Spis treści STATYKA 1. Si³y i ich w³asnoœci..................................................... 10 1.1. Dzia³ania na wektorach............................................ 10 1.2. W³asnoœci si³y.................................................... 13 1.3. Podzia³ si³....................................................... 14 1.4. Uk³ady si³ i ich podzia³............................................ 15 1.5. Wiêzy. Stopnie swobody cia³. Reakcje wiêzów........................ 18 1.6. Rzutowanie si³................................................... 22 2. P³aski uk³ad si³........................................................ 27 2.1. P³aski uk³ad si³ zbie nych.......................................... 27 2.2. Moment si³y wzglêdem punktu..................................... 32 2.3. Para si³.......................................................... 37 2.4. Dowolny p³aski uk³ad si³........................................... 40 2.5. Przypadki szczególne sk³adania dowolnego p³askiego uk³adu si³......... 44 2.6. Wyznaczanie reakcji belek......................................... 49 2.7. Zagadnienie trzech si³............................................. 54 2.8. Redukcja dowolnego uk³adu si³ do bieguna.......................... 55 2.9. Kratownice...................................................... 57 3. Przestrzenny uk³ad si³.................................................. 65 3.1. Przestrzenny prostok¹tny uk³ad wspó³rzêdnych........................ 65 3.2. Rzuty si³y na osie przestrzennego prostok¹tnego uk³adu wspó³rzêdnych.. 66 3.3. Analityczne sk³adanie przestrzennego uk³adu si³ zbie nych............. 67 3.4. Analityczne warunki równowagi przestrzennego uk³adu si³ zbie nych..... 68 3.5. Moment si³y wzglêdem osi......................................... 68 3.6. Analityczne warunki równowagi dowolnego przestrzennego uk³adu si³.... 69 3.7. Analityczne warunki równowagi przestrzennego uk³adu si³ równoleg³ych.. 70 3.8. Równowaga przestrzennego uk³adu par si³........................... 71 4. Tarcie................................................................ 72 4.1. Tarcie œlizgowe................................................... 72 4.2. Tarcie toczenia................................................... 79 5. Œrodek ciê koœci cia³a.................................................. 82 5.1. Pojêcie œrodka ciê koœci cia³a....................................... 82 5.2. Rodzaje równowagi............................................... 83 5.3. Wyznaczanie œrodka ciê koœci cia³ metod¹ momentów statycznych....... 84 5.4. Twierdzenia Guldina-Pappusa...................................... 86 5
WYTRZYMA OŒÆ MATERIA ÓW 6. Rozci¹ganie i œciskanie.................................................. 90 6.1. Odkszta³cenia wzd³u ne........................................... 90 6.2. Odkszta³cenia poprzeczne.......................................... 92 6.3. Rozk³ad naprê eñ w przekrojach prostopad³ych do osi................. 93 6.4. Laboratoryjna próba statyczna rozci¹gania i œciskania metali............ 98 6.5. Naprê enia dopuszczalne......................................... 105 6.6. Obliczanie elementów konstrukcyjnych na rozci¹ganie i œciskanie....... 107 6.7. Spiêtrzenie naprê eñ............................................. 108 6.8. Zarys wiadomoœci o stanach naprê enia (napiêcia).................. 109 6.9. Naprê enia w zbiornikach cienkoœciennych.......................... 117 6.10. Naprê enia cieplne (termiczne).................................... 120 6.11. Naprê enia stykowe (kontaktowe)................................. 122 7. Œcinanie i docisk powierzchniowy........................................ 127 7.1. Czyste œcinanie.................................................. 127 7.2. Œcinanie technologiczne.......................................... 129 7.3. Naprê enia dopuszczalne......................................... 130 7.4. Obliczenia wytrzyma³oœciowe na œcinanie. Nacisk powierzchniowy...... 130 8. Zginanie............................................................. 137 8.1. Moment zginaj¹cy i si³a tn¹ca..................................... 138 8.2. Analityczny sposób wyznaczania momentów zginaj¹cych i si³ tn¹cych.... 140 8.3. Odkszta³cenia i naprê enia podczas zginania........................ 147 8.4. Momenty statyczne i momenty bezw³adnoœci figur p³askich............ 154 8.5. WskaŸnik wytrzyma³oœci przekroju na zginanie....................... 163 8.6. Linia ugiêcia i strza³ka ugiêcia belki................................ 168 9. Skrêcanie............................................................ 170 9.1. Moment skrêcaj¹cy.............................................. 170 9.2. Naprê enia w przekrojach ko³owego prêta skrêcanego................ 174 9.3. Odkszta³cenia prêta skrêcanego.................................... 178 9.4. Obliczanie prêtów na skrêcanie.................................... 179 10. Wytrzyma³oœæ z³o ona................................................. 182 10.1. Rodzaje wytrzyma³oœci z³o onej.................................... 182 10.2. Zginanie ukoœne................................................. 182 10.3. Zginanie z jednoczesnym œciskaniem lub rozci¹ganiem................ 188 10.4. Œciskanie i rozci¹ganie nieosiowe (mimoœrodowe)................... 191 10.5. Rdzeñ przekroju................................................. 196 10.6. Zginanie z jednoczesnym skrêcaniem............................... 199 11. Wyboczenie........................................................... 203 11.1. Wyboczenie sprê yste............................................ 203 11.2. Wyboczenie niesprê yste.......................................... 207 11.3. Obliczanie prêtów œciskanych...................................... 208 12. Wytrzyma³oœæ zmêczeniowa............................................. 212 12.1. Wykresy naprê eñ............................................... 213 12.2. Wytrzyma³oœæ zmêczeniowa....................................... 216 12.3. Wykresy zmêczeniowe............................................ 219 12.4. Czynniki wp³ywaj¹ce na wytrzyma³oœæ zmêczeniow¹.................. 221 6
KINEMATYKA 13. Kinematyka punktu i cia³a sztywnego.................................... 225 13.1. Ruch prostoliniowy.............................................. 225 13.2. Ruch krzywoliniowy............................................. 231 13.3. Rodzaje ruchów punktu materialnego.............................. 234 13.4. Sk³adanie ruchów................................................ 237 13.5. Klasyfikacja ruchów cia³a sztywnego................................ 240 13.6. Mechanizmy p³askie............................................. 253 DYNAMIKA 14. Dynamika punktu i cia³a sztywnego...................................... 266 14.1. Zasady dynamiki................................................ 266 14.2. Si³a bezw³adnoœci. Zasada d Alemberta............................. 267 14.3. Praca mechaniczna............................................... 270 14.4. Energia mechaniczna............................................. 277 14.5. Energia kinetyczna punktu materialnego i cia³a sztywnego............. 278 14.6. Moc........................................................... 279 14.7. Sprawnoœæ...................................................... 280 14.8. Pêd i impuls si³y (popêd)........................................ 281 14.9. Zasada równowa noœci pracy i energii kinetycznej w ruchu postêpowym. 283 14.10. Zasada ruchu œrodka masy uk³adu mechanicznego................... 284 14.11. Uderzenie...................................................... 286 14.12. Uderzenie proste œrodkowe....................................... 288 14.13. Energia kinetyczna uderzenia..................................... 291 14.14. Masowy moment bezw³adnoœci.................................... 292 14.15. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym............................. 296 14.16. Dynamika ruchu obrotowego...................................... 298 14.17. Reakcje dynamiczne ³o ysk....................................... 301 14.18. Krêt (moment pêdu)............................................ 305 14.19. Energia kinetyczna mechanizmu................................... 307 14.20. Wspó³czynnik nierównomiernoœci biegu maszyny..................... 311 Wykaz tablic.............................................................314 Literatura............................................................... 315 Indeks.................................................................. 316
3. Przestrzenny układ sił Zbiór si³, których linie dzia³ania s¹ dowolnie rozmieszczone w przestrzeni, nazywa siê uk³adem przestrzennym. Podobnie jak p³askie uk³ady si³ dzieli siê je na zbie ne, równoleg³e i dowolne. Uk³ady przestrzenne mo na rozwi¹zywaæ metod¹ wykreœln¹ i analityczn¹. Omówimy tê ostatni¹. 3.1. Przestrzenny prostokątny układ współrzędnych Sk³ada siê on z trzech wzajemnie prostopad³ych osi x, y, z przecinaj¹cych siê w punkcie 0, zwanym pocz¹tkiem uk³adu. Oznaczenia poszczególnych osi przyjêto tak, e patrz¹c z koñca osi z, widaæ oœ x zawsze po prawej stronie osi y. Jest to tzw. prawy uk³ad wspó³rzêdnych (rys. 3.1). Lewe uk³ady wspó³rzêdnych przedstawiono na rysunku 3.2. Rys. 3.1 Rys. 3.2 65
3.2. Rzuty siły na osie przestrzennego prostokątnego układu współrzędnych Si³a F jest zaczepiona w punkcie 0 prawego przestrzennego uk³adu wspó³rzêdnych (rys. 3.3). K¹ty, jakie tworzy z poszczególnymi osiami x, y, z, oznaczamy odpowiednio, i. Wartoœci rzutów si³y F na osie x, y, z, wynosz¹: F Fcos x F Fcos y (3.1) F Fcos z Rys. 3.3 Równania te podnosimy stronami do kwadratu i dodajemy do siebie stronami. F x 2 + F y 2 + F z 2 = F 2 cos 2 + F 2 cos 2 β+f 2 cos 2 γ lub F x 2 + F y 2 + F z 2 = F 2 (cos 2 + cos 2 β+cos 2 γ). Wiadomo z trygonometrii, e suma kwadratów cosinusów kierunkowych k¹tów, jakie dowolna prosta tworzy z osiami x, y, z, jest równa jednoœci, czyli cos 2 + cos 2 β+cos 2 γ = 1, a wiêc F 2 = F x 2 + F y 2 + F z 2, st¹d 2 2 2 F Fx Fy Fz (3.2) Równanie to umo liwia okreœlenie wartoœci si³y F, gdy dane s¹ jej rzuty na osie przestrzennego uk³adu wspó³rzêdnych. Rzuty te okreœlaj¹ równie jej kierunek. Po przekszta³ceniu równañ (3.1) otrzymujemy 66
F y F Fz cos x, cos, cos (3.3) F F F Wzory te umo liwiaj¹ okreœlenie k¹tów, β i γ, które tworzy si³a F z osiami x, y, z uk³adu wspó³rzêdnych. 3.3. Analityczne składanie przestrzennego układu sił zbieżnych Dany jest przestrzenny uk³ad si³ zbie nych F1, F2, F3,, F n. W punkcie zbie noœci tych si³ przyjmujemy pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych. Oznaczmy przez 1, β 1, γ 1 ; 2, β 2, γ 2 ; 3, β 3, γ 3 ;..., n, β n, γ n ; k¹ty, jakie si³y te tworz¹ z osiami uk³adu (rys. 3.4). Aby nie zaciemniæ rysunku oznaczono tylko k¹ty 1, β 1 i γ 1. Wartoœci rzutów si³ na osie uk³adu wspó³rzêdnych wynosz¹: F 1x = F 1 cos 1, F 1y = F 1 cosβ 1, F 1z = F 1 cosγ 1 F 2x = F 2 cos 2, F 2y = F 2 cosβ 2, F 2z = F 2 cosγ 2 F 3x = F 3 cos 3, F 3y = F 3 cosβ 3, F 3z = F 3 cosγ 3 (3.4)......,......,...... F nx = F n cos n, F ny = F n cosβ n, F nz = F n cosγ n Rys. 3.4 Na podstawie twierdzenia, e rzut geometrycznej sumy s dowolnej liczby si³ na dowoln¹ oœ równa siê sumie rzutów wszystkich si³ sk³adowych na tê sam¹ oœ, otrzymujemy: s x = F 1x + F 2x +F 3x +...+ F nx s y = F 1y + F 2y +F 3y +...+ F ny (3.5) s z = F 1z + F 2z +F 3z +...+ F nz 67
Znaj¹c s, s i s, mo emy okreœliæ wartoœæ geometrycznej sumy s si³ uk³adu x y z s s s s 2 2 2 x y z (3.6) Kierunek s okreœlaj¹ k¹ty, β, γ, jakie tworzy ona z osiami x, y, z. Znajdujemy je ze znanych zwi¹zków s x s y sz cos, cos, cos (3.7) s s s Wypadkowa si³ zbie nych ma tê sam¹ wartoœæ, kierunek oraz zwrot, co suma s W. Jej linia dzia³ania przechodzi przez punkt zbie noœci si³ uk³adu. 3.4. Analityczne warunki równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych Przestrzenny uk³ad si³ zbie nych jest w równowadze wtedy, gdy wypadkowa W tego uk³adu równa siê zeru, tzn. gdy suma s równa siê zeru s s s s 0 2 2 2 x y z (3.8) Równanie to bêdzie spe³nione tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wielkoœci znajduj¹ce siê pod pierwiastkiem bêd¹ równe zeru s x = ΣF ix =0, s y = ΣF iy =0, s z = ΣF iz = 0 (3.9) Wynika st¹d, e przestrzenny uk³ad si³ zbie nych jest w równowadze, je- eli s¹ spe³nione trzy warunki: 1) algebraiczna suma rzutów wszystkich si³ na oœ x równa siê zeru, 2) algebraiczna suma rzutów wszystkich si³ na oœ y równa siê zeru, 3) algebraiczna suma rzutów wszystkich si³ na oœ z równa siê zeru. 3.5. Moment siły względem osi Jest to wielkoœæ mechaniczna staraj¹ca siê wprawiæ cia³o w ruch obrotowy dooko³a osi (prostej). Dana jest si³a F oraz oœ l (rys. 3.5). Przez dowolny punkt O le ¹cy na osi l prowadzimy p³aszczyznê ε prostopad³¹ do tej osi. Na tê p³aszczyznê rzutuje- 68
my si³ê F, a otrzymany w ten sposób wektor AB oznaczamy. Z punktu O rysujemy ramiê r prostopad³e do linii dzia³ania. Momentem si³y F F F 1 1 1 1 wzglêdem osi l nazywamy moment rzutu F 1 tej si³y na p³aszczyznê ε prostopad³¹ do osi wzglêdem punktu O przeciêcia siê osi z p³aszczyzn¹. Rys. 3.5 Odleg³oœæ r rzutu F 1 od osi l jest równa odleg³oœci punktu przeciêcia siê osi l z p³aszczyzn¹ ε od linii dzia³ania rzutu, czyli moment si³y wzglêdem osi l wynosi M F r l 1 (3.10) Jest on wektorem, ma kierunek osi i zwrot zgodny z regu³¹ œruby o gwincie prawozwojnym. Moment ten jest równy zeru, gdy: F, czyli gdy si³a F 1 00 jest równoleg³a do osi; r = 0, czyli gdy linia dzia³ania si³y F przecina siê z osi¹. W obu przypadkach przez liniê dzia³ania si³y F i przez oœ l mo na przeprowadziæ jedn¹ p³aszczyznê (linia dzia³ania si³y F i oœ l wyznaczaj¹ p³aszczyznê w przestrzeni). Mo emy powiedzieæ, e moment si³y wzglêdem osi jest równy zeru wtedy, gdy si³a i oœ le ¹ w jednej p³aszczyÿnie. 3.6. Analityczne warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił WyobraŸmy sobie cia³o obci¹ one dowolnym przestrzennym uk³adem si³. Je eli ma ono byæ w równowadze, nie mo e przemieszczaæ siê wzd³u adnej z trzech osi przestrzennego uk³adu wspó³rzêdnych i nie mo e obracaæ 69
siê dooko³a adnej z tych osi. Przemieszczenia wzd³u osi x, y, z nie wystêpuj¹, gdy sumy rzutów wszystkich si³ na te osie s¹ równe zeru. Ruch obrotowy nie wyst¹pi, gdy sumy momentów wszystkich si³ wzglêdem osi x, y, z bêd¹ równe zeru. Tak wiêc cia³o obci¹ one dowolnym przestrzennym uk³adem si³ bêdzie w równowadze, gdy bêdzie spe³nionych szeœæ warunków: 1) suma algebraiczna rzutów wszystkich si³ na oœ x musi byæ równa zeru, czyli ΣF ix =0; 2) suma algebraiczna rzutów wszystkich si³ na oœ y musi byæ równa zeru, czyli ΣF iy =0; 3) suma algebraiczna rzutów wszystkich si³ na oœ z musi byæ równa zeru, czyli ΣF iz =0; 4) suma algebraiczna momentów wszystkich si³ wzglêdem (3.11) osi x musi byæ równa zeru, czyli ΣM ix =0; 5) suma algebraiczna momentów wszystkich si³ wzglêdem osi y musi byæ równa zeru, czyli ΣM iy =0; 6) suma algebraiczna momentów wszystkich si³ wzglêdem osi z musi byæ równa zeru, czyli ΣM iz =0. 3.7. Analityczne warunki równowagi przestrzennego układu sił równoległych Uk³ad równoleg³y jest szczególnym przypadkiem uk³adu dowolnego. Za- ³ó my, e linie dzia³ania si³ uk³adu s¹: prostopad³e do p³aszczyzny 0(y, z), tj. równoleg³e do osi x (rys. 3.6a); wówczas trzy z szeœciu równañ równowagi staj¹ siê to samoœciami: ΣF iy = 0, ΣF iz = 0, ΣM ix =0; prostopad³e do p³aszczyzny 0(x, z), tj. równoleg³e do osi y (rys. 3.6b); analogicznie: ΣF ix = 0, ΣF iz = 0, ΣM iy =0; prostopad³e do p³aszczyzny 0(x, y), tj. równoleg³e do osi z (rys. 3.6c); wówczas: ΣF ix = 0, ΣF iy = 0, ΣM iz =0. Rys. 3.6 70
Wynika z tego, e uk³ad si³ równoleg³ych w przestrzeni jest w równowadze, gdy s¹ spe³nione trzy warunki: 1) suma algebraiczna rzutów wszystkich si³ na oœ równoleg³¹ do tych si³ musi byæ równa zeru; 2 i 3) suma algebraiczna momentów wszystkich si³ wzglêdem dwóch osi le- ¹cych w p³aszczyÿnie prostopad³ej do tych si³ musi byæ równa zeru. 1. ΣF ix = 0, ΣM iy = 0, ΣM iz =0 2. ΣF iy = 0, ΣM ix = 0, ΣM iz = 0 (3.12) 3. ΣF iz = 0, ΣM ix = 0, ΣM iy =0 3.8. Równowaga przestrzennego układu par sił Poniewa suma si³ ka dej pary si³ jest równa zeru, dla ka dego przestrzennego uk³adu par si³ s¹ spe³nione trzy pierwsze warunki równowagi, tj. ΣF ix =0, ΣF iy =0, ΣF iz =0. Ka d¹ parê si³ charakteryzuje wektor momentu. Rzutuj¹c te wektory na osie x, y, z, otrzymamy M x =ΣM ix, M y =ΣM iy, M z =ΣM iz (3.13) Moment pary wypadkowej M M M M 2 2 2 w x y z (3.14) Wynika st¹d, e dowoln¹ liczbê par si³ w przestrzeni mo na zast¹piæ jedn¹ par¹ wypadkow¹ o momencie M w, le ¹c¹ w p³aszczyÿnie prostopad³ej do wektora tego momentu. Przestrzenny uk³ad par si³ jest w równowadze gdy Mw 00, tj. gdy sumy algebraiczne rzutów momentów par sk³adowych na osie x, y, z s¹ równe zeru ΣM ix = M x =0, ΣM iy = M y =0, ΣM iz = M z =0 (3.15)
11. Wyboczenie 11.1. Wyboczenie sprężyste Stateczność układu sprężystego W dotychczasowych rozwa aniach na temat osiowego œciskania prêtów prostych o sta³ych przekrojach poprzecznych (rozdzia³ 6) korzystaliœmy z warunku wytrzyma³oœciowego (wzór 6.28), który zapewnia³, e prêt nie ulegnie zniszczeniu na skutek œciskania (zgniecenia). Za³o yliœmy przy tym, e oœ (wzd³u na) prêta zachowuje swój pierwotny kszta³t, tzn., w adnym miejscu nie odchyla siê od linii prostej. Tak zachowuj¹ siê tylko œciskane prêty krótkie (niskie), o stosunkowo du ych przekrojach poprzecznych. W elementach, których d³ugoœci w stosunku do wymiarów przekroju poprzecznego s¹ znaczne, mo e wyst¹piæ wyboczenie. Oœ elementu œciskanego osiowo, pocz¹wszy od pewnej wartoœci si³y œciskaj¹cej wygina siê, tzn. ulega wyboczeniu. Je eli obci¹ enie konstrukcji jest mniejsze od obci¹ enia krytycznego (pod którego dzia³aniem choæby jeden element konstrukcji mo e ulec wyboczeniu), to konstrukcja znajduje siê w stanie równowagi statecznej, tzn. jest stateczna (osie elementów konstrukcji s¹ liniami prostymi). Wzrost obci¹ enia powy ej krytycznego mo e spowodowaæ utratê statecznoœci, tj. zmianê kszta³tu osi jednego, wielu lub nawet wszystkich elementów konstrukcji, czyli wyboczenie. Konstrukcja poprawnie zaprojektowana musi spe³niaæ jednoczeœnie warunek wytrzyma³oœci i statecznoœci. Siła krytyczna. Wzór Eulera Prostoliniowy prêt o sta³ym przekroju poprzecznym jest œciskany (osiowo) si³¹ wzrastaj¹c¹ od zera do pewnej wartoœci. Je eli si³a jest ma³a, oœ prêta pozostaje prostoliniowa, a konstrukcja jest stateczna. Po przekroczeniu pewnej wartoœci granicznej tej si³y nastêpuje nag³e wyboczenie. Dalszemu wzrostowi si³y towarzyszy coraz wiêksze wygiêcie osi i konstrukcja staje siê niestateczna. 203
Wartoœæ graniczn¹ si³y œciskaj¹cej, po której przekroczeniu nastêpuje utrata statecznoœci, nazywa siê si³¹ krytyczn¹ F kr. Zale y ona od d³ugoœci prêta, wielkoœci i kszta³tu jego przekroju, sprê ystoœci (rodzaju) materia³u i sposobu zamocowania (utwierdzenia) koñców prêta. Si³ê krytyczn¹ mo na obliczyæ wed³ug wzoru Eulera przy za³o eniu, e wyboczenie zachodzi w granicach stosowalnoœci prawa Hooke a (w granicach proporcjonalnoœci) 2 EJmin Fkr (11.1) 2 lr gdzie: F kr si³a krytyczna w N, E modu³ sprê ystoœci wzd³u nej materia³u prêta w MPa, J min najmniejszy g³ówny œrodkowy moment bezw³adnoœci przekroju prêta w m 4, l r d³ugoœæ zredukowana (wyboczeniowa) prêta, zale na od sposobu zamocowania jego koñców, w m. Wyboczenie nastêpuje zawsze w kierunku prostopad³ym do p³aszczyzny, w której le y oœ najmniejszego momentu bezw³adnoœci przekroju (prêta, s³upa). Dla prostok¹ta jest to oœ œrodkowa równoleg³a do d³u szego boku (rys. 11.1a). Podobnie jest dla innych przekrojów, np. ceownika zwyk³ego, teownika wysokiego, dwuteownika, a tak e przekrojów z³o onych (z blach, k¹towników itd.) o wymiarach podobnych do prostok¹ta (rys. 11.1b). Przekroje Rys. 11.1 w kszta³cie ko³a i pierœcienia ko³owego maj¹ jednakowe momenty bezw³adnoœci wzglêdem wszystkich osi przechodz¹cych przez œrodek ciê koœci 4 4 4 J 0,05 d, J 0,05( D d ) ; prêty takie mog¹ wyboczyæ siê w ka dym kierunku. D³ugoœæ zredukowana (wyboczeniowa) l r zale y od sposobu zamocowania koñców prêta. Najczêœciej wystêpuj¹ cztery sposoby zamocowañ: 1) prêt jest zamocowany na obu koñcach przegubowo (rys. 11.2a); l r =l, 2) prêt jest utwierdzony jednym koñcem (rys. 11.2b); l r =2l, 204
3) prêt jest jednym koñcem utwierdzony, a drugim zamocowany przegubowo (rys. 11.2c); l r = 0,7l, 4) prêt na obu koñcach jest utwierdzony (rys. 11.2d); l r = 0,5l. W praktyce najczêœciej elementy s¹ podparte przegubowo na obu koñcach (l r =l), np. s³upy z kszta³towników walcowanych przytwierdzone œrubami do fundamentu, na których opieraj¹ siê inne konstrukcje, lub utwierdzone sztywno na jednym koñcu (l r =2l) np. przyspawane prêty w wêz³ach kratownic. Rys. 11.2 Naprężenie krytyczne Na podstawie wzoru 11.1 mo na okreœliæ naprê enie krytyczne σ kr, czyli panuj¹ce w konstrukcji w chwili utraty statecznoœci (wyboczenia): 2 2 Fkr E Jmin Jmin kr E. 2 2 S lr S l S r gdzie S przekrój bez odliczenia os³abienia na nity lub œruby (które w bardzo ma³ym stopniu wp³ywaj¹ na odkszta³cenie przy wyboczeniu). Je eli J min = S i 2 (11.2) to najmniejszy promieñ (ramiê) bezw³adnoœci przekroju wyra ony w jednostkach d³ugoœci (m, cm, mm) wynosi i J S 2 min J min, st¹d i (11.3) S 205
Naprê enie krytyczne mo na równie przedstawiæ w postaci kr 2 2 2 E 2 E E i 2 2 2. lr lr lr 2 i i l r Je eli przyjmiemy, e (gdzie λ smuk³oœæ prêta) (11.4) i 2 E to kr 2 MPa (11.5) Smukłość pręta Stosunek d³ugoœci zredukowanej l r prêta do najmniejszego promienia bezw³adnoœci i jego przekroju nazywa siê smuk³oœci¹ prêta λ (liczba bezwymiarowa patrz wzór 11.4). Ze wzoru Eulera (11.5) wynika, e naprê enie σ kr jest wprost proporcjonalne do modu³u sprê ystoœci wzd³u nej E materia³u prêta, a odwrotnie proporcjonalne do kwadratu jego smuk³oœci. W miarê wzrostu smuk³oœci wzrasta szybko jej kwadrat, a zatem naprê enie krytyczne szybko maleje. Prêty o du ej smuk³oœci (d³ugie i cienkie) ulegaj¹ wyboczeniu przy bardzo ma³ych naprê eniach, czyli niewielkiej sile krytycznej F kr. Natomiast naprê enia krytyczne prêtów o ma³ej smuk³oœci (krótkich i grubych) s¹ bardzo du e. Nale y jeszcze raz podkreœliæ, e wzór Eulera jest wa ny tylko w granicach sprê ystoœci i proporcjonalnoœci materia³u (granicy Hooke a) R H, czyli 2 (11.6) kr E 2 R H Po przekszta³ceniu otrzymujemy graniczn¹ smuk³oœæ prêta, zale n¹ od rodzaju materia³u (E i R H ) 2 E E R R H H gr (11.7) Dla stali o R H = 200 MPa i E =2 10 5 MPa smuk³oœæ nie mo e byæ mniejsza ni graniczna 5 210 gr 100, co oznacza, e mo emy stosowaæ wzór 200 Eulera jedynie dla prêtów o smuk³oœci równej lub wiêkszej ni 100. Dla stali o R H = 300 MPa i E =2,1 10 5 MPa wzór Eulera mo emy stosowaæ od smuk³oœci λ 84, dla eliwa od λ 80, dla drewna sosnowego (R H =15MPa 206
i E = 0,15 10 5 MPa) od λ 100. Podobnie okreœla siê λ dla stopów aluminium, staliwa i innych materia³ów. Prêty cienkie i smuk³e wyboczaj¹ siê pod dzia³aniem si³y F kr znacznie wczeœniej, zanim naprê enia osi¹gn¹ lub przekrocz¹ granicê plastycznoœci (R e, R 02 ) lub wytrzyma³oœci materia³u (R C ). Nazywa siê to wyboczeniem sprê ystym, tzn. prêt po odkszta³ceniu wraca do swego pierwotnego kszta³tu z chwil¹ usuniêcia si³y œciskaj¹cej, o ile jest ona mniejsza od F kr. Wówczas si³¹ krytyczn¹ jest si³a niszcz¹ca wyznaczana doœwiadczalnie. Prêty o ma- ³ej smuk³oœci podlegaj¹ tylko wyboczeniu niesprê ystemu. 11.2. Wyboczenie niesprężyste Elementy konstrukcyjne o smuk³oœci mniejszej od granicznej dzieli siê na dwie grupy. 1. Elementy o smuk³oœciach ma³ych: od 0 do 40. Ich wysokoœæ w porównaniu z wymiarami przekroju poprzecznego jest niewielka. Podczas œciskania osiowego nie ulegaj¹ one wyboczeniu, a zniszczenie nastêpuje, gdy naprê enia œciskaj¹ce osi¹gn¹ granicê plastycznoœci R e w przypadkach materia³ów plastycznych lub granicê wytrzyma³oœci R C dla materia³ów kruchych (rys. 11.3a). Dlatego przyjmuje siê, e naprê enie krytyczne jest równe granicy plastycznoœci (materia³y plastyczne) lub granicy wytrzyma³oœci (materia³y kruche) σ kr = R e lub σ kr = R C (11.8) Rys. 11.3 2. Elementy o smuk³oœciach œrednich: od 40 do 100. Ulegaj¹ one wyraÿnemu wyboczeniu, przy czym naprê enie krytyczne jest wiêksze od granicy proporcjonalnoœci (dlatego nie stosuje siê wzoru Eulera), ale mniejsze od granicy plastycznoœci lub wytrzyma³oœci i oblicza siê je ze wzorów 207
empirycznych (uzyskanych dziêki badaniom doœwiadczalnym). Powszechnie stosuje siê wzory Tetmajera Jasiñskiego σ kr = a bλ + cλ 2 (11.9) w których: a, b i c wspó³czynniki wyznaczone doœwiadczalnie, zale ne od materia³u i maj¹ce wymiar naprê enia: dla stali St3: a = 310 MPa, b = 1,14 MPa, c = 0; dla stali St4 o R H = 220 MPa: a = 328 MPa, b = 1,11 MPa, c = 0; dla stali St5 (E295) i 25 (C25) o R H = 240 MPa: a = 350 MPa, b = 1,15 MPa, c = 0; dla stopów Al o R H = 255 MPa: a = 406 MPa, b = 2,83 MPa, c = 0; dla drewna (sosna, œwierk): a = 29,3 MPa, b = 0,194 MPa, c = 0. Dla eliwa a = 776 MPa, b = 12 MPa, c = 0,053 MPa, czyli zale noœæ wyra a siê wzorem: σ kr =776 12λ + 0,053λ 2 MPa. Dla stali, stopów aluminium i drewna (c = 0) i wzór 11.9 przyjmuje postaæ σ kr = a bλ (11.10) Jest to równanie prostej, a wiêc miêdzy naprê eniem krytycznym wyboczenia niesprê ystego a smuk³oœci¹ istnieje zale noœæ liniowa (rys. 11.3b). 11.3. Obliczanie prętów ściskanych Metoda naprężeń krytycznych Prêty o ma³ej smuk³oœci oblicza siê z warunku wytrzyma³oœci wg wzoru 6.28 dla prostego œciskania (rys. 11.3a). Prêty o smuk³oœciach œrednich i du- ych musz¹ spe³niæ oprócz warunku wytrzyma³oœci, równie warunek statecznoœci F kw (11.11) S gdzie k w dopuszczalne naprê enie przy wyboczeniu. Zale y ono od naprê enia krytycznego oraz wspó³czynnika bezpieczeñstwa n w wyboczenia i wynosi k w n kr w (11.12) 208
Dla stali n w = 1,3 4, dla eliwa n w =5 5,5, a dla drewna n w = 2,8 3,2. Zale noœci miêdzy naprê eniami a smuk³oœciami przedstawia siê zwykle na wykresie naprê enie smuk³oœæ. Taki wykres dla stali konstrukcyjnej o R e = 250 MPa, R H = 200 MPa i E =2 10 5 MPa przedstawia rys. 11.4. Rys. 11.4 Dla smuk³oœci ma³ych (do 40) naprê enie σ kr jest równe granicy plastycznoœci R e, czyli wykresem naprê enia jest prosta pozioma od punktu R e (na osi naprê eñ) do punktu T. Dla smuk³oœci œrednich (od 40 100) naprê enie krytyczne okreœlaj¹ wzory empiryczne, np. Tetmajera Jasiñskiego, których odwzorowaniem jest odcinek TE (pochylony) wykresu. Dla smuk³oœci du ych (wiêkszych od 100) stosuje siê wzór Eulera (na wykresie od punktu E). Po podstawieniu do wzoru 11.5 wartoœci E =2 10 5 MPa oraz π 2 10 otrzymujemy 6 210 kr MPa. 2 Równanie to przedstawia hiperbolê zwan¹ krzyw¹ Eulera lub hiperbol¹ Eulera. Dla smuk³oœci λ = 100, 120, 140, 160, 180, 200,... odpowiednie naprê- enia wynosz¹ σ kr = 200, 139, 102, 78, 62, 50,... MPa. Z wykresu (rys. 11.4) dla ka dej smuk³oœci prêta mo na odczytaæ naprê enie krytyczne powoduj¹ce jego wyboczenie. Naprê enie dopuszczalne na œciskanie dla stali o k c = 125 MPa nie zale y od smuk³oœci (na wykresie jest to prosta pozio- 209
ma kreskowa przedstawiona dla porównania). Naprê enie dopuszczalne na wyboczenie k w dla stali przyjmuje siê (0,3 0,7) σ kr. Na wykresie jest to linia punktowa przebiegaj¹ca poni ej naprê enia krytycznego σ kr i naprê enia dopuszczalnego k c. W miarê wzrostu smuk³oœci λ naprê enie k w maleje i coraz bardziej ró ni siê od naprê enia k c. Podobnie sporz¹dza siê wykresy dla innych materia³ów. Mo na z nich bezpoœrednio odczytaæ dopuszczalne naprê enia na wyboczenie w zale noœci od smuk³oœci. Metoda współczynnika zmniejszającego β Wiadomo, e dopuszczalne naprê enia œciskaj¹ce, bez uwzglêdnienia wyboczenia, wynosz¹ kc MPa, RC n gdzie: R C wytrzyma³oœæ na œciskanie w MPa, n wspó³czynnik bezpieczeñstwa (dla stali 1,3 12). kr Naprê enie dopuszczalne wyboczenia kw MPa (wzór 11.12), nw gdzie: σ kr naprê enie krytyczne w MPa, n w wspó³czynnik bezpieczeñstwa (dla stali 1,3 4). Stosowanie tych wzorów wymaga okreœlenia zakresów proporcjonalnoœci i w praktyce nie jest wygodne. Dlatego czêsto stosuje siê inny sposób, odnosz¹cy siê zarówno do wyboczenia sprê ystego, jak i niesprê ystego. Polega on na zast¹pieniu obliczeñ na wyboczenie obliczeniami na proste œciskanie, z odpowiednio zmniejszonym naprê eniem dopuszczalnym. Je eli przyjmiemy te same wspó³czynniki bezpieczeñstwa, tzn. n=n w, to naprê enie dopuszczalne wyboczenia kr kw kc kc (11.13) RC kr gdzie wspó³czynnik zmniejszaj¹cy, zale ny od smuk³oœci i rodzaju materia³u (patrz wzór 11.5). Po uwzglêdnieniu wspó³czynnika R C β F c kw kc S (11.14) Z wykresu (rys. 11.4) mo na odczytaæ, e dla smuk³oœci bliskich zeru β jest bliskie jednoœci, gdy w tym zakresie k w = k c. Im smuk³oœæ jest wiêksza, tym mniejszy jest wspó³czynnik β, gdy k w staje siê coraz mniejsze w porównaniu z k c (po odpowiednim przekszta³ceniu wzoru 11.13 lub prawej strony nierównoœci 11.14 wspó³czynnik ten mo na okreœliæ tak e z zale noœci kw ). Wartoœci wspó³czynnika β podano w tabl. 11-1. k 210 c
Wartoœci wspó³czynnika zmniejszaj¹cego β Tablica 11-1 wg PN-EN 10025:2002 St5, St6, St7 (E295), (E335), (E360) wg PN-EN 10083-1+A1:1999 Projektowanie przekrojów elementów uwzglêdniaj¹ce wspó³czynnik zmniejszaj¹cy β polega na stosowaniu metody kolejnych przybli eñ. Metodê stosuje siê tak e do obliczeñ sprawdzaj¹cych. Wówczas korzysta siê ze wzoru 11.14 przekszta³conego do postaci F c kc (11.15) S Zamiast rzeczywistego przekroju S wystêpuje przekrój zredukowany β S. 211