Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego

Podobne dokumenty
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności).

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

1 Liczby rzeczywiste. 1.1 Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

1 Działania na zbiorach

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 20=3.0, 24=3.5, 28=4.0, 32=4.5, 36=5.0

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Pochodna funkcji odwrotnej

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

CIĄGI wiadomości podstawowe

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Ciągi liczbowe wykład 3

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Przykładowe zadania z teorii liczb

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 42=4.0, 48=4.5, 54=5.0

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1)

Zbiory, relacje i funkcje

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Analiza funkcjonalna 1.

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Zasada indukcji matematycznej

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

Ciągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

Indukcja matematyczna

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 9 Zadania ciągi

Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

WZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO

Algebra abstrakcyjna

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Granice ciągów liczbowych

Indukcja matematyczna

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Algebra Boole a i jej zastosowania

Podstawowe struktury algebraiczne

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

1 Funkcje i ich granice

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Zagadnienia stacjonarne

Transkrypt:

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum częściowych Stwierdzenie Szereg o wyrazach dodatnich jest albo zbieżny, albo rozbieżny do. Twierdzenie (kryterium porównawcze) Można je wyrażać w różnych wersjach; tu jest jedna z nich Jeśli dla wszystkich zachodzi i jeśli szereg jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg. Przy tym zachodzi Oznaczmy sumy częściowe szeregów i jako i : Mamy oczywiście ciągów monotonicznych). Mamy też: (przypomnijmy sobie odpowiednie twierdzenia o granicach Z nierówności tej wnioskujemy, że ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony, a więc szereg jest zbieżny. Z drugiej strony, wynika stąd nierówność. Bo jak pamiętamy, dla ciągów było: Jeżeli dla ciągu { } każdego zachodzi:, to.

Kryterium powyższe jest ogólne i sukces w jego stosowaniu do jakiegoś szeregu zależy od tego, czy znajdziemy taki szereg zbieżny, który szacuje od góry. Pokażemy zbieżność szeregu Uczynimy to przez porównanie go z szeregiem: mamy: czyli granica sum częściowych szeregu (2) jest:. Na mocy kryterium porównawczego, szereg jest zbieżny [1]. Biorąc do porównywania w kryterium porównawczym szereg geometryczny, otrzymujemy następujące dwa kryteria. Twierdzenie (kryterium d'alemberta) Szereg o wyrazach dodatnich, spełniający warunek jest zbieżny. Weźmy takie, aby były spełniona nierówności:. Istnieje więc takie, że dla mamy, czyli. Tak więc szereg ma składniki odpowiednio nie większe od składników szeregu geometrycznego. Ten szereg geometryczny jest zbieżny, bo. Z kryterium porównawczego jest więc zbieżny

szereg, a co za tym idzie i szereg. Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego) Szereg o wyrazach dodatnich, spełniający warunek jest zbieżny. Podobnie jak w kryterium d'alemberta, istnieje takie i takie, że dla zachodzi, a to jest równoważne nierówności. Porównując teraz szereg z szeregiem geometrycznym, widzimy, że jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny (tzn. ), to zbieżny jest również szereg. Ustaliliśmy więc pewne kryteria zbieżności. Daje się też znaleźć kryteria rozbieżności. Twierdzenie (Kryteria rozbieżności) Jeśli dla szeregu o składnikach dodatnich zachodzi jedna z nierówności to szereg jest rozbieżny. Jeśli ma miejsce pierwsza z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych mamy a to znaczy, że ciąg { } nie jest zbieżny do 0, czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu tak więc szereg jest rozbieżny. Jeśli natomiast spełniona jest druga z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych mamy i znowu ciąg { } nie jest zbieżny do 0.

Szereg: dla jest zbieżny. Mamy: Z kryterium d'alemberta wynika, że szereg (6) jest zbieżny. Kryterium d'alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu harmonicznego ani szeregu (2), bo w obu przypadkach. Szeregi bezwzględnie zbieżne Def. Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg jest zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym. Twierdzenie Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest też zbieżny w zwykłym sensie. Ponadto Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności szeregów, musimy oszacować sumę: i pokazać, że dla dostatecznie dużych i dowolnych dowolnie mała. Mamy: suma ta jest Ostatnia suma powyżej, jako reszta szeregu zbieżnego, dąży do 0, gdy dąży do. Innymi

słowy, dla dowolnego istnieje takie, że, skąd dla każdego. W ten sposób pokazaliśmy zbieżność szeregu granicy, wynika. Ponadto, oznaczając: oraz mamy:, skąd, po przejściu do a to jest dokładnie wzór (7). y 1. Szereg geometryczny, gdzie, jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ jest zbieżny szereg. 2. 3. Szereg jest zbieżny bezwzględnie dla każdego. Jak się niedługo okaże, jego suma jest równa. Szereg anharmoniczny jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg wartości bezwzględnych jego składników to szereg harmoniczny, który jest rozbieżny. (Pozorne) paradoksy z szeregami nieskończonymi Przyjrzymy się teraz zagadnieniu przemienności szeregów nieskończonych. Wiemy, że dodawanie jest przemienne, tzn., co implikuje, że suma skończonej ilości składników jest przemienna, tzn. nie zależy od kolejności składników. Okazuje się, że analogiczna własność ma też miejsce dla szeregów bezwzględnie zbieżnych, natomiast na ogół nie zachodzi dla szeregów zbieżnych warunkowo. Będziemy to pokazywać, ale najsampierw sprecyzujemy, co rozumiemy przez zmianę kolejności składników, gdy ilość tych składników jest nieskończona. Permutacja Przez permutację ciągu liczb naturalnych rozumiemy ciąg liczb naturalnych { } taki, że każda liczba naturalna występuje w ciągu { } dokładnie raz. Jeśli jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to mówimy, że szereg powstał z szeregu przez zmianę porządku jego składników. Twierdzenie Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest przemienny. Inaczej mówiąc, jeśli szereg bezwzględnie zbieżny i jeśli jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to jest

Niech. Ze zbieżności szeregu wynika, że istnieje takie, że Ponieważ ciąg { } zawiera wszystkie liczby naturalne, więc istnieje takie, że wśród liczb występują liczby aż do. Ponieważ zaś każda liczba naturalna występuje dokładnie raz w ciągu { }, to dla każdego mamy. Jeśli więc przy danym ze zbioru skreślimy liczby, to pozostaną w nim wyłącznie liczby większe od (przy tym wszystkie różne). Tak więc, oznaczając i skreślając w różnicy składniki o równych wskaźnikach, otrzymamy w różnicy jedynie składniki o wskaźnikach większych od. Wynika stąd, że skąd mamy: na mocy (9). Ponieważ ta ostatnia nierówność zachodzi dla każdego Uwaga, to zachodzi:, a to oznacza, że spełniona jest teza twierdzenia, tzn. (8). Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe dla dowolnego szeregu zbieżnego. Jako przykład, weźmy szereg anharmoniczny i oznaczymy jego sumę przez (niedługo okaże się, że ), policzmy : w czym rozpoznajemy sumę szeregu anharmonicznego po przestawieniu składników. Tak więc przez

przestawienie składników uzyskaliśmy szereg zbieżny do innej wartości. Okazuje się, że ma miejsce nawet bardziej (pozornie) paradoksalna sytuacja: Twierdzenie (Riemanna) Mając dany szereg zbieżny warunkowo, można przez zmianę porządku jego składników uzyskać szereg rozbieżny lub zbieżny do dowolnej, z góry zadanej granicy (skończonej lub nieskończonej). Bez dowodu. (Dla ciekawych, jest np. w skrypcie P. Urbańskiego, "Analiza", t. 1). Zagadka Widzieliśmy, że energia elektrostatyczna kryształu jednowymiarowego jest równa sumie szeregu anharmonicznego. Czy to znaczy, że ta energia może być dowolna, jeśli przez zmianę kolejności sumowania można uzyskać dowolną wartość? Może więc energia elektrostatyczna jest źle określoną wielkością? Mnożenie szeregów Wiemy, że jeśli pomnożymy dwie skończone sumy, to znów otrzymamy jakąś sumę. Przy szeregach nieskończonych pojawiają się pytania o zbieżność. Poniższe twierdzenie pokazuje, że dla szeregów bezwzględnie zbieżnych szeregi dadzą się pomnożyć, i szereg w wyniku powstały ma taką postać, jakiej oczekujemy. Twierdzenie (Cauchy'ego) Jeżeli szeregi: i są bezwzględnie zbieżne, to również szereg jest bezwzględnie zbieżny. Oznaczmy czyli

Będziemy szacować różnicę Ponieważ szeregi: i są zbieżne, a więc ograniczone, to istnieje taka liczba, że dla każdego zachodzi: Warunek zbieżności szeregu oznacza dokładnie tyle, co warunek zbieżności ciągu { }; zapiszmy warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu { }: Dla każdego istnieje takie, że jeśli, to zachodzi Podobnie dla szeregu mamy W dalszym ciągu weźmy. Na mocy (q11) mamy Oszacujmy teraz pierwszy nawias wykorzystując (13), a drugi wykorzystując (12),pamiętając zarazem, że oraz : Tym samym pokazaliśmy, że nierówność: zachodzi dla każdego. Znaczy to, że. Ponieważ zaś ciągi: { } i { } są zbieżne, więc zachodzi wzór (10)., a to znaczy, że, czyli Pokażemy, że Mamy bowiem:

(przy ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór dwumienny Newtona). Uwaga Twierdzenie o mnożeniu szeregów jest prawdziwe też przy słabszym założeniu, a mianowicie, że jeden z szeregów (tu: ) jest bezwzględnie zbieżny, a drugi(tu: ) jest zbieżny, ale niekoniecznie bezwzględnie. W dowodzie wykorzystywaliśmy bowiem tylko bezwzględną zbieżność szeregu. Jeśli natomiast oba szeregi są warunkowo zbieżne, to szereg może być rozbieżny. Weźmy szeregi i są wówczas zbieżne (z jakiego kryterium?), zaś szereg jest rozbieżny. 1. Zobaczymy później, że suma szeregu (1) jest równa