II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1

1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową z określonym iloczynem skalarnym i ortonormalną bazą zupełną. Uwaga: Wymiar D przestrzeni Hilberta, stosowanych w mechanice kwantowej, jest dowolny, a zatem D może być równe 1, 2,...,. Wektory stanów układu kwantowego są elementami przestrzeni Hilberta. Wektory stanów w notacji Diraca Iloczyn skalarny gdzie c jest liczbą zespoloną. Baza ortonormalna zupełna { i }: ortonormalność ψ, ϕ, χ,... H (1) ψ ϕ = c, (2) i j = δ ij (3) zupełność D i i = 1 (4) i=1 Rozwinięcie dowolnego wektora ψ H w bazie ortonormalnej zupełnej ψ = D c i i (5) i=1 1.1 Przestrzeń współrzędnych cząstek Operator położenia pojedynczej cząstki Wektor położenia cząstki r = (x, y, z). Równanie własne operatora położenia ˆr (ˆx, ŷ, ẑ) = (x, y, z) (6) ˆr r = r r (7) Warunek ortonormalności bazy wektorów własnych operatora położenia δ(r r ) = delta Diraca r r = δ(r r ) (8)

1.2 Funkcja falowa Funkcją falową pojedynczej cząstki w stanie kwantowym α nazywamy funkcję zespoloną zdefiniowaną jako ψ α (r) def = r ψ α. (9) Zbiór funkcji falowych {ψ α (r)} z iloczynem skalarnym określonym za pomocą operacji całkowania po całej przestrzeni d 3 rψ α(r)ψ β (r) = δ αβ (10) tworzy funkcyjną przestrzeń Hilberta F. Sens matematyczny funkcji falowej Rozwinięcie dowolnego stanu kwantowego α pojedynczej cząstki w bazie r α = d 3 r ψ α (r) r. (11) = Funkcja falowa cząstki ψ α (r) jest współczynnikiem rozwinięcia (amplitudą) stanu kwantowego α w bazie stanów własnych r operatora położenia cząstki. Interpretacja fizyczna funkcji falowej Funkcja falowa ψ α (r) jest amplitudą gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie kwantowym ψ α w położeniu r. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie kwantowym ψ α w położeniu r ϱ α (r) = ψ α (r) 2. (12) Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie kwantowym α w części przestrzeni o objętości Ω P α (Ω) = d 3 r ψ α (r) 2. (13) Ω Warunek unormowania funkcji falowej d 3 r ψ α (r) 2 = 1, (14) gdzie całkowanie wykonujemy po całej przestrzeni. 2

1.3 Funkcja falowa układu wielu cząstek (1) Współrzędne uogólnione Funkcja falowa układu cząstek o f stopniach swobody zależy od f współrzędnych uogólnionych q = (q 1, q 2,..., q f ) ψ α (q 1, q 2,..., q f ) = q 1, q 2,..., q f ψ α. (15) W zapisie skróconym ψ α (q) = q ψ α (16) (2) Współrzędne kartezjańskie Układ N cząstek posiada 3N stopni swobody, którym odpowiadają współrzędne kartezjańskie r = (r 1, r 2,..., r N ). Funkcja falowa układu N cząstek ψ α (r) = ψ α (r 1, r 2,..., r N ) = r ψ α (17) 1.4 Wektor stanu układu złożonego Jeżeli układ fizyczny U złożony jest z N podukładów u j, (j = 1, 2,..., N) znajdujących się w stanach kwantowych ψ 1, ψ 2,..., ψ N, to przestrzeń Hilberta H układu U jest iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta H 1, H 2,..., H N podukładów u j. Inaczej: Jeżeli podukłady u 1, u 2,..., u N znajdują się odpowiednio w stanach kwantowych ψ 1, ψ 2,... ψ N, to stan kwantowy Ψ złożonego układu fizycznego U jest iloczynem tensorowym Ψ = ψ 1 ψ 2... ψ N. (18) Oznacza to, że stan kwantowy Ψ złożonego układu fizycznego zbudowany jest ze wszystkich stanów α wszystkich podukładów u j, czyli ze stanów ψ j,α. Liczba stanów podukładów użytych do konstrukcji stanu Ψ jest równa ND, gdzie D jest wymiarem przestrzeni Hilberta podukładu (zakładamy, że D jest jednakowe dla każdego podukładu u j ). 3

2 Postulaty mechaniki kwantowej Prawa mechaniki kwantowej są formułowane w postaci postulatów, których spełnienie postulujemy i które nie są wyprowadzalne z żadnych innych bardziej podstawowych praw. Słuszność postulatów mechaniki kwantowej opiera się na zgodności z doświadczeniem wniosków i wyników ilościowych z nich wynikających. W takim podejściu odnajdujemy analogię z wprowadzeniem równań ruchu mechaniki klasycznej, których także nie da się wyprowadzić z innych bardziej fundamentalnych zasad. Oznacza to, że równania ruchu Newtona są postulatami mechaniki klasycznej. 2.1 Postulat 0 Niektórzy autorzy przyjmują sposób konstrukcji wektora stanu złożonego układu fizycznego [por. wzór (18)] za jeden z postulatów mechaniki kwantowej. W wykładzie tym proponuję, aby wzór (18) był zerowym postulatem mechaniki kwantowej. Postulat 0 Przestrzeń Hilberta wektorów stanu układu U złożonego z podukładów u j znajdujących się w stanach ψ j (j = 1,..., N) jest iloczynem tensorowym podprzestrzeni Hilberta podukładów u j, co można zapisać jako gdzie Ψ jest wektorem stanu układu U. 2.2 Postulat I Ψ = ψ 1 ψ 2... ψ N, (19) Każdy układ fizyczny jest całkowicie opisany przez unormowany wektor stanu ψ(t) należący do przestrzeni Hilberta H wektorów stanu układu. Równoważny opis zapewnia znajomość funkcji falowej układu która odpowiada wektorowi ψ(t) H. ψ(q, t) = q ψ(t) F, (20) Uwaga: Wektor stanu zależy od czasu t. Opis całkowity oznacza, że każdą dostępną informację dotyczącą układu fizycznego można otrzymać znając wektor stanu ψ(t) (funkcję falową ψ(q, t)) za pomocą reguł podanych w kolejnych postulatach. 4

Interpretacja fizyczna wielocząstkowej funkcji falowej Jeżeli układ fizyczny jest złożony z N jednakowych cząstek, które w chwili t znajdują się w położeniach r = (r 1, r 2,..., r N ), to N-cząstkowa funkcja falowa ψ(r 1, r 2,..., r N, t) pozwala na wyznaczenie gęstości prawdopodobieństwa ϱ ψ (r 1, r 2,..., r N, t) = ψ(r 1, r 2,..., r N, t) 2. (21) Wyznaczamy stąd prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie kwantowym ψ z położeniami cząstek zawartych w przedziałach jako [x 1, x 1 + dx 1 ], [y 1, y 1 + dy 1 ], [z 1, z 1 + dz 1 ], [x 2, x 2 + dx 2 ],... dp ψ,t = ψ(r 1, r 2,..., r N, t) 2 d 3 r 1 d 3 r 2... d 3 r N, (22) przy czym r 1 = (x 1, y 1, z 1 ), r 2 = (x 2, y 2, z 2 ),..., r N = (x N, y N, z N ). Unormowanie wektora stanu ψ(t) ψ(t) = 1 t. (23) Unormowanie funkcji falowej dr ψ(r, t) 2 = 1 t, (24) gdzie całkujemy po całej 3N-wymiarowej przestrzeni. FAZA FUNKCJI FALOWEJ (1) Faza globalna Jeżeli dokonamy następującej transformacji funkcji falowej, ψ ψ = ψe iθ, (25) gdzie Θ jest liczba rzeczywistą, to ϱ ψ = ψ 2 = ψ 2 e iθ 2 = ψ 2 = ϱ ψ. (26) 5

= Pomnożenie funkcji falowej przez czynnik fazowy e iθ nie zmienia gęstości prawdopodobieństwa. = Funkcja falowa określona jest z dokładnością do czynnika fazowego e iθ, przy czym Θ nazywamy fazą globalną funkcji falowej. Transformacja (25) nie powoduje żadnych zmian własności fizycznych układu. W szczególności nie ulega zmianie wartość oczekiwana operatora ˆΩ, która jest wynikiem pomiaru (Postulat III). ψ Ω ψ = ψ Ω ψ = ψe iθ Ω ψe iθ = ψ Ω ψ. (27) (2) Faza względna Przykład Rozważmy unormowany stan kwantowy w postaci ψ = 1 2 0 + 1 2 e iθ 1. (28) We wzorze (28) występuje czynnik fazowy e iθ z fazą względną θ. Obliczmy wartość oczekiwaną operatora hermitowskiego Ω w stanie (28). ψ Ω ψ = 1 2 0 Ω 0 + 1 2 1 Ω 1 + Re(e iθ ) 0 Ω 1 (29) Obliczmy wartość oczekiwaną (29) dla θ = 0 (wtedy e iθ ) = +1) oraz dla θ = π (wtedy e iθ = 1). Otrzymujemy ψ Ω ψ = 1 2 0 Ω 0 + 1 2 1 Ω 1 ± 0 Ω 1 (30) = Wartość oczekiwana operatora Ω, czyli wynik pomiaru, zależy od fazy względnej stanów bazy. 2.3 Postulat II Każdej wielkości fizycznej Ω przyporządkowany jest pewien operator hermitowski Ω określony w przestrzeni Hilberta H wektorów stanu ψ(t) (lub w przestrzeni F funkcji falowych ψ(q, t)). Ω Ω (31) Przypomnienie Definicja operatora sprzężonego po hermitowsku Ω ϕ ψ = ϕ Ωψ (32) 6

Definicja operatora hermitowskiego Ω = Ω (33) Zgodnie z definicją (32) elementy macierzowe operatora hermitowskego posiadają własność ϕ Ω ψ = ψ Ω ϕ. (34) Jeżeli ϕ = ψ, to z własności (34) wynika, że wartości oczekiwane operatora hermitowskiego są rzeczywiste ψ Ω ψ = ψ Ω ψ. (35) Przyporządkowania wielkościom fizycznym operatorów dokonujemy za pomocą reguł kwantowania. Przykłady reguł kwantowania wielkość fizyczna operator x = współrzędna x-owa cząstki ˆx = x r = (x, y, z) = wektor położenia cząstki ˆ r = (ˆx, ŷ, ẑ) = (x, y, z) p x = składowa x-owa pędu cząstki p = (p x, p y, p z ) = wektor pędu cząstki ˆp x = i x ˆ p = (ˆpx, ˆp y, ˆp z ) = i E total = H = energia całkowita cząstki operator Hamiltona (funkcja Hamiltona) (hamiltonian) H = T + U Ĥ = 2 2m 2 + Û(r) 2.4 Postulat III Postulat III(A) Pomiar w stanie własnym Jeżeli układ fizyczny znajduje się w stanie kwantowym α będącym stanem własnym operatora Ω, to jedynym możliwym wynikiem pomiaru wielkości fizycznej Ω jest jedna z wartości własnych operatora Ω. Postulat III(A) jest słuszny dla układu fizycznego znajdującego się w stanie własnym operatora Ω. Spełnione jest wtedy równanie własne Ω α = ω α α (36) Ω = operator hermitowski odpowiadający wielkości fizycznej Ω α = wektor własny operatora Ω, przy czym α H ω α = wartość własna operatora Ω (liczba rzeczywista, którą wyznaczamy jako wynik pomiaru) Uwaga 7

Mierząc wielkość fizyczną Ω w stanie własnym operatora Ω zawsze otrzymamy jako wynik pomiaru dokładnie określoną wartość własną ω α. = Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej ω α jest równe 1. Wnioski z postulatu III(A) Wektory własne α tworzą bazę ortonormalną zupełną w przestrzeni Hilberta H wektorów stanu rozważanego układu fizycznego. α β = δ αβ ortonormalność (37) α α = 1 zupełność (38) α Jeżeli ψ jest dowolnym wektorem stanu należącym do przestrzeni Hilberta H, to wektor ten można rozwinąć w bazie stanów własnych { α } w sposób następujący: ψ = 1 ψ = α α ψ = c αψ α, (39) α α gdzie współczynnik rozwinięcia c αψ = α ψ można interpretować jako amplitudę prawdopodobieństwa wystąpienia stanu bazy α w rozwinięciu dowolnego stanu ψ. Zatem c αψ 2 wyznacza prawdopodobieństwo wystąpienia stanu własnego operatora ˆΩ w rozważanym stanie kwantowym ψ (który na ogół nie jest stanem własnym operatora ˆΩ. Postulat III (B) Pomiar w dowolnym stanie kwantowym Jeżeli układ fizyczny znajduje się w stanie kwantowym ψ, niekoniecznie będącym stanem własnym operatora Ω, to w wyniku serii M pomiarów wielkości Ω otrzymamy wartość oczekiwaną Ω operatora Ω. Wartość oczekiwana operatora Ω w stanie kwantowym ψ zdefiniowana jest jako Ω = ψ Ω ψ (40) W reprezentacji położeniowej Ω = dqψ (q, t) Ωψ(q, t) (41) przy czym całkowanie biegnie po całej dostępnej przestrzeni współrzędnych uogólnionych q. Definicja pomiarowa wartości oczekiwanej 8

Wartość oczekiwaną (średnią) wielkości Ω dla serii M pomiarów obliczamy jako Ω def 1 K = lim n α ω α, (42) M M gdzie n α = krotność otrzymania w serii M pomiarów wartości własnej ω α, K = liczba wszystkich wartości własnych ω α (na ogół K = ), ω α = wartość własna operatora Ω w stanie α. K M = α=1 Wnioski Jeżeli układ fizyczny znajduje się w stanie kwantowym ψ, nie będącym stanem własnym operatora ˆΩ, to amplituda prawdopodobieństwa otrzymania w wyniku pomiaru wielkości fizycznej ˆΩ wartości własnej ω α wynosi α=1 n α c αψ = α ψ (43) Jeżeli ψ = ψ α jest stanem własnym operatora Ω, to spełnione jest równanie własne Ω ψ α = ω α ψ α. Wtedy wartość oczekiwana wielkości fizycznej Ω jest równa wartości własnej Ω = ω ψ α ψ α = ω α = wynikiem pomiaru wielkości Ω jest jedna z wartości własnych ω α Zatem wracamy do postulatu III (A). Postulat III (C) Ogólne sformułowanie Postulat III opisuje związek pomiędzy teorią kwantową a pomiarami kwantowymi. Jest to bardzo ważny postulat mechaniki kwantowej, a jego dobre zrozumienie jest konieczne dla studiowania podstaw teoretycznych i eksperymentalnych obliczeń kwantowych. Warto go zatem sformułować w inny, nieco ogólniejszy sposób. Postulat III (C) Pomiary kwantowe opisane są za pomocą zbioru { M m } operatorów pomiaru. Operatory M m działają na wektory stanu ψ układu kwantowego poddanego pomiarom. Wskaźnik m oznacza wynik pomiaru, który możemy 9

otrzymać w eksperymencie. Jeżeli układ kwantowy jest w stanie ψ bezpośrednio przed wykonaniem pomiaru, to prawdopodobieństwo otrzymania wyniki m wynosi p(m) = ψ M m M m ψ, (44) a stan układu bezpośrednio po wykonaniu pomiaru dany jest wzorem M m ψ ψ after = ψ M m M. (45) m ψ 1/2 Uwaga W obecnych rozważaniach wynik pomiaru m ma ogólniejsze znaczenie niż w sformułowaniach III(A,B). Obecnie otrzymanie wyniku m może oznaczać uzyskanie informacji o tym, że dwustanowy układ fizyczny znajduje się w jednym ze stanów bazy 0 lub 1, którym przypisujemy odpowiednio wyniki pomiaru 0 lub 1. Operatory pomiarowe spełniają relację zupełności M m M m = 1. (46) m Relacja zupełności jest równoważna własności sumowania się prawdopodobieństw do jedynki ψ M M m m ψ = p(m) = 1. (47) m m Prosty, lecz ważny przykład pomiaru: Pomiar kubitu w bazie obliczeniowej Dokonujemy pomiarów na pojedynczym kubicie ψ = a 0 0 + a 1 1. (48) Pomiary te zdefiniowane są za pomocą dwóch operatorów pomiarowych M 0 = 0 0 i M 1 = 1 1. Każdy z tych operatorów jest hermitowski, a ponadto Spełniona jest zatem relacja zupełności M 2 0 = M 0, M 2 1 = M 1. Î = M 0 M 0 + M 1 M 1 = M 0 + M 1. (49) Jeżeli wykonamy pomiar nad układem kwantowym w stanie (48), to otrzymamy stan bazy 0, czyli wynik 0, z prawdopodobieństwem p(0) = ψ M 0 M 0 ψ = ψ M 2 0 ψ = ψ M 0 ψ = a 0 2. (50) Podobnie, prawdopodobieństwo otrzymania wyniku 1 wynosi p(1) = a 1 2. W obu tych przypadkach stan układu bezpośrednio po wykonaniu pomiaru obliczamy zgodnie z (45) jako ψ 0 after = M 0 ψ a 0 10 = a 0 0, (51) a 0

ψafter 1 = M 1 ψ = a 1 1. (52) a 1 a 1 Zgodnie z własnością dowolności fazy globalnej pomnożenie stanu przez czynniki a j / a j, (j = 0, 1), które posiadają moduł równy 1, nie zmienia własności fizycznych tego stanu, a zatem czynniki te można zignorować, co oznacza, że efektywnie w wyniku pomiaru otrzymamy stany bazy obliczeniowej 0 lub 1. Pomiary rzutowe Definicja pomiaru rzutowego Pomiar rzutowy opisany jest za pomocą operatora pomiaru M o rozkładzie spektralnym M = m P m, (53) m przy czym P m = m m (54) jest operatorem rzutowym (projektorem) na stan własny operatora M do wartości własnej m, gdzie M m = m m. (55) Jeżeli wykonamy pomiar układu kwantowego w stanie ψ, to otrzymamy wynik m z prawdopodobieństwem p(m) = ψ P m ψ. (56) Bezpośrednio po wykonaniu pomiaru układ kwantowy znajdzie się w stanie ψ after = P m ψ p(m), (57) Pomiary rzutowe są szczególnym, lecz ważnym, przypadkiem ogólnego postulatu III(C). W celu wykazania tej własności załóżmy, że operatory pomiarowe M m są projektorami ortogonalnymi, tzn. są hermitowskie i spełniają warunki ortogonalności M m M m = δ mm Mm. (58) Przy tych założeniach Postulat III(C) redukuje się do pomiaru rzutowego. Za pomocą operatorów rzutowych można bardzo łatwo obliczać wartości oczekiwane. 11

W poniższych obliczeniach startujemy z definicji pomiarowej wartości oczekiwanej, a kończymy je kwantowym przepisem na jej obliczenie. M = m mp(m) (59) = m ψ P m ψ (60) m ( ) = ψ m P m ψ (61) m = ψ M ψ. (62) Dowolny operator Ω o wartościach własnych ω m posiada następujący rozkład spektralny wyrażony za pomocą operatorów rzutowych Ω = m ω m m m, (63) przy czym spełnione są równania własne Ω m = ω m m. Np. rozkład spektralny hamiltonianu Ĥ = E E E E, (64) gdzie Ĥ E = E E, a E jest stanem własnym do wartości własnej energii E. 2.5 Postulat IV Postulat IV jest kwantowym równaniem ruchu. Jest on kwantowym odpowiednikiem równań ruchu mechaniki klasycznej, np. II zasady dynamiki Newtona. Ewolucja w czasie stanu układu kwantowego opisana jest zależnym od czasu równaniem Schrődingera i ψ(t) t = Ĥ ψ(t), (65) gdzie Ĥ jest hamiltonianem układu. Jeżeli znamy stan układu w chwili t = t 1, to możemy jednoznacznie określić stan układu w chwili t = t 2 jako [ ] ψ(t 2 ) = exp iĥ(t 2 t 1 ) ψ(t 1 ). (66) 12

Wzór (66) podaje rozwiązanie równania Schrődingera (65) w postaci operatorowej. Definiujemy operator ewolucji w czasie jako Û(t 1, t 2 ) = exp [ iĥ(t 2 t 1 ) ], (67) Rozwiązanie równania Schrődingera (65) można wyrazić za pomocą operatora ewolucji w czasie ψ(t 2 ) = Û(t 1, t 2 ) ψ(t 1 ). (68) Operator ewolucji w czasie jest operatorem unitarnym, tzn. Û = Û 1. (69) Stany stacjonarne Jeżeli hamiltonian układu nie zależy od czasu, to ewolucja czasowa stanu dana jest wzorem ψ(t) = exp[ i E (t t 0)] ψ(t 0 ), (70) gdzie ψ(t 0 ) jest stanem układu w chwili początkowej t 0. Wzór (70) definiuje stan stacjonarny układu. Stan stacjonarny (70) zapisany za pomocą funkcji falowej ma postać ψ(q, t) = exp[ i E (t t 0)]ψ(q, t 0 ), (71) gdzie q oznacza zbiór współrzędnych określających położenia cząstek układu kwantowego. 3 Przykład: spin elektronu Rozważymy stany kwantowe cząstki o spinie 1/2, np. elektronu. Operator spinu 1/2 ma postać gdzie s = 2 σ (72) σ = σ x e x + σ y e y + σ z e z, (73) przy czym σ x,y,z σ i,j,k są macierzami Pauliego ( ) ( ) ( 0 1 0 i 1 0 σ x =, σ 1 0 y =, σ i 0 z = 0 1 ). (74) 13

Operatory (74) nie komutują z sobą [σ i, σ j ] 0 dla i j, (75) natomiast komutują z operatorem σ 2, czyli zachodzi relacja komutacji [σ i, σ 2 ] = 0. (76) Oznacza to, że dwie różne składowe spinu nie są jednocześnie mierzalne, natomiast każda ze składowych spinu jest współmierzalna z kwadratem spinu. Operator z-owej składowej spinu s z = 2 σ z = ( ) 1 0 (77) 2 0 1 jest diagonalny, a zatem jego wartościami własnymi są: + /2 i /2. Stany własne operatora s z mają postać spinorów ( ) ( ) 1 0 0 =, 1 =. (78) 0 1 Stan 0 odpowiada wartości własnej + /2, a stan własny 1 odpowiada wartości własnej /2. Wartość własną operatora s 2 = ( /2) 2 σ 2 obliczamy korzystając z własności macierzy Pauliego σ 2 x = σ 2 y = σ 2 z = Î. (79) Stąd wartość własna operatora kwadratu spinu wynosi 3 2 /4. Dowolny stan spinowy (kubit spinowy) ma postać ψ = a 0 0 + a 1 1, (80) przy czym a 0 2 + a 1 2 = 1. Amplitudy a 0 i a 1 podają prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie 0 lub 1 : p 0 = a 0 2, p 1 = a 1 2. (81) Stan (80) nie jest stanem własnym operatora σ z. Obliczmy wartość oczekiwaną tego operatora w stanie (80), czyli ( ) ( σ z = a 0 2 + a 1 2 ). (82) 2 2 Wg. (82) dokonując pomiaru z-owej składowej spinu w stanie ψ otrzymamy wynik + /2 z prawdopodobieństwem p 0 = a 0 2 lub wynik /2 z prawdopodobieństwem p 1 = a 1 2. Operatory rzutowe na stany własne 0 i 1 mają postać ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 P z+ = 1 0 = (83) 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 P z = 0 1 = (84) 1 0 1 14