych w badaniu. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

18 dane: (x i, y i ), i = 1, 2,..., n szukana funkcja y = f (x) jest "najlepiej" dopasowana do danych Metoda najmniejszych kwadratów suma kwadratów odchyleń odległości zaobserowanych wartosci y i od wartości teoretycznych ŷ i ma być najmniejsza, tzn. (y i ŷ i ) 2 min linowa postać funkcji regresji i y = bx + a zmieniajac wartość x o jedna jednostkę, zmiana wartości y następuje zawsze o tyle samo (o b jednostek). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

19 Obliczanie parametrów regresji liniowej postać prostej regresji (tzn. współczynniki) zależa od konkretnych danych ( dla innego zestawu danych postać może być inna!!!) ŷ = a + b x b jest współczynnikiem regresji wartosci a i b obliczane na podstawie obserwacji: (x i, y i ), i = 1, 2,..., n 1 n n x i y i x y (x i x)(y i y) n b = 1 n i=1 n i=1 x 2 i (x) 2 = i=1, a = y b x. n (x i x) 2 i=1 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

20 wyrażenie określajace b można zapisać nieco inaczej b = n (x i x)(y i y) i=1 = n (x i x) 2 i=1 1 n n (x i x)(y i y) i=1 1 n = n (x i x) 2 i=1 cov(x, y) s 2 x Wyrażenie w liczniku współczynnika b to kowariancja cech X i Y cov(x, y) = 1 n n (x i x)(y i y). i=1 cov(x, y) jest pewna miara zależności między cechami cov(x, x) = s 2 x, cov(y, y) = s 2 y r xy = cov(x, y) s x s y Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

21 Uwaga jeżeli znamy współczynnik korelacji liniowej Pearsona oraz średnie i odchylenia stadardowe, to współczynniki regresji prostej można obliczyć ze wzorów: ŷ = b x + a b = r xy sy s x a = y b x. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

22 Zadania z Wykładu 6 Zadanie 1 Zaobserwowano następujace wartości wieku mężczyzn (X) i kobiet (Y) zawierajacych zwiazek małżeński (w latach). X Y r xy = r = r 2 xy = = = 68% ŷ = 0, 48x + 13, 28 x- wiek mężczyzny, ŷ- średni wiek kobiety Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

23 Zadania z Wykładu 6 Zadanie 2 Zbadano zależność między stażem pracy (X), a wydajnościa pracownika (Y) w dużym przedsiębiorstwie. Wylosowano w sposób niezależny stu pracowników. Staż Liczba sztuk na godzinę r xy = x staż pracy, y- wydajność ŷ = 3, 24 x + 14, 6 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

24 Jakość dopasowywania krzywej regresji do danych rzeczywistych określamy za pomoca: odchylenie standardowe składnika resztowego: n Se 2 i=1 = (y i ŷ i ) 2 n, S e = S 2 i=1 e = (y i ŷ i ) 2 n 2 n 2 informuje o średnim odchyleniu wartości empirycznych od teoretycznych. współczynnik determinacji: n R 2 = 1 ϕ 2 i=1 = (ŷ i y) 2 n i=1 (y i y) 2 jaka część cechy zależnej jest wyjaśniona kształtowaniem się cechy niezależnej. współczynnik zbieżności (indeterminacji): n ϕ 2 i=1 = (y i ŷ i ) 2 n i=1 (y i y) 2 jaka część cechy zależnej nie jest wyjaśniona kształtowaniem się cechy niezależnej, czyli jest wywołana działaniem czynników losowych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

25 Własność Dla korelacji liniowej zachodzi R 2 = r 2 xy, to odchylenie standardowe składnika resztkowego w przypadku regresji liniowej może być liczona również ze wzoru S e = s y 1 rxy. 2 Szczególne przypadki gdy r xy = 0, to S e = s y gdy r xy = 1, to S e = 0 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

26 Przykład Do danych za pomoca programu Excel zostały dopasowane różne typy funkcji : "edytor" wykresu linia trendu wybór funkcji (możliowość podania równania i wyliczenia R 2 ) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

27 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

28 Uzyskaliśmy zatem następujace wyniki: regresja wykładnicza R 2 = regresja wielomianowa st.2: R 2 = regresja wielomianowa st.3: R 2 = najlepsze dopasowanie regresja liniowa: R 2 = najgorsze dopasowanie regresja logarytmiczna: R 2 = regresja potęgowa: R 2 = Uwagi Excel potrafi wyznaczyć wzory funkcji różnych typów najlepiej dopasowanych do obserwacji nie znamy ogólnych jawnych postaci tych wzorów!!! podałam jawne (ogólne) wzory jedynie na współczynniki regresji liniowej. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

29 Dotychczas rozważaliśmy przypadek, gdy x- zmienna niezależna a y- zmienna zależna. Równanie regresji w tym przypadku: ŷ = bx + a. Wprowadźmy indeksy y we współczynnikach a i b tak, by było dla nas jasne, że sa to współczynniki prostej określajacej ŷ, czyli: gdzie (przypominamy): ŷ = b y x + a y, b y = r xy sy s x, a y = y b x. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

30 Y - zmienna niezależna, X- zmienna objaśniana Rozważmy teraz gdzie Uwaga b x = 1 n 1 n n x i y i x y i=1 n i=1 y 2 i (y) 2 = ˆx = b x y + a x n (x i x)(y i y) i=1, a x = x b x y. n (y i y) 2 jeżeli znamy współczynnik korelacji liniowej Pearsona oraz średnie i odchylenia stadardowe, to współczynnik b można obliczyć ze wzoru: b x = r xy sx s y. i=1 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

31 Jeżeli znamy wzór prostej regresji ŷ = b y x + a y, to w celu znalezienia wzoru ˆx = b x y + a x, wszystkie współczynniki b x i a x należy wyliczyć od nowa. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

32 Zadania z Wykładu 6 Zadanie 1 Zaobserwowano następujace wartości wieku mężczyzn (X) i kobiet (Y) zawierajacych zwiazek małżeński (w latach). r xy = x- wiek mężczyzny (męża) y- wiek kobiety (żony) X Y prosta regresji y wyznaczona na podstawie naszych danych: ŷ = 0, 48x + 13, 28 prosta regresji x wyznaczona na podstawie naszych danych: ˆx = 1, 4y 11 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

33 x = 23, 8, y = 24, 8 wraz ze wzrostem wieku męża a 1 rok następuje wzrost (średniego) wieku żony o 0,48 roku. wraz ze wzrostem wieku żony a 1 rok następuje wzrost (średniego) wieku męża o 1,4 roku. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

34 Zadania z Wykładu 6 Zadanie 2 Zbadano zależność między stażem pracy (X), a wydajnościa pracownika (Y) w dużym przedsiębiorstwie. Wylosowano w sposób niezależny stu pracowników. Staż r xy = Liczba sztuk na godzinę wzór: x staż pracy, y- wydajność ŷ = 3, 24 x + 14, 6 ˆx = 0, 199 y 1, 26 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

35 wzór: x staż pracy, y- wydajność x = 4, 6, y = 29, 5 ŷ = 3, 24 x + 14, 6 ˆx = 0, 199 y 1, 26 y = 5, 03ˆx + 6, 35 wzrost stażu pracy o 1 rok powoduje wzrost wydajności o 3, 24 sztuki. wzrost wydajności o 1 sztukę powoduje wzrost stażu o 0,2 roku (około 2,5 miesiaca). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

36 Położenie prostych regresji Własności Mamy zatem dwie funkcje regresji liniowej ŷ = a y + b y x, ˆx = a x + b x y. obie proste regresji przecinaja się w punkcie (x, y) b y = r xy sy s x, b x = r xy sx s y Zauważmy, że znaki b x i b y zawsze sa takie same i pokrywaja się ze znakiem r xy, zatem: obie proste regresji sa równocześnie rosnace (gdy r xy > 0) albo obie proste regresji sa równocześnie malejace (gdy r xy < 0). gdy r xy = 0 (tzn. brak korelacji liniowej) to proste przyjmuja postać: zatem sa do siebie prostopadłe. ŷ = y, ˆx = x, Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

37 Ponieważ b y = r xy sy s x, b x = r xy sx, to: s y r xy = b x b y, przy czym znak r xy pokrywa się ze znakiem b x. Przykład 1 Jeżeli b x = 2, b y = 1 3, to r xy = = 0, 677 = 0, 817 r xy = Przykład 2 Jeżeli b x = 2, b y = 1 3, to r xy = ( 2) ( 1 3 ) = 0, 677 = 0, 817 r xy = Przykład 3 Jeżeli b x = 2, r xy = 1 2, to ze wzoru r 2 xy = b x b y mamy: b y = r 2 xy b x = 1 4 ( 2) = 1 = 0, Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

38 Jeśli r xy = 1, to zależność między cechami jest liniowa i obie proste regresji się pokrywaja. Zatem kat między prostymi regresji wynosi 0 stopni. Jeśli 0 < r xy < 1, to proste regresji tworza z soba pewien kat α ( ostry, tzn. α (0, 90 )), który można obliczyć ze wzoru: tg α = 1 r xy s x s y r xy (s 2 x + s 2 y). Jeśli r xy = 0, to proste regresji przyjmuja postać ˆx = x i ŷ = y, zatem sa do siebie prostopadłe. Stad kat między takimi prostymi regresji wynosi 90. prosta ˆx = a y + b y y przyjmuje postać ˆx = x, bo: b y = r xy sx s y = 0, a y = x b y y = x. prosta ŷ = a y + b y x przyjmuje postać ŷ = y, bo: b y = r xy sy s x = 0, a y = y b y x = y. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

39 α kat między prostymi regresji wraz ze wzrostem zależności kat pomiędzy prostymi regresji maleje Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40

40 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka 7 maja / 40