2/8 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2003, Rocznik 3, Nr 8 Archives of Foundry Year 2003, Volume 3, Book 8 PAN - Katowice PL ISSN 1642-5308 OPTYMALIZACJA DWUKRYTERIALNA ASORTYMENTU PRODUKCJI W ODLEWNI F. BINCZYK 1, J. PIĄTKOWSKI 2, J. SZYMSZAL 3 Katedra Technologii Stopów Metali i Kompozytów, Politechnika Śląska, ul. Krasińskiego 8, 40-019 Katowice STRESZCZENIE W pracy przedstawiono metodę wyznaczenia optymalizaci nieliniowedwukryterialne na przykładzie wybranego zakładu odlewniczego. Programowanie ilorazowe, oparte na funkci liniowo-ułamkowe zwaną funkcą kryterialną posłużyło do optymalizaci struktury asortymentowe produkci dwóch rodzaów łączników żeliwnych: EE1 i EE2. Dane potrzebne do wyznaczenia optymalizaci hiperboliczne zaimportowano do arkusza kalkulacynego Microsoft Excel, a wszystkich obliczeń dokonano przy użyciu modułu Solver. Keywords: Solver module, non-linear programmes, hyperbolically optimisation 1. WPROWADZENIE Przy rozwiązywaniu problemów współczesnego zarządcy produkci, często występue problem rozwiązania zadania optymalizacynego, w którym występuą dwie funkce celu: osiągnięcie maksymalnego efektu (np. zysku) przy ednoczesne minimalizaci nakładów (kosztów lub poniesione straty). Podczas rozpatrywania zagadnień, w których występue więce niż edna funkca celu, można mówić o opty malizaci wielokryterialne, z które naczęście stosowaną est optymalizaca wykorzystuąca zagadnienia dwukryterialne [1, 2]. Dotychczas nie znaleziono bezpośrednie metody rozwiązania tak postawionych celów, korzysta się więc z metod pośrednich, z których naczęście stosowaną est me- 1 dr hab. inż. prof. Pol. Śl. 2 dr inż. adiunkt 3 dr inż. adiunkt 23
toda wykorzystuąca tzw. funkcę kryterium. Funkca ta est wskaźnikiem o budowie liniowo-ułamkowe, dlatego często programowanie oparte na te funkci zwane est ilorazowym. Nie est to ednak zadanie optymalizaci liniowe, lecz zadanie optymalizacyne z ułamkowo-liniową funkcą celu, nazywane również zadaniem optymalizaci hiperboliczne [2, 3]. W zagadnieniach tych, np. przy optymalizaci struktury asortymentowe produ k- ci lub problemu mieszanek, ważną rolę odgrywaą parametry ilorazowe (współczynn i- ki), np. koszt ednostkowy, rentowność, wydaność pracy, które należą do zagadnień optymalizaci nieliniowe. Wielu autorów zwraca bowiem uwagę przed użyciem mod u- łu Solver do poszukiwania decyzi optymalnych w zadaniach optymalizaci nieliniowe na utrudnienia, akie może napotkać użytkownik, wynikaące zarówno ze specyfiki działania samego modułu, ak i charakteru rozwiązywanych zadań optymalizacynych. W zagadnieniach optymalizaci liniowe, decyza optymalna (eśli istniee), est tzw. optimum globalnym, co est równoznaczne z faktem, że wyznaczona przez tę d e- cyzę wartość funkci celu est nawiększą, (bądź namnieszą), w całym zbiorze decyzi dopuszczalnych. Natomiast, w zadaniach optymalizaci nieliniowe bardzo często, oprócz optimum globalnego, mogą istnieć tzw. optima lokalne, których obecność znacznie utrudnia znalezienie optimum globalnego (czyli decyzi optymalne). 2. OPTYMALIZACJA DWUKRYTERIALNA Matematyczny model optymalizaci hiperboliczne przy wyborze asortymentu produkci przedstawiono w oparciu o przedsiębiorstwo odlewnicze, które wytwarza produkty według następuących danych: łączniki żeliwne w ilości n ich asortymentów, przy produkci których zużywa p środków produkci, ednostkowe nakłady środków produkci a i (gdzie: i= 1, 2,..., p; = 1, 2,..., n) pomnożone przez wielkości zmiennych decyzynych x (czyli wielkość produkci danego asortymentu łączników ), powinny być niższe od limitów środków produkci b i. A więc: n 1 a i x b ( i 1,2,..., p) i (1) Ponadto znane są : współczynniki wartości produkci c, 24 współczynniki zatrudnienia d przypadaące na ednostkę -tego asortymentu łącznika. Dodatkowym ograniczeniem est nieuemność zmiennych decyzynych, czyli:
ARCHIWUM ODLEWNICTWA x > 0 ( = 1, 2,..., n), oraz c, d > 0 (2) Funkcą celu będzie funkca mierząca wydaność pracy, tzn. maąca charakter wskaźn i- ka efektywności nakładów, gdyż należy określić taką asortymentową strukturę produkci łączników, która maksymalizue wskaźnik wydaności pracy. W rozpatrywanym zadaniu, chodzi o uzyskanie dwóch następuących wartości opt y- malnych: n F1 ( x) c x max, 1 (3) n F2 ( x) d x min. 1 (4) W oparciu o przedstawione wartości optymalne (3) i (4), funkca celu będzie przedstawiała się następuącą zależnością: przy ednoczesnym spełnieniu podanych wcześnie ograniczeń. Sformułowane w ten sposób zagadnienie est zadaniem optymalizaci dwukryterialne. Rozwiązanie ego est próbą poszukiwania pewnego kompromisu, gdyż nie można wyznaczyć takiego rozwiązania, przy którym ednocześnie funkca F 1 (x) (czyli wartość produkci) osiąga maksimum, a F 2 (x) (czyli nakłady na zatrudnienie) osiąga minimum. Należy zaznaczyć, że uzyskane rozwiązanie kompromisowe może znacznie odbiegać (przy tych samych ograniczeniach) od rozwiązania, gdy: F 1 (x) max lub F 2 (x) min. n 1 F ( x) max, (5) n d x 1 c x 25
3. METODYKA BADAWCZA Wybrana Odlewnia Żeliwa Ciągliwego produkue na eksport dwa rodzae łączników EE1 oraz EE2. Z analizy technologiczności firmy można uzyskać nas tępuące informace decyzyne, które powinny pozwolić na określenie optymalnego asortymentu produkci na przyszły rok kalendarzowy: 1. zużycie żeliwa na 1 tonę łączników: EE1 1,2 tony, 2. EE2 1,3 tony, 3. zasoby żeliwa: 6400 ton, 4. zużycie masy formierskie na 1 tonę łączników: EE1 0,85 tony, 5. EE2 0,95 tony, 6. zasoby masy formierskie: 8000 ton, 7. pracochłonność na 1 tonę łączników: EE1 48 h, 8. EE2 67 h, 9. zasoby czasu pracy: 130000 h, 10. koszt produkci 1 tony łączników: EE1 4200 zł, 11. EE2 5100 zł 12. wpływ ze sprzedaży 1 tony łączników: EE1 2600 $, 13. EE2 3100 $, 14. minimalne zapotrzebowanie na łączniki: EE1 700 ton, 15. EE2 400 ton, 16. maksymalne zapotrzebowanie na łączniki: EE1 2500 ton, 17. EE2 2600 ton. W celu rozwiązania przedstawionego zadania optymalizaci dwukryterialne, należy wskazać, aki asortymentowy plan produkci łączników EE1 i EE2, (przy możliwie naniższych kosztach własnych), pozwoli uzyskać maksymalny wpływ dewizowy z ich sprzedaży. Oprócz charakteru asortymentu produkci, należy podać wysokość wpływu dewizowego, przypadaącego na 1 złotówkę kosztów własnych, przy rozwiązaniu o p- tymalnym. Budowę arkusza kalkulacynego [4, 5], z wstępnymi danymi decyzynymi, w którym dokonano potrzebnych obliczeń, w celu rozwiązania postawioneg o zadania optymalizacynego przedstawiono na rys.1. 26
ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rys.1. Dane początkowe. Fig.1. First files. Do komórek B5 i C5 wprowadzono ednostkowe koszty produkci łączników typu EE1 i EE2, a w komórce D5 za pomocą formuły =SUMA.ILOCZYNÓW(B3:C3;B5:C5) obliczono ogólne koszty wytworzenia roczne produkci obu rodzaów łączników, gdyż będą one równe: F 2 (x) = 4200x 1 + 5100x 2 (6) Podobnie do komórek B8 i C8 wprowadzono odpowiednio, ednostkowe wpływy dewizowe ze sprzedaży produkowanych łączników, a w komórce D8 za pomocą formuły =SUMA.ILOCZYNÓW(B3:C3;B8:C8) obliczono ogólne wpływy dewizowe ze sprzedaży roczne produkci obu rodzaów łączników, gdyż będą one równe: F 1 (x) = 2600x 1 + 3100x 2 (7) Na podstawie zależności (5) oraz (6) i (7) funkca celu w analizowanym zagadnieniu optymalizacynym będzie zdefiniowana następuąco: 2600x1 F(x) 3100x2 4200x1 5100x2 (8) 27
Ponieważ licznik te funkci ma dążyć do maksimum (wpływy dewizowe), n a- tomiast mianownik do minimum (koszty produkci) - więc wartość całe funkci powinna dążyć do maksimum. Formuła obliczaąca funkcę celu: =D8/D5 wprowadzona do komórki B19 informue nas ednocześnie, aki zysk (w dolarach) możemy uzyskać z każde zainwestowane w produkcę złotówki. Po zdefiniowaniu funkci celu, należy określić warunki ograniczaące: do komórki A13 wprowadzono nazwę warunku ograniczaącego W1 - dotyczącego zużycia żeliwa na 1/tonę łączników, który est następuący: 1,2x 1 + 1,8x 2 < 28 6400, natomiast do komórek B13 i C13 wprowadzono odpowiednio, współczy nniki zużycia żeliwa na 1 tonę łączników EE1 (1,2) i EE2 (1,8); do komórki D13 lewą stronę tego warunku =SUMA.ILOCZYNÓW($B$4:$C$4;B13:C13), a do komórki E13 wartość prawe ego strony (limit zasobów żeliwa) - czyli liczbę 6400, w komórce A14 wprowadzono warunek ograniczaący W2 dotyczący zużycia masy formierskie na 1/tonę łączników, który est następuący: 0,85x 1 + 0,95x 2 < 8000, natomiast komórki B14 i C14 wypełniono współczynniki zużycia masy na 1 tonę łączników EE1 (0,85) i EE2 (0,95); do komórki D14 wprowadzono lewą stronę tego warunku przy pomocy funkci =SUMA. ILOCZYNÓW ($B$4:$C$4;B14:C14), a do komórki E14 wartość prawe ego strony (limit zasobów masy) - czyli liczbę 8000, do komórki A15 wprowadzono nazwę warunku ograniczaącego W3 dotyczącego pracochłonności na 1/t łączników, który est następuący: 48x 1 + 67x 2 < 130000, natomiast do komórek B15 i C15, współczynniki pracochłonności na 1 tonę łączników EE1 (48) i EE2 (67); do komórki D15 wpisano lewą stronę tego warunku według formuły: =SUMA.ILOCZYNÓW ($B$4:$C$4;B15:C15), a do komórki E15 wartość prawe ego strony (limit zasobów praco- chłonności) - czyli liczbę 130000, w komórce A16 umieszczono nazwę warunku ograniczaącego W4A dotyczącego minimalne podaży roczne łączników EE1, który est następuący: x 1 > 700, natomiast do komórek B16 i C16 wprowadzono, odpowiednio, współczynniki 1 i 0; do komórki D16 wprowadzimy lewą stronę tego warunku =SUMA.ILOCZYNÓW ($B$4:$C$4; B16:C16), a do komórki E16 wartość prawe ego strony (dolna granica podaży) - czyli liczbę 700, do komórki A17 wprowadzimy nazwę warunku ograniczaącego W4B dotyczącego maksymalne podaży roczne łączników EE1, który est następuący: x 1 < 2500, natomiast do komórek B17 i C17 wprowadzimy, odpowiednio, wspó łczynniki 1 i 0; do komórki D17 lewą stronę tego warunku =SUMA.ILOCZYNÓW ($B$4:$C$4; B17:C17), a do komórki E17 wartość prawe ego strony (górna granica podaży) - czyli liczbę 2500, do komórki A18 wprowadzono nazwę warunku ograniczaącego W5A dotyczącego minimalne podaży roczne łączników EE2, który est następuący: x 2 > 400, natomiast do komórek B18 i C18 odpowiednio, współczynniki 0 i 1; do komórki
ARCHIWUM ODLEWNICTWA D18 lewą stronę tego warunku =SUMA.ILOCZYNÓW ($B$4:$C$4; B18:C18), a do komórki E18 wartość prawe ego strony (dolna granica podaży) - czyli liczbę 400, do komórki A19 wpisano nazwę warunku ograniczaącego W5B dotyczącego maksymalne podaży roczne łączników EE2, który est następuący: x 2 < 2600, natomiast do komórek B19 i C19 wprowadzono, odpowiednio, współczynniki 0 i 1; do komórki D19 lewą stronę tego warunku =SUMA.ILOCZYNÓW ($B$4:$C$4; B19:C19), a do komórki E19 wartość prawe ego strony (górna granica podaży) - czyli liczbę 2600. Dodatkowo, blok komórek zawieraący warunki ograniczaące należy uzupełnić o e d- nostki (komórki F13:F19) oraz znaki nierówności danych warunków (rys. 1), które znakomicie ułatwiaą późniesze ich definiowanie w oknie Solver-Parametry. Po zaimportowaniu wszystkich danych do arkusza kalkulacynego Microsoft Excel, określeniu funkci celu i zdefiniowaniu warunków ograniczaących, należy uruchomić moduł Solver. W koleny etapie należy wykonać trzy czynności: określić komórkę zawieraącą funkcę celu (est nią komórka A22), rodza optymalizaci (Maks), zdefiniować adresy komórek zmienianych (zmiennych decyzynych) (blok komórek B4:C4), określić blok warunków ograniczaących z odpowiednimi znakami. 29
Przykładowe okno dialogowe Solver-Parametry przedstawiono na rys. 2. Rys.2. Okno dialogowe Solver-Parametry. Fig.2. The window dialogue Solver-Parameter. Rys.3. Rozwiązanie zadania optymalizaci nieliniowe. Fig.3. Solution of assignment of non-linear optimization. 30
ARCHIWUM ODLEWNICTWA Po wypełnieniu okna dialogowego Solver-Parametry, koleną czynnością est uaktywnienie przycisku Opce i w oknie dialogowym Solver-Opce trzeba zadeklarować nieuemność zmiennych decyzynych (Przymi nieuemne). Ze względu na nieliniowość funkci celu nie wolno zaznaczyć wyboru modelu liniowego (Przymi model liniowy). Następnie powracamy do okna dialogowego Solver-Parametry i uaktywniamy opcę Rozwiąż. Uruchamia to proces rozwiązywania zadania optymalizacynego (rys.3). W efekcie uzyskuemy rozwiązanie optymalne, z którego wynika, że aby uzyskać maksymalne wpływy z eksportu produkowanych łączników, w stosunku do zainwestowanych nakładów, odlewnia powinna wyprodukować 2150 ton łączników EE1 oraz 400 ton łączników EE2. Warto również nadmienić, iż w rozwiązaniu decyzi optymalne i optymalne wartości funkci celu, moduł Solver podae także trzy raporty: wyników, wrażliwości i granic. Uzyskane rezultaty można uzupełnić o posiłkowe informace przyętego rozwiązania optymalizaci dwukryterialne, dotyczące np. wyszczególnienia napiętych i luźnych warunków ograniczaących. W raporcie wrażliwości istniee eszcze edna, dodatkowa interpretaca bilansu wartości lewe i prawe strony warunków ograniczaących, o czym mówi tzw. Cena dualna wyrazów wolnych. Kolenych wskazówek do pełne analizy ekonomiczne rozwiązania optymalnego daą informace zawarte w bloku komórek Przyrostu krańcowego, które dotyczą wrażliwości na zmiany parametrów modelu dodatnich wartości zmiennych decyzynych. 4. PODSUMOWANIE Z przedstawionego rozwiązania optymalizaci dwukryterialne wybranego asortymentu produkci odlewni wynika, że w celu uzyskania nawiększych dochodów z eksportu produkowanych łączników, w stosunku do zainwestowanych nakładów, zakład powinien wyprodukować 2150 ton łączników EE1 oraz 400 ton łączników EE2. Oprócz tego, Solver podae, iż wysokość wpływu dewizowego przypadaącego na edną złotówkę poniesionych kosztów własnych wynosi około 0,62 dolara, przy decyzi optymalne. Oznacza to, że każda, zainwestowana w produkcę łączników złotówka przyniesie zysk dewizowy w wysokości około 0,62 dolara. LITERATURA [1] Szymszal J., Blacha L.: Wspomaganie decyzi optymalnych w metalurgii i inżynierii materiałowe. Wydawnictwo Politechniki Śląskie, Gliwice, (2003). [2] Kukuła K.: Badania operacyne w przykładach i zadaniach. Wydawnictwo Naukowe, PWN, Warszawa (2001). [3] Abt S.: Systemy logistyczne w gospodarowaniu. Wyd. Akademii Ekonomiczne w Poznaniu, Poznań, (1997). [4] Walkenbach J.: Excel 2000. Biblia. Wydawnictwo RM, Warszawa, (1999). [5] Szapiro T.: Decyze menedżerskie z Excelem. PWN, Warszawa, (2000). 31
TWO-TEST OPTIMIZATION OF ASSORTMENT OF PRODUCTION IN THE FOUNDRY SUMMARY In this work the results of method of delimitation of non-linear optimization was introduced two-test on example of choose foundry Enterprise s. This programming, leaning on function linear - fractional called test function was of service to optimization of structure of assortment's production of two kinds of cast-iron links: EE1 and EE2. Necessary data s to delimitation of hyperbolical optimization Microsoft Excel were imported to spreadsheet's sheet and all calculations Solver were executed at use of module. Recenzował: prof. dr hab. inż. Adam Gierek 32