Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne...

Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN }, { P n : n IN },, V, F n F m =, n m, n, m IN P n P m =, n m, n, m IN, P n F m =, n, m IN

Termy: x, y,... V, Fτ 1 τ 2... τ n, τ 1, τ 2,..., τ n - termy, F F n, n IN. Formuły: Pτ 1... τ n, τ 1, τ 2,..., τ n - termy, P P n, n IN. Φ&Ψ, Φ Ψ, Φ Ψ, Φ Ψ, Φ, Φ, Ψ - formuły. Φ, ( ξ)φ, ( ξ)φ, ξ V τ σ := ( τσ)

L Ar : F 0 = { 0, 1,..., }, F 1 = { succ, pred,... }, F 2 = { add, mul, pow }. P 0 =, P 1 = { prime, odd, even,... } P 2 = {, less,... } add succ x y, add mul x y x, add succ x y pow x succ y mul pow x y x, less x y ( z) (add z x y), Φ( 0 )&( ξ)(φ Φ[ξ/succ ξ]) ( ξ)φ

Model: M = M, F, P, dom(f) = n IN F n, dom(p) = n IN P n, F(F) M n M, F F n, n IN, P(P) M n { 0, 1 }, P P n, n IN, P( )(a, b) = 1 a = b

M model. Ocena: v : V M Df. v M : Trm(L) M v M V = v v M (Fτ 1... τ n ) = M(F) ( v M (τ 1 ),..., v M (τ n ) )

Df. Niech v : V M. Powiemy, że v spełnia Φ (ozn. M, v = Φ) jeżeli, (Φ = Pτ 1... τ n ) M(P) ( v M (τ 1 ),..., v M (τ n ) ) = 1 (Φ = ( ξ)ψ) M, va x = Ψ, dla wszystkich a M (Φ = ( ξ)ψ) M, va x = Ψ, dla pewnego a M (Φ = Ψ&Θ) M, v = Ψ i M, v = Θ (Φ = Ψ Θ) M, v = Ψ lub M, v = Θ (Φ = Ψ Θ) M, v = Ψ lub M, v = Θ (Φ = Ψ Θ) M, v = Ψ, Θ lub M, v = Ψ, Θ (Φ = Ψ) M, v = Ψ

M model Df. Formuła Φ jest prawdziwa w M, jeżeli spełniona jest przez każde v. Df. Formuła Φ jest spełnialna w M, jeżeli spełniona jest przez jakieś v. Df. Zbiór formuł X jest spełnialny w M, jeżeli istnieje v spełniające każdą Φ ze zbioru X.

Twierdzenie o pełności: Zbiór zdań jest niesprzeczny wtw., gdy jest prawdziwy w pewnym modelu. Twierdzenie dolne Löwenheima: Każdy niesprzeczny zbiór zdań posiada model, którego uniwersum jest mocy niewiększej od mocy języka.

Twierdzenie o nietwórczości: Niech L i L 1 będą językami i niech L 1 L. Niech dalej M będzie modelem dla L, a M 1 jego reduktem do L 1. Wówczas dla dowolnej formuły Φ języka L oraz dowolnej oceny v w M 1 zachodzi związek M, v = Φ M 1, v = Φ

Ultrafiltr: X, F (X), A B, A F B F A, B F A B F A F X \ A F Ultrafiltry postaci F = { B (X) : A B } nazywamy ultrafiltrami głównymi. Ultrafiltry nie będące głównymi nazywamy ultrafiltrami niegłównymi. AC dowolna scentrowana rodzina zbiorów A (X) rozszerza sią do ultrafiltru w (X).

M t : t T indeksowana rodzina modeli, F ultrafiltr w (T ). M * = M t t T f F g { t T : f(t) = g(t) } F, f, g M *, Ultraprodukt: model M * = (F) M t taki, że: t T M * = M *, M * (F) ([f 1 ] F,..., [f n ] F ) = [ M t (F) (f 1 (t),..., f n (t)) : t T ] F, f 1,..., f n M *, F F n, n IN M * (P) ([f 1 ] F,..., [f n ] F ) = 1 { t T : M t (P) (f 1 (t),..., f n (t)) } F

Twierdzenie Łosia: Niech v : V M *. Wówczas: (F) t T M t, κ v = Φ { t T : M t, π t v = Φ } F. κ - odwzorowanie ilorazowe. Wniosek Niech F będzie niegłówny. Wówczas w ultraprodukcie prawdziwe są wszystkie zdania prawdziwe w prawie wszystkich modelach produktowanej rodziny.

Niech L Ar = V, { F n : n IN }, { P n : n IN }, będzie językiem arytmetyki liczb naturalnych i niech L * będzie wzbogaceniem języka L Ar o jedną stałą *.

Definiujemy modele M n języka L * jako wzbogacenia N, w których M n ( * ) = n + 1, n IN. Na mocy twierdzenia są prawdziwe w każdym z modeli M n. o nietwórczości wszystkie twierdzenia arytmetyki Ponadto: M n = { less 0 *, less 1*, less 2*,..., less n* }, n IN

A = { A IN : IN \ A skończony } jest scentrowana AC istnieje ultrafiltr F zawierający A. Rozważmy ultraprodukt M * = (F) M n. n IN

Na mocy twierdzenia Łosia oraz twierdzenia o nietwórczości, w modelu M * prawdziwe są dokładnie te same zdania arytmetyki jak w modelu standardowym N. Ponadto, na mocy twierdzenia Löwenheima, E(M * ) będąc niesprzecznym prawdziwy jest w pewnym modelu M 0 mocy przeliczalnej. Przypuśćmy, że N jest izomorficzny z M 0 i niech H będzie izomorfizmem tych modeli i niech dalej κ = H 1 (M 0 ( * )).

Zauważmy, że: skąd też Czyli a stąd M * = less κ *, M 0 = less κ *. M 0 ( κ ) < M0 M 0 ( * ), H (N( κ )) < M0 H(κ). Ponieważ H jest izomorfizmem oraz N( κ ) = κ, dostajemy stąd κ < κ co jest niemożliwe.

Modele standardowe: L TM język teorii mnogości. Zakładamy, że F 0 zawiera symbole O i Ω mające oznaczać zbiór pusty i zbiór liczb naturalnych. Zakładamy także, że P 2 zawiera symbol E na oznaczenie predykatu należenia, P 1 zawiera symbol On na oznaczenie bycia liczbą porządkową oraz, że F 2 zawiera symbole add i mul na oznaczenie dodawania i mnożenia liczb porządkowych. TM jakaś teoria mnogości (np.zermelo-fraenkla, von Neumanna-Gödla- -Bernaysa, Morsa, itp.) w języku L TM.

M Model teorii TM, IN(M) = { a M : a M ω M }, a M b M(E)(a, b), ω M = M(Ω). N(M) model arytmetyki liczb naturalnych o uniwersum IN(M) z interpretacją symboli języka L Ar dziedziczoną z M. IN(M) - standardowy model arytmetyki wyznaczony przez M.

L * - wzbogacenie języka L TM o nową stałą *. M - ustalony model TM M n wzbogacenie modelu M do języka L * spełniające M n ( * ) = n + 1, n IN. Wówczas: M n = E 0 * &... & E n* & E * Ω, n IN.

Podobnie jak poprzednio, pokazujemy, że żaden standardowy model arytmetyki wyznaczony przez model elementarnie równoważny z ultraproduktem (F) M n jest nie izomorficzny z modelem standardowym IN(M). n IN

Twierdzenie: Klasa modeli jest aksjomatyzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięta na elementarną równoważność i ultraprodukty.

Twierdzenie: Klasa modeli jest aksjomatyzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięta na elementarną równoważność i ultraprodukty. Twierdzenie: Klasa modeli K jest skończenie aksjomatyzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy K oraz K c są aksjomatyzowalne.

Następujące klasy nie są aksjomatyzowalne: klasa modeli skończonych, klasa dobrych porządków, klasa grup torsyjnych, klasa ciał charakterystyki 0.

Następujące klasy nie są aksjomatyzowalne: klasa modeli skończonych, klasa dobrych porządków, klasa grup torsyjnych, klasa ciał charakterystyki 0. Następujące klasy nie są skończenie aksjomatyzowalne: klasa modeli nieskończonych, klasa grup beztorsyjnych, klasa ciał charakterystyki 0, klasa ciał algebraicznie domkniętych.

M model teorii mnogości, M n = M, n IN F ultrafiltr niegłówny w (IN), M = (F) n IN M n f 0 : δ 0, δ 1, δ 2, δ 3, δ 4, δ 5, δ 6,... f 1 : δ 0, δ 0, δ 1, δ 2, δ 3, δ 4, δ 5,... f 2 : δ 0, δ 0, δ 0, δ 1, δ 2, δ 3, δ 4,... f 3 : δ 0, δ 0, δ 0, δ 0, δ 1, δ 2, δ 3,............ δ n = M( n ), n IN, [f 0 ] M [f 1 ] M [f 2 ] M... M [f n ] M...

KONIEC