M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji liniowej jest prosta (rys. 1). Aby ją narysować wystarczy poprowadzić linię poprzez dwa punkty, które do niej należą. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Rysunek 1: Wykres funkcji y = x 1
Własności funkcji liniowej Jeśli a 0, to funkcja liniowa o równaniu y = ax + b ma jedno miejsce zerowe dla x = b a. Funkcja liniowa o równaniu y = ax + b jest: rosnąca dla a > 0 malejąca dla a < 0 stała dla a = 0. Prosta o równaniu y = ax + b przecina oś OY w punkcie (0, b). Równanie postaci y = ax + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej, natomiast równanie Ax + By + C = 0, gdzie A 0 lub B 0 równaniem ogólnym prostej. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa różne punkty (x 1, y 1 ) i (x, y ), wyraża się wzorem: a = y y 1 x 1 x x x 1 Natomiast równanie prostej przechodzącej przez te punkty wyznacza wzór: y y 1 = x x 1 (1) y y 1 x x 1 Jeżeli odcięte punktów są równe (x 1 = x ), to mamy to czynienia z prostą prostopadłą do osi 0X o równaniu x = x 1 (lub x = x ), współrzędna y przyjmuje dowolne wartości. Jeżeli rzędne punktów y 1 = y, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi 0X, o równaniu y = y 1. Przykład 1 Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty (3, ) i (4, 1). Korzystamy z równania (1): y 1 = x 3 4 3 y 1 = x 3 : ( 1) 1 szukane równanie to y = x + 5 y = x + 3
Warunek prostopadłości i równoległości prostych Proste y = ax + b (a 0) i y = a 1 x + b 1 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 = 1 () a Proste y = ax + b (a 0) i y = a 1 x + b 1 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 = a (3) Przykład a) prostopadłą b) równoległą Wyznacz prostą do prostej y = x 1 i przechodzącą przez punkt (, 3). Rozwiązania: a) Korzystając z równania () wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej a = 1. Ponieważ prosta przechodzi przez punkt (, 3), to punkt ten musi spełniać równanie prostej y = 1 x + b (podstawiamy punkt (, 3) do równania prostej). W ten sposób wyznaczamy współczynnik b: 3 = 1 + b Szukana prosta to y = 1 x + 4. b = 4 b) Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same (równanie 3), czyli a =. Równanie szukanej prostej przyjmuje postać y = x + b. Należy jedynie tak dobrać współczynnik b prostej równoległej, aby przechodziła przez punkt (, 3). W tym celu wystarczy podstawić punkt (, 3) do równania prostej 3 = + b b = 1 Szukana prosta ma postać y = x 1.
Zadania do samodzielnego rozwiązania. Zadanie 1. a) A(, 1), B(, ). b) A(, 1), B(4, 0). c) A(3, ), B(0, ). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty: Zadanie. Określ, które z podanych prostych są prostopadłe, a które równoległe do prostej o równaniu y = x 3. 3 a) y = 3 x 3 b) y 3x = 1 c) y = 3 x + 4 d) y = 3 x Zadanie 3 równoległa, prostopadła Napisz równanie prostej l, która jest do prostej o równaniu x y = 4 i przechodzi przez punkt A(3, 1) B( 1, 0) C(0, 0) D(, ) E(, 1) F (4, 1) Zadanie 4 Rozwiąż równania: a) 3x + 4(3 x) (3x + ) = 3, b) 8(3 x) + 5(3x + 1) = 8(1 x) c) 4(x + 7) 3(x + 3) = 5 d) y 5 4 y+1 3 = 1 y e) x 3 + 3 = x + 3
Zadanie 5 Rozwiąż nierówność: a) 6(x + 1) (4 x) > 4(x ), c) 3 1 3 x < x b) x 3 + 3 < x
Odpowiedzi Zadanie 1 a) y = 1 4 x + 3 b) y = 1 x c) y = Zadanie Proste prostopadłe posiadają współczynnik kierunkowy równy. Ten warunek spełniają dwie proste: 3 a) y = 3 x 3 b) y 3x = 1, po przekształceniu y = 3 x + 1 Proste równoległe mają identyczne współczynniki kierunkowe, a = 3. Warunek ten spełnia tylko prosta z podpunktu d): y = 3 x. Zadanie 3 prosta prosta punkt równoległa prostopadła A(3, 1) y = 1x 1 y = x + 7 B( 1, 0) y = 1x + 1 y = x C(0, 0) y = 1x y = x D(, ) y = 1x + 1 y = x + 6 E(, 1) y = 1x + y = x 3 F (4, 1) y = 1x 3 y = x 9 Zadanie 4 Zadanie 5 a) x = 7 a) x > 5 4 4 b) x = 3 b) x < 6 7 c) x = 7 c) x < 6 + 4 3 d) y = 11 7 e) x = 3