NOWOCZESNE METODY ESTYMACJI NIEZAWODNOŚCI ODLEWÓW, NA PRZYKŁADZIE STOPU AlSi17Cu3Mg

Transkrypt

1 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2001, Rocznik 1, Nr 1 (1/2) Archives of Foundry Year 2001, Volume 1, Book 1 (1/2) PAN - Katowice PL ISSN NOWOCZESNE METODY ESTYMACJI NIEZAWODNOŚCI ODLEWÓW, NA PRZYKŁADZIE STOPU AlSi17Cu3Mg J. SZYMSZAL 1, A. GIEREK 2, J. PIĄTKOWSKI 3 Katedra Technologii Stopów Metali i Kompozytów, Politechnika Śląska, ul. Krasińskiego 8, Katowice, POLSKA. STRESZCZENIE W artykule przedstawiono metodę statystycznej analizy wyników badań wytrzymałościowych pod kątem określenia dopuszczalnego ryzyka (prawdopodobieństwa przetrwania), a szczególnie jego miary jakości, którą może być współczynnik Weibulla na przykładzie nadeutektycznych stopów układu Al-Si. Key words: cast reliability, statistical analyses, Weibulls modulus, silumin 1. WSTĘP W ostatnich latach wraz z rozwojem techniki komputerowej opracowano szereg specjalistycznych programów statystycznych, za pomocą których można dokonać bardzo dokładnej oceny wyników badań. Programy te charakteryzują się jednak dość skomplikowaną obsługą, a interpretacja uzyskanych wyników nie należy do prostych [1]. Oprócz drogich, specjalistycznych pakietów statystycznych, do których zalicza się popularny na polskim rynku pakiet STATISTICA firmy StatSOFT, możemy również z powodzeniem wykorzystywać popularne arkusze kalkulacyjne, w tym głównie Excel firmy Microsoft i Quattro-Pro firmy Borland [2]. Przykład oceny statystycznej wyników badań wytrzymałościowych pod kątem określenia dopuszczalnego ryzyka (prawdopodobieństwa przetrwania), oparto na wynikach badań odlewniczych stopów nadeutektycznych układu Al-Si do obróbki cieplnej, które znajdują coraz większe zastosowanie jako tworzywa konstrukcyjne dla motoryzacji [3, 4]. Charakteryzują się one jednak obok szeregu cennych właściwości, 1 dr inż. adiunkt, 2 prof. zw. dr hab. inż. profesor, 3 dr inż. adiunkt. 189

2 takich jak wysoka twardość i wytrzymałość (dochodząca do 200MPa), dobra udarność, względnie niska plastyczność, która powoduje, że łatwo ulegają one kruchemu pękaniu przy obciążeniach niższych od granicy plastyczności. Stwierdzono, że jest to wynikiem obecności wewnętrznych wad (karbów strukturalnych), charakterystycznych dla tworzyw odlewanych, przy czym na charakter tych wad (ich wielkość, ilość, kształt i rozłożenie) mają niewątpliwie wpływ warunki krystalizacji pierwotnej, a w tym wpływ modyfikacji, jak również późniejsza obróbka cieplna. Celem badań jest szczegółowe przedstawienie metodyki wyznaczenia funkcji rozkładu Weibulla dla tworzywa odlanego ze stopu AlSi17Cu3Mg. Przy wyznaczeniu omawianego rozkładu posłużono się metodyką zaproponowaną przez M. Ashby i D. Jones a [3]. Pragniemy podkreślić, że prawidłowe wyznaczenie modułu Weibulla ma duże praktyczne znaczenie i może być wykorzystane zarówno podczas projektowania konkretnego elementu maszyny lub urządzenia, jak również w analizie możliwości zamiany jednych tworzyw - innymi. Prawidłowo przeprowadzona analiza statystyczna powinna stanowić ważny krok w praktycznym zastosowaniu projektowania elementów wykonanych z różnych materiałów, a szczególnie nowoopracowanych tworzyw odlewniczych, takich jak np. nadeutektyczne stopy Al-Si-Me. 2. METODYKA BADAŃ Badaniom poddano silumin nadeutektyczny AlSi17 o zawartości ~17%wag. Si oraz ~3%wag. Cu i ~1%wag. Mg. Badania wytrzymałościowe prowadzono na maszynie typu Instrom Badaniom poddano 117 identycznych próbek z siluminu odlanego w stanie surowym o średnicy 10 mm i długości 100mm. Próbki te poddano działaniu naprężenia i z wcześniej określonych przedziałów oraz wyznaczono liczbę próbek, które wytrzymują to naprężenie. Wartość tą podzielono przez wszystkie badane przy tym naprężeniu próbki (dla każdego z naprężeń badano po 13 próbek) i otrzymano tzw. prawdopodobieństwo przetrwania, tzn. P i (tabl.1), które przeliczono na wartości dziesiętne (p i ). Tabela 1. Wyniki badań wytrzymałościowych dla siluminu w stanie po odlaniu. Table 1. The results of strength test and the statistic parameters for silumin after mould casting. Silumin w stanie po odlaniu P i p i i [MPa] 12/13 0, /13 0, /13 0, /13 0, /13 0, Silumin w stanie po odlaniu P i p i i [MPa] 6/13 0, /13 0, /13 0, /13 0,

3 ARCHIWUM ODLEWNICTWA 3. ESTYMACJA FUNKCJI ROZKŁADU WEIBULLA ZA POMOCĄ REGRESJI NIELINIOWEJ Po wprowadzeniu uzyskanych danych (tab.1) do arkusza Excel zaimportowano je do programu Statistica v PL. Jak już wspominano, wykorzystamy zależność zaproponowaną przez autorów [3] w postaci: p = exp (-( / 0 )^m) (1) gdzie: m to moduł Weibulla, 0 to naprężenie rozciągające, dla którego 37% próbek wytrzymuje obciążenie (wynika to z faktu, iż 1/e = 0,37). Ze względu na nieliniowy charakter funkcji (1) do estymacji jej współczynników (w tym przypadku stałej m) wykorzystamy złożony aparat matematyczny regresji nieliniowej. W tym celu z przełącznika modułów pakietu Statistica uruchamiamy moduł Estymacje nieliniowe (rys.1), a następnie opcję Regresja użytkownika (rys.2). Rys.1. Wybór modułu Estymacja nieliniowa. Fig.1. The selection of the non-linear modulus estimation. Rys.2. Wybór opcji Regresja użytkownika. Fig.2. The selection of the operator regression. 191

4 W pierwszym etapie wyznaczymy wartość naprężenia 0 (naprężenie rozciągające dla którego p=0,37). Z danych przedstawionych w tab. 1 wynika, że naprężenie to jest nieco większe od 190 MPa. Po wybraniu opcji Regresja użytkownika otwiera się okno Funkcja regresji określona przez użytkownika z którego wybieramy przycisk Funkcja estymowana i funkcja straty, po czym definiujemy model regresji i funkcję straty. Formuła definiowanej funkcji regresji po przyjęciu (w pierwszym przybliżeniu) 0 = 190,5 jest przedstawiona na rysunku 3. Rys.3. Okno definicji modelu regresji i funkcji straty. Fig.3. The window of regression model of the define and loss function. Warto zauważyć, że w zdefiniowanym modelu wykorzystaliśmy operatory (/ i ^), znak funkcji (exp) znane z arkuszy kalkulacyjnych, zmienne sigma i p, to odpowiednio zmienna niezależna i zależna (zawarte w kolumnach arkusza pod tymi samymi nazwami), a m (moduł Weibulla), to parametr modelu funkcji, który zostanie estymowany. Należy zwrócić uwagę na tzw. funkcję straty (rys. 3). Postać tej funkcji można wyspecyfikować w dolnym okienku, a ma ona za zadanie oszacować wielkość odchyleń wartości przewidywanych (PRED) od wartości obserwowanych (OBS). Każde bowiem odchylenie wartości obserwowanej od przewidywanej jest pewną stratą w trafności naszego przewidywania. Minimalizacja funkcji straty jest więc procedurą estymacji współczynników równania regresji. Postać tej funkcji zmienia się więc w zależności od stosowanej metody szacowania parametrów. W zastosowanej przez nas metodzie najmniejszych kwadratów, funkcję s traty definiujemy jako sumę kwadratów odchyleń wartości przewidywanych od obserwowanych (znak ** oznacza potęgowanie). Po zatwierdzeniu zdefiniowanej funkcji regresji przechodzimy do okna Procedura estymacji, co przedstawiono na rysunku

5 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rys.4. Okno wyboru procedury estymacji. Fig.4. The window of selection estimation procedure. W oknie tym otrzymujemy informację o wybranych zmiennych postaci modelu i funkcji straty oraz liczbie ważnych przypadków. Opcja Asymptotyczne błędy standardowe powinna być zaznaczona, gdyż chcemy w arkuszu wyników otrzymać standardowe błędy dla wyliczonych estymatorów. Są one pomocne przy ocenie istotności otrzymanych estymatorów. Opcja Eta dla aproksymacji skończonych różnic jest stosowana do obliczenia błędów standardowych metodą aproksymacji różnic skończonych cząstkowych pochodnych drugiego rzędu. Po uruchomieniu procedury estymacji parametrów program wykonuje niezbędne obliczenia i po osiągnięciu zbieżności można przejść do okna Wyniki (rys. 5). Rys.5. Okno dialogowe Wyniki. Fig.5. The window of the results. 193

6 W oknie tym widzimy, że 97,717% zmienności zmiennej p może być wyjaśnione naprężeniem sigma (przy wartości 0 =190,5). Aby przekonać się, jakie wartości przyjmują współczynniki regresji, klikamy w tym oknie przycisk Parametry i błędy standardowe i otrzymujemy następujący arkusz wyników (rys. 6). Rys.6. Arkusz wyników analizy regresji. Fig.6. The sheet of the results of regression analysis. Wyliczone wartości pozwalają zapisać równanie regresji wraz z błędami szacunku p = exp (-(sigma/190,5)^14,88) (błąd szacunku =1,205) (2) Powróćmy do Okna wyboru procedury estymacji (rys.4), w którym po rozwinięciu listy Metody estymacji ukazują się pozostałe (prócz metody quasi-newtona, którą dotychczas stosowaliśmy) dostępne metody znajdowania minimum funkcji straty, co przedstawiono na rysunku 7. Rys.7. Lista z dostępnymi metodami estymacji. Fig.7. The report of estimation methods. Każda z tych metod wykorzystuje różne strategie poszukiwania dla znalezienia minimum funkcji: Metoda quasi-newtona w każdym kolejnym kroku w różnych punktach oszacowuje funkcje w celu estymacji pochodnych pierwszego i drugiego rzędu, które mówią 194

7 ARCHIWUM ODLEWNICTWA nam w którym kierunku i jak szybko zmienia się nachylenie funkcji. Metoda ta nazywana jest często metodą minimalizacji w kierunku największego spadku [6]. Metoda Sympleksu jest prostą i zarazem dokładną metodą pozwalającą wyznaczyć położenia minimum funkcji wielu zmiennych [7]. Polega ona na znalezieniu (dowolnego) rozwiązania bazowego programu, a następnie sprawdzeniu, czy jest ono optymalne. Jeżeli dane rozwiązanie nie jest optymalne, konstruuje się następne rozwiązanie bazowe lepsze (lub przy- najmniej nie gorsze od poprzedniego). Algorytm sympleksu porównywany często bywa do poruszania się ameby, która kurcząc się lub rozszerzając, chce schować się w najgłębszym dole. Metoda Sympleksu i quasi-newtona łączy w sobie zalety obydwu poprzednich metod. Stosować ją powinniśmy szczególnie w przypadkach, gdy nie mamy pewności co do właściwych wartości początkowych. Metoda Hooke a-jeevesa przemieszczania układu polega na przesuwaniu w każdej iteracji układu punktów w nowe miejsce, przy czym długości kroków przesuwania są stale modyfikowane, tak aby trafić w optimum stosujemy ją gdy poprzednie metody nie dają sensownych estymatorów. Metoda Hooke a-jeevesa i quasi-newtona łączy w sobie zalety obydwu tworzących ją metod. Jest również bardzo przydatna gdy nie mamy pewności co do właściwych wartości początkowych. Metoda Rosebrocka poszukiwania układu polega na obracaniu przestrzeni parametrów, tak aby jedna oś była wyrównana do grzbietu funkcji straty natomiast pozostałe osie były do niej ortogonalne często nazywana jest metodą rotacji współrzędnych. Zalecana jest w przypadku, gdy wszystkie inne zawiodą. W naszych rozważaniach nad dopasowaniem danej funkcji do zmiennej niezależnej bazować będziemy na wartości Udział wariancji wyjaśnionej (rys. 5), przy czym pierwsza podana wartość (0,9771) jest kwadratem R. Obliczamy dla modelu całkowitą sumę kwadratów odchyleń (CSK), resztkową sumę kwadratów (RSK) oraz tzw. wyjaśnioną przez model sumę kwadratów (WSK=CSK-RSK). Stosunek tej ostatniej do całkowitej sumy kwadratów nazywamy proporcją wyjaśnionej wariancji. Pokazuje ona, jaka część wariancji zmiennej niezależnej jest wytłumaczona przez model. W naszym przykładzie ponad 97,7% zmienności prawdopodobieństwa p może być wyjaśnione na podstawie wartości sigma. Aby dokonać prawidłowej weryfikacji uzyskanego współczynnika m pod względem jego efektywności i nieobciążoności należy sprawdzić, czy rozkład reszt odpowiada rozkładowi normalnemu. Niespełnienie tego założenia nie powoduje utraty przez estymator jego właściwości, a jedynie niemożliwość weryfikacji hipotezy dotyczącej wartości wyliczonego parametru m. W tym celu z okna dialogowego Wyniki wybieramy opcję Normalny wykres prawdopodobieństwa reszt, otrzymując wykres przedstawiony na rysunku 8, w oparciu o który stwierdzamy bardzo niewielkie odstępstwa od rozkładu normalnego (punkty powinny układać się wzdłuż linii prostej). 195

8 1,8 Normalny wykres prawdopodobieństwa reszt 1,2 Oczekiwana wartość normalna 0,6 0,0-0,6-1,2-1,8-0,10-0,08-0,06-0,04-0,02 0,00 0,02 0,04 Resztowe Rys.8. Wykres prawdopodobieństwa reszt. Fig.8. The diagram of the rest probability. W celu dokładnego wyznaczenia wartości 0 zastosujemy metodę krokową postępującą, co sprowadza się do powtórzenia przedstawionego toku obliczeń dla wartości 0 =190,4; 190,3; 190,2; 190,1 i 190,0. W oparciu wartość Udział wariancji wyjaśnionej (rys. 5) zauważamy, że najdokładniej odwzorowuje przebieg punktów empirycznych model p = exp (-(sigma/190,1)^m). Okno wyników dla tego modelu przedstawia rysunek 9. Rys.9. Końcowy arkusz wyników analizy regresji. Fig.9. Last sheet of the results of regression analysis. Dopasowanie naszego modelu jest bardzo dobre (procent wariancji wyjaśnionej przez model wynosi 98,24%). Potwierdza to wykres dopasowanej funkcji, który wywołujemy przyciskiem Dopasowana funkcja 2W i wartości obserwowane (rys.10). 196

9 ARCHIWUM ODLEWNICTWA P Model: p=exp(-((sigma/190,1)^m)) y=exp(-((x/190,1)^(15,16084))) 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, SIGMA Rys.10. Zmiana prawdopodobieństwa p w zależności od zmiany naprężenia SIGMA dla badanego stopu Al-Si. Fig.10. The change probability p on the tensile strength dependence for Si-Al alloy. W kolejnym etapie dokonano potwierdzenia dobroci dopasowania uzyskanego modelu z wykorzystaniem przedstawionych powyżej innych metod estymacji. W każdym przypadku uzyskano bardzo zbliżone wartości estymatorów danego modelu, co świadczy o bardzo dobrym opisie przez model danych empirycznych. 4. ESTYMACJA FUNKCJI ROZKŁADU WEIBULLA ZA POMOCĄ REGRESJI LINIOWEJ Do estymacji funkcji rozkładu Weibulla można wykorzystać metodę sprowadzenia jej do postaci liniowej. W tym celu funkcję (1) poddajemy podwójnemu logarytmowaniu otrzymując: ln(ln(1/p)=m*ln( / 0 ) (3) Obliczamy więc nowe zmienne: zmienna niezależna, to ln( / 0 ) natomiast zmienna zależna, to ln(ln(1/p). Obliczeń tych zmiennych dokonujemy w arkuszu kalku-lacyjnym stosując odpowiednie funkcje i operatory. Końcowy wynik obliczeń w pakiecie Statistica z użyciem modułu Estymacja nieliniowa zgodnie z metodyką postępowania opisaną wcześniej dla modelu 197

10 ln(ln(1/p)=m*ln( /190,1) daje następujące okno wyników, które przedstawiono na rysunku 11. Rys. 11. Oszacowanie Modułu Weibulla przy pomocy funkcji liniowej. Fig.11. Evaluation modulus Weibullus with the assistance linear function. Analizując uzyskane wyniki widzimy niewielką różnię w wartościach estymowanych parametrów co wynika najprawdopodobniej z zaokrągleń przeliczeń towarzyszącym procesowi podwójnego logarytmowania. Do estymacji parametrów modelu funkcji (3) można z powodzeniem wykorzystać również jeden z popularnych arkuszy kalkulacyjnych np. Excel. Po obliczeniu wszystkich niezbędnych danych (tab. 2) należy skorzystać z Menu Narzędzia a następnie opcji Analiza danych wybierając z Narzędzi analizy Regresja (rys. 12). Tabela 2. Wyniki badań wytrzymałościowych oraz oszacowanie parametrów do analizy statystycznej dla siluminu w stanie po odlaniu Table 2. The results of strength test and the statistic parameters for silumin after mould casting. * - za sigma0* przyjęto wartość 190,1 MPa 198

11 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rys.12. Okno analizy Regresja. Fig.12. The window of the regression analysis. W oknie Regresja, ze względu na charakter funkcji należy zaznaczyć opcję Stała wynosi zero. Po wykonaniu obliczeń uzyskujemy takie same wyniki, jak w przypadku wykorzystania pakietu Statistica, co przedstawiono na rysunku 13. Rys.13. Oszacowanie Modułu Weibulla wg estymacji liniowej. Fig. 13. Evaluation on the Weibullus modulus for linear estimation. 199

12 5. PODSUMOWANIE Jak wynika z przeprowadzonej oceny właściwości badanego siluminu pod kątem wyznaczenia parametrów funkcji rozkładu Weibulla, można wykorzystać zarówno metody estymacji oparte na regresji nieliniowej z wykorzystaniem specjalistycznych pakietów statystycznych, jak również można korzystać z bardzo popularnych arkuszy kalkulacyjnych np. Excel. Każdy z nich jest obecnie wyposażony w podstawowe narzędzia analizy statystycznej, jednakże dopiero po sprowadzeniu modelu funkcji do postaci liniowej. LITERATURA [1] STATISTICA (Wersja 5), Poradnik użytkownika. Wyd. StatSoft, Kraków [2] M. Maliński, J. Szymszal: Współczesna statystyka matematyczna w medycynie w arkuszach kalkulacyjnych. Wyd. Śląskiej Akademii Medycznej, Katowice [3] Z. Poniewierski: Krystalizacja, struktura i właściwości siluminów. Warszawa WNT (1989). [4] S. Pietrowski: Siluminy tłokowe, Monografia. Krzepnięcie Metali i Stopów PAN, Komisja Odlewnictwa, z. 29, (1997). [5] M. F. Ashby, Dawid R.H. Jones: Materiały Inżynierskie cz.2, Kształtowanie struktury i właściwości, dobór materiałów. Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa, (1996). [6] G. Seber, C. Wild : Nonlinear regresion, Wiley, New York, (1989). [7] Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa, (2000). NEW METHODS OF ESTIMATION THE RELIABILITY OF CAST, ON THE BASE OF ALSI17CU3MG ALLOY SUMMARY In this paper the results of the statistical analyses of tensile strength investigations are introduced and permissible risk (surviving probability) was determined, particularly its quality measure like Weibulls modulus, on the base of hypereutectic Al-Si alloys. Recenzował prof. dr hab. inż. Stanisław Jura 200