Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004

1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy: A = a ij = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n......... a m1 a m2... a mn gdzie a ij jest elementem macierzy i-tego wiersza i j-tej kolumny. 2 Wiersze i kolumny macierzy Macierz składająca się z jednego wiersza jest nazywana macierzą jednowierszową i jest zapisywana jak poniżej: A = a 11 a 12... a 1n (2) Macierz składająca się z pojedynczej kolumny jest nazywana macierzą kolumnową lub wektorem i jest zapisywana na dwa równoważne sposoby: A = a 11 a 21... a m1 { } a 11 a 21... a m1 3 Dodawanie i odejmowanie macierzy Dodawanie i odejmowanie macierzy może zostać wykonane tylko na macierzach o takich samych wymiarach. Działanie to polega na wykonaniu dodawania lub odejmowania właściwych elementów macierzy, jak w przykładzie: a11 a 12 b11 b ± 12 a11 ± b = 11 a 12 ± b 12 (4) a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 ± b 21 a 22 ± b 22 Dodawanie i odejmowanie macierzy jest przemienne, jak w przykładzie: (1) (3) A B = B + A (5)

4 MNOŻENIE MACIERZY PRZEZ SKALAR 2 Dodawanie i odejmowanie macierzy jest łączne, jak w przykładzie: (A + B) C = A + (A C) (6) 4 Mnożenie macierzy przez skalar Macierz liczbową o wymiarach 1 1 nazywamy skalarem. Niech k będzie skalarem, wtedy: ka = ka 11 ka 12... ka 1n ka 21 ka 22... ka 2n ka 21....................... ka m1 ka m2... ka mn (7) Na przykład, jeśli: wtedy: A = 1 5 3 7 B = 2A + 3B 4C = 2 4 6 8 4 2 24 30 = 2 C = 1 1 0 2 2 1 12 15 5 Mnożenie macierzy Jeżeli macierz A ma wymiar m p, macierz B ma wymiar p n, to macierz C będąca wynikiem mnożenia AB ma wymiar m n. Element i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy C, możemy zapisać wzorem: p c ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j +... + a ip b pj (8) k=1 Na przykład, mnożenie C = A B 2 2 2 3 3 2 (9a)

5 MNOŻENIE MACIERZY 3 Rysunek 1: Ilustracja mnożenia macierzy C = AB w rozbiciu na poszczególene element macierzy ma postać b c11 c 12 a11 a = 12 a 11 b 12 13 b c 21 c 22 a 21 a 22 a 21 b 22 23 b 31 b 32 a11 b = 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 Sposób mnożenia macierzy został zilustrowany na rysunku 1. Jeśli: 1 0 1 2 3 2 2 0 1 0 1 2 1 0 1 2 A = 0 0 1 1 2 2 B = 3 2 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 1 0 0 2 1 1 2 3 1 0 1 1 2 wtedy: C = A B 3 5 3 6 6 5 (9b) (10a) (10b) Na rysunku 1 pokazano jak obliczany jest każdy element macierzy w powiązaniu z wierszem i kolumną z których powstaje. Na przykład: 6 c 24 = a 2k b k4 = 6 k=1 Reguły dotyczące mnożenia macierzy (10c)

5 MNOŻENIE MACIERZY 4 1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne: AB BA (11) Na przykład: AB = BA = 3 2 1 4 2 1 1 2 2 1 1 2 3 2 1 4 = = 8 7 6 9 7 8 5 10 2. Dwie macierze A i B mogą zostać pomnożeone prze siebie tylko wtedu gdy są konforemne tzn.: liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B. A m p B l n = C m n tylko jeśli p = l (12) A m p B l q C r x = D m n tylko jeśli q = r i p = l (13) 3. Mnożenie macierzy jest łączne: ABC = (AB)C = A(BC) (14) Na przykład: A = 1 1 1 2 0 1 B = 1 1 0 0 1 1 1 1 1 C = 1 0 0 1 1 1 (AB)C = A(BC) = 2 1 2 3 1 1 1 1 1 2 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 2 2 = = 4 1 4 0 4 1 4 0

6 TRANSPOZYCJA MACIERZY 5 Rysunek 2: Ilustracja mnożenia macierzy C = AB oraz D = B T A T 6 Transpozycja macierzy Transpozycja macierzy polega na przestawieniu wierszy macierzy w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności. Jeżeli macierz A ma wymiar m n, to A T ma wymiar: n m. Na przykład jeżeli: wtedy: A 2 3 = A T 3 2 = a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 Z definicji transpozycji macierzy jest oczywiste że: (15) (16) (A T ) T = A (17) A T + B T = (A + B) T (18) Niech macierz C będzie wynikiem mnożenia C = AB oraz D będzie wynikiem mnożenia D = B T A T jak na rysunku 2. Jak widać na rysunku 2 elementy c ij i d ji są sumą iloczynów elementów pochodzących z tych samych wierszy i kolumn (lub kolumn i wierszy), co powoduje że są sobie równe. Zatem możemy zapisać: C T = D (19)

7 MACIERZE SPECJALNE 6 zatem: (AB) T = B T A T (20) Powyższe równanie może zostać uogólnione tak aby można było transponować wynik mnożenie więcej niż dwu macierzy. Poniżej przedstawiono przykład dla czterech macierzy używając reguły łączności: (ABCD) T = D T (ABC) T = D T C T (AB) T = D T C T B T A T (21) Na przykład dla macierzy: A = 2 1 0 1 2 1 B = 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 C = AB obliczymy C T. Rozwiązanie 1 Rozwiązanie 2 C = AB = C T = B T A T = 2 1 0 1 2 1 3 1 2 1 = 3 3 0 1 3 3 C T 1 3 = 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 7 Macierze specjalne 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 2 1 1 2 0 1 = 3 3 1 3 2 0 1 1 Macierz kwadratowa Jeżeli macierz A ma wymiar m n i m = n to nazywamy ją macierzą

7 MACIERZE SPECJALNE 7 kwadratową. Jeżeli macierz kwadratowa jest symetryczna to spełnione są zależności: a ij = a ji dla i j (22) A = A T (23) Przykład macierzy symetrycznej A o wymiarze 3 3: 2 5 0 A = 5 6 2 (24) 3 3 0 2 7 Jeżeli macierz kwadratowa jest antysymetryczna (skośnie symetryczna) to spełnione są zależności: a ij = a ji dla i j (25) Przykład macierzy antysymetrycznej A o wymiarze 3 3: 2 5 7 A = 5 6 2 (26) 3 3 7 2 10 Macierz zerowa Jeżeli wszystkie element macierzy A wynoszą zero, wtedy A nazywamy macierzą zerową Macierz diagonalna(tylko dla macierzy kwadratowych) Jeżeli dla macierzy A spełniona jest zależność: a ij = 0 dla i j a ij 0 dla i = j (27) wtedy A nazywamy macierzą diagonalną Przykład macierzy digonalnej A o wymiarze 5 5: a 11 0 0 0 0 0 a 22 0 0 0 A = 0 0 a 33 0 0 (28) 5 5 0 0 0 a 44 0 0 0 0 0 a 55 Jeżeli A jest macierzą diagonalną oraz: Ax = c (29)

7 MACIERZE SPECJALNE 8 to nieznany wektor x wynosi: x i = c i a ii dla i = 1, 2, 3... (30) Macierz jednostkowa Jeżeli wszystkie elementy macierzy diagonalnej leżące na jej przekątnej są równe to macierz taką nazywamy macierzą jednostkową Przykład macierzy jednostkowej I o wymiarze 5 5: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 I = 0 0 1 0 0 (31) 5 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Jeżeli macierz A oraz macierz I mają ten sam wymiar to spełniona jest zależność: IA = AI = A (32) Macierz skalarna Jeżeli wszystkie elementy macierzy diagonalnej leżące na jej przekątnej są równe określonemu skalarowi (liczbie) to macierz taką nazywamy macierzą skalarną Przykład macierzy skalarnej A o wymiarze 5 5: A 5 5 = 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 = 4I (33) Macierz trójkątna(tylko dla macierzy kwadratowych) Jeżeli wszystkie elementy macierzy leżące nad jej główną przekątną są równe zero a ij = 0 dla i < j (34) to macierz taką nazywamy macierzą dolnotrójkątną Przykład macierzy dolnotrójkątnej A o wymiarze 5 5: 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 A = 3 1 3 0 0 (35) 5 5 0 2 1 4 0 2 4 2 1 2

8 PODZIAŁ MACIERZY NA PODMACIERZE 9 Jeżeli wszystkie elementy macierzy leżące pod jej głowną przekątną są równe zero a ij = 0 dla i > j (36) to macierz taką nazywamy macierzą górnotrójkątną Przykład macierzy górnotrójkątnej A o wymiarze 5 5: A 5 5 = 1 2 3 3 5 0 3 7 1 3 0 0 3 2 5 0 0 0 4 4 0 0 0 0 2 (37) Jeżeli A jest macierzą dolnotrójkątną to łatwo jest znaleźć rozwiązanie równania macierzowego Ax = c (38) które wynosi: x 1 = c 1 a 11 x i = 1 i 1 (c i a ij x j ) dla i = 2, 2, 3..., n (39) a ii j=1 W podobny sposób można rozwiązać równaie macierzowe z macierzą A górnotrójkątną (rozwiązując tym razem ykład od ostatniego równania). 8 Podział macierzy na podmacierze Macierz może zostać podzielona na mniejsze macierze nazywane podmacierzami. Przykład: a 11 a 12 a 13 a 22 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = A11 A 12 A 22 A 22 (40) gdzie podmacierze mają postać: a11 a A 11 = 12 a 22 a 22 A 21 = a 31 a 32 A 12 = a13 a 23 A 22 = a 33

9 MACIERZ ORTOGONALNA 10 9 Macierz ortogonalna Jeżeli macierz transponowana A T jest równa macierzy odwrotnej A 1 to A nazywamy macierzą ortogonalną Z własności macierzy ortogonalnej wynika: gdzie I to macierz jednostkowa. A T = A 1 (41) AA T = AA 1 = I (42) 10 Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy możemy obliczyć dla macierzy kwadratowej A m m i jest nim liczba, którą oznaczamy na 3 sposoby: deta = A = a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m......... a m1 a m2... a mm (43) 10.1 Obliczanie wyznacznika dla macierzy o wymiarze 2 2 deta = a 11 a 12 a 22 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (44) 10.2 Obliczanie wyznacznika z zastosowaniem schematu Sarrusa dla macierzy o wymiarze 3 3 Jak łatwo zuważyć na rysunku 3 iloczyny potrzebne do obliczenia wyznacznika możemy usyskać z zastowowaniem tzw. schematu Sarrusa deta = a 11 a 12 a 13 a 22 a 22 a 23 a 32 a 32 a 33 =a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (45)

10 WYZNACZNIK MACIERZY 11 Rysunek 3: Wybór elementów iloczynów w schemacie Sarrusa 10.3 Obliczanie wyznacznika z zastosowaniem twierdzenia Laplace a Definicje uzupełniające Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy nazywamy każdy wyznacznik, który otrzymujemy usuwając z macierzy danego wyznacznika pewną liczbę wierszy i taką samą liczbę kolumn, zachowując kolejność pozostałych elementów. Minorem wyznacznika przynależnym do elementu a ik macierzy mazywamy podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których znajduje się ten element. Dopełnieniem algebraicznym A ik elementu a ik wyznacznika nazywamy iloczym minora tego wyznacznika przynależnego do elementu a ik oraz czynnika ( 1) i+k Twierdzenia Laplace a Wyznacznik jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza lub kolumny i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego. m deta = a ik A ik (46) lub k=1 m deta = a ki A ki (47) k=1

10 WYZNACZNIK MACIERZY 12 Rozwinięcie wyznacznika macierzy o wymiarze 3 3 według twierdzenia Laplace a względem elementów pierwszego wiersza przyjmije postać deta = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = a 11 ( 1 1+1 a ) 22 a 23 a 32 a 33 + a 12( 1 1+2 ) a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13( 1 1+3 ) a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (48) 10.4 Właściwości wyznaczników 1. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy względem niej transponowanej: deta = deta T (49) 2. Wyznacznik z iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników: (AB) = A B (50) 3. Przestawienie dwóch wierszy (lub kolumn) w macierzy wyznacznika jest równoważne pomnożeniu wyznacznika prze 1. 4. Wyznacznik o dwu jednakowych wierszach (lub kolumnach) jest równy zeru. 5. Mnożąc wiersz wyznacznika (lub kolumnę) przez liczbę mnożymy przez tą liczbę cały wyznaczniki. 6. Wyznacznik o dwu proporcjonalnych wierszach (lub kolumnach) jest równy zeru. 7. Wyznacznik mający wiersz (lub kolumnę) zerowy jest równy zeru. 8. Jeżeli w wyznaczniku jeden z wierszy (lub jedna z kolumn) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (lub kolumn), to wyznacznik jest równy zeru.

10 WYZNACZNIK MACIERZY 13 9. Wyznacznik nie zmieni wartości jeżeli do do jego wiersza (lub kolumny) dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (lub kolumn). 10. W wyznaczniku równym zeru wiersze (kolumny) są liniowo zależne.