Marek Pavluch Výpočet elastické deformace systému polovodičových kvantových teček metodou hraničních elementů (Boundary Element Method)

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Magisterská práce Marek Pavluch Výpočet elastické deformace systému polovodičových kvantových teček metodou hraničních elementů (Boundary Element Method) Katedra fyziky kondenzovaných látek Vedoucí magisterské práce: Prof. RNDr. Václav Holý, CSc. Studijní program: Fyzika, Matematické a počítačové modelování 2008

Prohlašuji, že jsem svou magisterskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Jméno Příjmení 2

Obsah 1 Úvod 6 2 Kvantové tečky 8 3 Výpočet elastické deformace 12 4 Kontinuální formulace 14 4.1 Tenzor deformace v ploché vrstvě.................... 15 4.2 Tenzor deformace v obecné vrstvě.................... 16 4.3 Rovinné deformace............................ 17 4.4 Formulace problému pro m vrstev.................... 18 5 Numerické metody 20 5.1 Koncepce váženého rezidua....................... 20 5.2 Variační formulace............................ 21 5.3 Metoda konečných prvků......................... 22 5.4 Metoda hraničních elementů....................... 24 5.4.1 Hraniční integrální rovnice.................... 24 5.4.2 Ošetření singulárních integrálů.................. 29 6 Implementace programu 2D BEM 31 6.1 Diskretizace................................ 32 6.2 Využití tuhého posunutí......................... 33 6.3 Singulární rozklad matice........................ 36 7 Numerické výsledky 38 7.1 BEM - jedna vrstva............................ 39 7.1.1 Výpočet pole posunutí...................... 39 7.1.2 Výsledky na volné hranici.................... 41 7.2 BEM - dvě vrstvy............................. 47 7.2.1 Výpočet pole posunutí...................... 47 7.2.2 Výsledky na volné hranici.................... 49 7.2.3 Rozdělení relativního rozdílu výpočtů.............. 50 7.2.4 Výpočet pole deformace..................... 52 7.2.5 Výsledky na volné hranici.................... 54 3

8 Diskuse 56 4

Název práce: Výpočet elastické deformace metodou hraničních elementů Autor: Marek Pavluch Katedra (ústav): Katedra fyziky kondenzovaných látek Vedoucí magisterské práce: Prof. RNDr. Václav Holý, CSc. e-mail vedoucího: holy@monoceros.physics.muni.cz Abstrakt: Elastické deformační pole v kvantové tečce podstatným způsobem ovlivňuje její elektronovou strukturu. Cílem práce je vytvoření software pro realizaci metody hraničních elementů (Boundary Element Method - BEM) k výpočtu elastického pole na volném povrchu krystalu i uvnitř objemu v přiblížení izotropní elasticity. Výsledky jsou porovnány s výpočty metodou konečných prvků (Finit Element Method - FEM). Klíčová slova: Boundary Element Method, Kvantové tečky, Potenciály elasticity Title: Evaluation of the Strain Field in a Quantum dots system Author: Marek Pavluch Department: Katedra fyziky kondenzovaných látek Supervisor: Prof. RNDr. Václav Holý, CSc. Supervisor s e-mail address: holy@monoceros.physics.muni.cz Abstract: An elastic strain field strongly influences an electron structure in a quantum dots system. The main aim of this work is to develop a program to realize Boundary Element Method - BEM for accounting that influence. Results are compared with those from Finit Element Method - FEM. Keywords: Boundary Element Method, Quantum dots, Potentials in elasticity theory 5

Kapitola 1 Úvod Kvantové tečky, tedy polovodičové krystaly nanometrových rozměrů, obsahující řádově stovky až tisíce atomů, na sebe v posledních desetiletích upoutávají pozornost ze dvou důvodů. Prvním je možnost jejich prostřednictvím realizovat umělé potenciály kvantových jam o rozměrech srovnatelných s de Broglieho vlnovou délkou λ a tím experimentálně zkoumat konstrukty kvantové mechaniky, druhým pak jejich potencionálně praktická využitelnost v oborech elektroniky i optiky. Jednou z možných realizací analogie tranzistoru v kvantovém počítači, qubitu, jsou kvantové tečky. Pro přípravu polovodičových nanostruktur existuje více metod. Lze uvést litografii elektronovým svazkem, koloidní syntézu a epitaxní napařování. Výroba polovodičových nanostruktur metodou leptání trpí nevýhodou zanesení defektů, čímž byl motivován vývoj technik pro vytvoření nanostruktur během jejich růstu. Tyto metody byly již známy, avšak spontánní zvlnění rostoucího povrchu bylo v oblasti epitaxního narůstání chápano jako problém, nikoli jako možnost inovativní přípravy nanostruktur. Až kolem roku 1990 byl zdrsněný povrch vzorku uchopen jako povrch obsahující nanostruktury a jeho zvlnění jako důsledek minimalizace napětí v narůstající vrstvě. Růstový problém v kontinuální aproximaci, kdy významným členem kontinuální růstové rovnice je chemický potenciál, úměrný elastické energii na povrchu deponované vrstvy, tedy vyžaduje v každém časovém kroku výpočet povrchové deformace. Tento problém je pro netriviální tvar deponované vrstvy úlohou, která žádá použití některé z numerických metod teorie elasticity. Metoda hraničních elementů (Boundary Element Method - BEM) numerického řešení hraničních integrálních rovnic (Boundary Integral Equations - BIE) je od svého počátku z šedesátých let (Jaswon, Symm) intenzivně studována. Lze odlišit dvě její varianty, totiž metodu kolokační a metodu Galerkinovu. První z nich (C. A. Brebbia, J. C. F. Telles, L. C. Wrobel [1]) je pro svou jednodušší implementaci tou častěji realizovanou, druhá pak matematicky více propracovanou (W. L. Wendland, G. C. Hsiao [2]). Asymptotické odhady chyb kolokační metody je pro některé pseudodiferenciální operátory možno obdržet nalezením její ekvivalence s jistou nestandardní Galerkinovou metodou [3], pro níž je již k dispozici rámec Sobolevových prostorů. 6

Cílem práce je studium metody hraničních elementů a vytvoření programu pro výpočet, k modelování růstu důležitého, tenzoru rovinné deformace v systémech substrát-vrstva a substrát-vrstva-vrstva v izotropní aproximaci. Jako referenční byl zvolen problém žlábku, na nějž je deponován materiál o jiném rozměru kubické krystalové mříže. Podobný problém byl již teoreticky studován [4]. Takto zvolený model je přiblížením k technologii, pomocí které se realizují samouspořádané polovodičové struktury v praxi, kdy je vrstva deponována na předem připravený, zvrásněný povrch. Výsledky je možné porovnat s komerčním programem Comsol, realizujícím metodu konečných elementů. 7

Kapitola 2 Kvantové tečky V polovodičovém materiálu rozměrů řádově větších než desítky nanometrů lze na husté spektrum pro nosiče náboje dovolených energií nahlížet jako na energetické kontinuum. Nejvíce nosičů náboje se nachází ve valenčním energetickém pásu, který je od vodivostního pásu oddělen pásem zakázaným. K přechodu nosiče náboje mezi zakázaným a vodivostním pásem je zapotřebí jisté vnější energie. Po přechodu nosiče do vodivostního pásu vzniká ve valenčním pásu díra. Dvojice elektron-díra se nazývá exciton a jejich vzdálenost pak Bohrovým poloměrem excitonu. Je-li s ním velikost polovodičového vzorku srovnatelná, energetické spektrum se stává diskrétním, podobně jako je tomu v případě elektronů v atomovém obalu. Z této analogie se pak polovodičová struktura nanometrových rozměrů někdy nazývá umělý atom. Šířka energetických pásů záleží na velikosti i chemickém složení nanostruktury. Na rozdíl od skutečného atomu lze tedy její spektra ovlivnit, v čemž je příčina zajímavosti takovýchto objektů v technických aplikacích. Obrázek 2.1: Známé varianty nanostruktur Pro samouspořádání polovodičových nanostruktur existuje více scénářů, avšak nejdůležitější z nich je Stranskiho-Krastanowův růst, nastávající pro různé kombinace polovodičů substrátu a vrstvy, jejichž rozdílná velikost mříže je příčinou vzniku povrchového zvlnění vrstvy během jejího růstu. Při tomto růstovém módu je nejprve pozorováno vytváření rovinných vrstvev, avšak po dosažení kritické tloušt ky deponovaného materiálu je energeticky výhodnější zvlnění volného povrchu. Zvlnění 8

vrstvy je zejména závislé na deformaci, aproximace této závislosti bude uvedena dále. Při narůstání vrstvy na substrát při malém rozdílu mřížkových konstant jsou pozorovány malé pyramidy [5]. Jejich vznik lze interpretovat na základě Asaro-Tiller- Grinfeld (ATG) nestability rostoucí vrstvy pro případ poruch s vlnovou délkou větší než λ crit : λ crit = 1 ν πγ, (2.1) 2µ(1 + ν) 2 kde µ a ν jsou elastické konstanty izotropní elasticity, ǫ 2 0 deformace vrstvy vůči substrátu vlivem rozdílné velikosti krystalové mříže deponované vrstvy a γ povrchové napětí. Numerické řešení ATG problému (Spencer a Meiron) s použitím kontinuální aproximace růstové rovnice, která je uvedena dále, správně předpovídá řešení jako periodicky zvlněný povrch. Růst ostrůvků lze vysvětlit vlivem ATG nestability pouze pro malý rozdíl mřížkových parametrů vrstvy a substrátu. Při větším rozdílu se uplatňuje tzv. Stranskiho-Krastanovůw růstový mód, pro nějž je zapotřebí jisté aktivační energie, která musí být překonána [6]. Podstata Stranskiho- Krastanowova růstového módu spočívá v přechodu z rovinného růstu vrstvy do růstu ostrůvků. ǫ 2 0 Obrázek 2.2: Stranského-Krastanowův růstový model Důležitým parametrem ovlivňujícím optické vlastnosti nanostruktur je homogenita jejich rozměrů a tvarů. Velikost rostoucího ostrůvku je ovlivněna plochou, z níž vznikající ostrůvek čerpá atomy vrstvy. Z toho vyplývá, že homogenita velikosti je lepší, jsou-li ostrůvky rozloženy rovnoměrně. Pozice vznikajících ostrůvků jsou chemickým potenciálem atomů rostoucí vrstvy ovlivněny obecně dvěma faktory [5]: tvarem deponované vrstvy nehomogenitou napětí povrchu Nehomogenita povrchového napětí je způsobena bud již vnořenými ostrůvky pod povrchem, nebo sousedními ostrůvky na tomtéž povrchu. Vzájemné ovlivňování jednotlivých ostrůvků na stejném povrchu je interakcí natolik slabou, že ji lze experimentálně pozorovat pouze v případě velmi pomalého narůstání, jež je blízké 9

termodynamické rovnováze. Interakce ostrůvků na stejném povrchu ovlivňuje jak rozložení velikosti, tak i periodicitu pozic ostrůvků. Modulace povrchové deformace vlivem vnořených ostrůvků rovněž vede k téměř periodickému uspořádání ostrůvků, jak bylo experimentálně pozorováno [5]. Je-li systém vytvářen střídavým vrstvením materiálů substrátu a první vrstvy, s každou další vrstvou jsou ostrůvky uspořádány periodičtěji a disperze velikosti ostrůvku klesá. Vznik ostrůvků na litograficky připraveném substrátu je rovněž intenzivně studováno. Na takto předpřipraveném substrátu je vznik ostrůvku opět ovlivněn křivostí povrchu a povrchovým napětím. Není-li ve vrstvě přítomno napětí vlivem rozdílu mřížkových konstant, ostrůvky se vytvářejí v místech záporné křivosti, v jamkách. Je-li lokální velikost mříže jamek uměle připraveného povrchového zvlnění substrátu blízká mřížkovému parametru deponované vrstvy, ostrůvky mají tendenci růst právě zde [7]. Obrázek 2.3: STM pohled na Ge pyramidiální ostrůvky na Si substrátu Řídící silou procesů samouspořádání během heteroepitaxního růstu je rozdíl mřížkových konstant materiálu substrátu a vrstvy, který je odpovědný za deformaci, vůči substrátu tenké, vrstvy. Během počátečního narůstání vrstvy dochází k její elastické deformaci a elastická energie vrstvy roste. V lineárním přiblížení kontinua pro její objemovou hustotu platí: ǫ el (r) = 1 2 C jklme jk (r)e lm (r), (2.2) kde C jklm je tenzor elastických konstant, e ij tenzor malé deformace a r polohový vektor vzhledem k zvolené souřadné soustavě. 10

Jednorozměrná růstová rovnice v kontinuální aproximaci [5]: h(x, t) t = F + D sv a θ k B T 2 µ s (x, t) + η(x, t), (2.3) kde h(x, t) je posunutí bodu kontinua, x je souřadnice podél povrchu substrátu, F značí tok dopadajících atomů, D s povrchovou difusivitu, V a atomový objem, θ atomovou povrchovou hustotu a µ s (x, t) pak chemický potenciál atomu povrchu v daném místě a čase. Rozdíl chemických potenciálů, zavedených W. Gibbsem, měří tendenci částic k pohybu z oblastí jeho vyšších hodnot do nižších a je tedy hybnou silou epitaxního narůstání vrstvy. Chemický potenciál je aproximován vztahem: µ s (x, t) = µ 0 + γv a κ + 1 2 C jklme jk e lm z=h(x), (2.4) kde µ 0 značí chemický potenciál atomu v nedeformované objemu materiálu, γ vyjadřuje povrchové napětí, κ křivost povrchu a konečně třetí člen aproximace pak elastickou energii na povrchu (2.2). 11

Kapitola 3 Výpočet elastické deformace Používané metody výpočtu elastické deformace na rostoucím povrchu i uvnitř objemu heterogenních nanostruktur lze rozdělit takto [5]: Kontinuální přiblížení Analytické Numerické Atomistické simulace V prvním případě je atomární struktura nahrazena elastickým kontinuem a pole deformace je získáno řešením rovnice elastické rovnováhy nebo minimalizací elastické energie vzorku. Pro nanostruktury s rovinným povrchem lze řešení nalézt analyticky, v ostatních, prakticky důležitějších, případech je třeba použít některou z numerických metod. Běžně užívaná metoda konečných prvků je v případě řešení rovnice rovnováhy ekvivalentní hledání minima elastické energie - bilineární forma příslušného variačního problému je symetrická [8]. V této práci studovaná metoda hraničních elementů je její blízkou alternativou. Metoda atomistických simulací spočívá opět v minimalizaci elastické energie vzorku, která je nyní dána interakcí n-tic atomů prostřednictvím vhodně zvolených potenciálů. Analytické metody lineárního kontinuálního přiblížení spočívají v řešení rovnice elastické rovnováhy společně s Hookeovým zákonem. Ústřední myšlenkou je nahrazení ostrůvku velmi malou sférou v počátku souředné soustavy, jež působí jako silový dipól. V případě, kdy je tato malá sféra vložena v nekonečném materiálu s kubickou krystalovou symetrií, byla [9] nalezena Fourierova transformace pole posunutí w(r) v celém prostoru. Pro izotropní kontinuum pak analytickou inverzní Fourierovou transformací vyplývá: i w(r) = 1 + ν r 4π 1 ν r3, (3.1) kde ν je na směru nezávislý Poissonův podíl a pak relativní rozdíl velikostí mříží, a i je mřížková konstanta vnořeného materiálu, a pak materiálu krystalu. Vektor posunutí v libovolném bodě nekonečného krystalu s vnořeným ostrůvkem je pak 12

vyjádřen konvolucí jako superpozice příspěvků bodových zdrojů, z nichž ostrůvek sestává [10]: u(r) = Ω(r, )w(r r, )dω(r, ), (3.2) kde integrace probíhá přes celý prostor a Ω je tvarová funkce ostrůvku, jež je rovna jedné v jeho objemu a všude jinde rovna nule. Přestože tento vztah platí přesně pouze v případě stejných elastických konstant ostrůvku i okolního materiálu, zanedbání jejich rozdílu vede ve většině případů k zanedbatelným chybám [11]. Pro polokonečný prostor, kdy povrch krystalu je volný, byla nalezena obdobná vyjádření. Realizované je rovněž řešení pole deformace pro ostrůvek vnořený v polokonečném anizotropním médiu v aproximaci shodných elastických konstant. Atomistický přístup je založen na minimalizaci totální elastické energie vzorku, která je v tomto případě uvažována jako superpozice příspěvků atomových n-tic: ǫ el = j k φ (2) (r j r k ) + j k l φ (3) (r j r k,r j r l ) +..., (3.3) kde φ (n) značí příspěvek atomové n-tice a r j polohu j-tého atomu. Minimum elastické energie je hledáno numericky pro typicky miliony atomů. Atomové potenciály φ (n) jsou obyčejně voleny tak, aby takto konstruovaná elastická energie byla ve shodě s tou, jež je počítána v přiblížení elastického kontinua. Narozdíl od metod teorie kontinua, kdy je předpokládán lineární vztah tenzorů napětí σ ij a deformace e ij, dobře zvolený atomistický model zahrnuje i nelineární chování. Mezi různými druhy uvažovaných potenciálů [12] zaujímá důležité postavení rovnici (3.3) zjednodušující model valenčních sil. V tomto případě jsou totiž uvažovány pouze interakce nejbližších sousedů a zanedbány příspěvky pro n > 3 i Coulombovská interakce mezi nabitými ionty. 13

Kapitola 4 Kontinuální formulace Deformace pevné látky je popsána vektorovým polem posunutí u i, i = 1, 2, 3, které každému bodu oblasti původně nedeformovaného materiálu přiřadí příslušný bod po deformaci. Rovnovážné podmínky určité části deformovaného kontinua lze odvodit [13] jako: σ ij x j + f i = 0: i = 1, 2, 3. (4.1) Tenzor napětí σ i j i hustota objemové síly f i jsou tedy funkce polohy tělesa po deformaci. Složky tenzoru deformace v teorii malých deformací jsou: e ij = 1 ( ui + u ) j. (4.2) 2 x j x i Takto definovaný tenzor deformace je funkcí souřadnic původní, nedeformované polohy tělesa [13]. Klasická lineární teorie pružnosti se omezuje nejen na malé deformace, ale i lineární závislost tenzoru napětí na tenzoru deformace. Za předpokladu malých u i i u i x j vůči 1, σ ij x k σ ij y k, (4.3) kde x k a y k jsou souřadnice před, respektive po deformaci, lze v rovnici (4.1) za vztažné považovat souřadnice původní polohy tělesa. Tenzor napětí i deformace jsou tímto vztaženy ke stejné souřadné soustavě (nedeformovaného tělesa), v níž lze Hookův lineární vztah vyjádřit takto [13]: σ ij = C ijkl e kl, (4.4) kde C ijkl je tenzor elastických konstant. Ze symetrie e i σ lze dedukovat symetrii tenzoru C: C ijkl = C jikl = C ijlk = C jilk = C klij = C klji = C lkij = C lkji. (4.5) V případě kubického krystalu má elastický tenzor jen tři nezávislé složky, ostatní jsou rovny nule: 14

C 1111 = C 2222 = C 3333 def = C 11 (4.6) C 1122 = C 2233 = C 3311 def = C 12 (4.7) C 1212 = C 2323 = C 3131 = def = C 44 (4.8) V izotropním případě lze tyto tři složky vyjádřit pomocí dvou materiálových parametrů µ a ν, modulu smyku a Poissonova podílu: C 11 = 2µ 1 ν 1 2ν ν C 12 = 2µ 1 2ν (4.9) (4.10) C 44 = µ (4.11) Na volném povrchu tenzor napětí σ splňuje tuto hraniční podmínku: σ ij n j = 0 (4.12) 4.1 Tenzor deformace v ploché vrstvě Postupná deformace substrátu a vrstvy během jejího růstu je důsledkem rozdílu mřížkových konstant příslušných materiálů. Vektor posunutí u, jakožto rozdíl souřadnic bodu kontinua po deformaci a před ní, je pro vrstvu i substrát definován vzhledem k příslušný původním nedeformovaným krystalovým mřížím, které se ovšem při různých mřížkových parametrech a s a a f liší. Obrázek 4.1: Vektor posunutí, [14] 15

Jsou-li zavedeny souřadnice dle obrázku (4.2), y souřadnice je orientována tak, aby souřadná soustava byla pravotočivá, na rozhraní substrátu s a vrstvy f platí tyto okrajové podmínky [14]: kde ζ je relativní mřížkový rozdíl: u s x (x, y) = uf x + ζx (4.13) u s y (x, y) = uf y + ζy, (4.14) ζ = a f a s a s. (4.15) Z těchto podmínek pro vektor posunutí plynou [14] tyto podmínky pro složky tenzoru deformace na rozhraní vrstvy a substrátu: e s xx = ef xx + ζes yy = ef yy + ζes xy = ef xy (4.16) Další podmínkou na rozhraní je rovnováha hustot plošných sil: σ s ij ns j + σf ij nf = 0, (4.17) kde n s j a n f j jsou složky vnějších normál vzhledem k substrátu, respektive vrstvě. 4.2 Tenzor deformace v obecné vrstvě Deformaci celého vzorku vlivem růstu vrstvy na substrátu lze myšleně rozložit na deformaci ve dvou krocích. Lze si totiž představit, že v prvním kroku je vrstva stlačena tak, že body mříží substrátu a takto stlačené vrstvy na rozhraní splývají - spodní atomy vrstvy tvoří vazbu se svými sousedy ve vrchní vrstvě substrátu. Tento deformovaný stav lze ovšem považovat za výchozí před druhým krokem myšleného procesu, kdy stlačená vrstva relaxuje a probíhá druhá fáze celkové deformace. Lze uvažovat jen tuto druhou deformaci a zavést společný vektor posunutí u i vzhledem k mřížce substrátu v celém vzorku. Na rozhraní substrát-vrstva platí: Následně lze definovat příslušný tenzor deformace jako: e ij = 1 ( ui + u ) j 2 x j x i Pro vztah jeho komponent k původním ve vrstvě platí: u f i = u s i (4.18) (4.19) e f ij = ef ij + δ ijζ, (4.20) kde δ je známý Kroneckerův tenzor. Vztah nového tenzoru napětí σ ij = C ijkl e kl k původnímu σ ij je: 16

σ ij = σ ij + δ ij (C 11 + 2C 12 ) ζ. (4.21) Nový a původní tenzor napětí se od sebe liší pouze o konstantu, tudíž z (4.1) plyne: σ ij x j + f i = 0. (4.22) Z (4.12) a (4.21) vyplývá hraniční podmínka pro volný povrch vzorku: ) σ f ij n j = n i (C f 11 + 2Cf 12 ζ. (4.23) Dosazením (4.21) do (4.17) vyplývá podmínka pro hustoty plošných sil na rozhraní: ( ) σ f ij nf j nf i C f 11 + 2Cf 12 ζ = σ s ij ns j. (4.24) Předefinováním vektoru posunutí je u i na rozhraní spojité, ovšem nově vzniklý tenzor deformace σ ij nikoli. 4.3 Rovinné deformace Z fyzikálního předpokladu, totiž že složka vektoru posunutí u ve směru osy z, jež je na obrázku (4.2) kolmá k nákresně, je identicky rovna nule, a ostatní složky nejsou funkcí souřadnice z, se rovnice elasticity zjednoduší. Dále je tedy předpokládáno, že: Lze snadno nahlédnout, že pak platí: u x u 1 = u 1 (x, y), (4.25) u y u 2 = u 2 (x, y), (4.26) u z u 3 0. (4.27) e 13 = e 23 = e 33 0. (4.28) Závislost tenzoru deformace e ij na tenzoru napětí σ ij lze v lineární izotropní elasticitě vyjádřit jako [15]: e ij = 1 E [(1 + ν) σ ij νσ kk δ ij ], (4.29) kde σ kk je stopou tenzoru napětí a E je Youngův modul. Z důsledku předpokladů (4.28) a rovnice (4.29) vyplývá, že složka tenzoru napětí σ 33 je nenulová a platí: σ 33 = ν(σ 11 + σ 22 ) (4.30) V užité aproximaci rovinné deformace tedy (4.29) přechází ve vztahy: 17

e 11 = 1 ν2 E σ 11 e 22 = ν(ν + 1) σ 22, (4.31) E ν (ν + 1) σ 11 + 1 ν2 E E σ yy, (4.32) e 12 e 21 = 1 + ν E σ 12 (4.33) 4.4 Formulace problému pro m vrstev Na obrázku 4.2 je schematicky znázorněn studovaný problém pro libovolný počet vrstev. Přestože realizován bude jen program pro jednu či dvě, formulace je univerzální [14]. Vektor posunutí i složky hustoty plošných sil jsou uvažovány vzhledem k mřížce subtsrátu. V celém dalším textu je odlišení pruhem, zavedené v předchozích odstavcích, vynecháno. Okrajové podmínky jsou na bočních stranách vzorku a spodní části hranice pevně zadány. Rozměry obrázku neodrážejí věrně skutečný fyzikální problém. Rozměr žlábku je v praxi mnohem menší než rozměry hranice vzorku. Obrázek 4.2: Schéma daného problému V případě m vrstev tedy nalezení vektoru posunutí u i v celém systému spočívá v současném řešení rovnice rovnováhy (4.1) pro oblast substrátu Ω s a každou oblast vrstvy Ω k. Celkem je řešeno m+1 okrajových problémů, jež jsou navzájem provázány prostřednictvím okrajových podmínek typu 4.24 na společném rozhraní [14]: u k j (x) = uk+1 j (x) (4.34) 18

t k j(x) n k j ( ( ) C k 11 + 2C12) k ζ k = t k+1 j (x) + n k+1 j C k+1 11 + 2C12 k+1 ζ k+1, (4.35) kde u k j, tk j, ζk jsou složky vektoru posunutí, hustoty plošných sil a relativní rozdíly mřížky vrstvy a substrátu. Horní část hranice Γ m je volná, a tak pro ni z (4.23) platí: t j = n m j (Cm 11 + 2Cm 12 ) ζm. (4.36) 19

Kapitola 5 Numerické metody 5.1 Koncepce váženého rezidua Numerické metody konečných elementů, konečných diferencí i hraničních elementů obecně redukují problém nekonečné dimenze na nalezení řešení v prostoru dimenze konečné. Tento proces, zvaný diskretizace, jež je každé metodě vlastní, umožňuje získat aproximaci přesného řešení. Koncepce váženého rezidua dává nahlédnout [1] souvislost dvou variant Metody hraničních elementů, totiž Galerkinovy a kolokační techniky. Existuje-li u přesné řešení okrajového problému s diferenciálním operátorem L L(u(x)) = f(x), x Ω, S(u) = s(x), x Γ 1, G(u) = g(x), x Γ 2, (5.1) kde Ω = Γ 1 + Γ 2, je možné hledat jeho aproximaci u ve formě lineární kombinace vzájemně nezávislých bázových funkcí {φ 1 (x),, φ n (x)}, totiž jako: u = n α i φ i (x). (5.2) i=1 Funkce φ i musí být ovšem konstruovány v souladu s okrajovými podmínkami, které reprezentují operátory G a S. Za těchto předpokladů lze zavést reziduum R, funkci, jež reprezentuje chybu vnesenou aproximací (5.2): R(x) = L(x) f(x), (5.3) kde toto reziduum doplňují při nesplnění okrajových podmínek analogicky další dvě. Myšlenkou váženého rezidua je zavedení vhodné váhové funkce v, jejímž účelem je distribuovat reziduum tak, aby platilo: RvdΩ = 0. (5.4) Ω 20

Různý výběr váhové funkce v pak odlišuje výše zmíněné techniky hledání aproximativního řešení u - Galerkinovu a kolokací. V případě kolokační techniky je touto váhovou funkcí v reziduální formulaci lineární kombinace Dirackových delta-distribucí: v(x) = k β i δ(x x k ), (5.5) i=1 kde x k Ω jsou zvoleny libovolně. Galerkinova metoda, na rozdíl od kolokační, o funkci v předpokládá, že je ze stejného prostoru, v nemž je hledáno i aproximativní řešení u: a v lze formálně zapsat jako: v(x) = n β i φ(x) (5.6) i=1 v(x) = δu(x) = δα 1 φ 1 (x) + + δα n φ n (x), (5.7) kde δα lze v některých problémech fyziky interpretovat jako virtuální posunutí. Právě příslušnost váhové funkce do stejného prostoru, v němž je hledáno i aproximativní řešení, je důležitým předpokladem teorie abstraktních variačních rovnic, jež je matematickým rámcem pro Galerkinovu techniku v metodách hraničních elementů a konečných prvků. 5.2 Variační formulace Řešení abstraktní lineární eliptické rovnice znamená hledat u V, pro které platí: a(u, v) = f, v v V, (5.8) kde V je Hilbertův prostor funkcí, který bývá zvolen v závislosti na okrajových podmínkách daného okrajového problému, a : V V R je na něm definovaná bilineární forma a f, : V R je spojitý lineární funkcionál z prostoru V,, jež je duálním prostorem k V. Laxova-Milgramova věta ([16]) stanovuje existenci a jednoznačnost abstraktních eliptických problémů za předpokladů, že a : V V R je: omezená def M > 0 : a(u, v) C u v u, v V V-eliptická def α > 0 : a(v, v) v 2 v V Variační formulace je výchozím bodem metody konečných prvků, ale i stále studované Galerkinovy varianty BEM. Tak jako v případě metody konečných prvků, i zde vyplynou odhady chyb, zanesené aproximací přesného řešení lineární kombinací z prostoru konečné dimenze, z teorie Sobolevových prostorů a funkcionální analýzy. 21

5.3 Metoda konečných prvků S použitím váženého rezidua lze formulovat: (σ ij,j + f i ) v i dω = 0, (5.9) Ω kde váhové pole posunutí v i je konzistentní virtuální posunutí. Použitím Gaussovy- Greenovy věty [17] lze (5.9) upravit jako: σ ij v i,j dω = f i v i dω + t i v i dγ, (5.10) Ω Ω kde t i = σ ij n j je povrchové napětí. Rovnice (5.10) je výchozím vztahem formulace metody konečných prvků kontinua. Další úpravou opětovným použitím věty o divergenci a předpokládáním lineární závislosti tenzoru napětí σ ij na deformaci e ij lze obdržet výchozí rovnici metody hraničních elementů elasticity, totiž Maxwellův-Bettiho teorém ([17]). Formulace abstraktního eliptického problému lineární elasticity ([8]) předpokládá Ω R 3 s lipschitzovskou hranicí Ω = Γ. Hilbertův prostor V, v němž je hledáno řešení eliptického problému (4.1), je volen s ohledem na zadanou okrajovou podmínku, totiž že pole posunutí je na části hranice Γ 0 rovno nule, jako: Ω V = {v [ H 1 (Ω) ]3 v i = 0 na Γ 0 }. (5.11) O složkách tenzoru elastických konstant C ijkl je předpokládáno, že jsou měřitelné a splňují podmínku elipticity: C ijkl e ij e kl αe ij e ij, (5.12) pro nějaké α > 0 a všechna e ij = e ji skoro všude v Ω. Je-li pak bilineární forma a : V V R definována vztahem: a(u, v) = (σ ij (u), e ij (v)) L 2 (C ijkl e kl (u), e ij (v)) L 2 (5.13) a lineární funkcionál pravé strany abstraktní eliptické rovnice jako: F,v = (f i, v i ) L 2 + t i v i dγ, (5.14) Γ 1 kde f [ L 2 (Ω) ]3, (5.15) t [ L 2 (Γ 1 ) ]3, (5.16) Γ 1 = Ω Γ 0, (5.17) takto definovaný eliptický problém je fyzikálně interpretován jako úloha pružnosti. Na těleso v objemu Ω působí objemová síla f, prostřednictvím části hranice Γ 1 povrchová napětí, při nulovém posunutí hranice Γ 0. 22

Je známo ([8]), že takto definovaný eliptický problém má právě jedno řešení a jelikož je bilineární forma a symetrická, je problém ekvivalentní nalezení minimizéru u V energetického funkcionálu: γ(v) = 1 2 (σ ij(v), e ij (v)) L 2 F,v. (5.18) Pro praktickou realizaci takto definovaného problému je klíčovou myšlenkou volba vhodného podprostoru původního prostoru konečné dimenze S V. Je-li dimenze S rovna n a {e i } n 1 je jeho báze, lze hledanou aproximaci přesného řešení u v prostoru S volit jako: n u s = α i e i, α i R (5.19) i=1 Původní problém v prostoru V je řešen v tomto speciálním prostoru S, tedy neznámou je funkce u s, jež splňuje: a(u s, v) = f, v v S (5.20) Toto je pak při volbě aproximace u s (5.19) zřejmě ekvivalentní se systémem lineárních algebraických rovnic: n α j a(e j, e i ) = f, e i, i = 1,.., n (5.21) j=1 Regularita takto konstruované matice je zaručena [8] elipticitou bilineární formy a na prostoru V a její symetrie nastává právě tehdy, je-li symetrická i forma a. Vždy přítomným požadavkem na aproximaci řešení původního problému je možnost libovolně přesné aproximace. Galerkinova metoda spočívá v převedení původního spojitého problému na diskrétní rovnici (5.20) a konstrukci prostorů S h konečné dimenze. Aproximace u h S h se nazývá Galerkinovou aproximací v prostoru S h. Ukazuje se, že prostory konečné dimenze S h je potřeba volit s přihlédnutím k dvěma požadavkům. Prvním je úplnost systému {S h } v původním prostoru V: S h = V, (5.22) druhým pak volba S h v souladu s homogenními okrajovými podmínkami. V metodě konečných prvků je ideou libovolně jemná diskretizace oblasti Ω, v níž je problém definován, a vhodná volba konečnědimenzionálního prostoru vzájemně nezávislých funkcí na každém elementu diskretizace. 23

5.4 Metoda hraničních elementů V případě metody hraničních elementů je diskretizována pouze hranice oblasti Γ, na bázové funkce hraničního elemntu jsou kladeny stejné nároky jako v případě metody konečných elementů. Metodu lze realizovat jak s bohatým matematickým zázemím variační formulace a Galerkinovy techniky [2], tak i jednodušeji metodou kolokací [1]. Přestože v této práci jde o druhý případ, uvádím v přehledu rámec teorie hraničních integrálních rovnic. 5.4.1 Hraniční integrální rovnice Greenova identita Je známo z klasické teorie potenciálu, že je-li Ω R n, kde n = 2, 3, souvislá oblast s hranicí Γ C 2, klasické řešení u Poissonovy rovnice u(x) = f(x), x Ω lze reprezentovat použitím Greenovy věty a fundamentálního řešení operátoru takto: u(x) = Γ E(x, y) u n (y)dγ y Γ E(x, y) u(y) dγ y + n y Ω E(x, y)f(y)dω y, x Ω (5.23) Při omezení se na případ, kdy f = 0, tento vztah vyjadřuje řešení Laplaceovy rovnice na základě znalosti funkcí u a u na hranici Γ pro každé x Ω: n u(x) = Γ E(x, y) u n (y)dγ y Γ E(x, y) u(y) dγ y (5.24) n y V teorii izotropní elasticity je analogií vztahu (5.24) Bettiho-Somiglianova identita, která bude uvedena dále. Skalární potenciály Spojité rozdělení σ jednoduchých zdrojů E(x, y) přes Liapunovovu hranici Γ vytváří všude spojitý potenciál jednovrstvy V σ [18]: V σ(x) = E(x, y)σ(y)dγ y. (5.25) Γ Tato funkce splňuje Laplaceovu rovnici, je harmonickou funkcí, všude kromě hranice oblasti Γ. Za předpokladu Holderovské spojitosti rozdělení σ v bodě x Γ je její tečná derivace v tomto bodě spojitá, avšak normálové derivace nikoliv [18]. Platí: V (x) V (x) = σ(p), (5.26) n i n e kde indexy i a e značí vnitřní a vnější směr normály vzhledem k oblasti Ω. Spojité rozdělení dvojitých zdrojů E(x,y) n y vytváří na hranici Γ nespojitý potenciál dvouvrstvy W µ: 24

E(x, y) Wµ(x) = µ(y)dγ y. (5.27) Γ n y Tato funkce je opět harmonickou všude kromě bodů hranice Γ. Rovnice jeho nespojitosti jsou známy [18] jako, kde x e a x i jsou body na příslušných normálách z bodu x Γ: lim Wµ(x e) = Wµ(x) + 1 µ(x) (5.28) x e x 2 Wµ(x i ) Wµ(x e ) lim + lim = 0, (5.29) x i x n i xe x n e Jednou z metod hledání harmonické funkce u splňující dané okrajové podmínky je reprezentovat ji jako potenciál jednovrstvy či dvouvrstvy generovaný spojitým rozdělením hustoty příslušných zdrojů. Tento proces vede k formulaci integrálních rovnic, jejichž neznámou jsou hustoty zdrojů. Nevýhodou této metody je nesouvislost zavedených hustot s daným okrajovým problémem. Dirichletův problém u = ϕ na Γ vede při použití spojitého potenciálu V na integrální rovnici prvního druhu: V σ(x) = ϕ(x), x Γ (5.30) V případě nespojitého potenciálu W je zformulována integrální rovnice druhého druhu: ( 1 I W)µ(x) = ϕ(x), x Γ (5.31) 2 Greenova identita (5.24) je rovnicí platnou pro všechna x Ω. Jsou-li předem dány funkce u(x) a u (x), x Γ, je k dispozici explicitní vyjádření řešení problému. n Okrajové podmínky jsou však typicky zadávány na disjunktních částech hranice Γ = Γ 1 +Γ 2. Hraniční integrální rovnici, která svazuje na hranici Γ částečně neznámé funkce u(x) a u, lze z (5.24), (5.28) a spojitosti potenciálu V obdržet jako: n 1 2 u(x) = E(x, y) u n (y)dγ E(x, y) y u(y)dγ y (5.32) n y Γ Integrální rovnice (5.32 má tu výhodu, že neznámé hustoty jsou s daným okrajovým problémem přímo svázány. Alternativou k jejímu odvození ze znalosti chování potenciálů na problematické hranici je metoda deformace oblasti Ω tak, že x Ω, a tudíž uvažovat (5.24) pro tuto deformovanou oblast Ω ǫ. Procesem ǫ 0 lze relativně snadno dospět k stejnému vztahu. Funkční náhradu 1 na levé straně rovnice 2 v případě nehladké hranice lze najít v [1]. Γ 25

Bettiho-Somiglianova identita Jedním z důležitých výsledků teorie elasticity je Bettiho druhý reciproční teorém, někdy též nazývaný Maxwellův-Bettiho teorém. Tento důsledek principu virtuální práce lze pro symetrický tenzor elastických konstant nalézt například v [15]. Necht jsou dány dva problémy izotropní elasticity na totožné oblasti Ω. Příslušná pole jsou odlišena pruhem: f i u i dω + t i u i dγ = f i u i dω + t i u i dγ (5.33) Ω Γ Je-li za objemovou sílu sdruženého problému speciálně zvoleno b j = δ(x y)e j, kde δ značí Diracovu distribuci v bodě x Ω a e j je j-tá komponenta jednotkového vektoru v jednom z navzájem kolmých směrů, lze [1] psát: f i u i dω y = u i (x)e i, x Ω. (5.34) Ω Pole posunutí u j a plošných sil t j lze vyjádřit jako: Ω Γ u j = U ij (x, y)e i, (5.35) t j = T ij (x, y)e i, (5.36) kde U ij (x, y) a T ij (x, y) jsou posunutí a plošné síly příslušející jednotkovému zdroji ve směru i objemové síly v centru x Ω, tzv. Kelvinova fundamentalní řešení dále uvedeného Lamméova operátoru. Tímto lze z (5.33) obdržet Somiglianiho identitu [18]: u i (x) = Γ U ij (x, y)t j (y)dγ y Γ T ij (x, y)u j (y)dγ y + Ω U ij (x, y)f j (y)dω y. (5.37) Pokud se, podobně jako v případě (5.24), omezíme na homogenní rovnici, dostaneme: u i (x) = U ij (x, y)t j (y)dγ y T ij (x, y)u j (y)dγ y. (5.38) Γ Rovnice (5.38) je vektorovou analogií (5.24). Přítomnost integrálu přes Ω v (5.37), přestože ze známé funkce, narušuje významnou výhodu Metody hraničních elementů, totiž integraci pouze přes hranici oblasti Ω. Existují metody, jak tuto nesnáz odstranit a tento objemový integrál transformovat na integrál přes Γ. Jednoduchý případ konstantního pole je zmíněn v [1], jako další metodu lze uvést Dual Reciprocity Method. Γ 26

Potenciály teorie elasticity Analogií laplaceovy rovnice z teorie skalárních potenciálů je pro případ izotropní elasticity Navierova rovnice[18]: µ u(x) (λ + µ) ( u(x)) = 0, x Ω, (5.39) kde u = (u i ) je vektor posunutí a µ a λ jsou elastické konstanty. Fundamentální řešení U(x, y) (U ij ) i,j (x, y) je explicitně uvedeno v [1]. Je-li definován Lammého operátor u def = µ u + (λ + µ) ( u), (5.40) lze okrajový problém elasticity při nepřítomnosti hustoty objemové síly f zapsat jako [2]: u(x) = 0, x Ω, (5.41) u Γ1 = φ(x), x Γ 1, (5.42) ( def Tu Γ2 = λ( u)n + 2µ u ) n + µn u Γ2 = σ(x), x Γ 2. (5.43) Potenciály jednoduché i dvojité vrstvy je, tak jako ve skalárním Laplaceově případě, možno nahlédnout z integrální identity, jež je svazuje. V případě izotropní elasticity je tímto identita Bettiho-Somiglianova (5.37) a potenciály (značení analogické se skalární teorií) lze definovat [2] jako: (V σ) i (x) def = Γ (Wφ) i (x) def = U ij (x, y)σ j (y)dγ y, (5.44) Γ T ij φ j (y)dγ y, (5.45) T ij (x, y) (T y (x, y)u(x, y)) T φ(y)dγ y (5.46) kde x Ω a φ(x) = u(x) Γ a σ(x) = Tu(x) Γ jsou dané okrajové podmímky. Tyto potenciály jsou zobrazení [19]: V : [ H 1/2 (Γ) ] 3 [ H 1 (Ω) ] 3, W : [ H 1/2 (Γ) ] 3 [ H 1 (Ω) ] 3. (5.47) K operátoru (5.43) je uvažován i operátor stopy γ 0 na hranici Γ: γ 0 : H 1 (Ω) H 1/2 (Γ). Aplikací těchto hraničních operátorů na původní potenciály vznikají spojité hraniční operátory [2]: γ 0 V : [ H 1/2 (Γ) ] 3 [ H 1/2 (Γ) ] 3, (5.48) γ 0 W : [ H 1/2 (Γ) ] 3 [ H 1/2 (Γ) ] 3, (5.49) 27

TV : [ H 1/2 (Γ) ] 3 [ H 1/2 (Γ) ] 3, (5.50) TW : [ H 1/2 (Γ) ] 3 [ H 1/2 (Γ) ] 3, (5.51) První je pro ν (0, 1/2) eliptický. Vyjádření všech zmíněných operátorů, jež mají vztah se skalárními potenciály Laplaceovy teorie, lze vyhledat v [19]. Integrální rovnice elasticity Původní Bettiho-Somiglianovu identitu (5.38) lze s použitím uvedených operátorů zapsat jako: u(x) = (V Tu)(x) (Wγ 0 u)(x), x Ω. (5.52) Aplikací hraničních operátorů γ 0 a T na Somiglianiho identitu (5.52) lze získat [19] systém hraničních integrálních rovnic: ( ) 1 φ(x) = 2 I K φ + V σ, (5.53) σ(x) = Dφ + ( ) 1 2 I + σ, (5.54) K kde V je známý operátor jednoduché vrstvy, K dvojité vrstvy, K se nazývá sdruženým k dvojitému a D je hypersingulárním operátorem. Užitečný koncept Cauchyho hlavní hodnoty pak umožňuje přehledný přepis operátorů do p.v. integrálů (Cauchy Primary Value). Pro K a V platí: (V σ) i (x) = U ij (x, y)σ j (y)dγ, x Γ, (5.55) Γ (Kφ) i (x) = T ij (x, y)φ j (y)dγ, x Γ, (5.56) Γ kde V je tzv. slabě singulárním a K pak integrálem ve smyslu Cauchyho hlavní hodnoty. Integrální rovnici prvního druhu (5.53) lze následně zapsat v integrálním složkovém tvaru: 1 2 u i(x) = Γ U ij (x, y)σ j (y)dγ T ij (x, y)φ j (y)dγ, x Γ. (5.57) Γ Integrální rovnice (5.53) a (5.54) jsou při Galerkinově formulaci smíšeného problému uvažovány současně. Bilineární forma i funkcionál pravé strany příslušné variační rovnice jsou explicitně uvedeny v [19]. V případě, v této práci realizované, kolokační metody, je vztah (5.53) výchozím bodem. 28

5.4.2 Ošetření singulárních integrálů Lze ukázat [20], že ani v případě, kdy bod x Γ, není zavádění integrálu jako Cauchyho hlavní hodnoty, či Hadamardovy konečné části pro další potenciály, nezbytné. Tento přístup, kdy není limitní proces schován za operátorový formalizmus z předchozí kapitoly, ale naopak využit k příznivému upravení itegrálních rovnic tak, aby bylo možné se vyhnout numerickému limitnímu procesu, se nazývá semianalytickým. Metoda je semianalytická v tom smyslu, že všechny singulární integrace jsou provedeny analyticky a limitní proces pak přímo. Numericky jsou již integrovány jen bezproblémové integrály. Obrázek 5.1: Deformace původní oblasti Ω Jsou-li u a w harmonické funkce, platí důsledek Greenovy věty: u w w udω = u w n w u dγ = 0. (5.58) n Ω Nahrazením w za fundamentální řešení E(x, y), vyloučením bodu x, v němž je E(x,.) singulární, deformováním oblasti dle obrázku 5.1 a definováním Ω ǫ = Γ e ǫ + s ǫ = Γ ǫ, lze nahlédnout, že platí: lim ǫ 0 Γ ǫ Γ [ E(x, y) u(y) E(x, y) u ] n y n (y) dγ y = 0 (5.59) Analogicky, použitím Bettiho teorému (5.33), platí v případě elasticity: lim [T ij (x, y)u j (y) U ij (x, y)t j (y)]dγ y = 0 (5.60) ǫ 0 Γ ǫ Splňuje-li u v bodě x Holderovu podmínku, tedy u C 0,α (x) pro nějaká k, α > 0, lze odvodit výchozí vztah této metody: c ij (x)u j (x) + lim [T ij (x, y)u j (y) U ij (x, y)t j (y)]dγ = 0, (5.61) ǫ 0 Γ e ǫ 29

kde koeficient c ij je dán lokálním tvarem hranice v bodě x. Pro hladkou hranici platí c ij = 0.5δ ij, obecný výraz lze rovněž najít v [20]. Je důležité podotknout, že okolí bodu x, jež deformuje původní hranici, může být obecně různé - dosud na tvar nebyly kladeny žádné nároky. Zpravidla se však volí jako kruh, respektive koule, čímž lze použít vyjádření pomocí Cauchyho hlavní hodnoty, jež slouží jako užitečná zkratka: c ij (x)u j (x) + [T ij (x, y)u j (y) U ij (x, y)t j (y)]dγ = 0. (5.62) Γ Obrázek 5.2: Limitní proces na hranici Γ Obrázek 5.2 ilustruje transformaci integrálu přes problematickou část hranice. Integrace je převedena do parametrického prostoru a singulární integrand je např. tvaru: F m ij (η, ξ) = T ij (x(η), x(ξ))φ k (ξ)j m (ξ), (5.63) kde J m je Jakobián příslušné transformace a φ k je bázová funkce elementu. Každý singulární integrand může být rozveden v řadu: Fij m (η, ξ) = F 2 m (η) (ξ η) + F 1 m (η) + O(1). (5.64) 2 ξ η Koeficienty tohoto rozvoje lze sice získávat systematicky, ale v praxi je to v podstatě schůdné jen s použitím software pro formální úpravu výrazů (např. Maple). Rovnice (5.61) je formálními úpravami převedena na součet integrálu regulárního, který je možno řesit Gaussovou kvadraturou, a členů, které vznikly limitou po analytické integraci (5.64). Naznačená metoda je obecně aplikovatelná i pro jiné hraniční integrální rovnice a třírozměrné problémy. 30

Kapitola 6 Implementace programu 2D BEM Relizovaný program implementuje metodu BEM pro případ konstantních elementů. Hranice oblastí (4.2) je diskretizována s jemností, jež je zadána v uzlech definujících geometrii. Hranice je po částech lineární a hledaná vektorová pole na každém elementu konstantní. V prvním kroku program nalezne hodnoty vektoru posunutí a hustot plošných sil v každém středním uzlu elementu. Poté, když už jsou tato pole známa, je použita rovnice (5.37) pro zadané, nebo v síti vygenerované, body oblastí. Všechny vypočtené hodnoty jsou vztaženy vůči souřadnicím, které jsou dány nedeformovanou krystalovou mřížkou substrátu (viz. Kontinuální formulace). Integrální jádra jsou pro 2D dána jako ([1]): U ij = 1 8πµ(1 ν) [ (3 4ν)ln( 1 r )δ ij + r xi ] r x j (6.1) 1 T ij = 4π(1 ν) [ r n {(1 2ν)δ ij + 2 r r } (1 2ν)( r n j r ] n i ) x i x j x i x j (6.2) Pro výpočet pole deformace, respektive tenzoru napětí byla využita integrální rovnice, platná opět pro všechny vnitřní body oblastí ([1]): σ ij (x) = Uijk(x, y)t k (y)dγ y Tijk(x, y)u k (y)dγ y, (6.3) Γ kde integrální jádra jsou rovněž uvedena v ([1]). Výpočet pole deformace e ij na hranici Γ byl proveden na základě znalosti vektoru posunutí a hustot plošných sil při transformaci souřadnic do v daném bodě k hranici lokálních [21]. Pak pro σ ij (y), y Γ plyne: σ ij (y) = [( n i n j + nu ) ] 1 nu τ iτ j n k + (n i τ j + n j τ i )τ k t k (y) + 2µ 1 ν τ u k iτ j τ k τ (y), kde τ je tečný vektor v bodě y Γ. 31 Γ (6.4)

6.1 Diskretizace V dvoudimenzionálním případě rovnice jsou jádra U ij a T ij maticemi 2 2. V případě konstantních elementů lze integrální rovnici prvního druhu (5.53) přepsat jako: [ ][ ] c(i) 0 u1 (i) = 0 c(i) u 2 (i) N j=1 C j Tento vztah lze zavedením značení: [ ] U11 (i) U 12 (i) dγ U 21 (i) U 22 (i) [ ] t1 (j) t 2 (j) N j=1 C j [ ] T11 (i) T 12 (i) dγ T 21 (i) T 22 (i) (6.5) [ ] u1 (j) u 2 (j) u(j) def = [u 1 (j), u 2 (j)] T, (6.6) t(j) def = [t 1 (j), t 2 (j)] T (6.7) H ij G ij [ H11 ij H ij 21 H ij 12 H ij 22 [ G 11 ij Gij 12 Gij 21 Gij 22 ] ] def = def = C j C j formálně zapsat jako: [ ] T11 (i) T 12 (i) dγ T 21 (i) T 22 (i) [ ] U11 (i) U 12 (i) dγ U 21 (i) U 22 (i) C j C j [ ] T11 (x(i), y) T 12 (x(i), y) dγ T 21 (x(i), y) T 22 (x(i), y) y,(6.8) [ ] U11 (x(i), y) U 12 (x(i), y) dγ U 21 (x(i), y) U 22 (x(i), y) y,(6.9) C(i)u(i) = N G ij t(j) j=1 N j=1 H ij u(j). (6.10) H ij = { Hij ; i j H ij + C(i); i = j (6.11) N N H ij u(j) = G ij t(j), i = 1,, N (6.12) j=1 j=1 Poslední vztah lze přpsat vektorově maticově: H U = G T, (6.13) kde H a G jsou blokové matice: H def = H 11 H 1N..... H N1 H NN [ H 11 11 H11 12 [ H 11 H11 21 H11 22. ] N1 H 12 N1 H 21 N1 H 22 N1 32 ] [ H 11 1N H1N 21... [. H 11 NN H 21 NN H12 1N H22 1N H12 NN H22 NN ] ] (6.14)

a G def = G 11 G 1N..... G N1 G NN [ G 11 11 G11 12 [ G 11 G 21 11 G 22 11. ] N1 G 12 N1 G 21 N1 G 22 N1 ] [ G 11 1N G1N 21... [. G 11 NN G 21 NN G12 1N G22 1N G12 NN G22 NN ] ] (6.15) U = [ u 1 (1), u 2 (1),, u 1 (N), u 2 (N) ], (6.16) T = [ t 1 (1), t 2 (1),, t 1 (N), t 2 (N) ], (6.17) 6.2 Využití tuhého posunutí Jednodušší možnost výpočtu diagonálních prvků matice (6.14), jež jsou definovány jako Cauchyho hlavní hodnota, než požití semianalytického přístupu, který byl zmíněn v předchozí kapitole, je založena na následujícím [21]. Rovnice (6.13) při libovolném posunutí tělesa, kdy hustota plošné síly na hranici je všude nulová, přechází v: odkud vyplývá, že: N H ij = 0, (6.18) j=1 H ii = i j H ij. (6.19) Pro případ rovného elementu je situace jednodušší, nebot vektor normály n je pro i = j kolmý k vektoru r, tudíž H ii 0 a tedy H ii = C(i). Pro konstantní, ale i lineární bázové funkce elementu, lze prvky matice G i i vypočítat analyticky [21]. V případě nekonstantní aproximace hranice jsou užívány bud speciální numerické kvadratury (např. Gaussova logaritmická), nebo například výše zmíněná semianalitická metoda. Tu je možno použít i místo relace (6.18). 33

Obrázek 6.1: Schéma rovného elementu Obtížně integrovatelná (slabě singulární) G kl ii hranice integrovat analyticky s výsledkem [21]: G 11 ii = G 22 ii = [ ( ( )) L i 2 (3 4ν) 1 + ln + R2 1 8πµ(1 ν) L i L 2 i R 1 R 2 Gii 12 Gii 21 = [ ( L i (3 4ν) 1 + ln 8πµ (1 ν) lze pro případ linárně aproximované ] (6.20) (6.21) 8πµ (1 ν) L ( )) ] i 2 + R2 2 (6.22) L i L 2 i Program byl vytvořen ve dvou verzích, totiž pro jednu a pro dvě vrstvy. Dále je uvedena vyvinutá diskretizace (6.2) jen pro první případ; při další vrstvě je situace obdobná s tím rozdílem, že bloky nenulových řádků v matici A jsou pak místo dvou tři. Obrázek 6.2: Diskretizace problému 34

0 = A 1 {Hij 12 u 2 (j) Gij 11 t 1 (j)} + j=1 C 1 {H 12 j=b ij u 2(j) Gij 11 t 1(j)} + D 1 {Hij 11 u 1 (j) + Hij 12 u 2 (j) Gij 11 t 1 (j) Gij 12 t 2 (j)} j=c D 1 {G k1 ij c 1(j) + G k2 F ij c 1 + 2(j)} + {G k1 ij τ 1(j) + G k2 ij τ 2(j)} = j=c j=e D 1 {H 11 ij u 1 (j) + H k2 ij u 2 (j) + G k1 ij t 1 (j) + G k2 ij t 2 (j)} + j=c E 1 j=d H k2 ij u 2 (j) G k1 ij t 1 (j)} + F 1 {H k1 j=e ij u 1(j) + H k2 ij u 2(j)} + G 1 {H k2 ij u 2(j) G k1 ij t 1(j)} j=f Při zavedení vektoru x jako: x def = [ t 1 (1), u 2 (1),. ; t 1 (A), t 2 (A),. ; t 1 (B), u 2 (B),. ; u 1 (C), t 1 (C), u 2 (C), t 2 (C),, u 1 (G), u 2 (G) ] T a matice A jako: G 21 (6.23) G11 11 H1D 1 11 G1D 1 11 H1D 1 12 G1D 1 12 0 0...... 0. D 1D 1 HD 1D 1 21 GD 1D 1 21 HD 1D 1 22 GD 1D 1 22 0 0 0 0 H 11 CD 1 G 11 CD 1 H 12 CD 1 G 12 CD 1 H 12 CG 1. 0...... 0 0 H 21 G 1D 1 G 21 G 1D 1 H 12 G 1D 1 G 12 G 1D 1 H 12 G 1G 1 (6.24) 35

a vektoru pravé strany b: b i = 0, i = 1,, 2(D 1), ostatní složky jsou pak dány jako: b = D 1 j=c {G11 0. 0. 0 C,j c 1(j) + G 12 C,j c 2(j)} + F 1 j=e {G11 C,j τ 1(j) + G 12 C,j τ 2(j)} D 1 j=c {G21 C,j c 1(j) + G 22 C,j c 2(j)} + F 1 j=e {G21 C,j τ 1(j) + G 22 C,j τ 2(j)}. D 1 j=c {G21 G 1,j c 1(j) + G 22 G 1,j c 2(j)} + F 1 j=e {G21 G 1,j τ 1(j) + G 22 Vzniklý systém byl tímto převeden do tvaru:.... G 1,j τ 2(j)} (6.25) Ax = b. (6.26) Soustava rovnic (6.26) byla odvozena pro libovolný krok diskretizace. Naplnění prvnků matice soustavy A je možné algoritmicky zpracovat, jelikož matice má strukturu odpovídající zadaným okrajovým podmínkám. Následující sekce je věnována přehledu některých numerických poznatků, na které musel být při implementaci programu brán zřetel. Pro úplnost uvádím, že program byl vytvořen v jazyce C a k řešení vzniklé soustavy byla použita procedura realizující metodu Gaussovy eliminace s částečnou pivotací z knihovny lineární algebry Lapack (Fortran). Vyzkoušeny byly diskretizace vedoucí k maticím i vyšších řádů (n > 6000) i jiné tvary hranice. 6.3 Singulární rozklad matice Libovolnou matici N N lze [22] jako maticový součin čtvercových matic: kde pro U i V platí: a W je diagonální tvaru: A = U W V T, (6.27) U U T = V V T = 1 (6.28) 36

w 1 W = w 2 w N (6.29) Ze vztahu (6.27) za učiněného předpokladu, že A je typu N N plyne: A 1 = V diag( 1 w i ) U T. (6.30) Tento vztah ukazuje, že problémy s numerickým řešením soustavy rovnic se mohou objevit, je-li některý z diagonálních prvků matice W v rámci zaokrouhlovacích chyb roven nule. Číslo podmíněnosti K(A) matice A je definováno [22] jako podíl největšího a nejmenšího z těchto diagonálních členů. Matice A se nazve singulární, je-li číslo podmíněnosti K(A) nekonečné. Matice A se nazve špatně podmíněná, dosahuje-li 1/K(A) řádově hodnoty přesnosti použité implementace čísel v plovoucí desetinné čárce. V případě v programu využívané dvojité přesnosti - double standardu IEEE 754, jež pro uložení čísla v řádové desetinné čárce žádá 8 bytů - by tedy špatná podmíněnost matice A nastávala už při úměře: 1/K(A) 10 12. (6.31) Bohužel, analýza matice soustavy (6.26) metodou SVD ukázala, že situace je ještě o několik řádů horší než v (6.31). Přezkoumáním matice A se však ukázalo, že obsahuje prvky velmi různých řádů. Obecně se číslo X v plovoucí řádové čárce vyjadřuje trojicí s, M a e, kde s je znaménkový bit, M je mantisou a e pak exponentem při daném základu z, jako: X = s M z e E, (6.32) kde E je tzv. bias, strojově závislá konstanta. Takové vyjádření není jednoznačné [23], což však lze odstranit požadavkem normalizovaného tvaru mantisy, totiž že platí: z 1 M < 1. (6.33) Počítačová jednotka pro práci s čísly v pohyblivé řádové čárce (Floating Point Unit) při sčítání dvou čísel nejprve obě převede na stejný exponent. Při zvyšování exponentu čísla v absolutní hodnotě menšího tedy dochází bitovému posuvu mantisy tak, že nejméně významné bity jsou úplně ztraceny. Při velkém řádovém rozdílu sčítaných čísel je nakonec celá mantisa menšího z nich efektivně nahrazena nulou. Velký řádový rozdíl prvků matice A tak vede k tomu, že z pohledu výpočetního stroje je tato singulární. Naštěstí je situace ještě relativně příznivá; při přenásobení prvků, k Hij kl relativně malých, Gij kl faktorem 1.0e+24 je det(a) 0 a odpověd SVD na otázku podmíněnosti je v dané přesnosti kladná. Dále v programu je však nutno mít toto efektivní přeškálování na hranicích oblastí zadaných hustot plošných sil t napaměti. 37

Kapitola 7 Numerické výsledky Všechny dále uvedené výpočty byly provedeny s použitím konstant získaných z Ioffeho fyzikálního institutu [24]. Elastické konstanty byly použity pro Millerův index [100]. GaAs InAs c 11 = 11.9 10 11 dyn/cm 2 c 11 = 8.34 10 11 dyn/cm 2 c 12 = 5.34 10 11 dyn/cm 2 c 12 = 4.54 10 11 dyn/cm 2 E = 8.59 10 11 dyn/cm 2 E = 5.14 10 11 dyn/cm 2 ν = 0.31 ν = 0.35 a = 5.65325 10 10 m a = 6.0583 10 10 m Uvádím pouze výsledky pro případ jediného žlábku, přestože program je vytvořen univerzálně tak, aby bylo možné zadat hranici libovolnou, po částech lineární. V dalších dvou sekcích, první z nich mapuje výsledky numerických experimentů pro jednu vrstvu, druhá pak pro dvě, přičemž v obou případech je výška vrstvy (v druhém případě obou z vrstev) h = 1.0e 7 m, jsou uvedeny grafy dvou typů. Barevné mapy graficky znázorňují pole v celém objemu vzorku, ostatní, hladkými funkcemi proložené, grafy představují srovnání výpočtů s výsledky komerčního software Comsole, realizujícího metodu konečných prvků (Hermiteovy elementy 3. řádu, velmi jemný krok sítě). Součástí legendy těchto srovnání jsou i dimenze matice A, což odráží jemnost zvolené diskretizace. 38

7.1 BEM - jedna vrstva 7.1.1 Výpočet pole posunutí Následující dva obrázky ilustrují charakter vzniklého pole posunutí u v případě jedné vrstvy a dim(a) = 2088. Obrázek 7.1: Výpočet x složky vektoru posunutí 39

Obrázek 7.2: Vypočet y složky vektoru posunutí 40

7.1.2 Výsledky na volné hranici Pole posunutí Grafy složek vektoru posunutí u, jakožto funkce x souřadnice volného povrchu vzorku, ukazují, že výsledky obou programů jsou v dobré shodě. Na druhém obrázku je viditelné, že křivka pro výpočet programem Comsol, není zcela symetrická. Je jisté, že v tomto případě se jedná o numerickou, nebo jinak zanesenou (interpolace spliny) chybu, jelikož daný vzorek je symetrický. 1e-08 Comsol BEM, 2088 5e-09 u x 0-5e-09-1e-08 0 5e-07 1e-06 1.5e-06 2e-06 x (m) Obrázek 7.3: Srovnání vypočtené x složky posunutí na volné hranici 41

1.6e-08 Comsol BEM, 2088 1.4e-08 1.2e-08 1e-08 u y 8e-09 6e-09 4e-09 2e-09 0 0 5e-07 1e-06 1.5e-06 2e-06 x (m) Obrázek 7.4: Srovnání vypočtené y složky posunutí na volné hranici Pole deformace V rámci výpočtu byla na volném povrchu vzorku srovnána i pole deformace e ij. Obrázky (7.5) i (7.7) sice nejsou v naprosté kvalitativní neshodě, přesto si nelze nevšimnout rozdílů v hrotu žlábku. 0.2 Comsol BEM, 2088 0.15 0.1 0.05 e xx 0-0.05-0.1 0 2e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06 1.2e-06 1.4e-06 1.6e-06 1.8e-06 2e-06 x (m) Obrázek 7.5: Srovnání vypočtené xx složky tenzoru deformace na volné hranici 42

0.1 Comsol BEM, 2988 0.05 e xy 0-0.05-0.1 0 2e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06 1.2e-06 1.4e-06 1.6e-06 1.8e-06 2e-06 x (m) Obrázek 7.6: Srovnání vypočtené xy složky tenzoru deformace na volné hranici 0.2 Comsol BEM, 4176 0.15 0.1 e yy 0.05 0-0.05 0 5e-07 1e-06 1.5e-06 2e-06 x (m) Obrázek 7.7: Srovnání vypočtené yy složky tenzoru deformace na volné hranici Následující obrázky ilustrují pomalé přibližování se k očekávaným hodnotám při jemnějším kroku diskretizace. 43

Obrázek 7.8: Složky xx deformace na volné hranici Obrázek 7.9: Složky xy deformace na volné hranici 44

Obrázek 7.10: Složky yy deformace na volné hranici Při kroku diskretizace hranice h = 2.0e 9 je rozměr matice A již velmi velký (dim(a) = 10452), přesto je při srovnání obrázků (7.5) a (7.8) vidět, že dosažení srovnatelných a předpokladům bližších výsledků programu Comsol je daleko. Další obrázek ukazuje závislost y složky posunutí na souřadnici x v malém okolí hrotu žlábku. Z podobného grafu pro závislost x složky posunutí na souřadnici y je vidět, že tuto změnu lze vůči dříve zmíněné zanedbat a uvažovat, že v hrotu žlábku přibližně platí e xy uy x. Obrázek 7.11: Složka y vektoru posunutí v rovině x v okolí hrotu žlábku 45

Na obrázku (7.7) je poněkud překvapivý výpočet programem Comsol. Z následujícího obrázku, který závislost složky y vektoru posunutí na téže souřadnici v blízkém okolí hrotu žlábku ukazuje jako linární se sklonem přibližně 0.06 a vztahu pro yy složku tenzoru deformace plyne, že hodnota e yy by za předpokladu hladkosti měla být přibližně 0.06, tedy tím, k čemu by se eventuelně mohl přiblížit výpočet BEM. Obrázek 7.12: Složka y vektoru posunutí v rovině y v okolí hrotu žlábku 46

7.2 BEM - dvě vrstvy 7.2.1 Výpočet pole posunutí Další dva obrázky znázorňují mapy složek vektoru posunutí u v célém objemu vzorku. Výpočty polí byly provedeny pro dim(a) = n. Obrázek 7.13: Výpočet x složky vektoru posunutí 47

Obrázek 7.14: Vypočet y složky vektoru posunutí 48

7.2.2 Výsledky na volné hranici Z obrázku (7.14) je patrný mírný relativní posuv. Obrázek 7.15: Srovnání vypočtené x složky posunutí na volné hranici Obrázek 7.16: Srovnání vypočtené y složky posunutí na volné hranici 49

7.2.3 Rozdělení relativního rozdílu výpočtů Následující dva obrázky ilustrují rozložení relativního rozdílu vypočtených hodnot (BEM/FEM). Za předpokladu přesnějšího výpočtu metodou FEM, což vzhledem k použitým elementům a jemnosti sítě lze, se tedy ukazuje, že pole posunutí získané programem realizujícím metodu BEM pouze pro konstantní elementy, není ve většině vzorku příliš odlišné. Obrázek 7.17: Rozložení relativního rozdílu vypočtené x složky posunutí 50

Obrázek 7.18: Rozložení relativního rozdílu vypočtené y složky posunutí 51

7.2.4 Výpočet pole deformace Pole deformace bylo počítáno pro dim(a) = n a následující obrázky jsou v kvalitativní shodě s výpočty metodou FEM. Bílá místa jsou způsobena vynášením hodnot do grafu a nepředstavují žádnou skrytou vlastnost. Obrázek 7.19: Výpočet xx složky tenzoru deformace 52