Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności wartości bezwzględnej. Definicja. Wartością bezwzględną liczby nieujemnej nazywamy tę liczbę, a wartością bezwzględną liczby ujemnej nazywamy liczbę do niej przeciwną, to znaczy: x jeśli x 0 x := x jeśli x < 0 Stąd na przykład 5 = 5, 5 = 5, 0 = 0, π = π. Uwaga. ) Wartość bezwzględna nazywana jest też modułem. 2) Z geometrycznego punktu widzenia, x wyraża odległość na osi liczbowej pomiędzy punktem x a punktem 0, innymi słowy odległość x od 0. 3) Na x y można spojrzeć jak na odległość x y od 0, a ta jest równa odległości na osi liczbowej pomiędzy punktami x i y. 4) x 2 = x. 5) x 2 = x 2 = ( x) 2. Własności wartości bezwzględnej Twierdzenie. Niech x, y R i b R, b 0, wówczas x = x, () xy = x y, (2) x b b x b, (3) x b x b x b, (4) x + y x + y, (5) x y x + y, (6) x y x + y, (7) x y x y. (8) Dowód. Własności () i (2) wynikają wprost z definicji wartości bezwzględnej. Dowodząc każdą z tych własności należy rozważyć dwa przypadki: x 0 i x < 0. Pokażemy, że dla dowolnego x R x = x. Jeśli x 0, to x = x i jednocześnie x = ( x) = x, a zatem x = x. Jeśli x < 0, to x = x i jednocześnie x = x, więc x = x. Stąd dla dowolnego x R zachodzi równość (). Aby udowodnić własność (2) należy rozważyć trzy przypadki rozkładu znaków liczb x i y : o x 0 i y 0, 2 o x 0 i y < 0 i 3 o x < 0 i y < 0. Oczywiście przypadek 4 o x < 0 i y 0

możemy pominąć, bo jest on ujęty w 2 o. Mamy odpowiednio o x 0 y 0 xy = xy = x y, 2 o x 0 y < 0 xy = xy = x( y) = x y, 3 o x < 0 y < 0 xy = xy = ( x)( y) = x y. Własność (3), x b b x b. Pokażemy najpierw, że zachodzi implikacja b x b = x b. Załóżmy, że b x b, zatem dla x 0 mamy x = x b, a dla x < 0 mamy x = x b. Stąd dla dowolnych x rzeczywistych spełniających warunek b x b mamy x b. Teraz implikacja w przeciwną stronę x b = b x b. Jeśli x b i b 0, to ponieważ wartość bezwzgledna liczby x jest zawsze liczbą nieujemną, mamy b x b. Dla x 0 powyższa nierówność przyjmuje postać b x b, a dla x < 0 postać b x b. W tym ostatnim przypadku pomnożymy strony podwójnej nierówności przez - otrzymując b x b. Stąd dla dowolnego x R, x b zachodzi b x b. Własność (5), x b x b x b. Jeśli x b, to dla x mamy x = x b, a dla x < 0 otrzymujemy x = x b, czyli x b. Jeśli x b, to ponieważ b 0 mamy x 0. Stąd x = x b. Jeśli x b i b 0, to x 0, stąd x = x 0. Własność (6), x + y x + y. Z własności (3) zastosowanej dla b = x mamy x x x x x. Zatem x x x i y y y. Dodamy te dwie nierówności stronami, otrzymując Teraz z własności (3) x + y x + y. ( x + y ) x + y x + y. Własność (7), x y x + y, wynika z (5), jeśli za y podstawimy y: x + ( y) x + y x y x + y. Własność (8), x y x + y. Korzystając z własności (6) otrzymamy: x = x + y y x + y + y x y x + y, (9) y = y + x x y + x + x y x x + y x y y + x (0) Z (9) i (0) mamy x+y x y x+y, a więc na podstawie (3) mamy x y x+y. Własność (4), x y x y otrzymujemy z (8) przez podstawienie y := y. Przykład. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie x + x 5 = 4. Rozwiązanie. Zgodnie z Uwagą 3) zbiór rozwiązań równania jest zbiorem tych x R, dla których suma ich odległości (na osi liczbowej) od i od 5 jest równa 4. Ponieważ i 5 są odległe od siebie o 4 (jednostki osi) więc, na pewno, każda z tych liczb jest rozwiązaniem równania

x + x 5 = 4. Roziązań równania nie można się spodziewać wśród liczb leżących na lewo od czy też na prawo od 5, bo dla tych, które leżą na lewo od odległość od 5 jest większa od 4 i podobnie dla tych które leżą na prawo od 5, ich odległość od jest większa od 4. Natomiast każda liczba leżąca pomiędzy i 5, ma tę własność, że suma jej odległości od i od 5 jest równa 4. Zatem rozwiązaniem naszego równania są x [; 5]. Przykład 2. Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie a 2. Rozwiązanie. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy bez zmiany znaku wyrażenia znajdującego się pod wartościa bezwzględną, jeśli to wyrażenie jest nieujemne i ze zmianą znaku, jeśli to wyrażenie jest ujemne. Zatem musimy rozstrzygnąć dla jakich a R a 2 0 i dla jakich a a 2 < 0. a 2 0 a a, a 2 < 0 < a <. Stąd a 2 = a 2, jeżeli a a, a 2 +, jeżeli < a <. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Przy rozwiązywaniu równań nierówności z wartością bezwzględną stosujemy następujące warunki równoważne, pozwalające opuścić znak wartości bezwzględnej: oraz własności (3) i (4): x = b x = b x = b, () x = y x 2 = y 2. (2) x y x 2 y 2. (3) x b b x b, x b x b x b. W każdym z powyższych warunków x, b R i b 0. Przykład 3. Rozwiąż równania a) x 2 = 5, b) 2x 5 + 0 = 3x, c) x + + 2x 4 = 9, d) x + 2 = 2x +. Rozwiązanie. a) x 2 = 5. Skorzystamy z (): x 2 = 5 x 2 = 5 x 2 = 5 x = 3 x = 7. b) 2x 5 + 0 = 3x. Z definicji wartości bezwzględnej mamy 2x 5, jeżeli x 5 2x 5 = 2 2x + 5, jeżeli x < 5 2.

Zatem nasze równanie można zapisać w postaci alternatywy układów: 2x 5 + 0 = 3x x 5 2 stąd po przekształceniach otrzymamy x = 5 x 5 2 2x + 5 + 0 = 3x x < 5 2, x = 3 x < 5 2, Drugi układ jest sprzeczny, zatem rozwiązaniem równania jest x = 5. c) x + + 2x 4 = 9. Ponieważ x = 0 x = i 2x 4 = 0 x = 2, więc należy rozważyć trzy przypadki: x <, x < 2, x 2. Przypadek I. Jeśli x <, to x < 0 i 2x 4 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = 2 i rozwiązanie to należy do rozważanego w tym przypadku przedziału: x ( ; ). Przypadek II. Jeśli x < 2, to x 0 i 2x 4 < 0. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x + 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = 4, ale 4 / [ ; 2), zatem tę odpowiedź odrzucamy. Przypadek III. Jeśli x 2, to x 0 i 2x 4 0. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x + + 2x 4 = 9. Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 i 4 [2; ). Rozwiązaniem równania x+ + 2x 4 = 9 jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli x = 2 x = 4. d) x + 2 = 2x +. Sposób o. Postępujemy jak w podpunkcie c). Ponieważ x + 2 = 0 x = 2 i 2x + = 0 x = 2, więc rozważymy trzy przypadki: x < 2, 2 x < 2, x 2. Przypadek I. Jeśli x < 2, to x + 2 < 0 i 2x + < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie x + 2 = 2x + przyjmie postać x 2 = 2x. Jego rozwiązaniem jest x = ale / ( ; 2), zatem tę odpowiedź odrzucamy. Przypadek II. Jeśli 2 x < 2, to x + 2 0 i 2x + < 0, wówczas równanie x + 2 = 2x + [ ) przyjmie postać x + 2 = 2x. Jego rozwiązaniem jest x = i 2; 2, zatem x = jest jednym z rozwiązań równania d). Przypadek III. Jeśli x 2, to x + 2 0 i 2x + 0, wówczas równanie x + 2 = 2x + [ ) przyjmie postać x + 2 = 2x +. Jego rozwiązaniem jest x = i 2 ;.

Rozwiązaniem równania d) jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli x = x =. Sposób 2 o. Skorzystamy z (2). Jeśli moduły dwóch liczb są równe, to ich kwadraty też są sobie równe. Zatem x + 2 = 2x + (x + 2) 2 = (2x + ) 2 3x 2 3 = 0 3(x )(x + ) = 0 x = x =. Przykład 4. Rozwiąż nierówności a) 2x + 2 > 4, b) x 2 5 2, c) 2x + 2 + 3x > 4, d) 4x+ 2x 3 2, e) x 3 x. Rozwiązanie. a) 2x + 2 > 4. Skorzystamy z własności (4), otrzymując alternatywę nierówności: 2x + 2 > 4 2x + 2 < 4 2x + 2 > 4 x < 3 x >. Rozwiązaniem nierówności a) są zatem x ( ; 3) (; ). b) x 2 5 2. Skorzystamy z własności (3), otrzymując równoważną nierówność podwójną: x 2 5 2 2 x 2 5 2 3 x 2 7 3 x 2 0 i x 2 7 0 x 3 x 3 i 7 x 7 7 x 3 3 x 7. c) 2x + 2 + 3x > 4. Nie możemy skorzystać z własności ( 4), bo w tym przypadku b = 4 3x może przyjmować zarówno wartości nieujemne jak i ujemne. Aby rozwiązać tę nierówność musimy opuścić wartość bezwzględną korzystając z jej definicji. Mamy zatem alternatywę układów równań: 2x 2 + 3x > 4 2x + 2 < 0 Rozwiązując nierówności w układach otrzymamy: x > 6 x < 2x + 2 + 3x > 4 2x + 2 0, x > 2 5 x, Pierwszy z powyższych układów nierówności ma pusty zbiór rozwiązań, a rozwiązaniem drugiego układu są x > 2 5. Rozwiązaniem nierówności c) są x ( 2 5 ; ).

d) 4x+ 2x 3 2. Ponieważ zatem równanie d) jest równoważne równaniu Zastosujmy własność (5): x = x y y, 4x + 2. 2x 3 4x + 2 4x + 2x 3 2x 3 2 4x + 2x 3 2. Dziedziną tej podwójnej nierówności wymiernej jest zbiór R \ 3 2 }. Dalej mamy 4x + 2x 3 2 4x + 2x 3 2 8x 5 2x 3 0 7 0. 2x 3 Rozwiążemy nierówności pomocnicze, w których zamiast badać znak ilorazu, zbadamy znak iloczynu czynników występujących w powyższych nierównościach: (8x 5)(2x 3) 0 2x 3 0 [ 5 x 8 ; 3 ( 3 ) x 2] 2 ; [ 5 ) x 8 ;, Ponieważ x = 3 2 nie należy do dziedziny nierówności d), więc rozwiązaniem nierówności są [ ( ) x 5 8 2) ; 3 3 2 ;. e) x 3 x. Sposób o. Zastosujemy warunek (3), otrzymując Rozwiązaniem nierówności e) są x ( ; 2]. x 3 x (x 3) 2 (x ) 2 6x + 9 2x + x 2. Sposób 2 o. Możemy rozważyć trzy przypadki: x <, x < 3, x 3, postępując podobnie jak w punkcie c) Przykładu 3. Układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Niech dany będzie układ dwóch równań liniowych o niewiadomych x, y (A) a x + b y = c a 2 x + b 2 y = c 2, gdzie a, b, a 2, b 2 R. Definicja 2. Każdą parę liczb (x, y), która jest jednocześnie rozwiązaniem obu powyższych równań, nazywamy rozwiązaniem tego układu.

Na przykład rozwiązaniem układu (B) 2x y = 4 x + 2y = 3 jest para liczb (, 2), bo 2 ( 2) = 4 i + 2( 2) = 3. o Jeżeli dla każdej pary współczynników a i, b i, dla i =, 2, przynajmniej jeden z nich jest różny od zera tzn. a 0 b 0 i a 2 0 b 2 0, to wykresem każdego z równań układu (A) jest prosta. Oznaczmy pierwszą z nich przez l a drugą przez l 2, zatem l : a x + b y = c i l 2 : a 2 x + b 2 y = c 2. Uwaga. ) Jeśli proste l i l 2 nie są równoległe, to przecinaja się, zatem maja dokładnie jeden punkt wspólny. Mówimy wówczas, że układ (A) jest oznaczony, a o równaniach tego układu mówimy, że są niezależne. Taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para współrzędnych punktu przecięcia się prostych l i l 2. 2) Jeśli proste l i l 2 są różne i równoległe, to nie mają żadnego punktu wspólnego. Wtedy o układzie (A) mówimy że jest sprzeczny, a o równaniach, że są wzajemnie sprzeczne. Układ taki nie ma rozwiązań, żadna para liczb nie spełnia jednocześnie obu równań. 3) Jeśli proste l i l 2 pokrywają się, to układ (A) nazywamy nieoznaczonym. Układ taki ma nieskończenie wiele rozwiązań, każda para która spełnia równanie pierwsze spełnia też równanie drugie układu. 2 o Jeżeli, w którymś z równań układu (A), każdy ze współczynników a i, b i dla i =, 2 jest równy zero, to równanie takie jest postaci 0x + 0y = c i, zatem ma rozwiązanie, gdy c i = 0 (każda para liczb (x, y) jest rozwiązaniem tego równania) i nie ma rozwiązań, gdy c i 0. Stąd dla a = a 2 = b = b 2 = c = c 2 = 0 układ (A) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jego rozwiązaniem jest każda para (x, y), gdzie x, y R. Jeśli natomiast, a = a 2 = b = b 2 i c 0 c 2 0, to układ (A) nie ma rozwiązań. Układy równań liniowych rozwiązujemy algebraicznie graficznie. Wśród metod algebraicznych wyróżniamy metodę podstawiania, metodę przeciwnych współczynników i metodę wyznaczników. Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu niewiadomej z jednego z równań i podstawieniu jej do równania drugiego. Zilustrujemy to na przykładzie: 2x y = 4 x + 2y = 3 y = 2x 4 x + 2(2x 4) = 3. Stąd y = 2x 4 5x = 5 y = 2 x =. Zatem para (, 2) jest rozwiązaniem układu równań. Metoda przeciwnych współczynników polega na mnożeniu równań przez różne od zera stałe i dodawaniu tych równań stronami. Pokażemy to na przykładzie: 2x y = 4 x + 2y = 3 2x y = 4 x + 2y = 3 / ( 2) 2x y = 4 2x 4y = 6.

Dodajemy stronami równanie drugie do pierwszego, otrzymując: 5y = 0 2x 4y = 6. Dalej mamy y = 2 2x 4y = 6 y = 2 2x 4( 2) = 6. y = 2 2x = 2. Ostatecznie rozwiązaniem układu (B) jest para liczb (x, y) = (, 2). Metoda wyznaczników rozwiązywania układów równań liniowych. Wyznacznikiem W układu (A) nazywamy różnicę iloczynów a b 2 a 2 b, co zapisujemy tak: W = a b a 2 b 2 = a b 2 a 2 b. Dla układu (A) przez wyznaczniki charakterystyczne W x i W y rozumiemy odpowiednio: W x = W y = Na przykład dla układu (B) mamy W = 2 2 = 4 + = 5, W x = c b c 2 b 2 = c b 2 c 2 b, a c a 2 c 2 = a c 2 a 2 c. 4 3 2 = 8 3 = 5, W y = 2 4 3 = 6 4 = 0. Twierdzenie. Układ (A) równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy W 0, przy czym x = W x W, y = W y W. Nie ma rozwiązań, gdy W = 0 i jednocześnie W 0 W 2 0, a także wówczas, gdy W = W x = W y = 0 oraz a = a 2 = b = b 2 = 0 i c 0 c 2 0. Ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru rzeczywistego, gdy W = W x = W y = 0 i co najmniej jedna z liczb a, a 2, b, b 2 jest różna od zera, albo od dwóch parametrów rzeczywistych, gdy a = a 2 = b = b 2 = c = c 2 = 0. Stąd układ (B) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = Wx W 2. = 5 5 = i y = Wy W = 0 5 = Przykład 4. W wolne miejsce wpisz tak dobrane równanie liniowe zmiennych x i y, aby otrzymany układ równań, miał a) dokładnie jedno rozwiązanie, b) nieskończenie wiele rozwiązań, c) nie miał rozwiązań. Przedstaw interpretację graficzną tak zaproponowanych układów równań.... = Rozwiązanie. Oznaczmy przez ax + by = c ogólną postać poszukiwanego równania, które należy wstawić

w układzie równań w wolne miejsce. Przyjmijmy, że b 0. Zapiszmy równania prostych l : i l 2 : ax + by = c z danego układu równań w tzw. postaci kierunkowej: l : y = 3 2 x + 7 2 l 2 : y = a b + c b dla b 0. a) Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, to prosta l powinna przecinać prostą l 2 dokładnie w jednym punkcie. To znaczy, że proste te nie mogą być równoległe, w szczególności nie mogą się pokrywać. Proste są równoległe, jeśli maja jednakowe współczynniki kierunkowe, czyli w naszym przypadku dla 3 2 = a b a = 3k i b = 2k dla pewnego k Z \ 0}. Jeżeli współczynniki a i b spełniają warunek: 3 2 a b to proste l i l 2 nie są równoległe i co za tym idzie przetną się w jednym punkcie. Zatem jeśli np. a = 3 i b = a = 5 i b = 2 a = 0 i b = 2, to dla dowolnego c, układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Proponowany układ będzie wtedy postaci: (4) 3x + y = 5x + 2 y = 7 2y = 4. Możemy oczywiście, podać wiele innych możliwych układów wartości współczynników a i b, dla których a b 3 2, a zatem dla których proste l i l 2, mają dokładnie jeden punkt wspólny, a układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zauważmy, że z warunku a b 3 2 wynika, że 2a 3b 0, tzn., że W 0. b) Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste l i l 2 będą się pokrywały, to znaczy, gdy a = 3, b = 2 i c = 7, ale również gdy a = 3k i b = 2k i c = 7k dla pewnego k Z \ 0}. Proponowany układ równań będzie postaci 3kx + 2ky = 7k. Możemy zatem znów podać wiele takich układów wartości współczynników a, b, c, np. a = 2, b = 8 c = 28 (tu k = 4); a = 2, b = 8, c = 28 (tu k = 4), a = 3, b = 2 9, c = 7 9 (tu k = 9 ) itd. Charakterystyczne jest to, że a, b i c są proporcjonalne do odpowiednio 3, 2 i 7 z tym samym współczynnikiem proporcjonalności k Z \ 0}, tzn. k Z \ 0} Z warunku (5) wynika, że W = W x = W y = 0. a 3 = b 2 = c = k. (5) 7 c) Układ będzie sprzeczny, jeśli proste l i l 2 nie przetną się, to znaczy wtedy, gdy będą równoległe ale nie będą się pokrywały. Trzeba więc tak dobrać współczynniki a, b, c, aby współczynniki kierunkowe prostych były równe, a c 7, tzn. 3 2 = a b c 7,

co można też zapisać w postaci: k Z \ 0} a 3 = b 2 = k i c k. (6) 7 Warunek (6) zapisany za pomocą wyznaczników układu równań, oznacza, że W = 0 i W x 0 i W y 0. Weźmy a = 3, b = 2 i c = 5, a = 3 b = 2 c = 7 otrzymamy wtedy układ 3x + 2y = 5. 3x + 2y = 7. Przykład 5. Rozwiąż układy równań liniowych dwóch zmiennych metodą wyznaczników: (C) x + 2y = 3 2x 3y = (D) y + 2x = 3 4x 2y = 6 (E) 2x + 6y = 7 x + 3y =. Rozwiązanie. (C) W = 2 2 3 = 7 0, W x = 3 2 3 =, W y = 3 2 = 5. Ponieważ wyznacznik główny W 0, zatem układ (C) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = W x W = y = W y 7 W = 5 7. (D) Uporządkujmy w tym układzie kolumny niewiadomych tak, aby niewiadoma x z pierwszego równania stała nad niewiadomą x z drugiego równania, to znaczy zapiszemy układ (D) w postaci: 2x y = 3 Obliczymy wyznaczniki układu: W = 2 4 2 = 0, W x = 4x 2y = 6. 3 6 2 = 0, W y = 2 3 4 6 = 0. Wszystkie wyznaczniki są równe zero, zatem korzystając z Twierdzenia () wnioskujemy, że układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Widać też, że ponieważ równania są proporcjonalne (równanie pierwsze wystarczy pomnożyć przez 2, a otrzymamy równanie drugie układu), to każda para (x, y), która spełnia jedno z równań spełnia jednocześnie równanie drugie. Wyznaczmy jedną z niewiadomych np. z równania pierwszego: 2x y = 3 y = 2x 3. Stąd rozwiązaniem równania 2x y = 3 jest każda para liczb postaci (x, y) = (x, 2x 3). Jednocześnie widać, że ta para spełnia również równanie drugie (dzieje się tak dzięki proporcjonalności tych dwóch równań): 4x 2(2x 3) = 6 6 = 6. Zatem rozwiązaniem układu (D) są pary liczb postaci (x, 2x 3), gdzie pod x możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą, stąd wynika nieskończona liczba rowiązań układu. (E) Obliczymy wyznaczniki układu (E): W = 2 6 3 = 0, W x = 2 7 = 5 0

Nie ma potrzeby by obliczać wartość wyznacznika W y, bo W = 0, a W x 0, tzn., że co najmniej jeden z wyznaczników W x, W y jest różny od 0, zatem zgodnie z Twierdzeniem (), układ równań nie ma rozwiązań. Przykład 6. Rozwiąż układ równań (F ) x+y+ + 5 x y+ = 2 3 x+y 5 x y+ = 2. Rozwiązanie. Do dziedziny tego układu równań należą takie pary (x, y), x, y R, że y + x i y x, tzn. (x, y) (x, + x) i (x, y) (x, x), x R. Wprowadzimy pomocnicze niewiadome u i t. Niech u = x+y i t = x y+, zatem równoważny układ równań, o niewiadomych u i t przyjmie postać u + 5 t = 2 3 u 5 t = 2. Dodajmy stronami równanie drugie do pierwszego. Otrzymamy u + 5 4 t = 2 3 u 5 u = 4 u = 3 t = 2 u 5 3 t = 2 u 5 t = 2 u = t = 5. Para (x, y) jest rozwiązaniem układu (F ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony będzie następujący układu równań liniowych: x + y = x y + = 5. Dodając stronami równanie drugie do pierwszego w tym układzie, otrzymamy układ równoważny: 2x = 6 x = 3 x y + = 5. y =. Rozwiązaniem układu (F ) jest para liczb: x = 3 i y =. Przykład 7. Rozwiąż układ równań (G) x + y 5 = x y = 5. Rozwiązanie. Pomnóżmy równanie drugie przez i dodajmy je stronami do równania pierwszego. Otrzymamy x + y 5 = x y = 5 / ( ) y + y 5 = 6 x y = 5. Rozważmy dwa przypadki y 5, y < 5 i zapiszmy odpowiednie układy równoważne. o Dla y 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu y 5 opuszczamy bez zmiany znaku: y + y 5 = 6 x y = 5 2y = x y = 5 y = 2 x = 5 + 2. Stąd y = 2 x = 2. y = 2 x = 2 y = 2 x = 2

Zatem y = 2 x = 3 2 y = 2 x = 2. Oczywiście para (x, y) = ( 2, 2 ) spełnia warunek y 5, zatem jest rozwiązaniem układu (G). Rozważmy drugi przypadek. 2 o Dla y < 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu y 5 opuszczamy ze zmianą znaku: y y + 5 = 6 x y = 5 5 = 6 x y = 5. Otrzymany układ jest sprzeczny, zatem dla y < 5 układ (G) nie ma rozwiązań. Podsumowując, układ (G) ma dwa rozwiązania: (x, y ) = ( 3 2, 2 ), (x 2, y 2 ) = ( 2, 2 ). Przykład 8. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b R. ax by = a 2 + b 2 x + y = 2a Rozwiązanie. Zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio: W = a b = a + b, W x = a2 + b 2 b 2a Korzystając z Twierdzena mamy: Dla a b układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = a + b y = a b. = (a + b) 2, W y = a a2 + b 2 2a = a 2 b 2. Jeżeli a + b = 0, to a = b, zatem W = 0, W x = 0 i W y = 0, czyli dla a = b układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. o Jeśli a = b = 0, to układ przyjmuje postać 0x 0y = 0 x + y = 0. 0 = 0 y = x. Jego rozwiązaniem jest każda para liczb (x, y) = (x, x), gdzie x R. 2 o Jeśli a = b, i b 0 (wtedy również a 0) to możemy pierwsze równanie podzielić przez a i dodać stronami do drugiego. Otrzymamy ax + ay = 2a 2 x + y = 2a x + y = 2a. 0 = 0 Rozwiązaniem tego układu są pary (x, y) = (x, 2a x), dla dowolnego x R. Ten układ równań dla żadnych wartości parametrów a, b nie jest sprzeczny, bo jeśli W = 0, to a = b i co za tym idzie W x = 0 i W y = 0. Podsumowując mamy: a b jedno rozwiązanie (x, y) = (a + b, a b); a = b nieskończenie wiele rozwiązań : a = b = 0 (x, y) = (x, x) a = b 0 (x, y) = (x, 2a x).

Przykład 9. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b R \ 0}. x a + y b = x b + y a = Rozwiązanie. Raz jeszcze zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio: W = a b b a = a 2 b 2, W x = b a = a b, W y = a b = a b. ( ) Jeśli a b i a b, to układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie postaci (x, y) = ab b+a, ab b+a. Jeśli a = b, to W = 0 i W x = 0 i W y = 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci (x, y) = (x, a x), gdzie x R. Jeśli a = b, to W = 0 i W x = 2 a 0, zatem układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań. Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi. Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi rozwiązujemy metodą podstawiania przeciwnych znaków. Można też wprowadzić tu metodę wyznaczników. Jednakże my ograniczymy się do dwóch pierwszych metod. Przykład 0. Rozwiąż układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x 8y + 2z = 8 (F ) 2y + 3z = 2x + 4y z = 9. Rozwiązanie. Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Drugie równanie pomnóżmy przez 4 i dodajmy stronami do równania pierwszego, następnie pomnóżmy je przez 2 i dodajmy do równania trzeciego. x 8y + 2z = 8 2y + 3z = 2x + 4y z = 9 x + 4z = 2 2y + 3z = 2x 7z = Teraz pomnóżmy pierwsze równanie przez 2 i dodajmy je stronami do równania trzeciego. Otrzymamy x + 4z = 2 2y + 3z = 35z = 35 x 4 = 2 2y 3 = z = x = 2 y = z = Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest nim trójka liczb (x, y, z) = (2,, ). Zadania. Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej 2, (π 4) 2, x 2 + 2. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie x+2 = x + 4. 3. Rozwiąż równania

a) x = x, b) 3 x 3 + x = 5, c) x + x + x + = 2. 4. Rozwiąż nierówności a) 4x+ 2x 3 > 2, b) x 2 2x 3 0, c) 3x 3 6 3x, d) x + x + 2 0, e) x + x + + x + 4 0. 5. Rozwiąż równanie sin x = sin 2x. 6. Wykaż, że: a) sin x + cos dla x R, b) a sin x + b sin x a 2 + b 2 dla a, b, x R. 7. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = x + x + + x + 2, g(x) = x 3 x. 8. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników i metodą przeciwnych współczynników (H) x y = 2x 2y = 2, (I) 2x y = 3 + x x y = 6 (J) x y = 2 2x 2y = 9. Rozwiąż układ równań (K) x + y = 5 3 x 5 y = 9, 0. Bryła mosiądzu (stop miedzi i cynku) waży 67 kg. Ile waży miedź, a ile cynk znajdujące się w bryle, jeżeli po zanurzeniu w wodzie traci ona (pozornie) na ciężarze 8kg, a ciężary właściwe miedzi i cynku wynoszą odpowiednio 8, 9 kg / dm 3 i 6, 9 kg / dm 3? Wskazówka: dm 3 wody waży kg.. Statek płynie z prądem rzeki z prędkością 8 km/h, a pod prąd z prędkością 4 km/h. Obliczyć prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki. 2. Rozwiąż układy trzech równań z trzema niewiadomymi: (L) 2x 3y + 5z = x + 4y 7z = 2 3x + 2y + 8z = 3 (M) 5 x 2 y + 3 z = 9 4 2 x + 3 y + z = 5 2 x + 4 y 2 z = 5 3 3. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru m R. (m )x + 2y = x + my = 4. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu 2x + 8(m 2 + ) = 5 x + 5m 2 y = 2 jest para liczb dodatnich?

5. Dla jakich wartości parametru m każde rozwiązanie układu x + my = 3 mx + 4y = 6 spełnia warunek x > i y > 0? 6. Dla jakich wartości parametru m układ (m )x + 3y = 5 mx 2y = 4 nie ma rozwiązań? Podaj interpretację geometryczną tego układu. 7. Rozwiąż układ równań x + y = x 2 + (y ) 2 = 8. Podaj interpretację geometryczną tego układu. Oblicz pole i obwód figury, do której należy początek układu XOY i ograniczonej liniami określonymi równaniami tego układu. 8. Rozwiąż układy równań: (A) x 2 + xy = 0 y 2 + xy = 5 (B) x y = 2 x 4y = 0 (C) 4x 3 + 4xy 2 = 0 4y 3 + 4yx 2 = 0 9. Dla jakich wartości parametru m układ równań (x ) 2 + (y + ) 2 = (x 5) 2 + (y 2) 2 = m ma więcej niż jedno rozwiązanie? 20. Wyznacz wartości parametru m, dla których układ x 2 + y 2 = 9 my 2 x = 3 ma dokładnie jedno rozwiązanie. 2. Rozwiąż układy: x y 2 y + x 6 x + 3y 0, x + y 3x + y 3 y x =. Odpowiedzi. 2, 4 π, x 2 + ; 2. x = 3; 3. a) x 0, b) x = 2 x = 4 3, c) x = 0 ; ) [ ], e) x 4 3 ; 2 ; ( 4. a) x < 5 8, b) x R, c) x ( 2 ; ) 3 2 ), ; d) x (, 3 2 5. x = π 3 + 2kπ x = 4 3π + 2kπ dla k Z; 8. (H)- układ nieoznaczony, rozwiązania postaci (x, y) = (x, x ), (I) - układ oznaczony, rozwiązanie (x, y) = ( 3, 9), (J)- układ sprzeczny, brak rozwiązań; 9. x = 2, y = 3 ; 0. 53, 4 kg, 3, 8 kg;

. 6 km/h; 2. (L) - (x, y, z) = (, 2, 3), (M)- (x, y, z) = ( 6, 3, 4); 3. dla m i m 2 jedno rozwiązanie (x, y) = ( ( dla m = 2 nieskończenie wiele rozwiązań postaci x, x 2 m+, ) m+ ; ), dla m = brak rozwiązań, 4. m ( 4 3 ; 4 3 ); 5. m ( 2; 2) m (2, 4); 6. m = 2 5 ; 7. (x, y) = ( 2, ) (x, y) = (2, ), P = 2π, L = (4 + π) 2; 8. (A)- (x, y) = ( 2, 3) (x, y) = (2, 3), (B)- (x, y) = (6, 4), (C)- (x, x) (x, x), gdzie x R; 9. t (6; 36); 20. m = 0 m = 6.