Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 27 Gospodarka narodowa 3 (277) Rok LXXXV/XXVI ma czerwiec 2015 s. 27 47 Katarzyna FILIPOWICZ* Tomasz TOKARSKI** Mariusz TROJAK*** Złote reguły akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego Streszczenie: Artykuł ma na celu próbę wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est rozszerzeniem neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] o tzw. efekty grawitacyne. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego rozważa się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. W pierwszym wariancie szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. W drugim zaś wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Podęte w artykule rozważania prowadzą do następuących wniosków. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Ponadto w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba gospodarek, na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami * Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; e-mail: mroczekka@gmail.com ** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; e-mail: tomtok67@o2.pl *** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Globalizaci i Integraci Ekonomiczne; e-mail: mariusz.troak@u.edu.pl
28 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Słowa kluczowe: model grawitacyny, złote reguły akumulaci kapitału, wzrost gospodarczy, efekty grawitacyne Kody klasyfikaci JEL: C02, R11, E23, O47 Artykuł nadesłany 27 listopada 2014 r., zaakceptowany 20 maa 2015 r. Wprowadzenie 1 Celem artykułu est próba wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est kompilacą neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] z efektami grawitacynymi (wynikaącymi z modeli makroekonomicznych prezentowanych m.in. w opracowaniach Tinbergena [1962], Pulliainena [1963] lub Linnemanna [1963], por. też np. Mroczek, Nowosad, Tokarski [2015], Mroczek, Tokarski [2014] lub Mroczek, Tokarski, Troak [2014]) oraz ze złotą regułą akumulaci kapitału Phelpsa [1961] (por. też Phelps [1966] lub Tokarski [2009; 2011]). Struktura prezentowanego artykułu przedstawia się następuąco. Część druga zawiera założenia grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego, nawiązuącego do neoklasycznego, ednokapitałowego modelu wzrostu Solowa [1956]. W części trzecie znadue się definica złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa [1961] zarówno na gruncie modelu wzrostu Solowa, ak i na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego analizue się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. Po pierwsze, szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, które maksymalizuą średnią (geometryczną) z konsumpci na pracuącego we wszystkich analizowanych kraach (regionach) w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. Po drugie, wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Ponadto w te części opracowania porównue się także dwa uzyskane rozwiązania zarówno z oryginalnymi złotymi regułami akumulaci kapitału Phelpsa, ak i porównue się te rozwiązania między sobą (z punktu widzenia długookresowe wydaności pracy oraz konsumpci na pracuącego). Artykuł kończy część czwarta, w które autorzy przedstawili podsumowanie prowadzonych w nim rozważań oraz ważniesze wnioski. 1 Autorzy dziękuą Prof. Armenowi Edigarianowi z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Prof. Krzysztofowi Maladze i Dr. Michałowi Konopczyńskiemu z Katedry Ekonomii Matematyczne Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu za uwagi do wstępne wersi prezentowanego artykułu. Rzecz asna, odpowiedzialność za ostateczną wersę artykułu ponoszą wyłącznie autorzy.
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 29 Założenia modelu Model grawitacyny W prezentowanych dale rozważaniach przymue się następuące założenia: 1) Analizue się funkconowanie pewne, skończone liczby N>2 (N Ν) kraów (lub regionów) 2, między którymi istnieą przestrzenne interakce rozwou ekonomicznego. Interakce te opisane są przez scharakteryzowane dale (indywidualne i łączne) efekty grawitacyne. 2) Proces produkcyny w -te gospodarce opisany est przez funkcę produkci Cobba-Douglasa [1928]. Stąd zaś wynika, iż wydaność pracy y w owe gospodarce można zapisać wzorem (por. też np. Żółtowska [1997] lub Tokarski [2009; 2011]) 3 : y (t) a (g (t)) (k (t)) α, (1) gdzie: a > 0, α, (0;1) i < 1 α 4. Wyrażenie y oznacza wydaność pracy 2 w krau (regionie), k techniczne uzbroenie pracy w owym krau (regionie), zaś wielkość g w funkci wydaności pracy (1) opisue tę część łączne produktywności czynników produkci (a g ) w gospodarce, która wynika z działania efektu grawitacynego (efekt ów opisany est zaś w założeniach 3 4). Natomiast a >0 est częścią łączne produktywności czynników produkci wynikaącą z działania pewnych czynników, które nie są uwzględnione w prowadzonych dale rozważaniach 5. Parametr α oznacza elastyczność wielkości produkci (lub wydaności pracy) względem nakładów kapitału rzeczowego (lub technicznego uzbroenia pracy). Natomiast parametr to elastyczność łączne produktywności czynników produkci względem łącznego efektu grawitacynego, opisanego przez g. 2 Krae (regiony) będą nazywane dale również gospodarkami. 3 O wszystkich występuących dale zmiennych makroekonomicznych zakłada się, iż są różniczkowalnymi funkcami czasu t 0. Zapis x (t) będzie dale oznaczał wartość zmienne x w momencie t, zaś!x(t) dx / dt pochodną zmienne x po czasie t, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyrost wartości zmienne x w momencie t. Natomiast zapis będzie oznaczał 1,2,..., N, gdzie N>2 est liczbą analizowanych kraów (regionów). Podobnie odczytue się również wyrażenia x oraz x. 4 Przyęcie założenia, że < 1 α w równaniu (1) est bardzo istotne dla pokazania stabilności 2 nietrywialnego punktu staconarnego układu równań różniczkowych (7). Założenie to oznacza ekonomicznie tyle, iż elastyczność produkci względem efektu grawitacynego est mniesza od połowy elastyczności produktu względem nakładów pracy. 5 Zróżnicowanie a może (ak to ma miesce np. w modelu Lucasa [1988] lub Mankiwa, Romera, Weila [1992], por. też Malaga, Kliber [2007] lub Roszkowska [2013]) wynikać ze zróżnicowania kapitału ludzkiego pomiędzy analizowanymi kraami (regionami), bądź też może być skutkiem różnych instytuconalnych lub sektorowych struktur badanych gospodarek.
30 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 3) Indywidualne efekty grawitacyne, łączące kra (region) z kraem (regionem) m opisuą zależności:,m m g m (t) k (t)k m (t) d m 2, (2) gdzie,m m d m > 0 oznacza odległość między stolicą gospodarki a stolicą gospodarki m. Przez analogię do prawa powszechne grawitaci Newtona przymuemy też, że siła działania indywidualnych efektów grawitacynych łączących dwa krae (regiony) est wprost proporconalna do ich potencału ekonomicznego (mierzonego k i k m ) oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. Przyęcie alternatywnego założenia, że indywidualne efekty grawitacyne opisue związek:,m m g m (t) k (t)k m (t) γ, d m gdzie γ>0 (czyli, że w mianowniku indywidualnych efektów grawitacynych podobnie ak w analizach makroekonomicznych prowadzonych w grawitacynych modelach handlu występue d m γ, a nie d 2 m ) nie ma większego wpływu ani na stabilność analizowanego modelu wzrostu, ani na wnioski płynące z równań (8 9), ani na złote reguły akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. 4) Łączne efekty grawitacyne (oddziałuące na gospodarkę ), są średnią geometryczną z indywidualnych efektów grawitacynych. Oznacza to, iż spełnione są związki: g (t) N 1 g m (t). (3) 5) Podobnie ak w modelu wzrostu Solowa równania przyrostów technicznego uzbroenia pracy w każdym z kraów (regionów) opisuą następuące równania różniczkowe: m! k (t) s y (t) µ k (t), (4) gdzie s (0;1) µ > 0. Wyrażenia s oznaczaą stopy inwestyci w -tym krau (regionie), zaś μ stopy ubytku kapitału na pracuącego w tym krau (regionie). Stopy μ (dla kolenych ) są sumami stóp deprecaci kapitału i stopy wzrostu liczby pracuących. Równowaga modelu Z zależności (2 3) uzyskue się równania łącznych efektów grawitacynych dane wzorami:
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 31 gdzie: d N 1 d m m k (t) g (t) m 1 N 1 k m (t) 2, (5) d > 0. Wyrażenia d oznaczaą średnią geometryczną z odległości stolicy -te gospodarki od stolic pozostałych gospodarek. Dlatego też im mnieszą wartość przymue d, tym bardzie centralnie położona est -ta gospodarka, zaś wysokie wartości d są tożsame z peryferynym (w sensie geograficznym) charakterem -te gospodarki. Wstawiaąc związki (5) do równań (1) mamy: gdzie: θ a d 2 > 0. y (t) θ m k m (t) N 1 (k (t)) α, (6) Z zależności (4) i (6) dochodzi się do następuącego układu równań różniczkowych: k! N 1 (t) s θ k m (t) (k (t)) α µ k (t). (7) m Korzystaąc z twierdzenia Grobmana-Hartmana (por. Ombach [1999, s. 219 221]) można pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że układ równań różniczkowych (7) ma dokładnie eden nietrywialny punkt staconarny k * (k 1 *,k 2 *,,k N * ) w przestrzeni fazowe P [0; ) N, który charakteryzue się asymptotyczną stabilnością 6. Dlatego też punkt k * będzie dale traktowany ako punkt długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Można również pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że w nietrywialnym punkcie staconarnym k * techniczne uzbroenie pracy (k * ) oraz wydaność pracy (y * ) w -tym krau (regionie) opisane są przez równania: (N 1)(1 α 2) ln k * m ln s m a m µ m d m 2 ln s a µ d 2 1 α N 2 N 1. (8) 6 Układ równań różniczkowych (7) posiada także rozwiązanie trywialne (0,0,,0), które dale będzie ednak pomiane ako nieciekawe zarówno z ekonomicznego, ak i matematycznego punktu widzenia.
32 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 oraz: ln y * ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. (9) 2 m m Z równań (8 9) płyną m.in. cztery następuące wnioski. Po pierwsze, długookresowy zasób technicznego uzbroenia pracy i strumień wydaności pracy w krau (regionie), podobnie ak ma to miesce w oryginalnym modelu Solowa, są tym wyższe, im wyższa est stopa inwestyci s oraz im niższa est stopa ubytku kapitału na pracuącego μ w tym krau (regionie). Po drugie, im bardzie centralnie położona est dana gospodarka, czyli im niższa est średnia geometryczna z odległości d m, tym wyższy est poziom zarówno technicznego uzbroenia pracy, ak i wydaności pracy w warunkach długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Po trzecie, poziomy rozważanych tu zmiennych makroekonomicznych w -tym krau (regionie) są tym wyższe, im wyższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp s m m inwestyci w pozostałych kraach (regionach) oraz im niższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp ubytku kapitału na pracuącego w tych kraach µ m m (regionach). Po czwarte, na poziom wydaności pracy oraz technicznego uzbroenia pracy w -te gospodarce w warunkach długookresowe równowagi ma wpływ także pozagrawitacyna część łączne produktywności czynników produkci a zarówno w te gospodarce, ak i średnia geometryczna N 1 a m m z pozagrawitacynych części łącznych produktywności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). Co więce, im wyższe est a lub N 1, tym wyższe wartości przymuą y * oraz k *. a m m Złote reguły akumulaci kapitału Idea złotych reguł akumulaci kapitału po raz pierwszy poawiła się w analizach makroekonomicznych w znanym artykule Phelpsa z 1961 r. W artykule tym przez złotą regułę akumulaci kapitału rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi modelu wzrostu gospodarczego Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 33 [1928], est równa elastyczności strumienia wytworzonego produktu względem nakładów kapitału rzeczowego. Jak uż wspomniano, złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila [1992] oraz Nonnemana, Vanhoudta [1996] (por. np. Dykas, Sulima, Tokarski [2008] lub Tokarski [2011]). Wówczas złotą regułą akumulaci kapitału est taka kombinaca stóp inwestyci w kolene zasoby kapitałowe, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych nakładów kapitałowych 7. W prezentowanych dale analizach teoretycznych złotą regułę akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego definiowana est na dwa sposoby. W pierwszym wariancie przez złotą regułę akumulaci będzie się rozumieć taką kombinacę stóp inwestyci w kolenych kraach (regionach), która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego w długookresowe równowadze modelu we wszystkich kraach (regionach). Natomiast w drugim wariancie reguła ta definiowana est ako taka kombinaca stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każdym z rozważanych kraów (regionów). Wariant pierwszy maksymalizaca średnie geometryczne z konsumpci na pracuącego W punkcie staconarnym k * (przy! k 1! k 2! k N 0) zachodzą związki: (1 α )ln k * 1 N 1 ln k * 2 N 1 ln k * ln sθ 1 1 N µ 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 1 2 N 1 ln k * ln s θ 2 2 N µ 2! N 1 ln k * 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 2 N ln s θ N N co (po zsumowaniu powyższych równań) dae: µ N, * (1 α 2) ln k ln s θ, µ 7 Oznacza to, iż w dwukapitałowym modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych zasobów kapitałowych produkcie. Natomiast w N-kapitałowym modelu wzrostu Nonnemana-Vanhoudta złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w N zasobów kapitałowych równa kombinaci elastyczności strumienia produktu względem tych nakładów.
34 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 a stąd: ln s θ * µ ln k 1 α 2. (10) Z zależności (6) wynika, iż: ln y (t) lnθ N 1 więc, w szczególności, w punkcie staconarnym k * : m ln k m (t) (α )ln k (t), ln y * lnθ * ln k N 1 m (α )ln k *, m czyli: * * ln y lnθ (α 2) ln k. (11) Z równań (10) i (11) wynika zaś, że: co powodue, iż: * ln y lnθ α 2 ln s θ, 1 α 2 * 1 ln y lnθ 1 α 2 α 2 ln s. (12) 1 α 2 Niech s (s 1,s 2,,s N ) oznacza dowolną kombinacę stóp inwestyci należącą do zbioru (0;1) N, zaś c * (c * 1,c * 2,,c * N ) (0; ) N kombinacę konsumpci na pracuącego w punkcie staconarnym k *. Wiadomo ponadto, że w długookresowe równowadze konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie) opisue równanie: c * (1 s )y *. (13) µ µ Oznaczmy też przez c( s) średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego) odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci s. Wówczas, po uwzględnieniu związków (13), mamy: c(s) c * (s) (1 s ) N N y * (s). (14)
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 35 Średnią geometryczną c(s) można traktować ako swego rodzau (osadzoną w przestrzeni geograficzne) funkcę użyteczności, w które elastyczność użyteczności względem konsumpci na pracuącego w każdym z kraów (regionów) równa est 1/N. Jak uż wspomniano, w analizowanym tu wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci ŝ (ŝ 1,ŝ 2,,ŝ N ) (0;1) N, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach. Średnia ta dana est wzorem (14). Maksymalizaca funkci (14) względem kombinaci s (0;1) N tożsama est z maksymalizacą funkci: * ϕ(s) N ln c(s) ln(1 s ) ln y (s), (15) względem s (0;1) N. Funkcę (15), po uwzględnieniu równania (12), można zapisać następuąco: ϕ(s) ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 1 α 2 ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 ln µ 1 α 2. (16) Warunki konieczne maksymalizaci funkci (16) przedstawiaą się następuąco: ϕ 1 α 2 0, (17) s 1 s (1 α 2)s zaś warunek dostateczny sprowadza się do tego, by hesan: ln H(s) 2 2 ϕ / s 1 2 ϕ / s 1 s 2 2 ϕ / s 1 s N 2 ϕ / s 2 s 1 2 2 ϕ / s 2 2 ϕ / s 2 s N!! "! 2 ϕ / s N s 1 2 ϕ / s N s 2 2 2 ϕ / s N był uemnie określony przynamnie w punkcie, w którym zachodzą równania (17). Hesan H (s) można zapisać wzorem: Ω 1 0 0 0 Ω H(s) 2 0!! "! 0 0 Ω N,
36 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 gdzie: Ω 1 (1 s ) α 2 > 0. Dlatego też kolene minory główne 2 2 1 α 2)s (m 1, m 2,, m N ) hesanu H (s) określaą wzory: m ( 1) Ω 1 Ω 2 Ω, czyli minory główne m hesanu H (s) są uemne dla nieparzystych oraz dodatnie dla parzystych. Płynie stąd wniosek, że hesan H (s) ten est uemnie określony dla dowolnego s (0;1) N, więc (w szczególności) est także uemnie określony w punkcie ŝ (0;1) N. Punkt ten est zaś rozwiązaniem układu równań złożonego z równań (17). A zatem: co prowadzi do wniosku, iż: 1 α 2, 1 s (1 α 2)s ŝ α 2. (18) Równania (18) wyznaczaą pierwszy wariant złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym tu modelu wzrostu gospodarczego. Z równań tych można wyciągnąć kilka następuących wniosków. Po pierwsze, złote stopy inwestyci ŝ zależne są od elastyczności produktu względem nakładów kapitału, czyli α, oraz od siły działania efektu grawitacynego, a więc od. Po drugie, im wyższe są wartości α lub, tym wyższa est optymalna stopa inwestyci ŝ w -te gospodarce. Po trzecie, eśli gasną efekty grawitacyne, czyli 0, to złota stopa inwestyci ŝ est zbieżna do złote reguły Phelpsa. Po czwarte, przy ekstremalnie silnym działaniu efektów grawitacynych, a więc przy 1 α 2, stopy inwestyci ŝ zbieżne są do 1 -. Wariant drugi maksymalizaca konsumpci na pracuącego w każde z gospodarek W tym wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału w analizowanym grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci s (0;1) N, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. Szukaąc te złote reguły w -tym krau (regionie) przymie się także, że stopy inwestyci w pozostałych kraach (regionach) ukształtowały się na pewnych stałych poziomach (a zatem stopy te traktue się wówczas ako zmienne egzogeniczne). Wynika stąd, iż szukaąc złote reguły w -tym regionie należy zmaksymalizować funkcę: c * (s ) (1 s )y * (s ) względem s (0;1).
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 37 Maksymalizaca ta tożsama est z maksymalizacą funkci: ϕ (s ) ln c * (s ) ln(1 s ) ln y * (s ), względem s (0;1). To zaś, wraz z równaniem (9), dae: ϕ (s ) ln(1 s ) ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 lub: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ϕ (s ) ln(1 s ) α N 2 N 1 m 1 α N 2 N 1 ln s m a m µ m d m 2 ln s a α 2 d gdzie dla kolenych 8 : N 2 N 1 1 α N 2 N 1 a (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, (19) Θ ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ln µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln N 1 a µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. 2 m m 8 Wyrażenia Θ są niezależne od s, zatem nie wpływaą również na maksimum funkci (19 20).
38 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Równanie (19) można zapisać także następuąco: lub: (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) ϕ (s ) ln(1 s ) (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, ϕ (s ) ln(1 s ) λ N ln s Θ, (20) gdzie: (N 1) α N 2 N 1 1 α 2 λ N (N 1) 1 α N 2 > 0. (21) N 1 Warunki (konieczny i dostateczny) maksymalizaci funkci (20) względem s (0;1), dla kolenych, przedstawiaą się następuąco: i: dϕ ds 0 (22) Z równania (20) wynika zaś, że: d 2 ϕ ds 2 < 0. (23) oraz: dϕ ds 1 1 s λ N s (24) d 2 ϕ ds 2 1 (1 s ) 2 λ N s 2 < 0. (25) Ze związku (25) można wyciągnąć wniosek, iż dla dowolnego s (0;1) spełniony est warunek dostateczny (23) maksymalizaci funkci (20). Wstawiaąc zaś zależność (24) do związku (22) sprowadza się warunek konieczny maksymalizaci analizowane funkci do równania: λ N s 1 1 s,
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 39 co powodue, że:!s λ N 1 λ N, (26) gdzie!s oznacza stopę inwestyci w -tym krau (regionie) odpowiadaącą złote regule akumulaci kapitału. Z zależności (21) i (26) można wyciągnąć następuące wnioski: Złota stopa inwestyci!s w -tym krau (regionie) zależna est od trzech następuących czynników. Elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych (α), siły działania efektu grawitacynego () oraz liczby kraów (regionów), w których działa efekt grawitacyny (czyli N). Ponieważ: d!s 1 dλ N (1 λ N ) > 0, 2 zatem monotoniczność!s względem α, i N est taka sama, ak monotoniczność λ N względem owych zmiennych. Jeśli siła działania efektu grawitacynego spada do 0, czyli 0, to λ N α 1 α, co powodue, że stopa inwestyci!s est wówczas zbieżna do α, czyli dąży do złote reguły akumulaci kapitału Phelpsa. Przy ekstremalnie silnym działaniu efektu grawitacynego, a więc przy 1 α 2, λ N, skąd wynika, że wówczas!s 1. Ponieważ: ln λ N ln (N 1) α N 2 N 1 N 2 1 α 2 ln(n 1) ln 1 α N 1, więc: ln λ N 1 α N 2 (1 α 2) 2 N 2 (N 1) α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 1 α 2 N 1 > 0, co powodue, że także λ N / > 0. Oznacza to, że im silnie działaą efekty grawitacyne, tym wyższa powinna być stopa inwestyci!s odpowiadaąca temu wariantowi złote reguły akumulaci kapitału w analizowanym modelu wzrostu gospodarczego.
40 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Podobnie, stąd, że: ln λ N α N 1 (1 α 2) 2 (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) 1 1 α N 2 > 0, N 1 można wyciągnąć wniosek, iż λ N / α > 0, a zatem (podobnie ak w pracy Phelpsa [1961]) wysokie elastyczności produkci względem nakładów kapitału odpowiada wysoka stopa inwestyci maksymalizuąca długookresową konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie). Stąd zaś, że dla dowolnego N>2, zachodzi: N α N 1 N (N 1) α N 2 1 α 2 N 1 1 α 2 λ N1 λ N N 1 α N 1 N (N 1) 1 α N 2, N 1 co prowadzi do równości: α N 1 N 1 α N 2 N 1 α N 2 N 1 N 1 1 α N λ N1 λ N 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 N 1 N 1 N 1 α N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2, N 1 (1 α 2) którą można zapisać również następuąco: λ N1 λ N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α ) N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α )
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 41 a zatem: λ N1 λ N 2 N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 < 0, N 1 (1 α 2) wynika, że dla każdego N>2 spełniona est nierówność: λ N1 < λ N. Płynie stąd wniosek, iż im więce gospodarek kraowych (regionalnych) korzysta z działania efektu grawitacynego, tym niższa est stopa inwestyci!s gwarantuąca -te gospodarce maksymalną konsumpcę na pracuącego w długim okresie. Licząc zaś granicę (przy N ) z λ N mamy: α N 2 N 1 lim λ N N lim N co wraz ze związkiem (26) dae: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 α 1 α, lim!s N α. (27) Z równania (27) wynika, że przy bardzo duże liczbie gospodarek korzystaących w efektu grawitacynego optymalna stopa inwestyci w każdym z kraów (regionów), czyli!s, wyższa est od phelpsowskie złote stopy inwestyci (równe α) oraz niższa od optymalne stopy inwestyci w wariancie pierwszym (wynoszące α2). Porównanie stanów długookresowe równowagi gospodarki przy różnych złotych regułach akumulaci kapitału Niech p (dla kolenych ) oznacza iloraz długookresowe wydaności pracy w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. Zatem wówczas: p ŷ *!y, * gdzie ŷ * (!y * ) oznacza długookresową wydaność pracy odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci ŝ (!s). Oznaczmy też przez: p ŷ!y iloraz średnie geometryczne z wydaności pracy w wariancie pierwszym i drugim złotych reguł akumulaci kapitału. Analogicznie zdefiniumy także
42 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 przez q ĉ *!c * oraz q ĉ!c ilorazy długookresowych wielkości konsumpci na pracuącego w kolenych gospodarkach w pierwszym i drugim wariancie analizowanych reguł i ilorazy ich średnich geometrycznych. Wówczas: ln p ln ŷ * ln!y *, (28) ln p ln ŷ ln!y, (29) ln q ln ĉ * ln!c * (30) oraz: ln q ln ĉ ln!c. (31) Ze związków (9) i (28) można wyciągnąć wniosek, że: ln p α N 2 N 1 1 α N 2 N 1 co (po kilku przekształceniach) dae: N (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 (ln ŝ N 1 ln!s ), ln p α 2 1 α 2 (ln ŝ ln!s ). (32) Z równań (32) wynika, że ilorazy p zależne są od trzech czynników. Elastyczności produkci względem nakładów kapitału α, siły działania efektu grawitacynego oraz liczby kraów (regionów) korzystaących z działania efektu grawitacynego N (należy bowiem pamiętać o tym, że stopy inwestyci ŝ i!s są również funkcami α, oraz N). Ponieważ zróżniczkowanie równania (32) względem α i, po uwzględnieniu równań ŝ oraz!s, est mocno skompli kowane, zatem autorzy zdecydowali się na policzenie ilorazów p na podstawie (przedstawione w pracy Mroczek, Tokarski [2014]) kalibraci parametrów α i dla 28 kraów UE za lata 2002 2012. Zgodnie z tą kali bracą α0,293, 0,0868, co powodue, iż ŝ 0,4666 oraz!s 0,3803 9 i wówczas 9 Złote stopy inwestyci równe (odpowiednio) ŝ 46,7% i!s 38,0%, wynikaące z prezentowanych tu złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego i cytowanych kalibraci, mogą wydawać się znacząco przeszacowane, gdyż w kraach UE stopy te w latach 2002 2012 kształtowały się między 16,2% (w Wielkie Brytanii) a 28,6% (w Estonii za Mroczek, Tokarski [2014]). Należy ednak pamiętać, iż dążenie do uzyskania złotych reguł akumulaci kapitału wiąże się z radykalnym ograniczeniem bieżące konsumpci np. z 83,8% produktu w Wielkie Brytanii lub z 71,4% produktu w Estonii do 53,3% produktu (zarówno w Wielkie Brytanii, ak i w Estonii w wariancie pierwszym) lub do 62,0% produktu (w obu tych
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 43 ln p 0,179, a zatem: p 1,196. Płynie stąd wniosek, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to w pierwszym badanym wcześnie wariancie złotych reguł akumulaci każda z gospodarek powinna osiągnąć o prawie 20% wyższą długookresową wydaność pracy, niż w wariancie drugim. Co więce, stąd, że dla każdego ilorazy p są sobie równe oraz ze związków (28 29) płynie wniosek, iż dla dowolnych p p. A zatem przy α0,293, 0,0868 i N28 również średnia geometryczna z długookresowe wydaności pracy powinna być o prawie 20% wyższa w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału, niż w wariancie drugim. Ponieważ: ln ĉ * ln(1 ŝ ) ln ŷ * oraz ln!c * ln(1!s ) ln ŷ *, więc stąd oraz z równań (30) i (32) mamy: ln q ln 1 ŝ ln ŷ * 1!s ln!y * ln 1 ŝ ln p i 1!s. (33) i Równania (33) interpretue się ekonomicznie analogicznie do związków (32). Dlatego też, z równań tych wynika, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to dla każdego ln q 0,0289, co powodue, że q 1,029. A zatem w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału długookresowa konsumpca na pracuącego w każde z gospodarek powinna być o ok. 2,9% wyższa, niż w wariancie drugim. Wówczas również, przy q 1 q 2 q N, ze związku (31) wynika, że dla dowolnego q q. Odnosząc zaś złote reguły w wariancie pierwszym lub drugim w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego do oryginalnych złotych reguł akumulaci Phelpsa (przy α0,293) okazue się, że w wariancie pierwszym długookresowa wydaność pracy byłaby o ok. 50,2% wyższa, niż przy złotych regułach Phelpsa, natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego o ok. 13,3% wyższa. Jeśli zaś chodzi o porównanie długookresowych wielkości wydaności pracy i konsumpci na pracuącego wielkości te byłyby w wariancie drugim o (odpowiednio) ok. 25,6% oraz 10,1% wyższe niż w oryginalnych złotych regułach Phelpsa. gospodarkach w wariancie drugim). To zaś wymaga wyrzeczeń konsumpci bieżącego pokolenia, na rzecz konsumpci przyszłych pokoleń. Odchylenia bieżących stóp inwestyci od złotoregułowych stóp inwestyci można zaś stosunkowo prosto wytłumaczyć teoretycznie na gruncie modeli optymalnego sterowania (por. np. Tokarski [2009; 2011] lub Konopczyński [2015]), gdzie uwzględnienie subiektywne stopy dyskonta konsumpci przyszłe (w stosunku do konsumpci bieżące) typowych podmiotów w gospodarce prowadzi do kształtowania się rzeczywistych stóp inwestyci poniże złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa.
44 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Co więce, eśli zaś (przy powyższych założeniach) porówna się wydaność pracy i konsumpcę na pracuącego w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału z wartościami tych zmiennych przy nieważone średnie stóp inwestyci w kraach UE w latach 2002 2012 (wynoszące 21,6%), to okazue się, że w pierwszym wariancie długookresowa wydaność pracy w pierwszym wariancie powinna być o 96,2% wyższa niż przy 21,6% stopie inwestyci, w drugim zaś wariancie o 64,0% wyższa. Natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego winna być w wariancie pierwszym o 33,5% wyższa niż przy s 21,6%, zaś w drugim wariancie o 29,7% wyższa niż przy średnich stopach inwestyci w kraach UE w latach 2002 2012. Podsumowanie Prowadzone w artykule rozważania można podsumować następuąco: I. Zaprezentowany w artykule grawitacyny model wzrostu gospodarczego bazue na modelu wzrostu Solowa. W modelu tym przymue się również założenie, że na zróżnicowanie łączne produktywności czynników produkci (a tym samym także na zróżnicowanie wydaności pracy) w kraach (regionach) wypływaą występuące między nimi interakce przestrzenne. Interakce te opisane są przez efekty grawitacyne. Sposób kwantyfikaci siły działania efektów grawitacynych w tym modelu wzrostu gospodarczego nawiązue do newtonowskiego prawa powszechne grawitaci. Zakłada się zatem, że gospodarki oddziałuą na siebie z określoną siłą, która est wprost proporconalna do iloczynu ich potencałów gospodarczych oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. II. Opisany model teoretyczny posiada nietrywialny, asymptotycznie stabilny punkt staconarny, który na gruncie ekonomicznym traktowany est ako punkt długookresowe równowagi modelu. W warunkach długookresowe równowagi analizowanego modelu wzrostu techniczne uzbroenie pracy oraz wydaność pracy w danym krau (regionie) zależą od stopy inwestyci, stopy ubytku kapitału na pracuącego, pozagrawitacyne części łączne produktywności czynników produkci w tym krau (regionie), od średnie odległości te gospodarki od pozostałych gospodarek, a także od stóp inwestyci, stóp ubytku technicznego uzbroenia pracy oraz pozagrawitacynych części łączne produkcyności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). III. W teorii ekonomii przez złotą regułę akumulaci Phelpsa rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi typu Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa, est równa elastyczności strumienia produktu względem zasobu kapitału. Złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również
Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału... 45 uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila oraz Nonnemana, Vanhoudta. IV. W grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego złota reguła akumulaci kapitału definiowana est przez autorów na dwa sposoby. Regułę tę definiue się albo ako taką kombinacę stóp inwestyci w gospodarkach obętych działaniem efektu grawitacynego, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze) we wszystkich gospodarkach, albo ako taką kombinacę owych stóp, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde gospodarek. V. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. VI. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Co więce, w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba kraów (regionów), na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. VII. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Bibliografia Cobb C. W., Douglas P. H. [1928], A Theory of Production, American Economic Review, no. 18. Dykas P., Sulima A., Tokarski T. [2008], Złote reguły akumulaci kapitału w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego, Gospodarka Narodowa, nr 11 12. Konopczyński M. [2015], Optymalna polityka fiskalna w gospodarce otwarte w świetle teorii endogenicznego wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań (w druku). Linnemann H. [1963], An Econometric Study of International Trade Flows, North-Holland Publishing Company, Amsterdam. Lucas R. E. [1988], On the Mechanics of Economics Development, Journal of Monetary Economics, July.
46 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Malaga K., Kliber P. [2007], Konwergenca i nierówności regionalne w Polsce w świetle neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne w Poznaniu, Poznań. Mankiw N. G., Romer D., Weil D. N. [1992], A Contribution to the Empirics of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, May. Mroczek K., Nowosad A., Tokarski T. [2015], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach bałkańskich, Gospodarka Narodowa, nr 2. Mroczek K., Tokarski T. [2014], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach UE, referat na IV Ogólnopolską Konferencę im. prof. Z. Czerwińskiego, pt. Matematyka i informatyka na usługach ekonomii, WIGE UEP, Poznań, 25.04.2014. Mroczek K., Tokarski T., Troak M. [2014], Grawitacyny model zróżnicowania rozwou ekonomicznego woewództw, Gospodarka Narodowa, nr 3. Nonneman W., Vanhoudt P. [1996], A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, Quarterly Journal of Economics, August. Ombach J. [1999], Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo-maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Phelps E. S. [1961], The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen, American Economic Review, September. Phelps E. S. [1966], Model of Technical Progress and the Golden Rule of Research, Review of Economic Studies, April. Pulliainen K. [1963], A World Trade Study. An Econometric Model of the Pattern of Commodity Flows in International Trade in 1948 1960, Ekonomiska Samfundet Tidskrift, no. 2. Roszkowska S. [2013], Kapitał ludzki a wzrost gospodarczy w Polsce, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Solow R. M. [1956], A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, February. Tinbergen J. [1962], Shaping the World Economy: Suggestions for an International Economic Policy, The Twentieth Century Fund, New York. Tokarski T. [2009], Matematyczne modele wzrostu gospodarczego (uęcie neoklasyczne), Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Tokarski T. [2011], Ekonomia matematyczna. Modele makroekonomiczne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. Żółtowska E. [1997], Funkca produkci. Teoria, estymaca, zastosowania, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.