Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki ograniczające są funkcjami liniowymi ekonomiczne wykorzystanie Programowania Liniowego do opisu sytuacji decyzyjnej i znalezienia decyzji optymalnej (najlepszej). 1. Rodzaje LZD: Optymalnego asortymentu produkcji Diety Transportowe Mieszanki Rozkroju (wyboru odpowiedniego procesu technologicznego) Przydziału (alokacji szeroko pojętych zasobów) Optymalnego rozłoŝenie w czasie inne 2. UłoŜenie LZD: przełoŝenie sytuacji decyzyjnej na język matematyczny (budowa modelu matematycznego): Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Określenie postaci funkcji celu (funkcji kryterium) Sformułowanie warunków ograniczających Ustalenie warunków znakowych i/lub innych warunków nałoŝonych na zmienne decyzyjne (np. całkowitoliczbowości albo binarności) Rozwiązanie dopuszczalne (decyzja dopuszczalna): taka wartość zmiennej decyzyjnej, która spełnia wszystkie warunki ograniczające. Rozwiązania dopuszczalne tworzą ZRD (zbiór rozwiązań dopuszczalnych) Rozwiązanie optymalne: x * - takie rozwiązanie dopuszczalne, dla którego funkcja celu osiąga wartość najkorzystniejszą (najwyŝszą/najniŝszą w danym ZRD) LZD z dwoma zmiennymi moŝemy rozwiązać graficznie. KaŜdy punkt płaszczyzny jest rozwiązaniem - odczytujemy je jako współrzędne tego punktu. Spośród wszystkich punktów płaszczyzny tylko niektóre są rozwiązaniami dopuszczalnymi (czyli takimi, które bierzemy pod uwagę jako moŝliwe rozwiązania problemu) - muszą spełniać wszystkie warunki ograniczające zadania. Najlepszym rozwiązaniem z spośród dopuszczalnych jest to o najkorzystniejszej wartości funkcji celu. 3. Rozwiązanie LZD metodą graficzną: Rysujemy osie układu współrzędnych i opisujemy je (oś pozioma x 1, oś pionowa x 2 ) Obliczenie punktów przecięcia linii stanowiących warunki ograniczające z osiami i narysowanie tych linii (oznaczamy kaŝdą linię i rysujemy zwrot nierówności) Znalezienie zbioru rozwiązań dopuszczalnych (część wspólna wszystkich ograniczeń) Określenie nachylenia wszystkich prostych (dla ax 1 +bx 2 =c nachylenie prostej wynosi a/b) Rysujemy na wykresie choć jedną izolinię/izokwantę obrazującą graficznie funkcję celu. Dla funkcji celu w postaci c 1 x 1 +c 2 x 2 kaŝda izokwanta przecina osie układu współrzędnych w takich punktach, Ŝe stosunek odległości przecięcia z osią x 2 (pionową) od początku układu współrzędnych do odległości przecięcia z osią x 1 (poziomą) od początku układu współrzędnych ma się jak c 1 /c 2, czyli przykładowo jedna z izokwant przecina oś pionową x 2 w punkcie c 1 a oś poziomą x 1 w punkcie c 2 (moŝemy brać równieŝ krotności). Ilustrują to dwa poniŝsze przykłady, gdzie zaznaczono kilka izokwant, spośród których pogrubiona została narysowana zgodnie z powyŝszymi zasadami:
Dla sprawdzenia czy dobrze narysowaliśmy izokwantę moŝemy narysować takŝe gradient, do którego izokwanty są prostopadłe. Jest to szczególnie przydatne, gdy przy którejś z wag funkcji celu stoi znak minus. Gradient jest to wektor wskazujący na kierunek wzrostu wartości fc. Jego początek leŝy w początku układu współrzędnych, a współrzędne końca gradientu to (c 1,c 2 ) lub ich krotności (uwaga moŝna powiedzieć, Ŝe występuje tu pewna zamiana parametrów niŝ przy rysowaniu izokwanty). Ilustrują to poniŝsze przykłady, gdzie zaznaczono izokwanty, oraz narysowano takŝe gradient:
Określenie punktu styczności najwyŝej/najniŝej połoŝonej izokwanty z wierzchołkiem zbioru rozwiązań dopuszczalnych (moŝe to być takŝe krawędź w przypadku takiego samego nachylenia izokwanty i któregoś warunku ograniczających) - narysowaną izokwantę przesuwamy równolegle do miejsca w którym posiada jeszcze jakiś punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych - jest to rozwiązanie optymalne (x*). W
celu znalezienia współrzędnych punktu optymalnego (czyli liczbowego rozwiązania optymalnego) musimy rozwiązać układ równań złoŝony z równań dwóch prostych, których przecięciem jest punkt optymalny. Punkty na danej izokwancie odpowiadają tej samej wartości funkcji celu, a izokwanty odpowiadające róŝnym wartościom funkcji celu są do siebie równoległe. JeŜeli chcemy "przejść" na izokwantę o wyŝszej wartości funkcji celu to "przeskakujemy" zgodnie z kierunkiem wskazanym przez gradient.. JeŜeli LZD ma rozwiązanie(a) dopuszczalne to rozwiązanie optymalne znajduje się w punkcie, w którym izokwanta dla najkorzystniejszej wartości funkcji celu jest styczna do ZRD. Na podstawie stosownych twierdzeń wiemy, Ŝe rozwiązanie zadania znajduje się w wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych (podstawa metody SIMPLEX) 4. Ilość rozwiązań dopuszczalnych: Brak zadanie sprzeczne, brak części wspólnej dla ograniczeń Jedno np. gdy zadanie ma dwa warunki ograniczające będące równościami - jedyne rozwiązanie dopuszczalne znajduje się w punkcie ich przecięcia się Nieskończenie wiele (odcinek albo obszar) 5. Ilość rozwiązań optymalnych: Jedno (wierzchołek) Nieskończenie wiele (krawędź) Brak rozwiązania (brak części wspólnej dla wszystkich ograniczeń) zadanie sprzeczne Brak (skończonego) rozwiązania (np. przy funkcji celu na max brak ograniczenia od góry)
6. Analiza wraŝliwości / analiza postoptymalizacyjna (dla danego parametru) zakładając niezmienność pozostałych parametrów określamy jak zmieni się rozwiązanie optymalne LZD przy róŝnych wartościach danego parametru. Analizę wraŝliwości przeprowadzamy dla: Wag funkcji celu - zmiana którejś z wag powoduje zmianę nachylenia izokwant, które wynosi c 1 /c 2. Jeśli c 1 wzrośnie/spadnie to rośnie/maleje nachylenie izokwant, jeśli c 2 wzrośnie/spadnie to maleje/rośnie nachylenie izokwant. Większe nachylenie oznacza, Ŝe izokwanty są strome, mniejsze to inaczej łagodniejsze nachylenie. Wartości ograniczeń (prawych stron) - jeśli wartość prawej strony rośnie, to warunek przesuwa się do góry (w prawo), jeśli maleje to warunek przemieszcza się w dół (w lewo).