Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów wynosi odpowiednio 50, 150 i 300 m. Farmy A, B i C mogą dostarczyć odpowiednio 100, 00 i 00 m. Koszt przewiezienia 1 m z farmy A do zakładów U, V i W wynosi odpowiednio $4, $ i $8. Podobnie koszt przewozu z farmy B i C do zakładów U, V i W wynosi $5, $1 i $9 oraz $7, $6 i $3. Należy ustalić schemat przewozów minimalizujący koszty. Do rozwiązania problemu posłużymy się następująca tabelka: By znaleźć początkowe rozwiązanie dopuszczalne stosujemy metodę rogu północno-zachodniego, tj. rozpoczynając od lewego górnego rogu i poruszając się w prawo i w dół (aż do wyczerpania limitu dla kolumny lub wiersza) lokujemy maksymalną możliwą ilość środków. Metoda minimalnego kosztu Alternatywnym sposobem wyznaczenia początkowej tabelki jest metoda minimalnego kosztu. Zaczynamy od wybrania pola o minimalnym koszcie, przypisujemy mu maksymalną możliwą ilość środków, aktualizujemy dane dotyczące możliwości dostaw i zapotrzebowań oraz wykreślamy kolumnę lub wiersz, w którym możliwości/zapotrzebowanie spadły do zera. Następnie obliczenia powtarzamy ograniczając się do niewykreślonych pól. 1
Test na optymalność Metoda "z kamienia na kamień" W wybranym wolnym polu, stawiamy znak plus na oznaczenie intencji przypisania tej trasie powiększonego transportu. By zachować warunki zadania, musimy zmniejszyć wartości pól o niezerowym transporcie w tym samym rzędzie lub kolumnie. W wybranym polu stawiamy znak minus. Kontynuujemy takie postępowanie (stawiając na przemian znaki plus i minus), aż ścieżka się zamknie w polu wyjściowym. Dokonujemy bilansu: od sumy kosztów pól, którym przypisaliśmy plus, odejmujemy sumę kosztów pól, którym przypisaliśmy minus. Jeśli wynik byłby dodatni dla wszystkich możliwych ścieżek, rozwiązanie jest optymalne. Rozważmy np. ścieżkę dla pola B-U. Bilans ścieżki wynosi: +5-4+-1=>0. Tak wiec realokacja pól wzdłuż tej ścieżki powiększa koszt. Metoda zmodyfikowanej dystrybucji Wyznaczamy tzw. liczby indeksowe: dla rzędów r i i dla kolumn k j tak, by dla każdej obsadzonej komórki o współrzędnych (i,j) spełnione było równanie r i k j ci, j (1) gdzie c i, j oznacza koszt przypisany polu. By znaleźć liczby r i i k przyjmujemy r 0, z równania (1) wyznaczamy pozostałe liczby indeksowe. j 1 Dla każdej nieobsadzonej komórki wyznaczamy jej potencjał ze wzoru: e i, j ci, j ri k j () Rozwiązanie jest optymalne jeśli wszystkie otrzymane potencjały z wolnych pól potencjał jest ujemny, rozwiązanie można poprawić. e i, j są nieujemne. Jeśli dla któregoś
Dla rozwiązania problemu firmy X otrzymanego metoda rogu pn.-zach. otrzymujemy następującą tabelkę, w której liczby indeksowe dla wierszy wpisano po lewej stronę tabelki, a dla kolumn ponad tabelka. Potencjał wolnych pól wpisano pogrubiana kursywa. Poprawa rozwiązania Jeśli po wyznaczeniu potencjałów wolnych pól okaże się, ze któryś jest ujemny, rozwiązanie można poprawić. Robimy to następująco: Wyznaczamy wolne pole o największym co do wartości bezwzględnej ujemnym potencjale. Konstruujemy ścieżkę dla tego pola metoda "z kamienia na kamień". Spośród pól na ścieżce, którym przypisaliśmy znak minus wybieramy najmniejszą ulokowaną tam wartość. O tę wartość, w zależności od znaku plus lub minus zwiększamy lub zmniejszamy alokacje pól na ścieżce. Rozwiązanie początkowe problemu firmy X otrzymane metoda rogu pn.zach. można poprawić bo pole A-W ma potencjał ujemny. Ścieżkę dla tego pola przedstawiono w tabeli poniżej. Następna tabela powstała poprzez zmodyfikowanie wartości wzdłuż ścieżki. Wyliczono też nowe potencjały. Z wyliczeń wynika, że tabelka ta przedstawia rozwiązanie optymalne. 3
Niejednoznaczność rozwiązania Jeśli wśród potencjałów wolnych pól rozwiązania optymalnego pojawi się zero, rozwiązanie optymalne nie jest jednoznaczne. Alternatywne rozwiązanie może być wyznaczone poprzez wprowadzenie do aktualnego rozwiązania pola z potencjałem zero. W otrzymanym rozwiązaniu optymalnym dla problemu firmy X potencjał zero pojawia się w polu B-U. Poniżej przedstawiono ścieżkę dla tego pola i alternatywne rozwiązanie optymalne. 4
Rozwiązania zdegenerowane Rozwiązanie jest zdegenerowane, jeżeli ilość wykorzystanych pól zwiększona o jeden jest mniejsza niż suma ilości rzędów i kolumn. W rozwiązaniu zdegenerowanym pojawiają się problemy z wyznaczeniem niektórych ścieżek oraz wyznaczeniem liczb indeksowych dla kolumn i wierszy. Problem ten można ominąć w następujący sposób: w wybranym wolnym polu (metodą prób i błędów), alokujemy bardzo małą wartość, oznaczoną symbolicznie przez, którą w obliczeniach traktujemy jako zero. Alternatywne rozwiązanie dla problemu firmy X jest zdegenerowane. By wrócić do wyjściowego rozwiązania alokujemy w polu A-U. Niedopuszczalne drogi Przypuśćmy, ze w problemie firmy X z powodu powodzi zablokowana jest możliwość dostarczania trawnika z farmy A do zakładu W. By zamodelować taką sytuację wystarczy przypisać określonemu połączeniu bardzo wysoki koszt, np. 10-cio krotnie wyższy od najwyższego rzeczywistego kosztu: 5
Niezrównoważona podaż z popytem. Przypuśćmy, ze farma C z powodu awarii jest w stanie dostarczyć jedynie 10 m trawnika. W efekcie podaż nie równoważy się z popytem. By rozwiązać taki problem wprowadzamy dodatkowego -fikcyjnego dostawcę, gotowego dostarczyć brakujące 80 m. Koszty ustalamy jako zerowe. Rozwiązanie optymalne tak przeformułowanego problemu pokazuje tabelka poniżej. Wielkość 80 w rzędzie fikcyjnego dostawcy oznacza, że dla zminimalizowania kosztów najlepiej będzie gdy to zakład W będzie czekał do czasu usunięcia awarii. Problem, w którym podaż przewyższa popyt rozwiązujemy podobnie, zamiast fikcyjnego dostawcy wprowadzając fikcyjnego odbiorcę. 6
Problem rozdziału zadań Dyrektor pewnej firmy przygotował tabelkę określającą koszt wykonania czterech zadań A, B, C, D przez czterech podwykonawców 1,, 3 i 4. Ponieważ podwykonawcy różnie wyceniają wykonanie przez siebie poszczególnych zadań, a każdy z nich może podjąć się wykonania tylko jednego zadania, powstaje problem jak przypisać zadania poszczególnym podwykonawcom, tak by koszt całkowity był możliwie najmniejszy. Rozwiązać zadanie wg poniższego algorytmu. Zaproponować równoważny model liniowy. Algorytm przydziału zadań Wymagania jakie musi spełniać problem przydziału: elementy dwóch zbiorów należy skojarzyć na zasadzie jeden z jednym. celem jest minimalizacja kosztu, czasu, odległości itp. Koszty skojarzeń każdej pary są znane. Algorytm 1. Wykonujemy redukcje rzędów odejmując najmniejszy koszt w każdym rzędzie od wszystkich elementów w tym rzędzie. 7
. Wykonujemy redukcje kolumn odejmując najmniejszy koszt w każdej kolumnie od wszystkich elementów w tej kolumnie. 3. Sprawdzamy czy optymalny rozdział jest już możliwy - licząc ile potrzeba rzędów i kolumn by pokryć wszystkie zerowe koszty. Jeśli potrzeba ich tyle ile jest wszystkich rzędów, idziemy do kroku 5. 4. Wyznaczamy najmniejszy niepokryty koszt i odejmujemy go od wszystkich niepokrytych kosztów oraz dodajemy do podwójnie pokrytych kosztów, a następnie powtarzamy krok 3. 5. Wybieramy kolumnę lub rząd z jedynym zerem. Kojarzymy ze sobą rząd i kolumnę, w którym to zero się znajduje i wykreślamy je z tabelki. Kontynuujemy kojarzenie rzędów i kolumn poprzez wybór pojedynczych zer w rzędzie lub kolumnie aż do zakończenia przydziału.... 8
Przypadki szczególne: Liczba rzędów rożna od liczby kolumn. Jeśli liczba podwykonawców jest różna od liczby zadań, dodajemy stosowna ilość fikcyjnych zadań lub podwykonawców z zerowymi kosztami i postępujemy tak jak poprzednio. Przy nadmiarze podwykonawców, przydzielenie fikcyjnego zadania oznacza rezygnacje z usług tego wykonawcy. Przy nadmiarze zadań przydzielenie fikcyjnego podwykonawcy oznacza, ze zadanie to będzie musiało być wykonane później. Maksymalizacja. W pewnych przypadkach kojarzenie zadań służy maksymalizacji zysku, a nie minimalizacji kosztów. W takim przypadku odejmujemy wartości w każdej kolumnie od maksimum w tej kolumnie. Otrzymana nowa tabelka zawiera teraz koszty niewykorzystania poszczególnych skojarzeń i możemy kontynuować jak w przypadku minimalizacji. Niepożądane skojarzenia. Czasami pewne skojarzenia są niepożądane. Wystarczy przypisać im nieskończony koszt. Niejednoznaczność. Jeśli w przy dokonywaniu rozdziału w końcowej tabelce w pewnym momencie nie ma już wiersza lub kolumny z jedynym zerem, oznacza to, ze optymalne rozwiązanie jest niejednoznaczne. Możemy wtedy dowolnie wybrać do przekształceń "kolejne zero". 9
Przykłady (zagadnienia transportowe) 10