Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14
Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y 1 + + x n y n = n i=1 x iy i R. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 2 / 14
Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y 1 + + x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = 1 2 + 0 1 + ( 1) 3 + 2 0 = 2 3 = 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 2 / 14
Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y 1 + + x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = 1 2 + 0 1 + ( 1) 3 + 2 0 = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 2 / 14
Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y 1 + + x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = 1 2 + 0 1 + ( 1) 3 + 2 0 = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 2 / 14
Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y 1 + + x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = 1 2 + 0 1 + ( 1) 3 + 2 0 = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) (iii) v w = w v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 2 / 14
Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y 1 + + x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = 1 2 + 0 1 + ( 1) 3 + 2 0 = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) (iii) v w = w v (iv) v v > 0 dla v 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 2 / 14
Definicja Długościa wektora v = (x 1,..., x n ) R n nazywamy liczbę v = v v = x1 2 + + x n 2. uwaga Długość wektora jest liczba nieujemna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 3 / 14
Definicja Długościa wektora v = (x 1,..., x n ) R n nazywamy liczbę v = v v = x1 2 + + x n 2. uwaga Długość wektora jest liczba nieujemna. Przykład Niech v = (3, 1, 2) R 3. Wtedy v = 3 2 + 1 2 + ( 2) 2 = 9 + 1 + 4 = 14. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 3 / 14
Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 4 / 14
Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 4 / 14
Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 4 / 14
Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Definicja Mówimy, że wektory v, w R n sa prostopadłe jeśli v w = 0. Będziemy wówczas pisać v w. Przykład v = (3, 2, 1), w = (7, 6, 9), w = (1, 6, 6). Mamy v w = (3 7 + 2 ( 6) + 1 ( 9) = 21 12 9 = 0 zatem v w, natomiast v w = 3 + 6 6 = 3 0 czyli v i w nie sa prostopadłe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 4 / 14
Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Definicja Mówimy, że wektory v, w R n sa prostopadłe jeśli v w = 0. Będziemy wówczas pisać v w. Przykład v = (3, 2, 1), w = (7, 6, 9), w = (1, 6, 6). Mamy v w = (3 7 + 2 ( 6) + 1 ( 9) = 21 12 9 = 0 zatem v w, natomiast v w = 3 + 6 6 = 3 0 czyli v i w nie sa prostopadłe. Twierdzenie (Pitagorasa) Jeśli wektory v, w R n sa prostopadłe to v + w 2 = v 2 + w 2. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 4 / 14
Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 5 / 14
Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 5 / 14
Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 5 / 14
Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). b) Jeśli V jest podprzestrzenia R n, to (V ) = V. Dla dowolnego podzbioru A R n zachodzi (A ) = lin A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 5 / 14
Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). b) Jeśli V jest podprzestrzenia R n, to (V ) = V. Dla dowolnego podzbioru A R n zachodzi (A ) = lin A c) Jeśli V = {(x 1,..., x n ) R n a 1 x 1 + + a n x n = 0} to V = lin((a 1,..., a n )) (równoważnie: (lin((a 1,..., a n ))) = V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 5 / 14
Przykład a) Niech podprzestrzeń V R 2, opisana będzie przez 2x 1 + 5x 2 = 0, czyli V = lin((5, 2)). Mamy: V = lin((2, 5)) Ogólniej, jeśli przestrzeń V R n opisana jest układem równań a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0 liniowych jednorodnych....... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 V = lin((a 11,..., a 1n ),..., (a m1,..., a mn )). Przykład Niech { V R 4 będzie opisana układem 2x1 + 3x U : 2 +5x 3 + 2x 4 = 0 3x 1 + x 2 +6x 3 + 2x 4 = 0 Wtedy V = lin((2, 3, 5, 2), (3, 1, 6, 2)) to Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 6 / 14
Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa, zaś A = {v 1,..., v k } baza V. Powiemy, że A jest ortogonalna (= prostopadła ) jeśli v i v j dla i j, i, j = 1,..., k. Mówimy, że A jest ortonormalna (= ortogonalna i unormowana)jeśli jest ortogonalna i każdy wektor z A ma długość 1. Przykład 1. Baza standardowa jest baza ortonormalna przestrzeni R n 2. baza ( 1/3, 2/3, 2/3), (2/3, 1/3, 2/3), (2/3, 2/3, 1/3) jest baza ortonormalna przestrzeni R 3. 3. Baza (1, 2, 3), (2, 1, 0), (0, 0, 5) nie jest baza ortogonalna. Przykład 4. Niech V R 3, V : 2x 1 + x 2 x 3 = 0. Układ (1, 1, 3), (4, 7, 1) jest baza ortogonalna V. Układ 1 (1, 1, 3), 1 11 66 (4, 7, 1) jest baza ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 7 / 14
Uwaga: Jeśli układ v 1,..., v k wektorów R n składa się z wektorów niezerowych parami prostopadłych, tzn. v i 0 dla i = 1,..., k, v i v j dla i j, to jest on liniowo niezależny i stanowi bazę ortogonalna lin(v 1,..., v k ). Mówimy również, że układ wektorów v 1, v 2,..., v k jest ortogonalny, jeśli spełnia v i v j dla i j. Twierdzenie Jeśli A = (v 1,..., v k ) jest baza ortonormalna przestrzeni V R n, to wówczas współrzędne dowolnego wektora v V w bazie A wynosza kolejno v v 1, v v 2,..., v v k. Dowód: Niech v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α k v k. Wtedy v v i = (α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α k v k ) v i = α 1 v 1 v i + α 2 v 2 v i + + α k v k v i = α i v i v i = α i. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 8 / 14
Twierdzenie Każda podprzestrzeń V R n ma bazę ortonormalna Przykład Niech V R 3, V : x 1 + x 2 x 3 = 0. Znajdujemy najpierw bazę ortogonalna w V. Metoda: indukcyjnie dobieramy wektory prostopadłe do już wybranych.weźmy np. v 1 = (1, 0, 1) V. Szukamy takiego niezerowego { wektora v 2 = (x 1, x { 2, x 3 ) V, że v 2 v 1. x1 +x Tzn. 3 = 0 x 1 +x 2 x 3 = 0 x1 +x 3 = 0 x 2 2x 3 = 0 { x1 = x 3. Np. v x 2 = 2x 2 = ( 1, 2, 1). Wiemy, że dimv = 2, zatem v 1, v 2 3 tworza bazę ortogonalna V. Wystarczy ja unormować: v 1 = 1 v 1 v 1 = 1 (1, 0, 1), v 2 2 = 1 v 2 v 2 = 1 6 ( 1, 2, 1) tworza bazę ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 9 / 14
Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 10 / 14
Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Uwaga Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia, mamy u = P V (w) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 10 / 14
Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Uwaga Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia, mamy u = P V (w) Definicja Endomorfizm S V : R n R n zdefiniowany przez S V (w) = P V (w) P V (w) = 2P V (w) w nazywamy symetria prostopadła względem V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 10 / 14
Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 11 / 14
Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 11 / 14
Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 11 / 14
Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) c) Jeśli {v 1,..., v k } jest baza ortogonalna V, to zachodzi P V (w) = w v 1 v 1 v 1 v 1 + + w v k v k v k v k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 11 / 14
Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) c) Jeśli {v 1,..., v k } jest baza ortogonalna V, to zachodzi P V (w) = w v 1 v 1 v 1 v 1 + + w v k v k v k v k d) Jeśli wektory v 1,... v k tworza bazę ortonormalna V to P V (w) = (w v 1 )v 1 + + (w v k )v k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 11 / 14
Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 12 / 14
Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 12 / 14
Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 12 / 14
Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 12 / 14
Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V e) Jeśli v 1,... v k jest baza ortogonalna V to P V = P v1 + + P vk, gdzie oznaczyliśmy P v = P lin(v), dla v R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 12 / 14
Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V e) Jeśli v 1,... v k jest baza ortogonalna V to P V = P v1 + + P vk, gdzie oznaczyliśmy P v = P lin(v), dla v R n Przykład Czasami używamy c) w następujacy sposób: Niech V = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 + x 2 + x 3 2x 4 = 0} R 4, niech w = (1, 2, 3, 4). Obliczyć P v (w). Zamiast liczyć rzut z definicji możemy skorzystać z tego, że V = lin((1, 1, 1, 2)). Zatem P V (w) = w P V (w) = w w (1,1,1, 2) (1, 1, 1, 2) = 1 2 +1 2 +1 2 +( 2) 2 (1, 2, 3, 4) 1 1+2 1+3 1+4 ( 2) 7 (1, 1, 1, 2) = (1 2 7, 2 2 7, 3 2 7, 3 3 7 ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 12 / 14
Ortogonalizacja Grama-Schmidta Twierdzenie Niech wektory v 1,..., v k tworza bazę podprzestrzeni V R n. Zdefiniujmy indukcyjnie wektory w 1,..., w k oraz przestrzenie W 1,..., W k następujaco (i) w 1 = v 1, W 1 = lin(w 1 ), (ii)jeśli w i 1 oraz W i 1 sa już zdefiniowane, to w i = v i P Wi 1 (v i ), W i = lin(w 1,..., w i ) dla i = 2,..., k. Wówczas wektory w 1,..., w i tworza bazę ortogonalna W i, W i = lin(v 1,..., v i ), dla i = 1,..., k oraz W k = V, czyli wektory w 1,..., w k tworza bazę ortogonalna V. Po zastapieniu każdego z wektorów w i przez jego unormowanie u i = w i w i otrzymujemy odpowiednie bazy ortonormalne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 13 / 14
Przykład Niech v 1 = (1, 0, 0, 1, 0), v 2 = (0, 0, 0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 0, 0, 1) R 5. Definiujemy w 1 = v 1, W 1 = lin(w 1 ),następnie w 2 = v 2 P W1 (v 2 ) = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 = (0, 0, 0, 1, 1) 1 2 (1, 0, 0, 1, 0) = ( 1/2, 0, 0, 1/2, 1), oraz W 2 = lin(w 1, w 2 ) = lin(v 1, v 2 ).W końcu w 3 = v 3 P W2 (v 3 ) = v 3 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 2 v 3 w 2 w 2 w 2 = (1, 0, 0, 0, 1) 1 1/2 2 (1, 0, 0, 1, 0) 3/2 ( 1/2, 0, 0, 1/2, 1) = (2/3, 0, 0, 2/3, 2/3). Wektory w 1, w 2, w 3 tworza bazę ortogonalna V = lin(v 1, v 2, v 3 ). Zastapiwszy je przez ich unormowania, czyli 1 w 1 w 1 = 2 2 w 1 1, w 2 w 2 = 2 1 3 w 2, w 3 w 3 = 3 2 w 3 otrzymamy bazę ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 14 / 14