Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo uzyskania takich liczb oczek,»e iloczyn tych liczb b dzie liczb parzyst. Zadanie 2 (1p) Obliczy prawdopodobie«stwo,»e na pi rzutów kostk trzy razy wypadnie szóstka. Zadanie 3 (1p) Grupa studencka skªada si z 30 osób. Obliczy prawdopodobie«- stwo tego,»e»adnych dwóch studentów nie obchodzi urodzin tego samego dnia roku. (Przyj,»e rok ma 365 dni.) Zadanie 4 (2p) Jednakowe produkty dostarczane s do hurtowni przez trzy zakªady. Zgodnie z kontraktem pierwszy i trzeci dowo» po 20%, a drugi 60% w danej dostawie. Pierwszy zakªad wytwarza ±rednio 5% produktów wadliwych, drugi 2%, a trzeci 1%. (a) Spo±ród produktów z tej dostawy wybrano jeden produkt. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest on wadliwy? (b) Losowo wybrany produkt okazaª si NIE by wadliwy. Jakie jest prawdopodobie«- stwo,»e zostaª on wyprodukowany przez pierwszy zakªad? 2
Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) Z cyfr 1,2,3,4,5,7 losujemy dwa razy po jednej i tworzymy liczb dwucyfrow. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest to liczba o ró»nych cyfrach? Zadanie 2 (1p) Rzucamy dziewi cioma monetami. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wypadnie co najmniej jeden orzeª. Zadanie 3 (1p) Rzucamy dwa razy kostk do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo wyrzucenia sumy oczek równej 8. Zadanie 4 (2p) W pierwszej urnie znajduj si 2 kule biaªe i 3 czarne, w drugiej 4 kule biaªe i 2 czarne, w trzeciej 3 kule biaªe i 3 czarne. Rzucamy kostk do gry. Je»eli wyrzucimy parzy±cie wiele oczek, to losujemy dwie kule z urny pierwszej, je»eli wylosujemy trójk - losujemy dwie kule z urny drugiej, w przeciwnym razie losujemy dwie kule z urny trzeciej. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e obie wylosowane kule s biaªe. 3
Sprawdzian 2, M09-03 Zadanie 1 (2,5p) Gra polega na rzucie kostk i monet. Je±li wypadnie na kostce szóstka, gracz (bez wzgl du na wynik rzutu monet ) otrzymuje 1zª, je±li wypadnie na kostce pi oczek, a moneta upadnie orªem do góry gracz otrzymuje 5zª, je±li wypadnie reszka, a na kostce mniej ni» 6 oczek, to gracz pªaci 3 zª, w pozostaªych przypadkach gracz pªaci 1zª. Dla zmiennej losowej opisuj cej wygran wyznaczy dystrybuant, narysowa wykres dystrybuanty, obliczy warto± oczekiwan i wariancj tej zmiennej. Zadanie 2 (1,5p) W urnie znajduje si 5 kul. 3 z nich s czarne, a 2 biaªe. Losujemy z urny kul, zwracamy j do urny i dosypujemy jeszcze dwie, tego samego koloru co kula wylosowana, a nast pnie ponownie losujemy kul z tej urny. Je±li kula wylosowana za drugim razem jest czarna, to losuj cy wygrywa 2zª, a je±li jest biaªa traci 1zª. Czy zmienna losowa opisuj ca wygran jest dyskretn zmienn losow? Je±li tak, wyznaczy funkcj prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Zadanie 3 (1p) Zmienna losowa dyskretna ma nast puj c funkcj prawdopodobie«stwa: x k 1 a 3 4 p k 0,1 0,4 0,3 b oraz warto± oczekiwan równ 13 5. Wyznaczy a i b 4
Sprawdzian 2, M09-03 Zadanie 1 (2,5p) Gra polega na trzykrotnym rzucie monet i otrzymywaniu takiej kwoty po ka»dych trzech rzutach ile orªów wypadªo. Dla zmiennej losowej opisuj cej wygran wyznaczy dystrybuant, narysowa wykres dystrybuanty, obliczy warto± oczekiwan i wariancj tej zmiennej. Zadanie 2 (1,5p) W pierwszej urnie znajduj si 2 kule biaªe i 3 czarne, w drugiej 4 kule biaªe i 2 czarne, w trzeciej 3 kule biaªe i 3 czarne. Rzucamy kostk do gry. Je»eli wyrzucimy jedynk, to losujemy dwie kule z urny pierwszej, je»eli wylosujemy dwójk lub trójk - losujemy dwie kule z urny drugiej, w przeciwnym razie losujemy dwie kule z urny trzeciej. Zmienna losowa opisuje ilo± wylosowanych kul biaªych. Wyznaczy funkcj prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Zadanie 3 (1p) Dla zmiennej losowej X o rozkªadzie dwumianowym z parametrami n = 10 i p = 1 obliczy P (X > 1). 3 5
Przykªadowy zestaw egzaminacyjny, M09-01 1 Czy w do±wiadczeniu losowym polegaj cym na rzucie kostk do gry tyle razy, a» wypadnie jedynka, do wyznaczenia prawdopodobie«stwa zdarzenia polegaj cego na uzyskaniu trzech oczek, mo»na stosowa model klasyczny? Uzasadni. 2 Skonstruowa model probabilistyczny (okre±li zbiór zdarze«elementarnych, rodzin zdarze«oraz wzór jakim wyznaczane jest prawdopodobie«stwo dowolnego zdarzenia) w do±wiadczeniu losowym polegaj cym na czterokrotnym rzucie symetryczn kostk. Zastosowa ten model do wyznaczenia prawdopodobie«stwa zdarzenia polegaj cego na tym,»e trzy razy wypadªo sze± oczek. 3 A i B s zdarzeniami w danej przestrzeni probabilistycznej. Czy iloczyn zdarze«do nich przeciwnych jest zdarzeniem? Uzasadni. 4 Dla jakich trzech zdarze«prawdopodobie«stwo sumy tych zdarze«jest równe sumie ich prawdopodobie«stw? 5 W lewej kieszeni kurtki znajduje si 10 monet pi ciozªotowych i 5 monet dwuzªotowych, a w prawej kieszeni 2 monety pi ciozªotowe i 3 monety dwuzªotowe. Z lewej kieszeni losowana jest jedna moneta, która zostaje przeªo»ona do kieszeni prawej, a nast pnie z prawej kieszeni losowane s dwie monety. Czy do wyznaczenia prawdopodobie«stwa wylosowania z prawej kieszeni kurtki monet daj cych kwot 7 zª mo»na stosowa wzór na prawdopodobie«stwo caªkowite? Uzasadni. 6 Czy funkcja okre±lona wzorem F (x) = 0 dla x (, 1] 0, 3x + 0, 5 dla x ( 1, 1] 1 dla x (1, + ) jest dystrybuant jakiej± zmiennej losowej? Uzasadni. 7 Dana jest przestrze«probabilistyczna, w której P jest rozkªadem prawdopodobie«stwa. Je±li = 4, to ile wynosi prawdopodobie«stwo zdarzenia A? P (A) P (A ) 8 Do celu oddaj (niezale»nie) strzaªy trzej strzelcy. Pierwszy traa z prawdopodobie«stwem 0,8; drugi z prawdopodobie«stwem 0,7; trzeci z prawdopodobie«stwem 0,9. Wyznaczy prawdopodobie«stwo zdarzenia polegaj cego na tym,»e cel zostanie traony dwa razy. 6
9 Dla zmiennej losowej o dystrybuancie F (x) = obliczy P (1 < X 2), P (X > 3). 0 dla x (, 3] 0, 1 dla x ( 3, 1] 0, 3 dla x ( 1, 1] 0, 7 dla x (1, 2] 1 dla x (2, + ) 10 Dla zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona z parametrem λ = 2 obliczy P (X 2). 7