Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl) Stopa procentowa: W celu zrozumienia czym w matematyce finansowej jest tzw. stopa procentowa rozpatrzmy najprostszą z możliwych inwestycji, polegającą na zainwestowaniu kwoty 1.000 zł na okres jednego roku. Jakiego dochodu oczekuje się po upływie tego okresu? Na tak sformułowane pytanie brak jednoznacznej odpowiedzi, oczywistym jest jednak, iż oczekuje się dochodu wyższego od 1.000 zł, co można przedstawić w sposób następujący: < (1.1) gdzie: PV - wartość bieżąca inwestycji (ang. Present Value) FV - wartość przyszła inwestycji (ang. Future Value) Chcąc zastąpić w równaniu (1.1) znak nierówności znakiem równości, wartość bieżącą PV należy pomnożyć liczbą większą od jedności, czyli: (1+) = (1.2) W tym kontekście występująca we wzorze (1.2) zmienna r jest po prostu ułamkiem, który umożliwia postawienie znaku równości pomiędzy wartością bieżącą a wartością przyszłą. Powszechnie przyjętą konwencją jest zapis tego ułamka w formule procentów; w dużym stopniu z tego powodu, iż tak zdefiniowana stopa procentowa odzwierciedla zyskowność inwestycji wyrażoną jako procent zainwestowanego kapitału. Zauważmy, iż we wzorze (1.2) występują 3 zmienne. Przekształcając odpowiednio ten wzór i przyjmując konwencję, iż po lewej stronie równania jest wielkość nieznana (niewiadoma), można przedstawić wzory na wartość przyszłą (1.3) oraz na stopę procentową (1.4): = (1+) (1.3) = = 1 (1.4)
Obliczanie odsetek od zainwestowanego kapitału: Poziom dochodów z inwestycji zależy od szeregu czynników, między innymi od tego, jak często następują przepływy pieniężne (dochody). Wyobraźmy sobie sytuację, w której dokonaliśmy lokaty kwoty 100.000 zł, przy stopie procentowej 9%. Jaki poziom dochodów będzie przez nas cyklicznie realizowany? Zauważmy, iż możliwe jest uzyskiwanie dochodów z lokaty z różną częstotliwością, np. raz do roku, raz na kwartał, raz na miesiąc i tak dalej zależy to tylko i wyłącznie od tego, jak uzgodniły to strony umowy. Ponieważ możliwości jest wiele, należało wypracować jakiś uniwersalny sposób prezentacji sposobu naliczania odsetek. W przypadku części instrumentów finansowych przyjęta została konwencja, zgodnie z którą prezentowana jest stopa procentowa (wyrażona w skali roku), zaś wysokość odsetek jest równa iloczynowi zainwestowanego kapitału, stopy procentowej oraz ilorazu częstotliwości płatności odsetek (wyrażonej w dniach) i liczby dni w roku (przyjmuje się, iż rok ma 360 lub 365 dni). Przykład (1.1): Kwota 100.000 zł została ulokowana na lokacie bankowej o oprocentowaniu 9%. Obliczyć wysokość odsetek po 30 dniach przy założeniu, iż rok ma 360 dni. 100.000 9% 30 = 100.000 0,75% = 750 360 Alternatywna konwencja polega na prezentacji stopy procentowej (wyrażonej w skali roku) oraz liczby okresów odsetkowych w skali roku. Wysokość odsetek jest zaś równa iloczynowi zainwestowanego kapitału oraz ilorazu stopy procentowej i liczby okresów odsetkowych. Przykład (1.2): Kwota 100.000 zł została ulokowana na lokacie bankowej o oprocentowaniu 9% i odsetkach wypłacanych raz na miesiąc. Obliczyć wysokość odsetek. 100.000 9% 12 = 100.000 0,75% = 750 Jak widać, uzyskaliśmy ten sam wynik, co w przykładzie (1.1).
Kapitalizacja odsetek oraz efektywna stopa procentowa: W punkcie 1.2 omówiliśmy zagadnienie naliczania i wypłacania odsetek od zainwestowanego kapitału. W przypadku szeregu instrumentów finansowych możliwe jest dopisywanie odsetek do kapitału w wyniku czego, w kolejnym okresie odsetkowym, odsetki naliczane są od nowej, wyższej kwoty. Zjawisko to nazywamy kapitalizacją odsetek. Na rynku finansowym przyjęły się przy tym cztery podstawowe sposoby naliczania odsetek oraz dopisywania ich do kapitału (czyli tzw. kapitalizacja odsetek): Kapitalizacja prosta: = (1+ ) (1.5) Kapitalizacja roczna: = (1+) (1.6) Kapitalizacja okresowa: = 1+ (1.7) gdzie: n m Kapitalizacja ciągła: = (1.8) liczba lat liczba okresów kapitalizowania odsetek w skali roku Zauważmy przy tym, iż kapitalizację roczną można przedstawić jako kapitalizację okresową, przy czym liczba okresów, w których następuje kapitalizacja odsetek, wynosi jeden. Ponadto kapitalizacja ciągła to nic innego, jak drugi szczególny przypadek kapitalizacji okresowej, w którym liczba okresów kapitalizacji odsetek dąży do nieskończoności. Jest tak dlatego, iż występujący w równaniu (1.8) symbol e to tzw. liczba Napiera (Nepera), stanowiąca rozwiązanie następującego zagadnienia: lim '1+1 & ( = (1.9)
Stopa zwrotu oraz wewnętrzna stopa zwrotu (IRR): Jak zauważyliśmy, wyznaczenie efektywnej stopy procentowej jest zagadnieniem prostym w sytuacji, w której mamy do czynienia tylko z dwoma przepływami pieniężnymi: wartością bieżącą PV (początkowy nakład inwestycyjny) oraz wartością przyszłą FV (końcowy dochód z inwestycji). Nie ma przy tym dla nas znaczenia czas trwania inwestycji ani wysokość przepływów pieniężnych. Rozszerzmy teraz naszą analizę i odpowiedzmy na pytanie, jak wyznaczyć efektywną stopę zwrotu w przypadku bardziej skomplikowanej inwestycji, charakteryzującej się ciągiem kilku płatności o różnej wysokości. Formalnie zagadnienie to można zapisać pod postacią następującego równania: = ) * ) (1+) *+ + ) (1+) ++,.+ (1+) = / ) 0 (1+) 0 01* (1.13) dla którego znany jest nakład początkowy (cena) PV oraz przepływy pieniężne CF i, natomiast wielkością nieznaną (niewiadomą) jest stopa procentowa r, spełniająca to równanie. Rozwiązaniem tego równania jest tzw. wewnętrzna stopa zwrotu IRR (ang. Internal Rate of Return), albo po prostu stopa zwrotu. Przykład (1.8): Dokonano zakupu nieruchomości za kwotę 1.000.000 zł. Inwestycja przyniosła 100.000 zł po pierwszym roku, 120.000 zł po drugim roku, zaś na koniec trzeciego roku dochód z wynajmu wyniósł 140.000 zł. Po trzecim roku nieruchomość została zbyta za kwotę 1.000.000 zł. Jaka była (efektywna) stopa zwrotu z tej inwestycji: Rozwiązaniem jest stopa procentowa r spełniająca następujące równanie: 1.000.000 = 100.000 (1+) * +120.000 (1+) ++140.000 (1+) 2+1.000.000 (1+) 2 Jak łatwo zauważyć dochód z wynajmu w trzecim roku oraz dochód ze sprzedaży można zsumować i rozpatrywać następujące (równoważne) równanie: 1.000.000 = 100.000 (1+) * +120.000 (1+) ++1.140.000 (1+) 2
Można też, co czyni się stosunkowo często, potraktować cenę jako ujemy przepływ pieniężny w chwili t = 0, i przedstawić równanie w sposób następujący: 0 = 1.000.000 (1+) 3 + 100.000 (1+) * +120.000 (1+) ++1.140.000 (1+) 2 W dalszej części cyklu artykułów stosować będziemy zamiennie różne konwencje zapisu, w zależności od kontekstu rozważań. Przykład (1.8) c.d.: Rozwiązanie jest proste wystarczy skorzystać z funkcji IRR arkusza kalkulacyjnego (np. Excel), by uzyskać następujący wynik: 455 = 11,815% Należy tylko przy tym pamiętać, by korzystając z arkusza kalkulacyjnego wszystkie ujemne przepływy pieniężne (włączając w to cenę nieruchomości PV, wpisać ze znakiem ujemnym). Sprawdzenie: Inwestując kwotę 1.000.000 zł na okres 3 lat przy efektywnej stopie procentowej w skali roku równej 11,851%, po 3 latach otrzymujemy dochód w wysokości: 1.000.000 (1+11,851%) 2 = 1.399.3286ł Z kolei analizowana inwestycja daje po pierwszym roku dochód w wysokości 100.000 zł, zaś po drugim roku dochód 120.000 zł. Zakładając, iż dochody te również zostaną zainwestowane (tzw. reinwestycja) odpowiednio na okres 2 lat oraz na okres 1 roku, przy efektywnej stopie procentowej 11,8510%, na koniec 3. roku (koniec inwestycji) uzyskuje się dochód równy: 100.000 (1+11,851%) + +120.000 (1+11,851%)+1.140.000 = 1.399.3286ł Jak widać, zarówno początkowy nakład, jak również końcowy dochód dla obydwu inwestycji jest dokładnie taki sam. Oznacza to, iż wewnętrzną stopę zwrotu IRR można interpretować jako efektywną stopę procentową. Nominalna i realna stopa zwrotu:
Na wstępie trzeba wyraźnie zaznaczyć, iż o ile nie jest to jednoznacznie zasygnalizowane, to wszystkie stopy procentowe należy (domyślnie) traktować jako nominalne stopy procentowe. Innymi słowy, mówiąc o stopach procentowych (w tym o stopach zwrotu, stopach dochodu, stopach dyskontowych itp.) należy domniemywać, iż chodzi o stopy w ujęciu nominalnym. Chcąc mówić o stopach procentowych w ujęciu realnym, należy wyraźnie to zaznaczyć. Dodajmy jeszcze, iż w tym kontekście stopami procentowymi w ujęciu nominalnym są: stopy procentowe rynku międzybankowego (np. WIBOR, LIBOR); rentowność bonów skarbowych, rentowność obligacji; stopy zwrotu z rynku akcji, stopy zwrotu z indeksów giełdowych; i szereg innych. Mówiąc wprost: szeroko rozumiany rynek kapitałowy prezentuje wyłącznie stopy procentowe w ujęciu nominalnym, chcąc zatem dokonywać jakichkolwiek analiz stóp procentowych, wyniki tych analiz również należy prezentować w ujęciu nominalnym. Czym jest zatem stopa procentowa w ujęciu realnym? Stopa procentowa w ujęciu realnym jest równa stopie procentowej w ujęciu nominalnym skorygowanej o wzrost cen towarów i usług inflację (ozn. CPI, ang. Consumer Price Index). Zależność pomiędzy tymi stopami procentowymi można przedstawić następująco: (1+ 809: ) = (1+ ;9:) (1+)4) (1.14) 809: = (1+ ;9:) (1+)4) 1 (1.15) ;9: = (1+ 809:) (1+)4) 1 (1.16) Uwaga: Zgodnie z tym, co zostało wcześniej napisane (wszystkie stopy procentowe generalnie są wyrażane w ujęciu nominalnym) w dalszej części zrezygnujemy z indeksu nominal przy symbolu stopie procentowej w ujęciu nominalnym, jednocześnie pozostawiając indeks real przy oznaczaniu stóp procentowych w ujęciu realnym. Przykład (1.10):
Wyznaczyć stopę zwrotu w ujęciu realnym, jeśli kwota 100.000 zł została zainwestowana na okres 1 roku przy efektywnym oprocentowaniu 8%, zaś inflacja w tym okresie wyniosła 3%. ;9: = (1+) (1+8%) 1 = 1 = 4,85% (1+)4) (1+3%) Sprawdzenie: Załóżmy, iż jednostkowa cena jakiegoś artykułu wynosiła 50 zł, zaś po upływie roku 51,5 zł (wzrost ceny równy inflacji). Posiadając 100.000 zł byliśmy w stanie zakupić 2.000 szt. tego artykułu, zaś po upływie roku: 100.000 (1+8%) = 2.097 51,5 czyli dokładnie o 4,85% sztuk artykułu więcej: 2.000 (1+4,85%) = 2.097 W tym ujęciu stopa zwrotu w ujęciu realnym przedstawia zatem nie tyle nominalny zysk z inwestycji (w skali roku), lecz realny wzrost wartości (siły nabywczej) kwoty wynikającej z danej inwestycji. Analizując te przykłady można dojść do wniosku, iż realna stopa zwrotu niesie bardziej wartościową informację niż klasyczna stopa zwrotu (wyrażona w ujęciu nominalnym), a co za tym idzie realne ujęcie powinno być preferowane przy analizie i wycenie inwestycji. Tak jednak nie jest w praktyce dominuje analiza przy wykorzystaniu stóp procentowych w ujęciu nominalnym. Dlaczego? O tym będzie w kolejnych artykułach poświęconych stopie dyskontowej oraz stopie kapitalizacji. całość (wersja elektroniczna artykułu): www.nieruchomosci.beck.pl