Optymalizacja dwukryterialna struktury asortymentu produkcji we współczesnym zakładzie metalurgicznym

Transkrypt

1 S. 28 HUTNIK - WIADOMOŚCI HUTNICZE Nr l Literatura 1. Lucas J.: Electromagnetic induction and electric conduction in industry. Centre Frangais de l'electricite Trippelsdorf H. Marraccini R. Kollberg S.: Advances in strip surface quality from thin slab casters. International Scientific Colloquium Modelling for Electromagnetic Processing" Hannover Patent PL Zespół urządzeń do powlekania przedmiotów w procesie ciągłym lub przerywanym 4. Krumin J.K.: Wzaimodiejstwije bieguszczego magnitnogo pola s prowodjaszczej sriedoj. Iz-wo Zinatne" Riga Sajdak Cz.: Siły elektrodynamiczne w ciekłym metalu mieszanym indukcyjnie w procesach półciągłego lub ciągłego odlewania wlewków cylindrycznych. Rozprawy Elektrotechniczne z. 2 s. 423-^36 6. Sajdak Cz.: Wpływ nierównomiernego rozkładu prędkości ciekłego metalu na siły elektrodynamiczne w mieszadłach i pompach indukcyjnych. Rozprawy Elektrotechniczne z. 2 s. 455^70 Dr inż. JAROSŁAW PIĄTKOWSKI UKD Dr inż. JAN SZYMSZAL Dr inż. JANUSZ GAJDA Dr inż. ARKADIUSZ PUCKA Politechnika Śląska Katedra Technologii Stopów Metali i Kompozytów ul. Krasińskiego Katowice Optymalizacja dwukryterialna struktury asortymentu produkcji we współczesnym zakładzie metalurgicznym The two-test optimization of the structure of production assortment in contemporary metallurgical plant W pracy przedstawiono metodę wyznaczenia optymalizacji dwukryterialnej na przykładzie wybranego przedsiębiorstwa metalurgicznego. Programowanie ilorazowe oparte na liniowo-ułamkowej funkcji celu posłużyło do optymalizacji struktury asortymentowej produkcji trzech rodzajów kształtowników o umownym symbolu: EK l i z uwzględnieniem dwóch kryteriów: osiągnięcie maksymalnego zysku ze sprzedaży kształtowników przy równoczesnej minimalizacji kosztów ich wytworzenia. Wybrany problem optymalizacji ilorazowej rozwiązano w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel przy użyciu modułu Solver. Method of determining two-test optimization on the example ofselected metallurgical enterpńse has been presented. Quotientprogramming based on linear-fractional objective function was usedfor optimization of the structure of production assortment ofthree kinds of shapes: EK V EK- andek 3 taking into account two criterions: obtaining maximum profits of shapes sale by concurrent minimization of production costs. The selected problem of ąuotient optimization has been solved in calculation sheet Microsoft Excel by using Solver module. Słowa kluczowe: analiza hutnicza optymalizacja dwukryterialna moduł Solver Key words: metallurgical analysis two-test optimization Solver module 1. Wprowadzenie. Obecne uwarunkowania gospodarki rynkowej zmuszają kierownictwo każdej jednostki produkcyjnej do wdrażania nowoczesnych systemów zarządzania produkcją oraz opracowań obejmujących racjonalizację kosztów i zatrudnienia. Wymusza to wprowadzenie zintegrowanych systemów zarządzania których zadaniem jest poprawa konkurencyjności polskich przedsiębiorstw dopasowywanie się do indywidualnych potrzeb gospodarczych oraz zdobywanie nowych rynków zbytu. W praktyce często występuje problem rozwiązania zadania optymalizacyjnego [l 2] w którym mamy do czynienia z dwoma funkcjami celu: osiągnięcie maksymalnego efektu (np. zysku) przy jednoczesnej minimalizacji nakładów (kosztów lub poniesionej straty). Zagadnienia tego typu należą do klasy modeli optymalizacji wielokryterialnej z których najczęściej stosowane są zagadnienia dwukryterialne [3 4]. Zależności te są wykorzystywane w praktyce do określania metod podejmowania decyzji które gwarantują wymaganą efektywność gospodarowania. Przedstawiona procedura optymalizacji dwukryterialnej wykorzystująca programowanie liniowe służy do wyznaczenia takiego planu produkcyjnego który zapewni uzyskanie możliwie największego zysku ze sprzedaży asortymentu przy minimalnych nakładach potrzebnych do jego realizacji. Zagadnienia te dotyczą podmiotów gospodarczych nastawionych na wielowątkową" produkcję zwłaszcza w branży metalurgicznej gdzie stosowane procedury zarządzania na każdym odcinku produkcyjnym mogą zapewnić osiągnięcie założonego celu. Przedstawiona metodyka zapewnia również analizę kosztów nie związanych z wytwarzaniem i ich wpływu na postać struktury asortymentowej. Umożliwia to analiza wrażliwości zadania optymalnego czyli które parametry i w jaki sposób spowodują zmianę wartości zmiennych decyzyjnych. 2. Budowa modelu optymalizacji dwukryterialnej. Model zadania programowania ilorazowego zastosowany do określenia asortymentu produkcji składa się z warunków ograniczających przedstawionych w postaci liniowej warunków brzegowych oraz funkcji celu w postaci ułamkowej (mianownik przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie w zbiorze decyzji dopuszczalnych) [6 7]. Budując model matematyczny

2 4 r. HUTNIK - WIADOMOŚCI HUTNICZE S. 29 optymalizacji dwukryterialnej przyjmuje się następujące oznaczenia: a t j - jednostkowe nakłady środków produkcji (dla: / = l 2... p oraz j = l 2... n) p - liczba środków produkcji n - liczba asortymentu produkcji Xj - wielkość produkcji danego asortymentu produkcji (dla7 = l 2... n) b i - limity środków produkcji (dla z == 12.../?) Cj - współczynniki zysku z produkcji (wartości produkcji) dj - współczynniki kosztów produkcji przypadające na jednostkę y-tego asortymentu. Jednostkowe nakłady środków produkcji (a i} ) pomnożone przez wielkości zmiennych decyzyjnych (x } ) powinny być niższe od limitów środków produkcji (b^ wg zależności: ><-*<& (dla/ =12... p) (1) ;=i Dodatkowym ograniczeniem jest nieujemność zmiennych decyzyjnych co określa warunek brzegowy przedstawiony zależnością: (dla; = l 2... n) (2) J W rozpatrywanym zadaniu chodzi o uzyskanie dwóch następujących wartości optymalnych: = Z (x) = Y d j mn. (3) (4) W oparciu o przedstawione wartości optymalne (3) i (4) funkcja celu będzie przedstawiała się następującą zależnością: Z c j- x j n L-i ^j' X ] max. (5) przy jednoczesnym spełnieniu podanych wcześniej ograniczeń. Sformułowane w ten sposób zagadnienie jest zadaniem optymalizacji dwukryterialnej. Rozwiązanie jego jest próbą poszukiwania pewnego kompromsu gdyż nie można wyznaczyć takiego rozwiązania przy którym jednocześnie kryterium F^(x) (wartość produkcji) osiąga maksimum a funkcja F(x) (nakłady na wytworzenie) osiąga minimum. Należy zaznaczyć że uzyskane rozwiązanie kompromisowe może znacznie odbiegać (przy tych samych ograniczeniach) od rozwiązań gdy: lub max. (x) -» max. 3. Określenie asortymentu produkcji - studium przypadku. Dyrekcja wybranego przedsiębiorstwa metalurgicznego rozważa produkcję na eksport trzech rodzajów kształtowników o umownym symbolu: EK 1? oraz EK 3. Koszt wsadu (taśma w kręgach) do produkcji kształtowników wynosi odpowiednio: zł/mg; zł/mg i zł/mg. Proces produkcyjny składa się z cięcia taśmy na paski o żądanych wymiarach przepuszczenia przez walcarkę bruzdową 5 -klatkową (o odpowiednim czasie przezbrojenia) cięciu na odpowiednią długość (najczęściej 5 m) i składowaniu gotowych wiązek. Jednostkowe nakłady czasu pracy urządzeń do wytworzenia l Mg kształtowników oraz tygodniowe limity pracy maszyn przedstawiono w tabl. 1. Z analizy technologiczności i rachunku kosztów ustalono że wyprodukowane kształtowniki można sprzedać po następujących cenach: EKj USD; USD USD. Koszty uruchomienia produkcji kształtowników wskazują na to że aby produkcja była opłacalna należy produkować minimum: Mg kształtowników EK 15 Mg i Mg kształtowników EK 3 tygodniowo. Z kolei ograniczenia finansowe zakupu wsadu powodują że maksymalne wielkości produkcji wynoszą odpowiednio: EK X - max. Mg; - max. 175 Mg max. Mg. W celu rozwiązania postawionego zadania decyzyjnego dwukryterialnego należy wyznaczyć optymalny tygodniowy plan produkcji kształtowników EKj (przy możliwie najniższych kosztach własnych) który pozwoli na uzyskanie maksymalnych wpływów dewizowych z ich sprzedaży. Oprócz charakteru asortymentu produkcji należy podać wysokość wpływu dewizowego przypadającego na l złotówkę kosztów własnych przy rozwiązaniu optymalnym. Ustalenie funkcji celu. Na podstawie ustalonego kryterium opłacalności (uzyskanie maksymalnego zysku ze sprzedaży kształtowników przy minimalnych nakładach finansowych) funkcję celu (5) dla przedstawionego zadania decyzyjnego należy określić opierając się na następujących kryteriach: Obliczenie ogólnych (minimalnych) kosztów materiałowych tygodniowej produkcji trzech rodzajów kształtowników równe: (x) = JCj ;c MIN (6) Wyznaczenie całkowitych (maksymalnych) wpływów dewizowych (zysku) pochodzących produkowanych kątowników: FJ(JC) = 8125 x i ;c * 3 -> MAX (7) Na podstawie zależności (5) oraz (6) i (7) funkcja celu w analizowanym zagadnieniu optymalizacyjnym będzie zdefiniowana następująco: = (8) Tablica 1. Jednostkowe nakłady czasu pracy maszyn i ich limity Tobie 1. Isolated expenditures time ofwork ofmachines engine and them limits Maszyny Piła Walcarka Suwnica Czas przezbrojenia walcarki* Pracochłonność masz./h EKj EK Limity masz./h * - założono że koszty związane z przezbrojeniem walcarki są pomijalnie małe w stosunku do całkowitych kosztów asortymentu produkcji

3 S. 30 HUTNIK - WIADOMOŚCI HUTNICZE Nr l gdzie: tygodniowa ilość '. > produkowanych kształtowników U EKi Mg; Mg; Ponieważ licznik tej funkcji ma dążyć do maksimum (wpływy dewizowe) natomiast mianownik do minimum (koszty produkcji) - więc wartość całej funkcji zmierza do maksimum. Formuła obliczająca funkcję celu informuje jednocześnie jaki zysk (w dolarach) można uzyskać z każdej zainwestowanej w produkcję złotówki. Fragment arkusza kalkulacyjnego z ustaloną funkcją kryterium przedstawia rys. 1. Nawet bez dogłębnej analizy problemu widać iż aby osiągnąć największy zysk produkowanego asortymentu wystarczy wytwarzać tylko kształtowniki CK 3 - gdyż one zapewniają maksymalne wpływy rezygnując z produkcji asortymentu EK { oraz. Jednakże zadanie podjęcia decyzji gospodarczej w celu zapewnienia klientowi możliwości dostępu do pełnego asortymentu produkcji musi uwzględniać również wykonanie kształtowników których produkcja przynosi mniejszy zysk. Ustalenie warunków ograniczających. Ustalenie optymalnej produkcji trzech rodzajów kształtowników jest oparte na warunkach ograniczających (1) zapisanych w postaci nierówności: W^) 08-EKi EK 3^ masz./h - warunek pracochłonności piły W 2 ) -EKi EK 3^ masz./h - warunek pracochłonności walcarki W 3 ) EK 3^ masz./h - warunek pracochłonności suwnicy które umieszczono w bloku komórek (A19-F21) wprowadzając ich nazwy współczynniki zużycia maszyn potrzebne do optymalnej produkcji limity czasu pracy (prawe strony) oraz założone zasoby pracochłonności (lewe strony) 3 pierwszych warunków ograniczających. Kolejne warunki dotyczące minimalnej tygodniowej produkcji kształtowników (ze względu na ograniczenia opłacalności produkcji) przedstawiają się następująco: W 4 ) x^ EK 1 ^ Mg - warunek dotyczący minimalnej ilości kształtowników EK 1? W 5 ) x 2 ^ Mg - warunek dotyczący minimalnej ilości kształtowników W 6 ) x 3 EK 3 ^ Mg - warunek dotyczący minimalnej ilości kształtowników EK 3 Warunki te umieszczono w komórkach (A22-F24) stosując te same funkcje i operatory. Kolejne ograniczenia są związane z maksymalną ilością produkcji którą regulują koszty zakupu wsadu do uruchomienia produkcji. Warunki te zapisane w bloku komórek (A-F27) przedstawiają się następująco: W-j) x^ EK 1 ^ Mg - warunek dotyczący maksymalnej ilości kształtowników EK 1? W 8.x 2 - ^ 175 Mg - warunek dotyczący maksymalnej ilości kształtowników W 9 ) jc 3 EK 3 ^ Mg - warunek dotyczący maksymalnej ilości kształtowników EK 3. Ostatni warunek ograniczający (A28-F28) jest związany z czasem przezbrojenia walcarki który z wstępnych wyliczeń dla każdego rodzaju kształtownika wynosi 0lh (tj. ~ 6 min): W 10 ) EK Ł + + EK 3 < [kg] - warunek przezbrojenia walcarki. j Asortyment KĄTOWNIK 1 KĄTOWNIK 2KĄTOWNIK 3 Symbol asrtvmentu EKi EK 5 EKs ZMIENNE DECYZYJ NE 1 0 Jednostkowa cena wsadu sprzedaży zł HHH $ zł zł $95000 $ FUNKCJA CELU Łączna cena wsadu zł Całkowite wpływy $ E11/h6 =SUMA.ILOCZYNOW =SUMA.ILOCZYNOW Rys. 1. Funkcja celu Fig. 1. Function of destination =SUMA.ILOCZYNÓW(SB$3:$D$3;B19:D19) W. OGRANICZAJĄCE Prac-ść piły [masz./h] Prac-śc walcarki [masz /h] Prac-ść suwnicy [masz./h] Min EKi [Mg] Min [Mg] Min EKs [Mg] Max Mg] Max EKi [Mg] Czas przezbrojenia walcarki [h ~ 1 ~ o o L STRONA/ 24 * Rys. 2. Warunki ograniczające Fig. 2. Conditions restrictive

4 4 r. HUTNIK - WIADOMOŚCI HUTNICZE S. 31 Wszystkie warunki ograniczające dotyczące asortymentowej produkcji kształtowników przedstawiono na rys. 2. Po zaimportowaniu wszystkich danych do arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel należy uruchomić moduł Solver z określeniem komórki zawierającej funkcję celu (E) rodzaj optymalizacji (Maks) zdefiniować adresy komórek zmienianych (zmienne decyzyjne - jc^-) (blok komórek B3 : D3) oraz określić warunki ograniczające z odpowiednimi znakami. Przykładowe okno dialogowe Solver- Parametry przedstawiono na rys. 3. Po wypełnieniu okna dialogowego Solver-Parametry należy zadeklarować nieujemność zmiennych decyzyjnych zbioru rozwiązań dopuszczalnych (według warunku brzegowego określonego zależnością 2) oraz przyjąć model nieliniowy. Uaktywnienie opcji Rozwiąż" uruchamia proces algorytmu zadania optymalizacyjnego którego rozwiązanie przedstawiono na rys. 4. W efekcie uzyskano rozwiązanie optymalne zadania gospodarczego z którego wynika że aby osiągnąć maksymalne wpływy z eksportu produkowanych kształtowników w stosunku do zainwestowanych nakładów huta powinna tygodniowo wyprodukować Mg kątowników EK^ Mg i 468 Mg kątowników EK 3. Łączne minimalne nakłady finansowe na zakup wsadu wynoszą zł co zapewni maksymalne wpływy dewizowe w wysokości USD. W związku z tym każda zainwestowana złotówka przyniesie zysk równy 06 USD. Dodatkowych informacji dostarcza porównanie prawych i lewych stron warunków ograniczających. Wynika z nich iż do produkcji optymalnej ilości kształtowników będzie potrzebne prawie masz. /h pracy piły (zapas stanowi 1 masz. /h) 2224 masz. /h pracy walcarki (2776 masz. /h niewykorzystane) i prawie 63 masz. /h czasu pracy suwnicy (zapas wynosi 1937 masz./h). Nadmiar czasu pracy poszczególnych maszyn jest niezmiernie istotny w każdym przedsiębiorstwie produkcyjnym. Chodzi zwłaszcza o rozplanowanie niewykorzystanego czasu pracy urządzeń. W celu dalszej analizy przyjętej decyzji gospodarczej spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: jak zmieni się decyzja optymalnego asortymentu produkcji jeżeli założymy że w związku z rosnącymi kosztami magazynowania całkowita produkcja kształtowników nie może przekroczyć 120 Mg na tydzień? Aby odpowiedzieć na to pytanie należy wprowadzić dodatkowy warunek ograniczający odnośnie do sumarycznej tygodniowej produkcji kształtowników który ma postać: x EK EK 3 < 120 Mg Komórka celu: Równa: & Maks f"" Min f Wartość 1 W Komórki zmieniane: Rozwiąż Zamknij *B$; $Df 3 ~~ 5J Warunki ograniczające $E$22:$E$24 >= $F$22:$F$24 $E$:$E$27 <= $F$:$F$27 $E$28 <= $F$28 Odgadnij Dodaj Zmień Opcje Przywróć wszystko Pomoc Rys. 3. Okno dialogowe Solver-Parametry Fig. 3. Outcome window Solver-Parameters Asortyment Symbol asrtymentu KĄTOWNIK 1 KĄTOWNIK 2KĄTOWNIK 3 EK EK* EK ZMIENNE DECYZYJ NE Jednostkowa cena wsadu sprzedaży zł zł zł $81250 $95000 $ FUNKCJA CELU Łączna cena wsadu zł Całkowite wpływy $ E11» -SUMA.ILOCZYNÓW -SUMA.ILOCZYNÓW I-SUMA.ILOCZYNÓW($B$3:$D$3;B19:D19) W OGRANICZAJĄCE Prac-ść piły [masz /h] Prac-ść walcarki (masz /h) Prac-ść suwnicy (masz /h] Min EK [Mg] Mm EKj [Mg] Mm EKb [Mg] Max [Mg] Max EKj [Mg] Czas przezbrojema walcarki (fr o ^ o L STRONA / 998 * ^ f) 46 j S Rys. 4. Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego Fig. 4. Solution of optimum assignment

5 S. 32 HUTNIK - WIADOMOŚCI HUTNICZE Nr l Asortyment KĄTOWNIKI KĄTOWNIK 2 KĄTOWNIK 3 Symbol asrtymentu EK ( EKj EKj ZMIENNE OECYZYJ NE J Łączna " cena wsadu Jednostkowa cena wsadu sprzedały zi zł zi $81250 $95000 $ FUNKCJA CELU zł C ałkowite wpływy $ l 06 -ŚUMA.ILOCZYNÓW SUMA.ILOCZYNÓW -E11/E6»SUMA.ILOCZYNÓW($B$3:$D$3;B19:D19} W. OGRANICZAJĄCE Prac-ść pity [masz /h) Ptac-ść walcarki [masz /h] Prac-ść suwnicy [masz /h] Mm Ek [Mg Min EKj (Mg) Min EKs [Mg] Max EKj (Mg) Max EKj [Mg] Czas przezbrojema walcarki [h Ogr Magazynowe JO L. STRONA / 780 * fl Rys. 5. Kolejne rozwiązanie zadania optymalizacyjnego Fig. 5. Next solution of optimum assignment Po wprowadzeniu dodatkowego ograniczenia i uruchomieniu programu moduł Solver podał nowe rozwiązanie co przedstawiono na rys. 5. Jak wynika z rozwiązania zawartego na rys. 5 uwzględnienie dodatkowego warunku związanego z ograniczeniami magazynowymi spowodowało iż optymalny asortyment produkcji uległ zmianie i kształtuje się następująco: Mg kształtowników EK^; Mg kształtowników i Mg kształtowników EK 3. Optymalna produkcja wymaga zł nakładów na wsad co zapewni przychody dewizowe w wysokości USD na tydzień. Zmianie uległy również wartości prawych stron trzech pierwszych warunków ograniczających odnośnie do pracochłonności maszyn. Na tej podstawie optymalna produkcja kształtowników wymaga 78 masz./h czasu pracy piły 157 masz./h pracy walcarki 455 masz./h pracy suwnicy i 10 h czasu potrzebnego do przezbrojenia walcarki. Zmianie uległy również niewykorzystane limity czasu pracy poszczególnych maszyn. 4. Podsumowanie. Z uzyskanego rozwiązania optymalizacyjnego wynika że maksymalne przy danych warunkach ograniczających wpływy dewizowe stanowią USD (przy minimalnych nakładach finansowych na zakup wsadu wynoszących zł). Osiągnięcie tego celu jest możliwe po wyprodukowaniu Mg kształtowników EK 15 Mg kształtowników i Mg kształtowników EK 3 na tydzień. Wartości komórek zmiennych decyzyjnych wskazują iż ilości poszczególnych kształtowników zostały spełnione ze względu na ograniczenia minimalnego i maksymalnego wymogu asortymentu produkcji a każda zainwestowana w asortymentową produkcję złotówka przyniesie 06 USD zysku na tydzień. Jak wynika z przedstawionego artykułu jako narzędzia do analizy dwukryterialnej można użyć popularnych arkuszy kalkulacyjnych wyposażonych w podstawowe narzędzia analizy matematycznej. Nie trzeba więc korzystać ze specjalistycznych - drogich pakietów informatycznych. Nowoczesny sposób określenia optymalnej produkcji oprócz zalet typowo technologicznych posiada również swoje uzasadnienie ekonomiczne oraz daje przewagę nad wynikami osiąganymi bez znajomości podstawowych metod wspomagających proces podejmowania decyzji gospodarczych. Literatura 1. SzymszalJ. Blacha L.: Wspomaganie decyzji optymalnych w metalurgii i inżynierii materiałowej. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej Gliwice 3 2. Piątkowski J. Pucka G. Szymszal J.: Metody wyznaczania optymalnych decyzji z zastosowaniem modułu Solver. Archiwum Odlewnictwa PAN Katowice r. 2 nr Kukula K.: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. W. N PWN Warszawa 1 4. Abt S.: Systemy logistyczne w gospodarowaniu. Wyd. A. E w Poznaniu Poznań Walkenbach J.: Excel. Biblia. Wydawnictwo RM Warszawa Szapiro T.: Decyzje menedżerskie z Excelem. PWE Warszawa 7. Piątkowski J. Szymszal J.: Utilisation of optimisation simplex to determine of bearings metallic charge alloy. Acta Metallurgica Slovaca (1/2) roćnik 8 2/2