MNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny)

Transkrypt

1 MNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny) SPOSÓB 1 (z rozszerzeniem mnożnika): Algorytm jak zwykle jest prosty: lewostronne rozszerzenie mnożnej o kilka cyfr (na pewno wystarczy gdy rozszerzymy o ilość cyfr mnożnika), lewostronne rozszerzenie mnożnika o jedną cyfrę, wykonywanie normalnego mnożenia (jakby to był system naturalny ale z uwzględnieniem nieskończonego rozszerzenia największą bądź najmniejszą cyfrą w danym systemie) na wszystkich cyfrach mnożnika poza cyfrą rozszerzenia, jeśli cyfrą rozszerzenia jest -1 (największa cyfra w danym systemie) to powinniśmy dodać również uzupełnienie MNOŻNEJ przesunięte o ilość cyfr mnożnika (nie licząc cyfry rozszerzenia), jeśli jest 0, nic więcej nie robimy PRZYKŁAD 1.1: uzupełnienie mnożnej U10 mnożna U10 mnożnik dodajemy uzupełnienie U U U10 = U10 PRZYKŁAD 1.2: U U8 = U8 PRZYKŁAD 1.2: U U8 = U8 1

2 SPOSÓB 2 (bez rozszerzania mnożnika): Algorytm jak zwykle jest prosty: lewostronne rozszerzenie mnożnej o kilka cyfr (na pewno wystarczy gdy rozszerzymy o ilość cyfr mnożnika), wykonywanie normalnego mnożenia (jakby to był system naturalny ale z uwzględnieniem nieskończonego rozszerzenia największą bądź najmniejszą cyfrą w danym systemie) na wszystkich cyfrach poza ostatnią, dodajemy mnożną pomnożoną przez wartość (wartość może być ujemna bądź dodatnia, np w U10 wartość cyfry 7 to -3) ostatniej (najstarszej) cyfry mnożnika, przesunięte o jeden mniej niż ilość cyfr mnożnika PRZYKŁAD 2.1: uzupełnienie mnożnej U10 mnożna U10 mnożnik U10=-2 10 więc dodajemy -2*mnożną czyli 2*uzupełnienie mnożnej U U U10 = U10 PRZYKŁAD 2.2 (tu nic się nie zmienia!): U U8 = U8 PRZYKŁAD 2.3 (6 U8= -(8-6)= -2): U U8 = U8 2

3 MNOŻENIE W SYSTEMIE U U U2 = = = = = U2 SPOSÓB 1: skanujemy mnożnik od prawej strony aż do przedostatniej cyfry i jeśli cyfrą jest zero to dodajemy 0 (czyli w zasadzie nic nie dodajemy) a jeśli cyfrą jest 1 to dodajemy mnożną, każdą kolejną liczbę zapisujemy przesuniętą o jedną pozycję w lewo w stosunku do liczby poprzedniej (jak w normalnym mnożeniu), jeśli ostatnią cyfrą mnożnika jest 1 to zamiast dodawać na tym przesunięciu mnożną, dodajemy uzupełnienie (jeśli jest 0 to nic nie dodajemy), przed dodaniem liczb zapisujemy po lewej stronie ich rozszerzenie (jedynki dla liczb z 1 na najstarszym bicie i zera dla liczb z 0 na najstarszym bicie). UWAGA: Jeśli mnożna ma mniej bitów niż mnożnik a jest liczbą ujemną (jego najstarszym bitem jest 1), należy rozszerzyć go jedynkami z lewej strony aż do długości mnożnej. Ma to znaczenie ponieważ TYLKO najstarszy bit odpowiada za dodanie uzupełnienia zamiast mnożnej. Oto przykład (rozszerzenie zapisane jest na szarym tle, podkreśloną kursywą) uzupełnienie mnożnej mnożna mnożnik (0) mnożna razy 0 czyli 0 (1) mnożna przesunięta o 1 pozycję (1) mnożna przesunięta o 2 pozycje (0) mnożna razy 0 czyli 0, przesunięta o 3 pozycje (0) mnożna razy 0 czyli 0, przesunięta o 4 pozycje (0) mnożna razy 0 czyli 0, przesunięte o 5 pozycji (0) uzupełnienie mnożnej przesunięte o 6 pozycji (0) suma 3

4 SPOSÓB 2: Postępujemy podobnie jak w poprzednim przypadku: skanujemy mnożnik od prawej aż do przedostatniej cyfry, jeśli cyfrą jest 0 to dodajemy 0 (mające tyle cyfr co mnożna) z zanegowanym najstarszym bitem, jeśli 1 to dodajemy mnożną z zanegowanym najstarszym bitem, w mnożeniu przez ostatnią cyfrę dodajemy negację mnożnej z zanegowanym ostatnim bitem jeśli to cyfra 1, jeśli nie, to dodajemy zero z jedynka na najstarszym bicie jako ostatnią dodajemy korektę w postaci liczby składającej się z cyfry jeden na pozycji takiej jak najstarszy bit mnożnej i z cyfry 1 na pozycji o jeden dalszej niż cyfra zanegowana w po poprzednim mnożeniu, dzięki negacji pierwszych cyfr NIE UWZGLĘDNIAMY ROZSZERZENIA PRZY DODAWANIU uzupełnienie mnożnej mnożna mnożnik mnożna razy 0 czyli mnożna przesunięta o 1 pozycję mnożna przesunięta o 2 pozycje mnożna razy 0 czyli 0, przesunięta o 3 pozycje mnożna razy 0 czyli 0, przesunięta o 4 pozycje mnożna razy 0 czyli 0, przesunięta o 5 pozycji uzupełnienie mnożnej przesunięte o 6 pozycji (1) korekta przesunięta o ilość cyfr mnożnej-1 (0) suma Oto przykład (zanegowane najstarsze bity zostały pogrubione): 4

5 SPOSÓB 3.1: Z zamianą na SD algorytmem Booth'a Algorytm mnożenia z zamianą na SD: zamieniamy MNOŻNIK z systemu U2 na SD, zapisujemy sobie uzupełnienie mnożnej, zaczynamy od prawej strony liczby SD i skanujemy kolejne cyfry, jeśli cyfrą jest zero to dodajemy 0 (lub po prostu nic nie dodajemy), jeśli -1 to dodajemy uzupełnienie mnożnej a jeśli 1 to dodajemy mnożną, każdą kolejną dodawaną liczbę zapisujemy z przesunięciem o jeden większym niż poprzednią (jak w każdym mnożeniu). Algorytm zmiany liczby U2 na SD: zaczynamy od prawej strony i obliczamy kolejne cyfry po jednej, rozszerzamy liczbę dopisując cyfrę 0 po prawej stronie, żeby otrzymać cyfrę w kodzie SD na pozycji i, odejmujemy od cyfry w U2 na pozycji i-1, cyfrę na pozycji i, jeśli nie skończyliśmy, obliczamy kolejną cyfrę, Dodawane liczby są w systemie U2 więc przed ich dodaniem rozszerzamy je po lewej stronie. Przykład: x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 x -1 oznaczenia pozycji mnożnik w U uzupełniamy mnożnik cyfrą 0 z prawej strony x 5-x 6 x 4-x 5 x 3-x 4 x 2-x 3 x 1-x 2 x 0-x 1 x -1-x 0 wzory na otrzymanie kolejnych cyfr wartości podstawione do wzorów mnożnik w SD uzupełnienie mnożnej mnożna mnożnik mnożnik w systemie SD (0) mnożna razy 0 czyli 0 (0) uzupełnienie mnożnej przesunięte o 1 pozycję (0) mnożna razy 0 czyli 0, przesunięte o 2 pozycje (1) mnożna przesunięta o 3 pozycje (0) mnożna razy 0 czyli 0, przesunięte o 4 pozycje (0) mnożna razy 0 czyli 0, przesunięte o 5 pozycji (0) uzupełnienie mnożnej przesunięte o 6 pozycji (0) suma 5

6 SPOSÓB 3.2: Z zamianą na SD rozszerzonym algorytmem Booth'a (inaczej algorytmem Booth'a McSorleya) Zmiana liczby U2 na SD wg algorytmu Booth'a-McSorleya: cyfry obliczamy od prawej, po dwie w każdej iteracji, dzielimy liczbę na grupy dwucyfrowe, liczbę rozszerzamy o cyfrę 0 z prawej strony (zawsze), w razie potrzeby liczbę należy rozszerzyć również lewostronnie o cyfry wynikające z jej znaku (0 dla liczb dodatnich, 1 dla ujemnych, drugą cyfrę każdej grupy mnożymy przez -2 i dodajemy dwie cyfry stojące na prawo od niej (pierwszą cyfrę grupy i drugą cyfrę poprzedniej grupy), wynik zapisujemy w formie dwucyfrowej liczby SD i algorytm powtarzamy dla kolejnych grup. Oto przykład (przekodujemy liczbę ) x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 x -1 oznaczenia pozycji mnożnik w U uzupełniamy mnożnik cyframi rozszerzenia dzielimy liczbę na grupy dwucyfrowe -2x 7 +x 6 +x 5-2x 5 +x 4 +x 3-2x 3 +x 2 +x 1-2x 1 +x 0 +x -1 wzory na otrzymanie kolejnych cyfr -2*1+1+0= -1-2*0+0+0= 0-2*0+1+1= = -2 wartości podstawione do wzorów mnożnik w SD Przekodowywanie liczb z U2 na SD wg alternatywnego algorytmu Booth'a McSorleya: Algorytm jest bardzo podobny do poprzedniego ale tym razem rozszerzamy po prawej o dwa zera i dzielimy na grupy do dwie cyfry zaczynając od pierwszego zera rozszerzenia. Dalej robimy już to samo co w poprzedniej metodzie. Najlepiej widać to po porównaniu przykładu powyższego z poniższym. UWAGA! Ta interpretacja różni się od tej prof. Biernata. On jest oczywiście autorytetem więc radzę używać jego sposobu a nie tego. x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 x -1 x -2 oznaczenia pozycji mnożnik w U uzupełniamy mnożnik cyframi rozszerzenia dzielimy liczbę na grupy dwucyfrowe -2x 6 +x 5 +x 4-2x 4 +x 3 +x 2-2x 2 +x 1 +x 0-2x 0 +x -1 +x -2 wzory na otrzymanie kolejnych cyfr = -2-2*0+0+1= = -1-2*0+0+0=0 wartości podstawione do wzorów mnożnik w SD (interesują nas tylko cyfry od x o w lewo) UWAGA! Liczba w zapisie SD nie ma jednoznacznej postaci więc wyniki wyliczone różnymi algorytmami mogą się różnić co do zapisu (ale nie co do wartości). Algorytm Booth'a-McSorleya produkuje zawsze przynajmniej taką samą, a najczęściej większą, liczbę zer. Więcej zer to mniej liczenia :) Samo mnożenie wykonujemy tak samo jak w poprzednim przypadku. 6