MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)

Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e- mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: piątki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00, bud. C- 11, s. P.01 Godzina konsultacji: do ustalenia Ocena końcowa: dana wzorem [1 + 5 L + W ]/2, gdy L > 0, 5 i W > 0, 5; w pozostałych przypadkach równa 2. L oznacza stosunek liczby punktów uzyskanych na laboratorium do możliwych tam do zdobycia, W analogiczny stosunek dla dwóch kolokwiów na wykładzie. Może być podwyższona, ale nie więcej in o 0,5 za aktywność na laboratorium. Podręczniki: wymienione w karcie przedmiotu oraz Capiński, Marek, Zastawniak, Tomasz, Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering,

O czym będziemy mówić. 1. Zagadnienia związane z wartością pieniądza w czasie (lokaty, obligacje, kredyty, renty, struktura terminowa stopy procentowej) 2. Teoria portfela (inwestycji kapitałowych). 3. Wycena kontaktów terminowych (futures) i wymiany (swap). 4. Opcje i ich zastosowania. 5. Model dwumianowy wyceny opcij. 6. Metoda Monte Carlo. Przy okazji dowiemy się co nieco o rynkach finansowych ich strukturze, działaniu, uczestnikach i regulacjach. 2

Dodatkowy podręcznik do tej części wykładu (Wartość pieniądza w czasie) : Maria Podgórska, Joanna Klimkowska Matematyka finansowa WN PWN 3013 Procent prosty (Simple interest). F = P + I = P + Prn = P(1 + rn), gdzie P - początkowa wartość kapitału (present value), n - ilość okresów oprocentowania, r - stopa oprocentowania (rentowność) w okresie (interest rate), I odsetki (interest) za n okresów F końcowa (przyszła) wartość (future value) kapitału za po n okresach. Zwykle długość okresu to 1 rok. Procent prosty stosuję się również dla okresów ułamkowych. Wtedy oznaczamy czas przez t. 3

F = P + I = P + Prt = P(1 + rt). Przykład. Kapitał początkowy 1000 zł zainwestowany przy stopie 8% w skali roku na okres od 15.10.2016 do 27.02.2017 przyniesie na koniec okresu F = P 1 + rt = 1000 (1 + 0,08!"# ) zł, czyli (1029,589041.)!"# 1029,59 zł (w większości przypadków). 4

Obliczanie długości okresu. Długość okresu najczęściej wyraża się całkowitą liczbą dni. Ale takie same liczby dni mogą być różną ilością lat w zależności od przyjętej konwencji: 1. Rok to kolejne 365 dni. W tej konwencji okres od 10.10.2015 do 10.10.2016 to!""!"# roku. 2. Rok to kolejne 360 dni. W tej konwencji okres od 10.10.2016 do 10.10.2017 to!"#!"# roku. 3. Dzień liczy się za 1/365 roku w roku nieprzestępnym i za 1/366 roku w roku przestępnym. Dzień zaczynający okres wlicza się, a kończący nie. W tej konwencji okres od 10.10.2015 do 10.10.2016 to!" +!"# = 1,0006213 roku.!"#!"" 4. Każdy miesiąc ma 30 dni (a rok 360 dni). Kilka konwencji różnie liczących długości okresów, które zaczynają się lub kończą 31. dnia miesiąca. Ponadto obliczenia komplikują się, gdy ostatni dzień inwestycji przypada na dzień wolny od pracy. 5

Przykład. Na przetargu w dniu 15.02.2016 Ministerstwo Finansów sprzedało bony skarbowe 32- tygodniowe o wartości nominalnej PLN 10 000,00 po cenie PLN 9920,40 z każdy bon. Jaka była rentowność (stopa procentowa) sprzedanych bonów? Uwaga: Rentowność bonów skarbowych wyraża się w skali roku 360 dni. Przekształcając wzór na procent prosty otrzymamy: r = F P 1 t = 10000 9920,40 1 : 32 7 360 = 0,012895505 Porównamy, to z komunikatem MF(http://www.finanse.mf.gov.pl/dlug- publiczny/bony- i- obligacje- hurtowe/kalendarze- przetargow?p_p_id=auctionviewportlet_war_mfportalsecuritiestradingportlet& p_p_lifecycle=2&p_p_state=normal&p_p_mode=view&p_p_cacheability=cachelev elpage&p_p_col_id=column- 2&p_p_col_pos=1&p_p_col_count=2&auctionId=5208942&loadFile=1) 6

Departament Długu Publicznego ul. Świętokrzyska 12, 00-916 Warszawa tel. (+4822) 694 50 00, fax. (+4822) 694 50 08, www.finanse.mf.gov.pl, Reuters PLMINFIN, Bloomberg PLMF Public Debt Department 12 Swietokrzyska St., 00-916 Warsaw, Poland A. Termin składania ofert / Deadline for placing bids Minimalna wartość nominalna oferty / Minimum bid face value Charakterystyka bonów przewidzianych do sprzedaży A1. Rodzaj bonu / Rozrachunek 1) A2. Data wykupu A3. Kod ISIN A4. Format przetargu Komunikat o przetargu sprzedaży bonów skarbowych Information on T-bills sale auction 15.02.2016-11:00 100.000 PLN Specification of T-bills provided for sale A1. T-bill type/settlement 1) A2. Maturity date A3. ISIN code A4. Auction format Wyniki przetargu sprzedaży bonów skarbowych - 15.02.2016 r. B. Information on T-bills sale auction results - 15.02.2016 B1. Popyt łączny (mln PLN) B1. Total demand (PLN mn) w tym wartość ofert niekonkurencyjnych of which value of non-competitive bids B2. Sprzedaż łączna (mln PLN) B2. Total sale (PLN mn) w tym sprzedaż w drodze ofert niekonkurencyjnych of which sale via non-competitive bids B3. Cena minimalna i odpowiadająca jej rentowność B3. Stop price and yield B4. Stopa redukcji stopa redukcji ofert niekonkurencyjnych B5. Zadłużenie po rozliczeniu przetargu 2) B4. Reduction rate non-competitive bids reduction rate A5. Podaż minimalna (mln PLN) A5. Offer minimum (PLN mn) B5. Amount outstanding after auction settlement 2) A6. Podaż maksymalna (mln PLN) A6. Offer maximum (PLN mn) A1. A2. A3. A4. A5. A6. B1. B2. B3. B4. B5. 32T Przetarg jednej ceny 5.360,00 1.990,00 9.920,40 0,00% 28.09.2016 PL0000004982 1.000,00 2.000,00 17.02.2016-14:00 Uniform price auction 130,00 130,00 1,290% 0,00% 2.390,00 2) Wliczając sprzedaż na przetargu uzupełniającym / Including sale on non-competitive auction 1) "T" - tygodnie, "D" - dni. Dopuszcza się możliwość składania ofert niekonkurencyjnych - udział ofert tego typu w łącznej wartości sprzedaży wynosi maksymalnie 15%. 1) "T" - weeks, "D" - days. Placing of noncompetitive bids is permitted - share of this type of bids in total sale value shall not be higher than 15%. - Komunikat o przetargu uzupełniającym bonów skarbowych - 15.02.2016 r. Wyniki przetargu uzupełniającego bonów skarbowych - 15.02.2016 r. C. Information on non-competitive T-bills auction - 15.02.2016 r. D. Information on T-bills non-competitive auction results - 15.02.2016 Termin składania ofert / Deadline for placing bids 15.02.2016-13:30 D1. Popyt D1. Demand Charakterystyka bonów przewidzianych do sprzedaży Specification of T-bills provided for sale D2. Sprzedaż D2. Sale C4. Cena sprzedaży C4. Sale price C5. Podaż C5. Offer C1. = A1. C2. = A2. C3. = A3. C4. C5. D1. D2. 32T 17.02.2016-14:00 28.09.2016 PL0000004982 9.920,40 400,00 700,00 400,00 7

Dyskonto proste W poprzednim przykładzie bony były sprzedane z dyskontem w wysokości PLN 79,60 za każdy bon. Czyli z dyskontem!",!" = 0,796% (stopa dyskonta w okresie 32 tygodni). Zwykle (choć znacznie!"""" rzadziej niż oprocentowanie) wyraża się dyskonto w skali roku. W tym przykładzie stopa dyskonta wynosi d!"# = 0,796%!"#!"! =1,27928% w skali roku 360 dni, lub (równoważnie) d!"# = 0,796%!"#!"! = 1,29705% w skali roku 365 dni. Analogicznie do wzorów na procent prosty mamy następujące wzory na dyskonto proste P = F D = F Fdn = F 1 dn = F(1 dt) gdzie D oznacza dyskonto (nominalne), a d - stopę dyskontową. Z oczywistych powodów P > 0, zatem dt < 1. Zestawiając równanie na procent prosty z równaniem na dyskonto proste otrzymujemy P 1 + rt = P 1 dt Można stąd trzymać związki miedzy r, d i t, z których najzgrabniejszym jest wzór na okres równoważności stopy procentowej i dyskontowej t =!!.!! 8

Procent składany (compound interest) W tym modelu kapitał początkowy jest oprocentowany przez n okresów. Jednak na koniec każdego z tych okresów odsetki powiększają kapitał, który będzie pracował w następnym okresie (tzw. kapitalizacja odstetek ). Tak więc w każdym okresie kapitał jest mnożony przez 1 + r. Dzięki temu na koniec n- tego okresu mamy: F = P(1 + r)! oraz I = F P = P[(1 + r)! 1]. Zwyczajowo stopę odsetek wyraża się w skali roku proporcjonalnie do długości okresu kapitalizacji. Jeśli t wyraża czas w latach, a każdy rok jest podzielony na k okresów kapitalizacji o jednakowej długości, wzór na wartość końcową możemy zapisać następująco F = P(1 + r k )!" Przechodząc do granicy przy k otrzymamy F = Pe!" czyli tzw. wzór na kapitalizację ciągłą. 9

Przykład. Która z lokat dwuletnich jest korzystniejsza (dla oszczędzającego): a) lokata na 10% w skali roku z kapitalizacją kwartalną czy b) lokata na 11% w skali roku kapitalizowana na koniec dwuletniego okresu? Z pierwszej lokaty po dwóch latach otrzymamy F = P(1 + 10% 4 )!! = P(1 + 2,5%)! = P 1,2184029 W przypadku drugiej lokaty będziemy mieć (procent prosty!) F = P 1 + 2 11% = P 1,22. Jaka jest stopa efektywna dla każdej z tych lokat (stopa równoważnej lokaty z kapitalizacją roczną)? Dla a) jest to r!",! = (1 +!,!! )! 1 = 10,0381289%, podczas gdy dla b) jest to r!",! = 1,22!,! 1 = 10,45361%. 10

Przykład. Jaka jest stopa efektywna odpowiadająca stopie r! w kapitalizacji ciągłej? r! = e!! 1. Inaczej 1 + r! = e!!. Rozumowanie z poprzedniego przykładu rozszerzamy na okresy dowolnej długości. Przykład. Załóżmy, że mamy lokatę na k dni (czyli!!"# roku), która w tym okresie ma oprocentowanie r. Dla niej F = 1 + r P = [ 1 + r!!]! P. Ten sam dochód da lokata z kapitalizacją dzienną, której oprocentowanie za każdy dzień wynosi r! = 1 + r!! 1. Dla niej efektywna stopa kapitalizacji wyniesie r! = 1 + r!"#! 1. Rozumowanie to można przeprowadzić dla dowolnego okresu o długości współmiernej z rokiem otrzymując wyniesie r! = 1 + r!! 1. Gdzie t jest długością okresu wyrażoną w latach a r stopą procentową za ten okres. Podsumowując 1 + r 1 t = 1 + r e = e r c 11

Przykład. Dla bonu skarbowego 32 tygodniowego o nominale PLN 10000 i cenie PLN 9929,40 obliczymy roczną stopę efektywną r! i odpowiadającą jej stopę r! dla kapitalizacji ciągłej.!"#!"""" Wykorzystując powyższy wzór mamy:!"! = 1 + r! = e!!!!"!,! 12

Renty (annuities) Renta to ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach czasu. Płatności nazywane są ratami, a okres pomiędzy kolejnymi płatnościami to okres bazowy. Renta prosta to renta, dla której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Renta czasowa, to renta o skończonej liczbie rat. Renta wieczysta, to renta o nieskończonej liczbie rat. Renta, w której paty są płatne na koniec okresu, to renta zwykła lub renta płatna z dołu, w odróżnieniu od renty płatnej z góry. Terminu renta używa się dla renty zwykłej, prostej i czasowej. 13

Oznaczmy przez R ratę renty, przez P wartość początkową renty, przez F wartość przyszłą, przez n ilość rat i przez i - stopę procentową dla okresu bazowego. Wartość początkowa renty to P = R!!!! 1 + i!! = R 1!(1!i)!n i = Ra n i. Wartość końcowa renty to F = (1 + i)! P = R!!!!!!! = Rs n i. Sumę a!! nazywamy czynnikiem dyskontowania renty, a sumę s!! - czynnikiem oprocentowania renty. Można je interpretować jako wartość początkową i wartość końcową renty jednostkowej (R = 1). 14

Przyjmując oznaczenia P (!!) i F (!!) dla wartości początkowej i wartości przyszłej renty płatnej z góry mamy: P (!!) 1 (1 + i)!! = 1 + i P = R(1 + i) = Ra i!! oraz F (!!) = 1 + i F = R(1 + i) 1 + i! 1 = Rs i!! Podobnie a!! i s!! można uważać za wartość początkową i wartość końcową renty płatnej z góry. Łatwe w interpretacji są następujące wzory: a!! = 1 + a!!!!, s!! = s!!!! 1. 15

Przykład. Adam chce zgromadzić PLN 18000 na rachunku bankowym oprocentowanym wg stopy kwartalnej 1,55% przy kapitalizacji kwartalnej. Adam chce systematycznie wpłacać po PLN 1000 na koniec każdego kwartału. Ilu wpłat powinien dokonać? Renta zwykła z R = 1 (przyjmujemy, że jednostką jest PLN 1000), F = 18, i = 1,55%. Szukamy n, dla którego s!!,!!% =18. Rozwiązujemy względem n równanie (!!!)!!!! =18, (1 + i)! = 18i + 1, n =!" (!"!!!)!" (!!!) =15,99879. Odp. 16 rat tzn. 15 wpłat (szesnasta rata bez wpłaty). Renta wieczysta. Wartość bieżąca renty wieczystej o racie R wynosi P =!!. Dlaczego? 16

Obligacje (bonds) Obligacja papier wartościowy emitowany w serii, w którym emitent stwierdza, że jest dłużnikiem obligatariusza i zobowiązuje się wobec niego do spełnienia określonego świadczenia. Najczęściej świadczenie jest pieniężne, tzn. emitent (wystawca obligacji) zobowiązuję się do zapłaty na rzecz obligatariusza (posiadacza obligacji) określonych kwot pieniężnych w określonych terminach. 17

Obligacje o stałym oprocentowaniu (fixed- intest bonds) Najprostsze z nich to Obligacje zerokuponowe (zero- coupon bonds) Mają one konstrukcję taką jak omawiany bon skarbowy (W Polsce obligacjami nazywa się dłużne papiery wartościowe emitowane na okres powyżej jednego roku.). Są zobowiązaniem emitenta do jednorazowej zapłaty określonej kwoty (wartość nominalna) w dacie wykupu. Emitowane (tworzone i sprzedawane) z dyskontem (czyli poniżej wartości nominalnej). Dochodowość tego (i nie tylko tego) typu obligacji wyraża się tzw. YTM (ang.: Yield to maturity = dochód w terminie do wykupu). W innym języku jest to efektywna roczna stopa zwrotu z inwestycji w taką obligację. 18

Przykład. Obligacja skarbowa serii OK1018 jest zerokuponowa o nominale PLN 1000. Termin płatności: 5.09.2016. Data wykupu: 25.10.2018. Cena na przetargu z dnia 1.09.2016: PLN 965,70. Oblicz YTM. YTM = (F/P)!! 1 = 1000 965,7!"#!"# 1 = 1,646647% Informacja MinFin o przetargu http://www.finanse.mf.gov.pl/dlug- publiczny/bony- i- obligacje- hurtowe/kalendarze- przetargow?p_p_id=auctionviewportlet_war_mfportalsecuritiestradingp ortlet&p_p_lifecycle=2&p_p_state=normal&p_p_mode=view&p_p_cacheabi lity=cachelevelpage&p_p_col_id=column- 2&p_p_col_pos=1&p_p_col_count=2&auctionId=5101791&loadFile=1 19

A. Komunikat o przetargu sprzedaży obligacji skarbowych Termin składania ofert / Deadline for placing bids Minimalna wartość nominalna oferty / Minimum bid face value Charakterystyka obligacji przewidzianych do sprzedaży A1. Seria / Rozrachunek A2. Data wykupu / Kod ISIN Information on T-bonds sale auction 01.09.2016-11:00 1.000.000 PLN Specification of T-bonds provided for sale A1. Series / Settlement A2. Maturity date / ISIN code A3. Accrued interest / Indexation coefficient A4. Auction format Wyniki przetargu sprzedaży obligacji skarbowych - 01.09.2016 r. B. Information on T-bonds sale auction results - 01.09.2016 B1. Popyt łączny (mln PLN) B1. Total demand (PLN mn) w tym wartość ofert niekonkurencyjnych of which value of non-competitive bids B2. Sprzedaż łączna (mln PLN) B2. Total sale (PLN mn) w tym sprzedaż w drodze ofert niekonkurencyjnych of which sale via non-competitive bids B3. Cena minimalna i odpowiadająca jej rentowność B3. Stop price and yield A3. Narosłe odsetki / Współczynnik indeksacji B4. Stopa redukcji B4. Reduction rate A4. Format przetargu stopa redukcji ofert niekonkurencyjnych non-competitive bids reduction rate A5. Podaż minimalna (mln PLN) A5. Offer minimum (PLN mn) B5. Zadłużenie po rozliczeniu przetargu 2) B5. Amount outstanding after auction settlement 2) A6. Podaż maksymalna (mln PLN) A6. Offer maximum (PLN mn) A1. A2. A3. A4. A5. A6. B1. B2. B3. B4. B5. Przetarg jednej ceny 4.000,000 7.000,000 Uniform price auction WZ1122 05.09.2016-12:30 25.11.2022 PL0000109377 4,87-3.444,000 335,000 2.211,000 332,000 974,50-1,02% OK1018 DS0726 25.10.2018 25.07.2026 0,00 2,88 2.870,500 4.389,700 1.748,500 3.028,000 965,70 975,00 0,00% 0,00% 05.09.2016-12:30 05.09.2016-12:30 PL0000109062 PL0000108866 - - 275,000 445,000 263,000 445,000 1,647% 2,791% 4,67% 0,00% 0,00% 20.589,800 3.615,000 36.934,794 2) Wliczając sprzedaż na przetargu uzupełniającym / Including sale on non-competitive auction Dopuszcza się możliwość składania ofert niekonkurencyjnych - prognozowany udział Placing of noncompetitive bids is permitted - predicted share of this type of bids in ofert tego typu w łącznej wartości sprzedaży wynosi 15%. total sale value is 15%. Komunikat o przetargu uzupełniającym obligacji skarbowych - 01.09.2016 r. C. Information on non-competitive T-bonds auction - 01.09.2016 r. D. Termin składania ofert / Deadline for placing bids 01.09.2016-13:30 D1. Popyt Charakterystyka obligacji przewidzianych do sprzedaży Specification of T-bonds provided for sale D2. Sprzedaż C4. Cena sprzedaży C4. Sale price C5. Podaż C5. Offer C1. = A1. C2. = A2. C3. = A3. C4. C5. D1. D2. WZ1122 DS0726 25.11.2022 25.07.2026 4,87 2,88 05.09.2016-12:30 05.09.2016-12:30 PL0000109377 PL0000108866 - - 974,50 975,00 300,000 300,000 710,000 415,000 304,000 302,000 Wyniki przetargu uzupełniającego obligacji skarbowych - 01.09.2016 r. Information on T-bonds non-competitive auction results - 01.09.2016 D1. Demand D2. Sale 20

Jedna sztuka obligacji OK1018 w dniu została kupiona na GPW w dniu D=03.10.2016 po kursie 96,75. Jaka jest rentowność tej inwestycji dla kupującego (zakładając, że będzie trzymał obligację do dnia wykupu), jeśli prowizja maklerska jaką płaci kupujący wynosi 0,12% wartości transakcji. Kurs 96,75 oznacza, że cena wynosiła 96,75% wartości nominalnej, czyli PLN 967,50. Prowizja od transakcji to PLN 967,50 0,0012 = 1,15884 = 1,16. Łączna kwota zapłacona to PLN 968,66. Termin płatności, to D lub D+2 (dwa dni robocze później). Przyjmijmy, że płatność nastąpiła w dniu zawarcia transakcji. Dlatego t = 752/365 i YTM = (F/P)!! 1 = 1000 968,66!"#!"# 1 = 1,557608% 21