DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolske Semnarum Naukowe, 6 8 wrześna 2005 w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk, Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Elżbeta Szulc Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Specyfkacja dynamcznego modelu z przestrzenną strukturą zależnośc 1. Wprowadzene Wele zjawsk będących przedmotem analz ekonometrycznych traktuje sę jako procesy przestrzenno-czasowe próbuje sę odkryć w nch, z jednej strony określoną dynamkę czasową, z drugej zaś pewne powązana przestrzenne. Take analzy mogą dotyczyć, na przykład, bezroboca. Przeprowadza sę je na podstawe danych dotyczących wykorzystana zasobów pracy, które odnoszą sę do jednostek przestrzennych wyznaczonych przez podzały admnstracyjne a węc, na przykład, do województw, powatów czy gmn, w kolejnych jednostkach czasu, np. mesącach. Badana koncentrujące sę na czasowych modelach określonej mary bezroboca ne są wystarczające, nawet wtedy, gdy dotyczą oddzelne każdej jednostk przestrzennej, jeśl ne rozwjają analzy w kerunku porównań wynków uzyskanych dla tych jednostek ne stawają pytań o ewentualne zależnośc przestrzenne. Mary zasobów pracy lub bezroboca oparte na mejscu zameszkana ludz mogą wykazywać przestrzenną zależność choćby z uwag na pewną moblność sły roboczej, która przekraczając grance rejonów zameszkana poszukuje zatrudnena w sąsadujących strefach. Powązana przestrzenne ne muszą być defnowane geografczne, choć znaczene odległośc fzycznej jest cągle duże w określanu rozmarów zależnośc przestrzennych. Jest oczywste, że powązana te do pewnego stopna są ogranczone przez odległośc fzyczne sec transportowe.
154 Elżbeta Szulc Welkośc bezroboca odnoszone do określonych jednostek przestrzennych tworzą przestrzenne szablony tego zjawska, które mogą wynkać, z jednej strony z przestrzennych szablonów popytu na słę roboczą, zwązanych z określoną aktywnoścą ekonomczną jednostek przestrzennych, z drugej zaś mogą być zwązane z przestrzennym rozkładam pewnych charakterystyk sły roboczej, takch jak kwalfkacje, pozom wykształcena, wek tp. Zatem charakterystyk ekonomczne jednostek przestrzennych, zarówno z punktu wdzena popytu na słę roboczą, jak jej podaży, mogą być podstawą określana tzw. ekonomcznej odległośc mędzy nm defnowana powązań w przekroju ekonomcznych sąsadów różnych rzędów. W welu sytuacjach w badanach tzw. autokorelacj przestrzennej pojęce odległośc ekonomcznej będze ważnym uogólnenem pojęca odległośc fzycznej. Wykorzystane odległośc ekonomcznej w badanach zależnośc mędzy obektam może prowadzć do wynków odmennych od tych uzyskanych na podstawe odległośc czysto fzycznej. Defnowane odpowednej mary odległośc jest utrudnone, gdy analzuje sę tzw. autokorelację przestrzenno-czasową. Równeż w tym wypadku naturalna wydaje sę potrzeba rozróżnena odległośc fzycznej ekonomcznej. Jednak włączene tej ostatnej do analz przestrzenno-czasowych utrudna fakt jej zmennośc w czase. Celem referatu jest rozważene pewnych możlwośc modelowana autozależnośc w procesach przestrzenno-czasowych. W punkce 2 określa sę autozależnośc w termnach autokorelacj przestrzennej autokorelacj przestrzennoczasowej. Podkreśla sę rolę, jaką w badanu autokorelacj odgrywa odpowedne zdefnowane odległośc pomędzy jednostkam badana. Kwesta ta jest neco szerzej omawana w punkce 3. Punkt 4 przedstawa zarys modelowana, gdy próbuje sę omnąć nektóre sygnalzowane wcześnej problemy, take jak mała lczba obserwacj przestrzennych oraz trudna do zdefnowana odległość przestrzenno-czasowa. W punkce 5 omówono wynk badań emprycznych. Ze względu na ogranczone ramy publkacj ne umeszczono szczegółowych wynków oblczeń. Na konec sformułowano wnosk ogólne oraz zapowedź dalszych badań. 2. Autokorelacja przestrzenna przestrzenno-czasowa Koncepcja autokorelacj przestrzennej pojawła sę w lteraturze w ślad za pojęcem autokorelacj czasowej (zob. np. Clff, Ord, 1981). Podkreśla sę specjalny charakter autokorelacj w przestrzen, wskazując na pewne ważne cechy charakterystyczne. Wskazuje sę przede wszystkm na brak naturalnego uporządkowana na ln: przeszłość teraźnejszość przyszłość, a zatem na welokerunkowość powązań wpływów. Rodz to określone problemy pomaru oceny stotnośc tego zjawska.
Specyfkacja dynamcznego modelu z przestrzenną strukturą zależnośc 155 W praktyce, defnując autokorelację przestrzenną można wyróżnć następujące sytuacje: 1) występowane dodatnej autokorelacj; zachodz, gdy zjawska zlokalzowane blsko sebe mają podobne właścwośc; 2) występowane ujemnej autokorelacj, gdy blske w przestrzen zjawska różną sę wyraźne co do właścwośc; 3) brak autokorelacj, co oznacza, że własnośc zjawska są nezależne od lokalzacj. Poszukując odpowednch sposobów na wykrywane modelowane przestrzennych auto-zależnośc, badacze coraz częścej próbują nadać danym przestrzennym strukturę podobną do tej, którą posadają szereg czasowe, a węc dane ndeksowane za pomocą kolejnych, równo odległych jednostek czasu. Podstawą zaś badana autokorelacj przestrzennej jest przyjęce założena, że auto-zależność maleje wraz z odległoścą. Innym ważnym stwerdzenem badaczy, logczne uzasadnonym popartym obserwacjam przebegu zjawsk jest to, że zjawska w blskch lokalzacjach oddzałują w czase a ne natychmast (patrz, np. B. Epperson, 2000). Innym słowy, realzacja zależnośc w przestrzen wymaga upływu czasu. W ten sposób bardzej naturalne nż pojęce autokorelacj czysto przestrzennej staje sę pojęce autokorelacj przestrzenno-czasowej. Istotę autokorelacj przestrzennoczasowej pomędzy przestrzennym jednostkam oraz j można wyrazć za pomocą następującej ogólnej formuły y t ( y y, ε ) = f. (1) t l, jt l t Zależność y t od y t-1,, y t-l w równanu (1) jest tzw. czysto czasowym składnkem regresyjnym. Ne uwzględna sę natomast czysto przestrzennego składnka regresyjnego. Jest to ważny problem praktyczny, który pomnęto w omawanym dalej badanu. Chodz o to, że w praktyce odstęp czasu pomędzy rejestracją danych w poszczególnych jednostkach przestrzennych jest zbyt dług w porównanu z realzacją zależnośc. Wtedy mogą być obserwowane tzw. równoczesne zależnośc przestrzenne (autokorelacja czysto przestrzenna). 3. Mary odległośc 1 Możlwe są różne mary odległośc pomędzy param jednostek przestrzennych. Odległość ne mus oznaczać odległośc fzycznej, a zatem przestrzeń, w której zlokalzowane są jednostk badana ne mus być przestrzeną geografczną. Określone cechy jednostek przestrzennych, jako argumenty funkcj opsujących przebeg zjawsk w tych jednostkach tworzą nną przestrzeń, którą można 1 Na temat pomaru odległośc w kontekśce badana przestrzennych powązań w tempe bezroboca, zob., np. Conley, Topa (2002).
156 Elżbeta Szulc nazwać przestrzeną ekonomczną. Wówczas rozważa sę relatywne położene jednostek na podstawe odległośc ekonomcznej pomędzy nm. Ustalając relatywne położene jednostek przestrzennych (rejonów) berze sę pod uwagę, na przykład, zwykłą odległość fzyczną pomędzy centram tych rejonów lub średną odległość pomędzy głównym mejscowoścam dla kojarzonych rejonów, koszty transportu kaptału ludzkego, bądź też czas podróży. W sytuacj konstrukcj szerzej rozumanej odległośc ekonomcznej zwykle oblcza sę odległość eukldesową dla wektora charakterystyk (atrybutów) jednostek przestrzennych, tj. d j = k ( xk x jk ) 2, (2) gdze: x k, x jk, k -te charakterystyk jednostk oraz j. Gdy przedmotem badana jest bezroboce charakterystyk we wzorze (2) mogą dotyczyć, z jednej strony, pozomu lub rodzaju wykształcena ludnośc w poszczególnych rejonach, struktury wekowej albo, z drugej strony, welkośc produkcj przemysłowej, nakładów nwestycyjnych tp. Ne jest jasne jak zdefnować odległość przestrzenno-czasową. Dwuwymarowa przestrzeń geografczna jest welostronna. Podobne jest w wypadku k- wymarowej przestrzen ekonomcznej, która zresztą zwykle jest redukowana do przestrzen dwuwymarowej. Czas jest jednokerunkowy w układze przestrzeń czas ne jest on po prostu dodatkowym wymarem. Ponadto, zwykle dane przestrzenno-czasowe odnoszą sę do dużej lczby obserwacj po czase do newelkej lczby jednostek przestrzennych. Dlatego cekawym rozwązanem jest propozycja odrębnego badana szeregów czasowych dotyczących poszczególnych jednostek przestrzennych a następne włączena do modelu struktury przestrzennej określonej przez odległość pomędzy jednostkam. 4. Przestrzenno-czasowy model ekonometryczny Zakłada sę, że jednostka przestrzenna zlokalzowana jest w punkce s w przestrzen eukldesowej R n, w szczególnośc R 2. Lokalzacje -tej jednostk w czase t oznacza sę jako (s, t). Obserwuje sę wartośc zmennej w zborze { } N t lokalzacj, dla t=1, 2,, T. Obserwacje oznacza sę przez. Zmenna losowa Y s, t s, = 1 y, t Y, t s zwązana z przestrzenną pozycją s oraz punktem t nazywa sę przestrzenno-czasowym polem losowym 2. s 2 Główne zastosowana pól losowych w ekonometr dotyczą analz przestrzennych przestrzenno-czasowych. Zob., np. Conley (1999), Chen, Conley (2001), Conley, Topa (2002).
Specyfkacja dynamcznego modelu z przestrzenną strukturą zależnośc 157 Dla każdej ustalonej lokalzacj s, otrzymuje sę zmenną, tj. proces stochastyczny. Stąd na Y, można patrzeć jak na wektor Y = { Y Y,..., Y }. Podobne można rozważać zmenną, tj. proces przestrzenny, otrzymując następne { Y, Y Y } Y s s, 1 s,2,..., s, N s t Y,t Y s, t Y,t 1t, 2t =. można określć jako pole losowe warunkowe względem przestrzen. Odpowedno może być traktowane jako pole losowe warunkowe względem czasu. Modele auto-zależnośc dla procesów stochastycznych (modele autoregresyjne) budowane są przy założenu, że zależność maleje wraz ze wzrostem odległośc mędzy obserwacjam procesu (wartoścam szeregu czasowego). Podobne, w modelach auto-zależnośc dla procesów przestrzennych zasadą jest, że zależnośc te są charakteryzowane przez odległość pomędzy przestrzennym lokalzacjam obserwacj. Jeśl obserwacje oraz j są blske, wtedy zmenne losowe oraz mogą być slne skorelowane. Natomast, gdy odległość po- Y s Y s j Y s mędzy s oraz s j rośne, wtedy oraz są coraz słabej skorelowane lub nezależne. Poneważ ne jest jasne jak merzyć odległość przestrzenno-czasową (zob. punkt 3), określene modelu auto-zależnośc przestrzenno-czasowych jest utrudnone. Łączne modelowane zjawsk przestrzenno-czasowych jako pól losowych wymaga rozwązana równeż welu nnych problemów. Są to, na przykład, trudne do spełnena w praktyce warunk: stacjonarnośc, jednorodnośc, zotropowośc. Ponadto, zazwyczaj mała jest lczba jednostek przestrzennych, dla których dostępne są dane statystyczne. W sytuacj, gdy mało jest danych zebranych w przestrzen ale dużo w czase, można badać szereg czasowe oddzelne dla każdej jednostk przestrzennej. Modelowane szeregów czasowych oddzelne dla każdego punktu w przestrzen jest uzasadnone tylko w wypadku nezależnych czasowych pól losowych. W odpowednch modelach berze sę pod uwagę zależnośc czasowe, ale ne uwzględna sę zależnośc przestrzennych. W lteraturze pojawła sę cekawa propozycja włączena do tego typu analz zależnośc przestrzennych w drodze konstrukcj model z przestrzenną strukturą (zob. de Luna, Genton, 2004). Rozważa sę wektor Y t = { Y1 t, Y2t,..., YNt} w rozumenu, jak wyżej. Buduje sę modele nezależne dla każdej wyodrębnonej jednostk przestrzennej, borąc pod uwagę przestrzenno-czasowe uporządkowane jednostek, po to aby ustalć herarchę tych jednostek, według której wprowadza sę elementy wektora Y t do modelu. Podstawą uporządkowana przestrzennego jest odległość pomędzy jednostkam określona, na przykład, przez rozważene geografcznych lokalzacj tych jednostek. Ustala sę naturalny porządek sąsedztwa jednostek przestrzennych dla danej jednostk. Ostateczne można mówć o macerzy odległośc o wymarach N N, określającej tak porządek dla wszystkch jednostek (zob., np. tabela 2). Y s, Y s j Nt
158 Elżbeta Szulc Zmenne Y, t s wprowadza sę do modelu sekwencyjne, według naturalnego porządku przestrzenno-czasowego, tj. najperw Ys, t l,w ustalonym porządku przestrzennym, dla l=1, następne, znowu w ustalonym porządku przestrzennym, dla l=2, td. Powązanych przestrzenne czasowo sąsadów danej jednostk ustala sę na podstawe wartośc korelacj cząstkowej, to znaczy nowe zmenne wprowadza sę o modelu tak długo, jak długo wartośc te stotne różną sę od zera. Przestrzenno-czasowa korelacja cząstkowa oznacza tutaj korelację pomędzy określonym elementem wektora Y t a nnym jego elementem w odstępe czasowym l, przy wyłączenu wpływu uwzględnonych wcześnej zmennych. 5. Analza danych emprycznych Przeprowadzone badane dotyczyło bezroboca w Polsce według województw w okrese: styczeń 1999 kweceń 2005. Dane statystyczne pochodzą z Buletynów statystycznych GUS, Bezroboce rejestrowane, Informacje opracowana statystyczne, Warszawa. Jak argumentowano wcześnej, dane te mogą być przestrzenne skorelowane. Oznacza to, że pozom bezroboca w danym województwe może być skorelowane z pozomem bezroboca w województwach sąsadujących. Próba statystyczna lczy 76 obserwacj czasowych dla każdej z 16 jednostek przestrzennych, tj. łączne 1216 obserwacj. Te 16 szeregów czasowych tworzy realzacje procesów wchodzących w skład wektora defnującego proces przestrzennoczasowy. Najperw zbadano strukturę trendowo-sezonową autoregresyjną osobno dla każdego szeregu czasowego. Tabela 1 przedstawa wynk badana w tym zakrese. Tabela 1. Trend, sezonowość, autoregresja badanych szeregów czasowych Województwo Dln. K.-p. Lbl. Lbs. Łdz. Młp. Mzw. Opl. Stopeń trendu 3 3 2 4 3 2 3 3 Sezonowość + + + + + + + + Rząd autoregresj 1 8 1 1 1 8 1 1 Województwo Pdk. Pdl. Pmr. Śls. Śwt. W.-m. Wlk. Zch. Stopeń trendu 2 4 3 2 2 4 3 3 Sezonowość + + + + + + + + Rząd autoregresj 9 10 1 12 8 12 1 11 Źródło: oblczena własne. + oznacza obecność składnka sezonowego. Skróty nazw województw utworzono przez podane perwszych trzech spółgłosek z wyjątkem nazw dwuczłonowych. Dla nch przyjęto: K.-p. (Kujawsko-pomorske), W.-m. (Warmńskomazurske).
Specyfkacja dynamcznego modelu z przestrzenną strukturą zależnośc 159 Stosując klasyczną metodę najmnejszych kwadratów oszacowano parametry odpowednch model podstawowych. Następne zbadano reszty tych model pytając, czy tworzą one przestrzenno-czasowy proces bałoszumowy? Oblczono współczynnk korelacj dla reszt szeregów czasowych. Wększość z nch okazała sę stotna na 5% pozome stotnośc. Następne oblczono współczynnk korelacj dla szeregów reszt z czasowym odstępem jeden. Równeż w tym wypadku nektóre z nch okazały sę stotne. Współczynnk korelacj reszt z odstępam czasowym wększym od jeden były już nestotne. Wnosek z przeprowadzonej analzy jest następujący. Badane pojedynczych szeregów czasowych ne wystarczyło dla odkryca pełnej struktury procesu bezroboca. Istneją powązana przestrzenno-czasowe, które należałoby uwzględnć w odpowednm modelu. W celu uwzględnena zależnośc przestrzenno-czasowych w badanym procese bezroboca wykorzystano nformację o przestrzennej strukturze powązań mędzy województwam. Struktura ta została przedstawona w tabel 2. Każdy wersz tabel 2 przedstawa przestrzenne uporządkowane (od 0 do 15) województw. Ten przestrzenny porządek sąsedztwa dla każdego województwa został ustalony na podstawe średnej odległośc fzycznej (w km) pomędzy głównym mastam województw. Tabela 2. Przestrzenna struktura odległośc pomędzy województwam Dln K-p Lbl Lbs Łdz Młp Mzw Opl Pdk Pdl Pmr Śls Śwt Wm Wlk Zch Dln 0 6 14 3 5 8 10 1 13 15 11 4 7 12 2 9 K-p 10 0 13 6 2 14 4 8 15 11 5 12 7 3 1 9 Lbl 12 8 0 14 4 6 3 10 1 5 13 7 2 9 11 15 Lbs 2 4 14 0 7 12 10 5 15 13 6 8 11 9 1 3 Łdz 9 3 8 13 0 7 2 6 10 12 14 5 1 11 4 15 Młp 8 10 6 12 5 0 7 4 2 11 14 3 1 13 9 15 Mzw 13 3 5 14 1 10 0 12 9 2 11 8 4 6 7 15 Opl 2 9 11 8 4 6 10 0 7 15 14 1 5 12 3 13 Pdk 11 10 3 13 6 1 7 5 0 8 14 4 2 12 9 15 Pdl 15 5 3 13 4 11 1 12 9 0 7 10 6 2 8 14 Pmr 9 2 13 5 7 14 6 10 15 8 0 12 11 1 4 3 Śls 6 9 10 11 4 2 8 1 5 12 14 0 3 13 7 15 Śwt 10 9 5 13 1 2 6 7 4 11 14 3 0 12 8 15 W-m 12 2 10 8 5 14 3 11 15 4 1 13 9 0 6 7 Wlk 3 1 13 2 4 12 7 5 15 14 11 6 8 10 0 9 Zch 6 3 14 1 7 13 9 8 15 12 2 10 11 5 4 0 Źródło: oblczena własne. Badanu poddano ponowne szereg czasowe stóp bezroboca po wyelmnowanu trendu sezonowośc (dla zachowana stacjonarnośc). Przy założenu ustalonego porządku powązań przestrzennych dla każdego województwa polczono odpowedne macerze współczynnków korelacj szeregów czasowych dla odstępów czasowych od 1 do 12. Współczynnk szybko malały przy wzrośce odstępów czasowych. Analogczna prawdłowość dla odstępów przestrzennych była dużo mnej wyraźna. W dalszej kolejnośc wykorzystano współczynnk korelacj cząstkowej do wyboru dla każdego województwa przestrzennych sąsadów stotne powązanych pod względem pozomu bezroboca. Tabela 3 przedstawa ustalena w tym zakrese.
160 Elżbeta Szulc Tabela 3. Struktura zależnośc przestrzenno-czasowych odstęp Dln K-p Lbl Lbs Łdz Młp Mzw Opl Pdk Pdl Pmr Śls Śwt Wm Wlk Zch 1 7 7 15 8 13 7 6 9 4 13 14 3 14 14 3 15 2 0 8 9 0 4 11 13 0 0 9 0 0 0 0 0 0 3 0 0 14 0 15 0 0 0 0 0 7 0 15 0 0 0 Źródło: oblczena własne. 6. Podsumowane Celem badana było sprawdzene czy przyjęty arbtralne porządek przestrzenno-czasowych powązań w układze województw pozwol wyspecyfkować logczną, przekonującą strukturę przestrzennych czasowych odstępów dla odpowednego ekonometrycznego modelu zman bezroboca. Bardzo ważnym elementem proponowanej koncepcj metodologcznej jest prawdłowe określene odległośc pomędzy jednostkam badana. W przeprowadzonej analze ogranczono sę do nedoskonałej w stoce mary odległośc fzycznej. W efekce uzyskane wynk jedyne bardzo ogólne potwerdzają wstępne hpotezy o naturze prawdłowośc występujących w badanym zjawsku. W dalszej kolejnośc zostane przeprowadzone badane z wykorzystanem odpowedno zdefnowanej odległośc ekonomcznej. Lteratura Clff, A.D., Ord, J.K. (1981), Spatal Processes, Pon, London. Chen, X., Conley, T.G. (2001), A new semparametrc spatal model for panel tme seres, Journal of Econometrcs, 105, 59 83. Conley, T.G. (1999), GMM estmaton wth cross sectonal dependence, Journal of Econometrcs, 92, 1 45. Conley, T.G., Topa, G. (2002), Soco-economc dstance and spatal patterns n unemployment, Journal of Appled Econometrcs, 17, 303 327. Epperson, B.K. (2000), Spatal and space-tme correlatons n ecologcal models, Ecologcal Modellng, 132, 63 76. de Luna, X., Genton, M.G. (2004), Spato-temporal autoregressve models for U.S. unemployment rate, w: Lesage, J.P., Pace, R.K. (eds.), Spatal and Spatotemporal Econometrcs, Advances n Econometrcs, vol. 17, Elsever Ltd., Oxford, 279 294.