Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie ciągła a b F (a) F (b) lim F (t) lim P (X t) 0 t t lim F (t) lim P (X t) t + t + lim F (t + ) F (t) 0 + Twierdzenie 7. (Dystrybuanta zmiennej losowej). Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wtedy: P (a < X b) F (b) F (a) a b P (X > t) F (t) Dowód. t {X b} {X a} {a < X b} P (X b) P (X a) + P (a < X b) P (a < X b) P (X b) P (X a) F (b) F (a) P (X > t) P (X t) F (t) Przykład 7.3 (Dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej). ozpatrzmy eksperyment losowy polegający na dwóch rzutach sześcienną kostką do gry. Zmienną losową X niech będzie suma wyrzuconych oczek. Jaka jest dystrybuanta zmiennej losowj X? x i 3 4 5 6 7 8 9 0 p(x i ) 3 4 5 6 5 4 3 t ( ) F (t) P (X t) 0 6
t 3) F (t) P (X t) P (X < ) + P (X ) + P ( < X t) p() + P ( < X t) p() / t 3 4) F (t) P (X t) P (X < 3) + P (X 3) + P (3 < X t) p() + p(3) + P (3 < X t) p() + p(3) 3/ t 4 5) F (t) P (X t) P (X < 4) + P (X 4) + P (4 < X t) p() + p(3) + p(4) + P (4 < X t) p() + p(3) + p(4) 6/ Wartości dystrybuanty w pozostałych przedziałach zawarte są w poniższej tabeli. t ( ) 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6 7) 7 8) 8 9) 9 0) 0 ) ) ) F (t) 0 3 6 0 5 6 30 33 35 ysunek 4 przedstawia wykres powyższej dystrybuanty. Twierdzenie 7. (Dystrybuanta, rozkład pr.). Niech X będzie dyskretna zmienną losowa o wartościach I {x x...}, rozkładzie pr. p i dystrybuancie F. Wtedy F (t) p(x k ) t k:x k t p(x k ) F (x k ) lim F (x k ) k... 0 + P (X I ) p(x k ) k:x k I Przykład 7.4 (Dystrybuanta, rozkład pr.). zucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest w przedziale 5 < X 0? 7
P(Xx) 0.5 0. 0.05 F(t)P(X < t) 0.8 0.6 0.4 0. 0 4 6 8 0 x 0 4 6 8 0 t ysunek 4: Lewy wykres przedstawia rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej sumą oczek wyrzuconych w dwóch rzutach sześcienną kostką do gry. Wykres prawy przedstawia dystrubuantę zmiennej losowej X. ozwiazanie. P (5 < X 0) k:5<x k 0 p(x k ) p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(0) 5 + 6 + 5 + 4 + 3 3 lub P (5 < X 0) F (0) F (5) 33 0 3 Przykład 7.5 (Zmienna losowa ciągła). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A, że punkt ten leży w odległości mniejszej lub równej r od środka okręgu? ozwiazanie. Ω {ω(x y) : x + y } Niech zmienną losową będzie odległość punktu (x y) od środka okręgu: D(ω) x + y 8
Zbiorem wartości tej zmiennej losowej jest nieprzeliczalny zbiór liczb rzeczywistych z przedziału [0 ]. Nie jest to zatem zmienna losowa dyskretna. Z twierdzenia o prawdopodobieństwie geometrycznym jesteśmy w stanie określić dystrybuantę takiej zmiennej losowej: ysunek 5 przedstawia wykres powyższej dystrybuanty. 0 dla r < 0 F (r) P (D r) πr r π dla 0 r < dla r Definicja 7.5 (Ciągła zmienna losowa). Zmienna losowa X jest zmienną ciągłą jeśli jej dystrybuanta F jest funkcją ciągłą Definicja 7.6 (Gęstość prawdopodobieństwa). Gęstością prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X nazywamy funkcję: f(x) d dx F (x) Twierdzenie 7.3 (Gęstość prawdopodobieństwa). Funkcja f może być gęstościa prawdopodobieństwa ciagłej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy gdy: f(x) 0 x + f(x)dx Przykład 7.6 (Gęstość prawdopobieństwa). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jaka jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej D będącej odległością punktu od środka okręgu? Dystrybuanta takiej zmiennej losowej ma postać i jest ona funkcją ciągłą. Zatem: 0 dla r < 0 F (r) P (D r) r dla 0 r < dla r 0 dla r < 0 f(r) d dr F (r) r dla 0 r < 0 dla r > ysunek 5 przedstawia wykres powyższej funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Twierdzenie 7.4 (Dystrybuanta, rozkład pr.). Niech X będzie ciagł a zmienną losowa o gęstości f i dystrybuancie F. Wtedy: 9
f(r) 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 r/ F(r) 0.5 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 r/ ysunek 5: Wykres górny przedstawia funkcję gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej D będącej odległością losowo wybranego punktu wewnątrz okręgu o promieniu od środka tego okręgu. Ponieważ gęstość prawdopobieństwa ma wymiar odwrotności zmiennej losowej aktualnie rysowana jest wielkość bezwymiarowa f(r). Wykres dolny przedstawia dystrybuantę zmiennej losowej D. F (t) t f(x)dx f(x) d dx F (x) P (X I ) I t f(x)dx P (a < X b) b a f(x)dx F (b) F (a) Przykład 7.7 (Dystrybuanta, rozkład pr. ). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania punktu odległego od środka okręgu o wartość w przedziale 3 < D < 3? 30
ozwiazanie. P P 3 < D < 3 3 < D < 3 3 3 f(r)dr 3 r 3 3 lub F 3 F 4 9 9 3 r dr 4 3 9 9 3 3 Twierdzenie 7.5 (Prawdopodobieństwo ciągłej zmiennej losowej). Niech X będzie ciagł a zmienną losowa, natomiast a b a b. Wtedy: P (X a) a a f(x)dx 0 8 Funkcja zmiennej losowej P (a X b) P (a < X b) P (a X < b) P (a < X < b) W praktyce często interesuje nas rozkład nie samej zmiennej losowej ale wielkości która jest funkcją zmiennej losowej Y g(x). Funkcja taka, sama jest zmienną losową dla której możemy określić dystrybuantę oraz rozkład prawdopodobieństwa (gęstości prawdopodobieństwa). Twierdzenie 8. (ozkład pr. funkcji dyskretnej zmiennej losowej). Niech X będzie dyskretna zmienną losowa przyjmujac a wartości ze zbioru I {x x... } o rozkładzie pr. p X (x i ) P (X x i ). Wtedy Y g(x) również jest dyskretną zmienna losowa o rozkładzie pr. : p Y (y k ) P (Y y k ) P (g(x) y k ) P (X {x j : g(x j ) y k )} p X (x j ) j:g(x j)y k Przykład 8. (Dwa rzuty sześcienną kostką do gry). zucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. X niech będzie suma wyrzuconych oczek. Jaki jest rozkład pr. zmiennej losowej Y X(mod )? Y przyjmuje dwie wartości: 0 lub. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa: x i 3 4 5 6 7 8 9 0 p X (x i ) 3 4 5 6 5 4 3 3
p Y (0) p X () + p X (4) + p X (6) + p X (8) + p X (0) + p X () / p Y () p X (3) + p X (5) + p X (7) + p X (9) + p X () + p X (3) / zatem zmienna losowa Y X(mod ) ma rozkład: y i 0 p Y (y i ) / / W przypadku zmiennej losowej ciągłej, sytuacja jest bardziej skomplikowana Niech X będzie ciągłą zmienną losową o dystrybuancie F X i gęstości pr. f X. Niech Y g(x). Jaka jest gęstość pr. f Y? Najpewniejszym sposobem określenia rozkładu Y jest obliczenie dystrybuanty F Y. F Y (y) P (Y y) P (g(x) y) f X (x)dx f Y (y) d dy F Y (y) x:g(x) y Przykład 8. (Funkcja ciągłej zmiennej losowej). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jaka jest gęstość pr. zmiennej Y będącej polem powierzchni koła o promieniu równym odległości wybranego punktu od środka okręgu? Niech 0 X - odległość wybranego punktu od środka okręgu. Wtedy Y πx F Y (y) P (Y y) P πx y P X y/π F X y/π 0 dla x < 0 F X (x) x dla 0 x < dla x f Y (y) d dy F Y (y) F Y (y) F X y/π 0 dla y < 0 F Y (y) y π dla 0 y π dla y π π dla 0 y π 0 dla y / (0 π ) 3
Twierdzenie 8. (Gęstość pr. funkcji zmiennej losowej ciągłej). Jeśli g(x) jest ciagł a, różniczkowalną i ściśle rosnacą funkcja (dla wszystkich wartości zmiennej losowej X) tzn. istnieje do niej odwrotna różniczkowalna funkcja h g, a X jest zmienna losowa ciagł a o gęstości f X to gęstość pr. zmiennej Y g(x) f Y (y) f X [h(y)] h (y) Dowód. F Y (y) P (Y y) P (g(x) y) P (X h(y)) F X [h(y)] f Y (y) d dy F Y (y) d dy F X[h(y)] d dh F d X[h(y)] dy h(y) f X [h(y)] h (y) Przykład 8.3 (Gęstość pr. funkcji zmiennej losowej ciągłej). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jaka jest gęstość pr. zmiennej Y będącej polem powierzchni koła o promieniu równym odległości losowo wybranego punktu od środka okręgu? f X (x) x dla 0 < x < Y g(x) πx h(y) g (y) y/π h (y) πy f Y (y) f X [h(y)]h (y) y/π πy π dla 0 < y < π Przykład 8.4 (Gęstość pr. funkcji zmiennej losowej ciągłej). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jaka jest gęstość pr. zmiennej Y będącej stosunkiem promienia okręgu do odległości wybranego punktu od środka okręgu? Niech 0 X - odległość wybranego punktu od środka okręgu. Wtedy Y /X F Y (y) P (Y y) P (/X y) P (X /y) F X (/y) F Y (y) F X (/y) 33
0 dla x < 0 F X (x) x dla 0 x < dla x f Y (y) d dy F Y (y) 0 dla y < F Y (y) y dla y 0 dla y < y 3 dla y Twierdzenie 8.3 (Gęstość pr. funkcji zmiennej losowej ciągłej). Jeśli g(x) jest ciagł a, różniczkowalną i ściśle malejac a funkcją (dla wszystkich wartości zmiennej losowej X) tzn. istnieje do niej odwrotna, różniczkowalna funkcja h g, a X jest zmienna losowa ciagł a o gęstości f X to gęstość pr. zmiennej Y g(x) f Y (y) f X [h(y)] h (y) Dowód. F Y (y) P (Y y) P (g(x) y) P (X h(y)) F X [h(y)] f Y (y) d dy F Y (y) d dy [ F X[h(y)]] d dh F d X[h(y)] dy h(y) f X (h(y)) h (y) Przykład 8.5 (Gęstość pr. funkcji zmiennej losowej ciągłej). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jaka jest gęstość pr. zmiennej Y będącej stosunkiem promienia okręgu do odległości wybranego losowo punktu od środka okręgu? f X (x) x dla 0 < x < Y g(x) X h(y) g y h (y) y f Y (y) f X [h(y)]h (y) /y Twierdzenia 8. i 8.3 można przedstawić w formie jednego twierdzenia: y y 3 dla y Twierdzenie 8.4 (Gęstość pr. funkcji zmiennej losowej ciągłej). Jeśli g(x) jest ciagł a, różniczkowalną i ściśle monotoniczną funkcją (dla wszystkich wartości zmiennej losowej X) tzn. istnieje do niej odwrotna różniczkowalna funkcja h g, a X jest zmienną losowa ciagł a o gęstości f X to gęstość pr. zmiennej Y g(x) f Y (y) f X [h(y)] h (y) 34
Przykład 8.6 (Niemonotoniczna funkcja zmiennej losowej). Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu o promieniu. Jaka jest gęstość pr. zmiennej Y (X /), gdzie X jest zmienną losową będącą odległością losowo wybranego punktu od środka okręgu? Funkcja Y (X /) nie jest monotoniczna w przedziale 0 < x <, maleje w przedziale [0 /] oraz rośnie w przedziale [/ ]. F Y (y) P (Y y) P ((X /) y) P ( y X / y) P (/ y X / + y) F X (/ + y) F X (/ y) W tym momencie można albo skorzystać z jawnej postaci dystrybuanty F X i potem dokonać różniczkowania po y albo najpierw różniczkować po y korzystając z jawnej postaci gęstości prawdopodobieństwa f X. Korzystając z drugiego sposobu: a z pierszego f Y (y) d dy F Y (y) d dy [F X(/ + y) F X (/ y)] f X (/ + y) y + f X(/ y) y (/ + y) + (/ y) y y F Y (y) F X (/ + y) F X (/ y) (/ + y) (/ y) y f Y (y) d dy F Y (y) y 35