Józef Mara Hoene-Wrońsk jako wzjoner reforator ateatyk Wesław Wójck I. Sytuacja w ateatyce za czasów Hoene-Wrońskego W czase, gdy Józef Mara Hoene-Wrońsk rozpoczyna swoją dzałalność naukową welu ateatyków ówło o potrzebe gruntownej przebudowy ateatyk uścślena jej podstaw. W analogczny okrese dzałal Bernard Bolano, Augustn Cauchy oraz Carl Fredrch Gauss. Wszyscy on korzystal z ogronego dorobku Leonarda Eulera, który, uerając w roku 783, pozostawł nową dzedznę ateatyk analzę ateatyczną badającą pojęca etody, które pojawły sę wraz z rachunke różnczkowy całkowy oraz nny nowożytny teora ateatyczny. Słynną pracę Eulera Introducto n analysn nfntoru ożna traktować jako fundaent analzy ateatycznej. W tej pracy ają ejsce badana nad deą funkcj, neskończonych szeregów, rozwjana funkcj w szereg neskończone (.n. funkcj sn, cos, x e ), pojawają sę etody oblczana lczby π, lczby Eulera e, π słynny wzór Eulera e = 0 wele nnych wynków. W pracy Eulera, obok ścsłych pojęć dowodów, występują rozważana pełne genalnej ntucj, jednak pozbawone jednoznacznośc oczekwanej przez ateatyków ścsłośc. Przykładowo, funkcja traktowana jest przez Eulera raz jako pojęce analtyczne, w nnych ejscach znów jako krzywa narysowana na płaszczyźne. Podobna sytuacja ała ejsce przy wykonywanu operacj na szeregach neskończonych: czasa traktuje Eulera wszystke szereg jako zbeżne, kedy ndzej znów bada ch zbeżność jako kluczową przy wykonywanu różnych dzałań. To wszystko doagało sę badań uścśleń. Ponadto Euler dzała w okrese donującej deolog ośwecena, która, ędzy nny, dążyła do oddzelena flozof od nauk ścsłych uważając, że flozofa jest dla tych nauk szkodlwa a przynajnej nepotrzebna. Wększość ateatyków dzewętnastego weku (w ty Gauss Cauchy) podążało ty tore. Jedny z nelcznych, którzy ne godzl sę z tak rozdzałe byl Bolzano Hoene-Wrońsk. Wszyscy jednak dążyl do uścślena podstawowych pojęć ateatycznych. Bolzano, na przykład, rozpoczął swój progra przebudowy ateatyk od defncj podstawowych pojęć geoetr. Uważał to za nezbędne do postawena ateatyk na soldnych podstawach dążył do sforułowana
precyzyjnych defncj ln, powerzchn oraz bryły. W Betrachtungen podaje defncję ln wolnej od poza-logcznych pojęć rozuanych jedyne ntucyjne. Chcał włączyć do ateatyk te obekty, które do jego czasów były rozuane ntucyjne ały jedyne przed-ateatyczny charakter. Dalsza analza podanych przez nego defncj podstawowych pojęć geoetr doprowadzła Bolzano do badań teoronogoścowych topologcznych. W nnej znów pracy 3, stara sę udowodnć wzory całkowe na długość krzywej, pól powerzchn objętośc brył. Są to rozważana topologczne właśne geoetryczno-topologczną podstawę pragnął dać całeu gachow analzy. Przyjuje, że fgury geoetryczne (krzywe, powerzchne bryły) są zbore punktów (ty say podstawą jego geoetr staje sę teora nogośc), a kluczowe, w dalszej częśc, staje sę wyjaśnene, w jak sposób punktu wążą sę ze sobą tworząc krzywe, powerzchne bryły 4. Uważał, że odnajdywane w ateatyce zależnośc są obektywne są bezpośredn odbce rzeczywstośc według Bolzano prawa ateatyk regulują stnene rzeczywstośc 5 (jak w koncepcj ptagorejskej). Natoast Cauchy, poędzy 84 a 84 roke, podjął sę wysłku neal całkowtej przebudowy podstaw analzy ateatycznej. Jego wysłk zostały zebrane w dwóch fundaentalnych pracach: Analyse algébrque oraz Calcul nfntésal wydanych odpowedno w latach 8 83. Zasadnczy przedote jego badań było pojęce grancy, które, odpowedno uścślone zdefnowane, ało służyć do budowana nowych ścsłych pojęć takch jak: cągłość funkcj, pochodna, całka oznaczona czy zbeżność szeregów. Mo braku pełnej ścsłośc w używanu pojęca grancy popełnanu błędów (.n. nerozróżnalne zbeżnośc punktowej jednostajnej funkcj czy udowodnene, ż sua szeregu funkcj cągłych jest funkcją cągłą) Cauchy uczynł to pojęce centralny pojęce analzy ateatycznej. Równeż pojęce funkcj było przedote jego badań. Do czasów Cauchy ego ne stnało jednoznaczne rozuene pojęca funkcj, na przykład powszechne uważano za funkcje wyrażene, które ały reprezentacje w postac weloanów lub były utworzone z nnych funkcj przy poocy dzałań B. Bolzano, Beyträge zu ener begründeteren Darstellung der Matheatk. Erste Leferung. Praga 80, Vorrede, s. V. B. Bolzano, Betrachtungen über enge Gegenstände der Eleentrargeoetre. Praga 804, s. 57. 3 B. Bolzano, De drey Problee der Rectfcaton, der Coplanaton und der Cubrung, ohne Betrachtung des unendlch Klenen, ohne de Annahen des Archedes, und ohne rgend ene ncht streng erweslche Voraussetzung gelöst; zuglech als Probe ener gänzlchen Ustaltung der Rauwssenschaft, allen Matheatkern zur Prüfung vorgelegt. Lepzg 87. 4 Ibde, s. 0-. 5 B. Bolzano: Ren analytscher Bewes des Lehrsatzes, daß zwschen je zwe Werten, de en entgegengesetztes Resultat gewähren, wengstens ene reelle Wurzel der Glechung lege. Prague 87, s.7.
algebracznych; dopuszczano równeż neskończone suy, loczyny czy ułak cągłe. Zakładano, że każda funkcja posada funkcję perwotną, która nekoneczne oże być explcte wskazana, a uzasadnene oparte było na założenu, że każdą funkcję ożna rozwnąć w szereg potęgowy oraz że zawsze ożlwe jest całkowane szeregów neskończonych wyraz po wyraze. To wszystko Cauchy starał sę uporządkować uścślć. Gauss w końcu dostrzegł w teor lczb doskonałą teorę ateatyczną, którą bardzo ntensywne rozwjał starał sę by właśne ona uporządkowała całą ateatykę. Był też wroge rachunku na welkoścach neskończene ałych (jak neskończene dużych), który stosowany był wówczas przez welu ateatyków (kontynuujących pracę Lebnza). Poza Gausse równeż welu ateatyków (.n. Lagrange) starało sę wyelnować operacje neskończone z ateatyk, traktując je jako neścsłe nenaukowe. II. Flozofa absolutna prawo tworzena W tak klace, podzału etodologcznego ateatyk pracą nad uocnene uścślene podstaw ateatyk, pojawł sę Wrońsk. Pragnął w swojej refleksj ukazać wytworzyć jedność ateatyk całej wedzy ludzkej. Tworzony przez nego syste wedzy rodzł sę w polece z flozofą Kanta. Syste ten stanową trzy podstawowe eleenty: flozofa absolutna, prawo tworzena oraz wedza najwyższa (jako archtektonka prawa tworzena). Chocaż wszystke te eleenty są ze sobą ścśle powązane, to punkte wyjśca jest flozofa absolutna (Wrońsk poznał ją poprzez dośwadczene styczne). To ona pozwala na odkryć prawo tworzena. Jednak to prawo bez archtektonk, której perwszy najdoskonalszy wyraze jest ateatyka, ne ałoby ocy generowana rzeczywstośc, byłoby jedyne poznane rzeczywstośc Absolutu. Postara sę pokazać tę kwestę dokładnej w dalszej częśc. Kant podzelł władze uysłu na ntelekt, rozu (czysty oraz praktyczny) władzę sądzena. Intelekt w oparcu o aproryczne fory zysłowośc kategore konstytuuje poznawane rzeczy, tworzy ch jedność oraz jedność poznawanego śwata. Poneważ jednak poznane przez ntelekt jest zawsze częścowe, rozu scala fragentaryczne poznane przez odnesene śwata fenoenów do przedotów neskończonych. Czyn to w oparcu o dee regulatywne w n zawarte tzn. deę śwata jako całośc, duszy Boga. Jednak rozu tych przedotów neskończonych ne dosęga najgłębsza potrzeba rozuu potrzeba pełn poznana bytów saych w sobe, ne oże być zaspokojona przez sa czysty rozu. Metafzyka rodz sę jako nauka dopero poprzez czyn etyczny, dzęk rozuow praktyczneu uzasadnene dla stnena dobra są postulaty rozuu praktycznego: wolność, neśertelność Bóg. Natoast władza sądzena, dotycząca upodobana estetycznego, odnos sę do konkretnych obektów sądy estetyczne o, że subektywne pretendują 3
do powszechnośc (to co ne sę podoba pownno podobać sę wszystk). May tu węc do czynena z podporządkowane nadanu rang powszechnej teu, co konkretne szczególne. Ten kantowsk podzał władz uysłu Wrońsk zachowuje, jednak zena jego znaczene. Przede wszystk odrzuca kantowske założene, że rozu ne dosęga przedotów neskończonych. Jego flozofa absolutna jest poznane czystego stnena. Zauważa, że poszczególne władze uysłu dzałają według pewnych ogólnych algorytów. Władza ntelektu oparta jest o algoryt suowana, który łączy wyodrębna w sposób necągły w ten sposób nadaje zjawsko jedność. Władza rozuu próbuje połączyć to, co skończone z ty, co neskończone (za poocą cągłośc), a algoryte jej dzałana jest algoryt stopnowana, wzrastana. I w końcu władza sądzena, ukazując nadrzędność wpływ rozuu na ntelekt, neutralzuje cągłość necągłość dzała zgodne z algoryte reprodukcj, odtwarzana. Według Wrońskego te trzy algoryty ają rangę ogólną są podstawą tworzena wszelkch nnych algorytów, pozwalających generować całą rzeczywstość. Algoryty odnoszą sę do prawa tworzena. Sao prawo tworzena składa sę z jedenastu zasad ukazujących stotę Absolutu, w ty najważnejsze (perwotne) są trzy najwyższe, z których pozostałe zasady wynkają w oparcu o odpowedne relacje. I tak zasadą ukazującą absolutną jedność oraz stnene sao przez sę jest rzeczywstość Absolutu w archtektonce odpowada jej algoryt reprodukcj (nożene dzelene). Kolejne dwe zasady wskazują na heterogenczność stoty Absolutu: są to wedza (spontanczność, twórczość, wolność różnorodność) odpowada jej algoryt stopnowana oraz byt odsłanający koneczność ustawczną stałość Absolutu tu z kole ay algoryt suowana 6. Budowany przez Wrońskego syste unwersalnej wedzy wynka z zasad najwyższych dlatego wszystke jego propozycje projekty ogą być zrozuałe jedyne w odnesenu do prawa tworzena. Tak przynajnej uważa sa Wrońsk. Ty say prawo tworzena ukazuje dwe drog: drogę poznawczą w górę, gdy doceray do saej rzeczywstośc Absolutu uzyskujey oc tworzena oraz drogę w dół, kedy, w oparcu o poznane zasady, tworzyy rzeczywstość. Flozofa absolutna Wrońskego dąży węc do zharonzowana śwata w oparcu o wedzę najwyższą, a jej częśca składowy są teora (poznawane rzeczywstośc) techna (generowane rzeczywstośc). III. Archtektonka ateatyk 6 J. M. Hoene-Wrońsk, Wstęp do flozof ateatyk oraz techn algoryt. Tł. P. Chocz. Warszawa 937, Od tłuacza, s. 3-4. 4
Wrońsk wyróżna dwa obszary badań śwata fzycznego zwązane z n dwe nauk: fora śwata, określająca jego sposoby bytowana (jest to przedot ogólny ateatyk) oraz treść jako stota dzałana fzycznego (przedot ogólny fzyk). Analzując forę śwata dostrzega, podobne jak Kant, że składa sę ona z czasu przestrzen. Defnuje ty say ateatykę jako naukę o prawach czasu przestrzen, jednak, naczej nż Kant, traktuje je jako dane w dośwadczenu eleenty śwata zewnętrznego. Dla Kanta bowe czas przestrzeń są jedyne podotowy fora zysłowośc. Transcendentalna analza śwata prowadz węc, według Wrońskego, do poznana praw tego śwata, a ne tylko for kategor podotowych. Ty say kantowska etoda transcendentalna staje sę w rękach Wrońskego narzędze poznawana rzeczywstośc jako jedn, której zasadnczy eleente jest ateatyka. Zresztą to ateatyka pozwala poznawać generować rzeczywstość. W ty zawera sę anty-kantowsk ptagorejsk rys flozof Wrońskego. Mateatyka jako nauka o prawach for śwata fzycznego, a dokładnej o prawach czasu przestrzen dzel sę, według Wrońskego, na flozofę ateatyk oraz ateatykę właścwą. Flozofa ateatyk a za zadane wyprowadzć na drodze subektywnej zasady flozofczne ateatyk (czyl jej perwsze podstawowe prawa) w oparcu o ogólne prawa wedzy są to prawa logczne transcendentalne, opsujące uysł ludzk jego dzałane. Dopero z tak otrzyanych zasad ateatyk, ateatyka właścwa wyprowadza w sposób obektywny swoje twerdzena. Flozofa ateatyk odkrywa z jednej strony prawa wedzy człoweka w odnesenu do przedotu ateatyk (ay tu archtektonkę ateatyk, badającą treść wedzy ateatycznej oraz etodologę ateatyk, która bada forę wedzy, czyl różne sposoby badań), a z drugej prawa saej ateatyk jest to etafzyka ateatyk. Dlatego w ty znaczenu flozofa ateatyk jest nezbędny wstępe do badań ateatycznych. W swo Wstępe do flozof ateatyk wyprowadza analzuje Wrońsk archtektonkę ateatyk, która ne a być opse stnejącego za życa Wrońskego podzału ateatyk na poszczególne dzały, lecz jej ogólną unwersalną charakterystyką, obejującą jej aktualny stan cały przyszły rozwój. Spójrzy teraz jak wygląda podzał ateatyk właścwej, zgodne z koncepcją Wrońskego. Należy podkreślć, że ne jest on opracowany w oparcu o aproryczne kategore podotowe (jak u Kanta), lecz na podstawe prawa tworzena, czyl a posteror, poprzez dośwadczene czystej rzeczywstośc. Najperw, w zależnośc od tego jak rozpatrujey przedot ateatyk (n abstracto czy n concreto), otrzyujey ateatykę czystą stosowaną. Mateatyka czysta dzel sę znów na algorytę (bada następstwo chwl czasowych oraz scheat lczby) geoetrę (bada połączene punktów w całość oraz scheat rozcągłośc). Algoryta wywodz sę przy ty z obektywnych 5
rozważań czasu, natoast geoetra opera sę na ntucj przestrzen tak czas jak przestrzeń przynależą do zjawsk fzycznych dane są a posteror (jest to naczej nż u Kanta, gdze czas przestrzeń są dane a pror jako podotowe fory zysłowośc) 7. Ten podzał dokonany jest przez Wrońskego w odnesenu do kantowskej kategor lośc oraz stosunku (w ty kategor przyczynowośc substancj). Wśród kategor ntelektu stneją jeszcze kategore jakośc oraz odalnośc (według Kanta). W swo Wstępe do flozof ateatyk Wrońsk ne analzuje ateatyk z punktu wdzena tych kategor, co wydawałoby sę naturalne, jeśl patrzyy na ejsce jake zajuje ateatyka w jego prawe tworzena archtektonce wedzy. We Wstępe do wykładu ateatyk 8 podaje Wrońsk wprawdze jeszcze trzec dzał ateatyk teorę ruchu, która zajuje sę własnośca cał, leżący u podstaw ożlwośc ruchu. Ne jest to jednak pełna klasyfkacja brak jest wyraźnego wskazana o jake kategore chodz. W dalszy rozwoju ateatyka odnosła sę równeż do kategor jakośc jak odalnośc (poprzez powstane topolog, teor nogośc logk ateatycznej). W raach każdego ze wskazanych powyżej dzałów ateatyk ożey wyróżnć prawa fakty. I tak algebra zajuje sę prawa lczb, a arytetyka, jako szczegółowa dzedzna algoryt, fakta lczb. Natoast w raach geoetr prawa rozcągłośc zajuje sę geoetra ogólna, a fakta rozcągłośc geoetra szczegółowa. Dalszy stotny podzał ateatyk dokonuje sę w raach algebry geoetr ogólnej. Jest to najważnejszy eleent koncepcj Wrońskego, przedstawającej archtektonkę ateatyk. Tu właśne pojawa sę podzał na teorę technę: odpowedno algebry geoetr. Przy czy teora zwązana jest z odkrywane natury ateatyk (a dokładnej kategor lośc ateatycznej), a techna bada arę tzn. co należy uczynć, aby dane welkośc (lośc) oblczyć. O le teora jest rodzaje spekulacj, to techna polega na dzałanu. W raach teor odkryway twerdzena, natoast to, co odkryway w raach techn, nazywa Wrońsk etoda. Spójrzy teraz w jak sposób rozwja Wrońsk teorę algoryt. Dzel sę ona na teorę generacj algorytcznej oraz teorę porównana algorytcznego. W raach generacj algorytcznej wyróżnona jest część eleentarna systeatyczna. Poprzez odkryce algorytów perwotnych (suowana, stopnowana oraz reprodukcj) a ejsce tworzene kolejnych algorytów nnych bytów ateatycznych. I tak w częśc eleentarnej otrzyujey przede wszystk nueracje, fakultety oraz logaryty snusy, natoast w częśc systeatycznej (ukazującej połączene algorytów suowana stopnowana) 7 Ibde, s.-3. 8 J. Hoene-Wrońsk, A Course of Matheatcs. Wyd. Sauel Bagster. Londyn 8; tł. L. Nedźweck, Paryż 880, s. 4-5. 6
teorę różnc (bada przyrosty skończone funkcj), różnczek (bada przyrosty neskończene ałe), stopn oraz stopnków (rozpatruje przyrosty wykładnków, odpowedno skończone neskończene ałe). Ten podzał a, ędzy nny, wyjaśnć znaną antynoę rachunku różnczkowego (tzn. teor różnczek w rozuenu Wrońskego) zwązaną z posługwane sę welkośca neskończene ały 9. W końcu ukazana jest harona ędzy suowane stopnowane (jako eleenta neredukowalny do sebe) jest to cel generacj algorytcznej. Natoast teora porównana algorytcznego zawera teorę stosunków oraz równań (np. różnczkowych, kongruencyjnych). Cele tej teor jest znów ukazane tożsaośc algorytów nueracj fakultetów (które jako algoryty perwotne całkowce różną sę od sebe). Techna algoryt znów, przez podobny scheat podzału, prowadz do teor szeregów (neskończonych), ułaków cągłych (łańcuchowych), neskończonych produktów oraz nterpolacj. Istotny eleenta tego fragentu ateatyk są neskończone rozwnęca funkcj.n. funkcj logaryt, snus, cosnus. Wrońsk zauważa, że dzęk neskończony rozwnęco ożlwe jest zdefnowane logarytów zespolonych oraz nnych funkcj (nazwanych funkcja analtyczny). Natoast dla realzacj częśc systeatycznej pojawa sę absolutne prawo algoryt (tzw. prawo najwyższe) oraz probleat powszechny algoryt. Prawo najwyższe a następującą postać: F ( x) = A0 0 A A..., przy czy F(x) jest daną funkcją, której rozwnęca poszukujey, 0,,,... są funkcja tworzący, natoast A0, A, A,... są to współczynnk, które należy wyznaczyć 0. Powyższy wzór jest najogólnejszy wzore pozwalający rozwjać dowolną funkcję w szereg neskończone. Funkcje są całkowce dowolne, a rozwnęca potęgowe czy trygonoetryczne byłyby tylko szczególny przypadka. Wzór ten zawera węc w sobe wszystke ożlwe typy rozwnęć funkcj. Natoast prawo probleatu powszechnego ukazuje powszechną neusuwalną różncę (jak prawo najwyższe jedność). Jeśl chcey określć naturę danej funkcj F przy poocy funkcj nnego rodzaju, to usy znaleźć cąg przyblżeń F,,..., F Fn,... tak, że różnca F Fn 0, jeśl n. Funkcje tworzące otrzyują w ty przypadku konkretną postać, co wąże sę z 9 Antynoa ta polegała na ty, że w pewnych sytuacjach różnczka traktowana była jak lczba dodatna, a w nnych jak zero. 0 Por. J.M. Hoene-Wrońsk, Wstęp do flozof ateatyk, s. 43-54 7
ustalene ch fory zapsu np. 0,,,... k. Ty say F( x) = A0 0 A A... Ak k r( x). Cele badań jest teraz znalezene reszty r (x), czyl odpowednej różncy lub różnczk w zależnośc od tego czy sua A0 0 A A... A k k jest skończona, czy ne. Poneważ prawo najwyższe odnos sę do generacj algorytcznej, a probleat powszechny do porównana algorytcznego, węc potrzebne jest trzece prawo łączące te dwa poprzedne jest to prawo teleologczne. W ten sa sposób dzelona jest geoetra. I tak w częśc ustanowena geoetrycznego ay część eleentarną (w której pojawa sę teora prostych, kątów krzywych) oraz część systeatyczną jako teorę brył. Natoast w częśc dotyczącej porównana geoetrycznego wyróżna Wrońsk jedyne teorę podobeństwa. Techna geoetr, a węc nauka ukazująca etody erzena (tego, co odkrywa teora), zawera teorę przekrojów, zastosowań algoryt do geoetr (w częśc eleentarnej) oraz geoetrę rzutową oraz algorytczną, w ty analtyczną (w częśc systeatycznej). W celu wyjaśnena w jak sposób, zgodne z przedstawoną archtektonką ateatyk, są tworzone kolejne ateatyczne byty zajey sę teorą algorytczną eleentarną. Podstawą tej częśc ateatyk (jest ona zaraze podstawowa dla całej archtektonk) są dwa przecwstawne algoryty: suowana stopnowana, posadające dwa beguny progresywny regresywny (odpowedno: dodawane odejowane oraz potęgowane perwastkowane). Dwa te algoryty perwotne są, by tak rzec, dwoa beguna uysłowy wedzy ludzkej w jej zastosowanu do lośc algorytcznych. W suowanu częśc lośc są necągłe ekstensywne; ają one właścwe charakter skupena. W stopnowanu częśc lośc, przecwne, są cągłe lub przynajnej są uważane za take są nejako ntensywne; przyberają one ty say charakter narastana. Powyższe algoryty (nazywa je Wrońsk algoryta eleentarny) są całkowce heterogenczne ne ożna ch wzajene do sebe zredukować, an wyprowadzć ch z sebe nawzaje. Ne ożna ch też zredukować do znanych funkcj arytetycznych, ają bowe aksyalną ogólna postać, wynkającą z flozof absolutnej prawa tworzena. Te dwa algoryty są oparte o dwe nezależne od sebe funkcje uysłu suowane opera sę na prawach ntelektu a potęgowane na prawach rozuu. Algoryt suowana wyraża sę prosty scheate A B = C, które stanow zaraze podstawowe prawo suowana, natoast algoryt stopnowana oparty jest o scheat A B = C, a Ibde, s. 7. 8
podstawowe prawo stopnowana (jego szczególny przypadke jest dwuan Newtona) wygląda następująco : ( A B) C = A C C A C B C( C ) A C B C( C )( C 3! ) A C 3 B 3... Zasada tożsaośc doaga sę jednak neutralzacj różnorodnośc algorytów eleentarnych tak powstaje algoryt reprodukcj (algoryt perwotny), oparty o trzecą władzę uysłu władzę sądzena (jego scheate podstawowy prawe reprodukcj jest A B = C ). Mo, ż te trzy algoryty są całkowce różne 3, to wchodzą ędzy sobą w odpowedne relacje, wynkające z prawa tworzena. W ten sposób powstają algoryty pochodne. Wrońsk sądz, że ne stneją ne ogą stneć dla człoweka nne funkcje algorytczne jak te, które albo bezpośredno operają sę na trzech tych algorytach, albo pochodzą od tych algorytów 4. Tak ocne stwerdzene a swoje uzasadnene w przyjętej wcześnej flozof absolutnej. W kolejnych krokach Wrońsk pokazuje jak w oparcu o zasady relacje prawa tworzena otrzyujey kolejne algoryty dzedzny ateatyk. Oczywśce ateatyka jest najbardzej podstawowy najłatwej generowany eleente struktury wedzy. Pozostałe eleenty wedzy równeż wynkają z perwotnych algorytów to równeż stara sę Wrońsk wykonać w kolejnych etapach swojej pracy naukowej. Poneważ reprodukcja jest już ze swojej stoty połączene algorytu suowana stopnowana, węc połączena dający stotne nowe algoryty jest połączene algorytów reprodukcj suowana oraz reprodukcj stopnowana. Perwszy z tych nowych algorytów nazywa Wrońsk nueracją, a drug fakulteta podaje ch następujące scheaty:. A0 ϕ 0 ( x) A ϕ ( x) Aϕ ( x).... ϕ 0 ( x) ϕ ( x) ϕ ( x)... przy czy ϕ oznaczają dowolne funkcje zależne od x, a A dowolne welkośc od x nezależne. Zauważy, że łącząc przykładowo nożene pewnej lczby A z dodawane lczb B C otrzyujey A ( B C) = AB AC ; ten proces ożey kontynuować. Podobne jest w przypadku fakultetów. Jako perwsze dzecko algorytu nueracj pojawają sę fakty lczb, czyl lczby naturalne, natoast w przypadku fakultetów prawa lczb, czyl określene wszystkch wyrażeń algebracznych, należących do teor Jest to postać dwuanu Newtona uogólnonego na dowolne wykładnk C. 3 Klasyczne wyprowadzane na przykład nożena czy potęgowana z dodawana ne oże w przypadku koncepcj Wrońskego eć ejsca. 4 Ibde, s. 7. 9
algorytcznej (snusy, logaryty, perwastk równań anentnych, całk td.). Stosując konsekwentne relacje wynkające z prawa tworzena generujey kolejne algoryty. Jeśl będzey chcel określć przy poocy fakultetów nuerację, to będzey usel znaleźć pewną funkcję ϕ spełnającą warunek: ϕ x ) ϕ ( x ) ϕ ( x )... = ϕ ( x x x...). ( 3 3 Można łatwo zauważyć, że warunek ten zachodz, gdy funkcja ϕ spełna następującą zależność wykładnczą: ϕ ( ) a x = x, przy czy a jest dowolną stałą lczbą 5. W celu znalezena postac (natury) funkcj ϕ Wrońsk wykonuje następujące oblczena, korzystając z podstawowego prawa stopnowana: ( a) A poneważ = [ ( a )] = ( a ) ( ( a) = x, węc a )... A stąd x = ( a ) ( a )..., x = a ( a ) 3 ( a )... Jeśl dąży do neskończonośc, to wówczas wyrażene po prawej strone powyższej równośc wynos ϕ (x), natoast lewa strona jest wyrażene 5 Wrońsk ne zakłada jak to rodzaj lczby. Może to być lczba rzeczywsta, urojona, neskończene ała czy duża lub jeszcze jakaś nna. Wrońsk zakłada (na podstawe swojej flozof absolutnej), że szczególną rangę ają lczby urojone neskończone, poneważ wynoszą ateatykę poza wewnętrzne konstrukcje uysłu w śwat poza-uysłowy. Zauważy ponadto, że na początku XIX weku, gdy Wrońsk psze swoje prace ateatyczne, ne a jeszcze ustalonej defncj lczby (an rzeczywstej, an zespolonej). Jak wadoo ścsła defncja lczby rzeczywstej została sforułowana dopero po śerc Wrońskego w latach 70-tych XIX weku, natoast logczna ożlwość używana lczb neskończonych pokazał A. Robnson w swojej analze nestandardowej. 0
neoznaczony 0, które oże przyjować wartośc skończone rzeczywste 0 dla pewnych lczb a. Wrońsk ne stosuje jednak procedury grancznej, lecz podstawa za lczbę neskończene dużą. To użyce lczby neskończonej jest dla Wrońskego operacją transcendentalną dokonywaną przez rozu wyprowadzającą poza grance ntelektu prowadz węc do nowych bytów ateatycznych. Wyrażene po prawej strone powyższej równośc staje sę loraze dwóch welkośc (lczb) neskończene ałych, co a dla Wrońskego (podobne jak dla Lebnza) noralny lczbowy sens. Na welkoścach neskończene ałych (jak neskończene dużych) ożey wykonywać wszystke operacje arytetyczne). Otrzyuje węc następujące wyrażene określające funkcje ϕ 6 : x = Tę postać funkcj ϕ nazywa podstawowy prawe teor logarytów uważa, że ożna z nej wyprowadzć całą teorę logarytów. Przykładowo, nożąc lcznk anownk powyższego wyrażena przez lczbę neskończoną otrzyujey: = ( a ( x a. ). ) Funkcja ϕ przyjuje najprostszą postać, gdy anownk jest równy. Ma to ejsce, jeśl a jest lczbą Eulera e, bowe, jeśl ( a ) =, to e = a = =! = 3! ( ) ( )(! 3!... =!..., 3! ) 3... 6 Zauważy, że wyrażene a jest welkoścą neskończene ałą dlatego wszystke składnk po lewej strone równośc x = ( a ) ( a )..., poza perwszy, zerują sę. Jest to jednak prawdzwe przy założenu, że ay tylko jedną lczbę neskończene dużą autoatyczne tylko jedną neskończene ałą. Załóży bowe, że d jest welkoścą neskończene ałą (dodatną). Oznacza to, że d jest lczba nejszą od każdej nnej lczby dodatnej, lecz wększą od zera). Zate d < d. Gdyby bowe d d, to d, co jest neożlwe. Stąd wynka, że d = 0, poneważ stneje tylko jedna lczba neskończene ała. Zauważy przy okazj, że ne stneje lczba, gdyż usałaby być ona odwrotnoścą zera.
n gdyż =, dla każdej lczby skończonej n. W ty przypadku funkcja ϕ (x) staje sę logaryte naturalny dowolnego a ay oczywśce wcześnejszej postac funkcj ϕ, dla a = e, ay ln x tzn. ln = ( x) = ( x ), x ϕ a w przypadku ( x ) = = log a x. Wracając do ln a x ln x =. e W podobny sposób rozuuje Wrońsk, kedy pokazuje jak przy poocy nueracj otrzyać fakultety, co sprowadza sę do znalezena funkcj ψ spełnającej własność: ψ ( x ) ψ ( x ) ψ ( x3)... = ψ ( x x x3...). x I znów funkcja wykładncza, ty raze postac ψ () = a, spełna powyższy warunek daje ożlwość znalezena natury funkcj ψ. Okazuje sę, że aby otrzyać nowy rodzaj funkcj trzeba wyjść poza potęg rzeczywste. Lecz, gdy wykładnk zawera neskończoność albo jest urojony, funkcja ta wychodz poza klasę zwykłego algorytu stopnowana, poneważ jest ona ożlwą tylko przez wpływ kerownczy rozuu, który czyn ją wtedy funkcją transcendentną. Otóż, wypadke, kedy wykładnk zawera neskończoność, jest wypadek logarytów czyl funkcj, które tylko co rozpatrzylśy; pozostają tedy w nnejszy zagadnenu funkcje rzeczywste nowe tylko w wypadku, kedy wykładnk jest urojony 7. Te słowa Wrońskego ukazują jego sposób rozuowana jak łączy nerozdzelne z rozuowane strcte ateatyczny arguenty flozofczne. Szczególne, kedy chcey otrzyać nowy rodzaj bytów ateatycznych, potrzebne jest użyce funkcj transcendentnych lub transcendentalnych (jak nazywa je Wrońsk), pozwalające wyjść poza wewnętrzne struktury uysłu. Kolejny flozofczny arguente Wrońskego jest arguent z prostoty badanej struktury. Tak było poprzedno, gdy pojawła sę lczba Eulera e oraz logaryt naturalny jako najprostsza lczba funkcja (odpowedno) w rozpatrywanej sytuacj, Z tego też powodu lczbę e nazywa Wrońsk lczbą flozofczną, a wyrażene x = ( ln x) (otrzyane ze wzoru na funkcję logaryt ln x = ( x ) przy poocy prostych przekształceń arytetycznych na lczbe neskończene dużej ) scheate flozofczny stopnowana (ają one znaczene równeż poza-ateatyczne). 7 Ibde, s. 4-5.
Podobne w aktualne rozpatrywany przypadku najprostsza sytuacja a ejsce, gdy = ±. W takej sytuacj (borąc tylko jako jedną z x czterech ożlwych wartośc ) ay ψ ( x ) = a. Po zastosowanu scheatu flozofcznego stopnowana podstawowego prawa stopnowana do lczby y = ) x ψ ( x) = a = ( ln y Wrońsk otrzyuje: a x 3 3 ln a ln a ln a 3 = ln y (ln y) (ln y)... = x x x! 3!! 3!..., x poneważ ln y = ln a = x ln a. W powyższej sue ożna wydzelć składnk rzeczywste oraz zawerające lczbę urojoną = są to funkcje oznaczone odpowedno F (x) oraz f (x). Stąd ψ ( x ) = F( x) f ( x) lub ogólnej ψ ( x ) = F( x) ± f ( x). Otrzyany wzór nazywa Wrońsk podstawowy prawe teor snusów. Wrońskeu zależy na aksyalnej ogólnośc tego prawa, gdyż zbyt szybke przejśce do przypadku szczególnego (np., gdy a = e ). W prosty sposób z tego prawa otrzyujey ogólne wzory na F (x) oraz f (x) : x ( a ± x a ± ) x ( a ± x a ± ) F ( x) = oraz f ( x) =. ± Zauważy, że, gdy a = e ay F( x) = cos x oraz f ( x) = sn x (jeśl w powyższych wzorach berzey ) lub F( x) = cosh x oraz f ( x) = snh x (jeśl berzey ). Powyżej otrzyane funkcje (tzn. logaryty, snusy cosnusy) uznaje Wrońsk za eleentarne funkcje algorytczne 8. Ty say wyłącza trygonoetrę z dzedzny geoetr. Trygonoetra staje sę węc w archtektonce Wrońskego częścą teor logarytów Przede wszystk trzeba zauważyć, że rozważane funkcje są w stoce algorytczne, ne zaś geoetryczne, jak neano, zdaje sę, dotychczas: ają one koneczne wnny eć swój początek w algoryt, której stanową, jak potęg, logaryty td., część eleentarną stotną; tylko przez zastosowane algoryt do geoetr ożna je odnaleźć w tej ostatnej, jest ta okolczność całke przygodna 9. Łatwo zauważyć, że funkcje F (x) oraz f (x) spełnają warunk: 8 Przez eleentarną funkcję algorytczną rozue Wrońsk funkcje, której postać (algorytczną) ożna otrzyać wprost z algorytów perwotnych. 9 Ibde, s. 7. 3
. ( F ( x)) ( f ( x)) =, gdy w defncj funkcj F (x) f (x) ay oraz. ( F ( x)) ( f ( x)) =, gdy w tych defncjach ay. Perwsza z tych własnośc jest szczególne nteresująca, gdyż jest ona cechą charakterystyczna perwastków zespolonych z jedynk (jeśl a b jest perwastke z jednośc, to a b = ). A poneważ funkcja x ψ ( x) = a = F( x) f ( x) stneje taka ożlwość, że pewne jej wartośc są perwastka z jedynk. Wśród perwastków z jedynk jest jeden szczególny jest to też jedynka (jest to najprostsza z ożlwych sytuacj najprostszy x perwastek). Czy stneje wobec tego take x, że ψ ( x) = a =? x W celu znalezena tej lczby x załóży, że dla pewnego x lczba a jest x perwastke czwartego stopna z jedynk tzn. a =. Istneją cztery perwastk, w ty dwa zespolone postac: 4 ± x 4 x a = a = x ln a = ln 4 ). Poneważ w końcu =, węc 4 a x = ln a 4 x = ln = oraz ln 4ln 4 x = = (ln( ) ln( )). ln a ln a a x 4 = (oczywśce. Stąd otrzyujey Korzystając ze wzoru na logaryt ln y = ( y ) ożey znaleźć rozwnęce funkcj ln( ) ln( ), anowce ln( ) ln( ) = ( ) ) ( ) ) = (( ) ( ) Korzystając z podstawowego prawa stopnowana paętając, że n lczbą neskończene ałą (co oznacza, że d = 0, dla n > ) ay:. ) d = jest d( d ) d( d )( d ) 3 d ( ) d = d... = d! 3! d d 3 d d d = d... = d... 3 3 4 Podobne d d d ( ) d = d.... 3 4 d d 3 3d 3! Podstawając otrzyane wyrażena do poprzednego wzoru otrzyujey: d 3... 4
d d ln( ) ln( ) = ( d 3 d(...) = ( 3 5 7 3 5 d... ( 4...). 7 d d d 3 d 4...)) = Podstawając otrzyaną różncę logarytów do wcześnej wyprowadzonego wzoru na x ay: 4 8 x ( a) = (...) = (...). ln a 3 5 7 ln a 3 5 7 x Otrzyana lczba jest szukaną lczbą spełnającą warunek a =. W przypadku, gdy a jest lczbą Eulera e otrzyujey lczbę π tzn. x ( e) = π = 8(...). 3 5 7 W ten sposób przy poocy perwotnych funkcj algorytcznych została wygenerowana lczba π (podobne jak lczba Eulera e). Tu znajduje sę ostatn cel rozuu; jest to cel, przynajnej utajony, który prawodawca ten naszej wedzy postawł wszystk ty, którzy do dzś zajowal sę w geoetr poszukwane cheryczny skonstruowana za poocą ln stosunku obwodu do proena koła 0. Przeprowadzone oblczena ukazują ponadto pękny zwązek ędzy odkrytą jeszcze w starożytnośc przez Archedesa lczbą π, a lczbą Eulera e oraz lczbą urojoną, a anowce: e π = oraz ln π =. Co węcej obe lczby zostały otrzyane jako najprostsze w rozpatrywanych sytuacjach. W raach teor algoryt przedstawona powyżej konstrukcja, prowadząca do wygenerowanu funkcj eleentarnych przy poocy algorytów perwotnych, stanow dopero perwszą część archtektonk ateatyk (ne lcząc flozof ateatyk), zwaną częścą eleentarną. Kończy sę ona ukazane jednośc perwotnych algorytów poprzez wyprowadzene wzoru łączącego funkcję snus oraz logaryt. IV. Zgodność koncepcj Wrońskego z przyszły rozwoje ateatyk 0 Ibde, s. 3. 5
Fundaentalny dla koncepcj Wrońskego podzał na teorę technę odnos sę ne tylko do archtektonk ateatyk, lecz równeż do jej dzejów. Podzelł dzeje ateatyk na pęć okresów, przy czy perwsze trzy zwązane były z teorą (były węc poznawane natury ateatyk), a dwa ostatne, po dotarcu w raach teor do zasad perwotnych, są rozwjane techn ateatyk rozpoczyna sę wówczas generowane rzeczywstośc. Ten kluczowy oent w dzejach zaczął sę od powstana rachunku różnczkowego. Pojawły sę cztery potężne środk: rozwjane funkcj w szereg Taylora, funkcje tworzące Laplace a, ułak cągłe Eulera, funkcje analtyczne Lagrange a. Mało ejsce wówczas unwersalne użyce szeregów neskończonych. Jednak cele całych dzejów ateatyk jest osągnęce absolutnej jednośc (a w końcu osągnęce jednośc całej wedzy ludzkej). Wszystke prawa ateatyk będą wynkały wtedy z jednej unwersalnej zasady najwyższej traktowanej jako prawda absolutna. Będą obejowały wszystke dzały ateatyk, a prawa unwersalne jej poszczególnych dzedzn będą jej szczególny przypadka. Jak wey Wrońsk odkrył sforułował prawo najwyższe algoryt; analogczne prawo pownno zostać odkryte dla geoetr, po uprzedn odkrycu praw unwersalnych dla poszczególnych dzedzn geoetr. W końcu dzejów ateatyk nastąpć a odkryce prawa, z którego, w oparcu o perwotne algoryty, cała ateatyka byłaby generowana. Unfkacja dotyczy ne tylko ateatyk (ona jest perwsza), lecz całej wedzy ludzkej. Kres ludzkośc zostane osągnęty, gdy taka najwyższa unwersalna zasada, generująca cała wedzę, zostane odsłonęta. Na początku jednak występuje Wrońsk z propozycją refory algoryt ateatyk. Nastąpło to w 80 roku w eorale, który przedstawł Wydzałow Nauk Fzycznych Mateatycznych Instytutu Francuskego. Meorał ten zatytułowany Perwsza zasada etod analtycznych forułował absolutne prawo algorytczne (prawo najwyższe). Sprawozdawca przedstawonego eorału byl Lacrox oraz Lagrange, którzy uchyll sę od jego jednoznacznej oceny wskazując na zbyt daleko dącą ogólność tez oraz podkreślając, że wzór podany przez Wrońskego pozwala otrzyać wszystke znane wzory na rozwnęce funkcj. Tę ocenę Wrońsk uznał za nedokładną oraz nerzetelną w końcu wszedł w konflkt z ateatyka francusk. Jego propozycja ne znalazła węc wększego uznana. Główny dzełe podejujący zagadnene refory ateatyk jest analzowany wcześnej Wstęp do flozof ateatyk techn algoryt wydany w drugej połowe 80 roku. Na początku 8 roku wychodz praca Ogólne rozwązana równań wszystkch stopn. W pracy tej swoją etodę rozwązywana równań wyprowadzał z tzw. probleatu powszechnego ateatyk te rozważana zostały rozwnęte w pracy Refora absolutna, a przeto fnalna wedzy ludzkej J. Hoene-Wrońsk, Résoluton générale des équaton de tous les dégrès, Paryż 8. 6
wydanej 30 lat późnej. Równeż w pracy Wstęp do wykładu ateatyk 3, który Wrońsk psze wydaje w Angl, podejuje zagadnene refory ateatyk, ukazując jej rolę w dzejach.. Uzasadna w nej, że wszystke nauk zawdzęczają swój rozwój ateatyce, że są od nej zależne. Ta właśne dzel całe dzeje ateatyk na pęć okresów. Chcałby teraz przedstawć jak wzja Wrońskego, odpowada rzeczywsteu, przyszłeu rozwojow ateatyk. Zauważy, że w okrese opracowywana archtektonk ateatyk, krótko pote, powstało wele nowych dzałów ateatyk, o których Wrońsk nc ne wspona. Przede wszystk są to: geoetre neeukldesowe, teora Galos, prowadząca do teor grup algebry abstrakcyjnej, teora lczb funkcj rzeczywstych, teora nogośc, logka ateatyczna. Przyjrzyjy sę stanow ateatyk sto lat późnej, aby przekonać sę czy nowe teore ateatyczne ne eszczą sę w koncepcj Wrońskego. Zygunt Janszewsk, przedstawając stan ateatyk na początku XX weku, wyróżna klka centralnych teor, wokół których grupują sę pozostałe. Po strone algoryt (trzyając sę nazewnctwa Wrońskego) ueszcza około 40 różnych teor, z których najważnejsze to: teora lczb, algebra, teora funkcj rzeczywstych oraz analtycznych, teora szeregów neskończonych teora równań różnczkowych. Natoast po strone geoetr znajduje sę ponad 0 teor (.n. topologa, geoetre neeukldesowe, trygonoetra, teora stożkowych powerzchn drugego stopna, teora krzywych powerzchn algebracznych), w ty cztery (geoetra syntetyczna, analtyczna, eleentarna różnczkowa) odgrywają rolę centralną. Jedność całej ateatyk zapewna bogaty syste relacj powązań poędzy poszczególny teora oraz nowe teore badające podstawy ateatyk, z których najważnejsze to teora grup teora nogośc. Trudno bezpośredno porównywać archtektonkę Wrońskego z podzałe ateatyk dokonany przez Janszewskego, poneważ oparte są one o nne zasady: Janszewsk podaje jedyne przyblżony układ teor ateatycznych w swoch czasach ne pretendując do ogarnęca całośc cągle rozwjającej sę ateatyk, co czyn Wrońsk. Ponadto, według Janszewskego, algebra geoetra ne różną sę przedote badań (przyponjy, że dla Wrońskego przedote badań algoryt, w ty algebry jest następstwo chwl czasowych oraz scheat lczby, a geoetr połączene punktów w całość oraz scheat rozcągłośc), a jedyne sposobe ujęca. Bardzej jednak zasadnczy podzałe ateatyk wydaje na sę podzał na ateatykę utworów cągłych necągłych. Do ostatnej zalczay J. Hoene-Wrońsk, Réfore absolute du savor huan, t. I-III, Paryż 847. 3 J. Hoene-Wrońsk, A Course of Matheatcs. Wyd. Sauel Bagster. Londyn 8; tł. L. Nedźweck, Paryż 880. 7
teorę lczb teorę grup necągłych wraz z algebrą. Do perwszej resztę analzy (analzę w znaczenu caśnejszy) prawe całą geoetrę 4. Są to węc całke nne podzały, a ponadto Janszewsk ne dostrzega w ateatyce nczego, co odpowadałoby techn Wrońskego. Myślę, że w koncepcj Wrońskego eśc sę teora nogośc topologa (jako część geoetr, badające na pozoe aksyalne ogólny sposoby łączena w całość oraz scheat rozcągłośc) oraz pozostałe teore ateatyczne z czasów Janszewskego. W perwszy oence teora grup wydaje sę ne pasować do scheatu Wrońskego. Rozpatruje ona bowe całke abstrakcyjne dzałane, spełnające narzucone warunk. A dla Wrońskego algoryty perwotne oparte są o trzy heterogenczne względe sebe dzałana (dodawana, potęgowana nożena) łączene ch w jedno na pozoe czysto foralny wydaje sę nedopuszczalne (dzęk tej neusuwalnej różncy a ejsce generowane nnych algorytów praw). Paętając jednak, że cele ostateczny najwyższy jest absolutna jedność, natrafay, w przypadku abstrakcyjnej struktury grupy, na prawo najwyższe scalające obszary geoetryczne jak algebraczne (chocaż nekoneczne wszystke, jak pewne życzyłby sobe Wrońsk). Tak fundaentalne znaczene teor grup dostrzegło welu ateatyków.n. F. Klen czy H. Poncare. Na przełoe XIX XX weku pojawło sę wele prób budowana jednośc ateatyk yślę, że eszczą sę one w pewny stopnu w scheace Wrońskego. Poszukwane unwersalnego scheatu ateatyk w teor nogośc, teor grup, arytetyce, logce ateatycznej czy późnej w teor kategor funktorów (ukazującej analoge ędzy struktura topolog algebry oraz nnych teor) a za zadane bowe wskazane prawdzwej nezennej jednośc gwałtowne rozwjającej sę ateatyk według Wrońskego różnorodność ateatycznych bytów ne oże przekreślać jednośc ateatyk, gdyż właśne z nej wynka. Na konec chcałby przedstawć przykład rozwoju zagadnena welkośc newspółernych, który prowadz, poprzez odkryce lczb newyernych, do poznana aksyalne ogólnej zasady pozwalającej uzupełnać dowolne przestrzene o brakujące eleenty. Ten rozwój jest zgodny z hstorozofą Wrońskego takch przykładów ożna podać wele. Oczywśce proble welkośc newspółernych ógł sę pojawć dopero wtedy, gdy rozpatrywano ateatykę w sposób abstrakcyjny. Najwcześnej odkryty welkośca newspółerny były: stosunek przekątnej kwadratu do jego boku (daje to lczbę ), stosunek boku dzesęcokąta forenego do proena okręgu opsanego na ty dzesęcokące (daje to złotą lczbę ρ = 5 ) oraz stosunek długośc okręgu do jego średncy (lczba π ). Ogólne spojrzene na zagadnene welkośc 4 Z. Janszewsk, Wstęp ogólny. W: Poradnk dla saouków, Warszawa 94., s. 5. 8
newspółernych wązało sę z odkrywane różnych ogólnych zależnośc, w których te stosunk newspółerne występowały. Najważnejsze jednak było wykorzystane algorytu Eukldesa (znajdowana najwększego wspólnego dzelnka) do przedstawana welkośc newspółernych przy poocy ułaków łańcuchowych neskończonych oraz zastosowane szeregów neskończonych. Ułak cągłe oraz szereg neskończone stały sę unwersalny narzędze generowana dowolnych stosunków newyernych (ało to ejsce przede wszystk w pracach Eulera). Kolejny kroke stała sę teora Cantora lczb rzeczywstych, pozwalająca z jednej strony skonstruować lczby rzeczywste, w oparcu o cąg fundaentalne lczb wyernych, a ponadto dająca ożlwość uzupełnana dowolnej przestrzen 5. Twerdzene Banacha o odwzorowanach zwężających w przestrzenach etrycznych zupełnych (każde take odwzorowane us eć punkt stały) zawera w sobe unwersalna etodę dowodową dla welu dzedzn ateatyk. Wydaje sę, że rzeczywśce rozwój ateatyk, poprzez generowane coraz wększej różnorodnośc pojęć struktur, zerza jednak do jednośc sforułowana unwersalnych praw foruł, jak przedstawał to Hoene- Wrońsk. 5 J. Hoene-Wrońsk, Wstęp do wykładu ateatyk, Bbloteka Polska, Paryż 880, s. 7-7. 9