Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie PODSTAWOWE POJĘCIA WYKŁAD 1 Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl. Literatura KLEIBER M.: Wprowadzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT, PWN Warszawa Poznań 1989, Rozdz. 1, str. 7 11. CHRÓŚCIELEWSKI J., MAKOWSKI J., PIETRASZKIEWICZ W.: Statyka i Dynamika Powłok wielogałęziowych. Nieliniowa teoria i metoda elementów skończonych. Wydawnictwo IPPT PAN, Warszawa 2004. Rozdz. 4.1.1, str. 270 273. Katedra Wytrzymałości Materiałów
MOC, miejsce i rola metod numerycznych Trzy zasadnicze grupy problemów MOC : teoria równań konstytutywnych, weryfikacja eksperymentalna (próby jedno i wieloosiowe), formułowanie i rozwiązywanie problem brzegowo początkowy mechaniki. prawa szczegółowe (materiały, tyle ile materiałów) prawa uniwersalne mechaniki (3 zasady) wg Kleiber M. [1989] teoria konstrukcji Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/3
dwa sposoby formułowanie problemów brzegowo początkowy MOC w MOC parametry teorii (w tym nieznane wielkości), mające charakter pól (funkcje polowe): skalarnych, wektorowych lub tensorowych, które łączą odpowiednie związki rozmaitego typu: uniwersalne prawa mechaniki (3), szczególne prawa konstytutywne, oraz postulowane dot. np. ciągłości pól, czy o charakterze hipotez. sformułowanie (matematycznie równoważne): (S) silne, klasyczne (różniczkowe, lokalne) polega na badaniu pól w otoczeniu nieskończenie małego obszaru dziedziny, efektem jest układu równań różniczkowych względem zmiennych po przestrzenni i czasie, rozwiązanie dotyczy układu równań różniczkowych przy narzuconych warunkach brzegowych i początkowych; (W) słabe, wariacyjne (całkowe, ekstremalne, globalne) zakłada ważność w całym obszarze dziedziny (i na brzegu) ekstremalnej zasady wariacyjnej, efektem jest funkcjonał (funkcją nieznanych funkcji) względem zmiennych po przestrzenni i czasie, rozwiązanie polega na wyznaczeniu ekstremum funkcjonału (najczęściej minimalizacji). Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/6
trzy podstawowe metody numeryczne w MOC Metoda: podstawa: Elementów Skończonych zasada wariacyjna lub przemieszczeń wirtualnych Różnic Skończonych MRS równania różniczkowe dyskretzacja: podział obszaru na elementy rozkład regularnej siatki węzłów na całym obszarze Elementów Brzegowych MEB brzegowe równania całkowe podział brzegu obszaru na elementy i przyjęcie węzłów brzegowych aproksymacja: funkcji kształtu dla elementu operatory różnicowe w węzłach siatki struktura macierzy (sztywności) układu funkcje kształtu elementu brzegowego K = K T K K T K K T wg Rusiński, Czmochowski, Smolnicki [2000] Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/10
interakcja metod komputerowych mechaniki ETAPY konstrukcja rzeczywista wizja projekt MOC (filtr) (filtr) dane (filtr) wg Stein E., Wriggers P. [1989] wg NASTRAN obliczenia (filtr) wyniki Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/12
problem brzegowo początkowy, model obliczeniowy, budowa wybór Problem brzegowo początkowy mechaniki jego rozwiązanie jest zasadniczym etapem każdego racjonalnego projektowania konstrukcji wymaga utworzenia tzw. modelu obliczeniowego. umożliwia efektywne tworzenie i modyfikacje modeli obliczeniowych. stwierdzenie budując wybierając model stawiamy trzy cele (z zasady sprzeczne): dużą uniwersalność, dokładność, niskie nakłady, rozwiązaniem jest tzw. model elastyczny, (użytkownik ma możliwość ustalenia zakresu relacji między tymi celami), warunek ten spełniają systemy. wg Olędzka D., Witkowski M., Żmijewski K.H. [1992] Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/15
teoria konstrukcji Teoria konstrukcji opis zachowania się realnych konstrukcji inżynierskich przy pomocy różnych modeli najczęściej matematycznych (MOC). Model konstrukcji w opisie modelu wyróżnia się dwa typ wielkości zmienne projektowe zależne od projektanta oraz pozostałe wielkości nazywane parametrami modelu. Zmienne stanu opisują zachowanie się konstrukcji (jej modelu), podstawowe to: przemieszczenia (deformacja) i naprężenia (siły wewnętrzne), ale także w zależności od celu mogą nimi być np.: reakcje, obciążenia krytyczne, częstości i postaci drgań własnych, amplitud drgań wymuszonych siłami dynamicznymi (i inne). Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/18
teoria konstrukcji Problemy teorii konstrukcji zależą od wzajemnych relacje pomiędzy (oddziaływania zewnętrzne dane): zmiennymi projektowymi parametrami modelu zmiennymi stanu. Analiza konstrukcji dotyczy określenia zmiennych stanu od danych oddziaływań zewnętrznych przy całkowicie określonym modelu konstrukcji (ustalone zmienne projektowe i parametry modelu). Problemy odwrotne teorii konstrukcji, odmiennie od analizy, dotyczą określenia modelu konstrukcji: optymalizacja dobór optymalnych wartości zmiennych projektowych przy spełnieniu ograniczeń nałożonych na zmienne stanu, należy sformułować funkcję celu, której poszukuje się minimum ze względu na zmienne projektowe; identyfikacja wrażliwość dobór modelu (parametrów) przy eksperymentalnie określonych zmiennych stanu dla określonych oddziaływaniach zewnętrznych; ustalenie zależności zmian zmiennych stanu w funkcji zmian (wariacji) zmiennych projektowych. Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/21
analiza konstrukcji Analiza konstrukcji cel zmienne stanu, ewolucji (w czasie, od oddziaływań) odkształcalnej konstrukcji: statyka cel obciążenia narastają powoli, siły bezwładności pomijalnie małe, przemieszczenia i naprężenia (siły wewnętrzne), reakcje, stateczność liniowa obciążenia krytyczne, postaci wyboczenia, (stateczność) nieliniowa ścieżki równowagi, punkty bifurkacji i punkty graniczne, kontakt, propagacja stref degradacji materiału, plastycznych, rys, lokalizacji, itp.; dynamika siły bezwładności istotne, deformacja konstrukcji zależy od historii obciążenia w czasie, cel liniowa częstości i postaci drgań własnych, amplitud drgań zmiennych stanu od wymuszeń harmonicznych, całkowanie równań bezpośrednie, schematy jawne i niejawne, metody redukcji przestrzeni, metoda superpozycji modalnej; nieliniowa zderzenia, ewolucja zmiennych stanu, bezpośrednie całkowanie równań, stabilność algorytmów itp. Analiza konstrukcji podejście: deterministyczne, losowe (stochastyczne). Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/25
typy analizy konstrukcji liniowa fizycznie nieliniowa geometrycznie mieszana np.: obowiązuje zasada superpozycji, wszystkie relacje liniowe: L( αa+ βb) = αla ( ) + βlb ( ), odwracalność deformacji. nie obowiązuje zasada superpozycji, podstawowe źródła nieliniowych relacji: równania konstytutywne (materiałowe, fizyczne), zmiany w geometrii (zależność odkształcenia przemieszczenia), warunków brzegowych (zagadnienia kontaktu), obciążenia (zależność od deformacji, niekonserwatywność), i inne; nieodwracalność deformacji w problemach niesprężystych (np. plastyczność). Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/30
podejście koncepcyjne Formułowanie i interpretację można postrzegać z punktu widzenia fizycznego lub matematycznego. Fizyczny początkami formułowania uogólnienia metod analizy konstrukcji prętowych. Traktowanie konstrukcji jako układu zbudowanego z oddzielnych części, elementów skończonych, których model mechaniczny jest niezależny od reszty układu. Następnie części te łączone są w całość w skończonej liczbie węzłów. Matematyczny zastosowanie metody Bubnowa Galerkina do aproksymacji problemu ciągłego, wymaga: A) słabego sformułowania (wariacyjnego) zagadnienia początkowo brzegowego; B) wyboru przestrzeni funkcji aproksymacyjnych, podstawowych i testowych. Baza aproksymacyjna wielomiany funkcji zlokalizowane, określone tylko wewnątrz nie pokrywających się podobszarów dziedziny, elementów skończonych (znikają poza nimi). Zbiór elementów powstaje przez podział dziedziny z doborem węzłów. Węzły rozłożone są w części lub całkowicie na brzegach i wierzchołkach elementów. Zbiory elementów i węzłów tworzą siatkę dyskretyzacyjną. Spostrzeżenie, podstawowa idea opiera się na koncepcji interpolacji z zastosowaniem metody typu residuów ważonych. Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/34
korzenie schemat: wg Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. [2000] Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/35
historia, aktualność początki: HRENNIKOFF [1940], MCHENRY [1943] kontinuum opis kratownicowy (jednowymiarowy), COURANT [1943] LEVY [1953] kontinuum podział na skończone kawałki (trójkąty), metoda przemieszczeń (sztywności) uogólnienie, TURNER, CLOUGH, MARTIN, TOPP [1956] połączenie koncepcji dyskretnych kawałków i sztywności, CLOUGH [1960] ZIENKIEWICZ, CHEUNG [1965] metoda elementów skończonych (w PSN), problemy pola, temperatura i przepływy. aktualne: integrowanie systemów z systemami do modelowania geometrycznego CAD w całość; łączenie podstawowych metod, MRS, MEB w obszarach ich największej efektywności; poszukiwania teoretyczne (dalsze i ciągle) ekonomicznych, efektywnych i skutecznych oraz pewnych elementów skończonych. Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/37
podstawowa klasyfikacja elementów skończonych kontynualne prętowe strukturalne powierzchniowe prętowy płytowy PSN, PSO, osiowo-obrotowe kratowy (cięgnowy) płaski powłokowy bryłowy zgodność liczby (np. 3D, bryłowy): współrzędnych dziedziny ( xyz,,, ) parametrów teorii ( uvw,,, ) węzłowych stopni swobody ( ua, va, w a). belkowy (ramowy) powłokowy krzywiznowy brak zgodność liczby (np. przestrzenna belka Bernoulliego Eulera): jedna współrzędna opisująca dziedzinę ( s ), cztery parametry teorii ( uvwφ,,, z ), sześć węzłowych stopni swobody ( ua, va, wa, φxa, φya, φ za). Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/40
składnik projektowania inżynierskiego o wyborze modelu obliczeniowego decyduje: czas, pieniądze, doświadczenie, oprogramowanie, dokładność. Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/41
składnik projektowania inżynierskiego, etapy i modyfikacje wg Kleiber M. [1989] Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/42
składnik projektowania inżynierskiego, udział i rola kombinacja odpowiednich elementów skończonych pozwala stosunkowo wiernie odwzorować w modelu obliczeniowym złożoność formy i właściwości konstrukcji inżynierskich oraz zachodzących zjawisk; moc obliczeniowa PC + wizualizacji (grafika, CDA) pozwalają na udział we wszystkich fazach projektowania: pre i post oraz inter procesowej; powtarzalność cyklu analiza konstruowanie, pozwala uzyskać quasi optymalne rozwiązanie problemu. Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/45
problem modelowy w Problem modelowy zamknięty układ równań o skali złożoności pozwalającej obrobić go matematycznie. Od strony teorii aproksymacji zadaniem modelowym w jest liniowa teoria sprężystości (LTS). Wstępny opis na przykładzie rozwiązania jednowymiarowego problemu brzegowego jakim jest jednowymiarowe liniowo sprężyste kontinuum pręta prostego, charakteryzowane liczbą jeden: jedna współrzędna opisu dziedziny ( s x) jeden parametr teorii ( u ), jeden węzłowy stopień swobody ( u a)., Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/48
typy sformułowania problemu 4 zagadnienia: (S) silne, klasyczne (różniczkowe) sformułowanie problemu brzegowego, N + f = 0, ε = u, N = EAε, + warunki brzegowe, np. u x = 0 = u*, N x= L = t*, (W) słabe, wariacyjne (całkowe) sformułowanie problemu brzegowego, δεnds = δu f d s + ( δun ) x= L δεeaε s = w f s + wt* d d, wx () δu() x L L L L, (G) aproksymacja metodą Galerkina metoda residuów ważonych, ux () = N() xq, wx () = N() xδq, εx () = N () xq= B() xq, δεx () = N () xδq= B() xδq, (M) macierzowe sformułowanie równań. Kq = p. Równoważność i odpowiedniość: ( S) ( W) ( G) ( M). ciągły dyskretny Katedra Wytrzymałości Materiałów W01A/53
Metoda Elementów Skończonych Studium magisterskie Dziękuję za uwagę cdn. Katedra Wytrzymałości Materiałów