Mtemtická nlýz II (NMUM102) Mrtin Rmoutil 2. července 2018
Kpitol 1 Hlubší věty o limitním chování funkcí 1.1 L Hospitlovo prvidlo V této první kpitole si dokážeme tk zvné L Hospitlovo prvidlo. To může být užitečným nástrojem při výpočtech některých limit později ho použijeme tké k důkzu Tylorovy věty. Připomeňme si nejprve jednu ze zákldních definicí minulého semestru: Funkce f má v bodě derivci definovnou jko f f(x) f() () = lim. x x V minulém semestru už jsme používli tké druhou derivci, tedy derivci derivce, používli znčení f () := (f ) f (x) f () () = lim. x x Nyní zvedeme prktické znčení i pro všechny osttní derivce (třetí, čtvrtou td.), to pomocí rekurzivní definice. Definice 1. Definujeme nejprve f (0) := f, tedy nultou derivcí funkce f budeme rozumět funkci f smotnou. Nyní předpokládejme, že už je definován n-tá derivce f (n) pro nějké celé číslo n 0. Pk definujeme f (n+1) := ( f (n)), tedy (n + 1)-ní derivce je definován jko derivce n-té derivce. Znčíme tedy npříkld f (2) () druhou derivci funkce f v bodě podobně. Poznmenejme, že nemůžeme vynecht závorku ( psát tk pouze f 2 ()), protože tkto (bez závorek) znčíme druhou mocninu funkce f. Pokud existuje f (n) (), říkáme, že, funkce f má n-tou derivci v bodě, nebo že f je v bodě n-krát diferencovtelná. Nyní se chystáme dokázt tkzvnou Cuchyovu větu o střední hodnotě; jde v podsttě o silnější verzi nám již známé věty Lgrngeovy; proto čtenáři doporučuji si nejprve Lgrngeovu větu připomenout, by si obě věty lépe propojil. Vět 2 (Cuchyov vět o střední hodnotě). Necht jsou funkce f, h spojité n intervlu [, b] necht mjí vlstní derivci n (, b). Nvíc předpokládejme, že x (, b): h (x) 0. 1
Z těchto předpokldů existuje bod ξ (, b) tkový, že pltí Důkz. Doplním později. f(b) f() h(b) h() = f (ξ) h (ξ). Vět 3 (L Hospitlovo prvidlo). Necht f, g jsou funkce, R. Necht je splněn jedn z následujících podmínek. (i) lim x f(x) = lim x g(x) = 0; (ii) lim x g(x) =. Potom následující rovnost pltí, má-li její prvá strn smysl: f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x). Poznámk 4. Čtenář zjisté již ví, že při splnění podmínky (i) hovoříme o L Hospitlovu prvidlu 0 0, ztímco podmínk (ii) odpovídá tomu, co se někdy oznčuje, tedy cokoliv lomeno nekonečnem. Pochopitelně nedělíme dooprvdy nulu nulou, nýbrž pouze funkce, které s k nule limitně blíží. L Hospitlovo prvidlo může v mnoh přípdech výrzným způsobem zjednodušit výpočty limit, může všk tké komplikovt jink vcelku sndnou situci. Čsto je vhodné plikci L Hospitlov prvidl kombinovt s elementárními metodmi výpočtu limit, které známe z prvního semestru. Je tké řd přípdů, kdy limit sice L Hospitlovým prvidlem vyčíslit lze, to dokonce sndno, je to všk proti dobrému vkusu (čsto tkový výpočet předstvuje rgumentci kruhem); npříkld: sin x L H cos x lim = lim = 1. x 0 x x 0 1 Toto je sice korektní plikce, využíváme všk při ní znlost derivce funkce sin, o které počítná limit sm vypovídá (skutečnost, že on limit je rovn 1 znmená přesně to, že derivce sinu v nule je 1). Skoro všechny známé limity se djí tkto vypočítt pomocí L Hospitlov prvidl. Dále je potřeb dát si pozor n to, že ve formulci věty stojí má-li prvá strn smysl. To znmená, že když nám po plikci L Hospitlov prvidl vyjde nesmysl, nemůžeme učinit závěr, že původní limit neexistuje; místo toho se musíme vrátit (minimálně) před poslední plikci věty, která předpokld smysluplnosti prvé strny zhrnuje, pokusit se pokrčovt jink. A ještě jedno vrování: Neplet te si L Hospitlovo prvidlo, kde derivujeme čittele jmenovtele zvlášt, s derivcí podílu: f(x) lim x g(x) L H f (x) = lim x g (x) le ( f g ) = f g fg g 2. Příkld 5. Následující limit je typu 0 0, můžeme tedy zkusit plikovt L Hospitlovo prvidlo ( skutečně dojdeme k výsledku): sin x x lim x 0 x 3 L H cos x 1 = lim x 0 3x 2 = 1 6. 2
Dlší příkld je sndné spočítt elementární metodou vytknutí převládjícího členu (x) plikcí fktu nulová omezená = nulová ; výsledek je 1. Limit je nvíc typu, tkže můžeme tké zkusit plikovt L Hospitlovo prvidlo; limit n prvé strně všk neexistuje, jk je sndno vidět: x + sin x L H 1 + cos x lim = lim. x x x 1 Limit nlevo tedy existuje (je rovn jedné) limit nprvo neexistuje. Rovnost oznčená L H tk přece jen nepltí; důvodem je, že její prvá strn nemá smysl. Známé limity typu 0 0 je nesmysl odvozovt použitím L Hospitlov prvidl jk už bylo poznmenáno výše. Nicméně n následující limity (které jsou v podsttě součástí nší srovnávcí škály ) je to nástroj vhodný: x k lim x e x L H = lim kx k 1 x e x lim x log x = 0. x 0 + L H L H k! =... = lim x e x = 0, Přitom druhá z obou limit není ve tvru zlomku, dá se všk n zlomek stndrdním trikem převést viz následující odstvec. Dlší neurčité výrzy L H: Problemtické limity osttních neurčitých výrzů (tj., 0, 1, 0 0 ) lze jednoduchými triky převést n výrzy, n které už L Hospitlovo prvidlo plikovt lze; zd to povede k výsledku je ovšem otázk jiná. Npříkld máme-li zdáno spočítt limitu ve tvru lim x c f(x)g(x), kde lim x c f(x) = 1 lim x c g(x) = (jde tedy o typ 1 ), použijeme nejprve definici obecné mocniny f(x) g(x) g(x) log(f(x)) = e pk počítáme limitu exponentu, tedy limitu funkce g(x) log(f(x)); t je už typu 0, protože f(x) 1, funkce log je v bodě 1 spojitá jest log 1 = 0 (používáme tedy Větu o limitě složené funkce se spojitou vnější funkcí), dále ji uprvíme tkto: poslední výrz je typu 0 0 přípd: Důkz Věty 3. Doplním později. g(x) log(f(x)) = log(f(x)) 1/g(x) ; můžeme se tedy pokusit plikovt L Hospitlovo prvidlo pro tento log(f(x)) lim x c 1/g(x) L H f (x)/f(x) = lim x c g (x)/g 2 (x) = td. 1.2 Asymptotické srovnávání funkcí (symbol mlé o ) V této části zvedeme důležité znčení, s jehož pomocí budeme pohodlně porovnávt rychlost růstu nebo poklesu funkcí. V jistém smyslu dáme formální smysl vyjádřením typu v čitteli je ten ten člen převládjící nebo osttní členy jsou znedbtelné td. Toho využijeme hned v části následující o Tylorově polynomu. Zčneme definicí. 3
Definice 6 (Symboly o,, O). Necht f, g jsou funkce, R. Následují definice význmů tří různých zápisů (symbolů): (i) f(x) = o(g(x)), x def. f(x) lim x g(x) = 0; (ii) f(x) g(x), x (iii) f(x) = O(g(x)), x def. def. lim x f(x) g(x) = 1; K > 0 δ > 0 x P (, δ): f(x) g(x) K. Všimněte si role bodu ; npříkld v definici (i) máme n prvé strně definující ekvivlence f(x) limitu lim x g(x) ; informce o tom, ve kterém bodě se limit uvžuje, se tedy musí objevit v definovném symbolu. Proto tedy nepíšeme pouze f(x) = o(g(x)) přidáváme tké ono x. Příkld 7. Následující fkty si můžete ověřit jko sndná cvičení. Ve skutečnosti nejde o nic jiného, než pochopit, co dný symbol znmená (tj. podívt se n Definici 6); limit, kterou je potřeb spočítt je pk obvykle triviální. Nejprve několik příkldů se symbolem o ; třeb první bod interpretujeme tk, že log x je v nekonečnu (máme totiž x ) mnohem menší než x (resp. tk, že v nekonečnu je z těch dvou funkcí x převládjící člen ). log x = o(x), x ; x 2 = o(x 3 ), x ; x 3 = o(x 2 ), x 0; x 666 = o(e x ), x ; (x 1) 4 = o((x 1) 3 ), x 1; x = o(1), x 0. Symbol interpretujeme tk, že se srovnávné funkce chovjí n okolí dného bodu stejně. Totiž: podle definice f(x) g(x), x nstává, pokud lim x f(x)/g(x) = 1, což znmená, že blízko bodu zhrub pltí rovnost f(x)/g(x). = 1, tj. f(x). = g(x). Jko sndné cvičení si můžete dokázt, že relce je symetrická v tom smyslu, že f(x) g(x), x g(x) f(x), x, což je vlstnost, kterou symbol o pochopitelně nemá (dokonce pltí, že je relce ekvivlence, tj. je reflexivní, symetrická trnzitivní všechny tři vlstnosti jsou sndné cvičení). Následující příkldy použití symbolu jsou (ž n poslední z nich) jiné formulce známých limit pro sin, cos log: sin x x, x 0; 1 cos x x2 2, x 0; log x x 1, x 1; rctg x π 2, x. Symbol O ( velké O ) je pro nás méně užitečný uvádíme ho hlvně pro úplnost. Neformálně řečeno f(x) = O(g(x)), x znmená, že funkce f není n okolí bodu o mnoho větší než g. A to v tom smyslu, že může být klidně i tisíckrát větší (pk by v definici postčil konstnt K = 1001), le není nekonečně-krát větší, tkže poměr mezi oběm funkcemi zůstne δ-blízko bodu omezený pevnou konstntou K. 4
Úmluv 8. Vyjádření f(x) = o(g(x)), x je pro nás v tento okmžik nedělitelný symbol, jehož význm je dán Definicí 6. Je le velmi prktické symbolu mlé o využívt i jink, ve složitějších výrzech rovnostech, nebo i v limitách. Podívejme se nejprve n následující zápis f(x) = x 2 + o(x 7 ), x 0, (1.1) který v tento moment nemáme definovný; existuje jediná rozumná interpretce (které se odted budeme držet), to f(x) x 2 = o(x 7 ), x 0, což má Definicí 6 jednoznčně dný význm: f(x) x 2 lim x 0 x 7 = 0. To je le poněkud nesndné n pochopení. Ekvivlentní čsto srozumitelnější je rovnost (1.1) chápt tk, že funkce f je součtem x 2 nějké dlší funkce, která je n okolí nuly znedbtelná v porovnání s x 7 ; oznčíme ji ϕ(x) rovnost (1.1) tedy interpretujeme tkto: f(x) = x 2 + ϕ(x), kde ϕ(x) = o(x 7 ), x 0. (1.2) Nyní by mělo být ptrné, jk bychom interpretovli výskyt symbolu o v jiných rovnostech: zkrátk bychom si místo něj předstvovli nějkou funkci ϕ, která je mlá ve specifikovném smyslu (třeb v rovnici (1.2) je mlá vzhledem k x 7 n okolí 0). Dlší typ situce nstává, když se symbol o vyskytne v nějkém výrzu či rovnosti víckrát. Nejspíš pro vás nebude problém dát rozumný význm rovnici f(x) = x + o(x2 ) x 3 + o(e x 2 ), x 0 : (1.3) Symbol o se sice vyskytuje dvkrát, jeho prmetry se všk liší (v jednom výskytu máme x 2, ve druhém e x 2 ), tedy je přirozené kždý z obou symbolů o interpretovt jko jinou mlou funkci, tedy o(x 2 ) chápt jko ϕ(x) o(e x 2 ) jko ψ(x), kde Rovnici (1.3) pk chápeme tkto: ϕ(x) = o(x 2 ), x 0 dále ψ(x) = o(e x 2 ), x 0. f(x) = x + ϕ(x) x 3 + ψ(x). Přípd, kdy obě mlá o mjí různé prmetry (v tomto příkldě x 2 e x 2 ), je tedy jsný. Je le potřeb si uvědomit, jk to bude fungovt, bude-li rovnice vypdt tkto: f(x) = x + o(x2 ) x 3 + o(x 2 ), x 0. V tomto přípdě máme dvojí výskyt o(x 2 ), le kždý z nich může reprezentovt jinou funkci znedbtelnou blízko 0 vzhledem k x 2. Tedy o(x 2 ) v čitteli (resp. ve jmenovteli) chápeme jko funkci ϕ (resp. ψ), kde ϕ(x) = o(x 2 ), x 0 dále ψ(x) = o(x 2 ), x 0 5
kde ϕ ψ můžou (le nemusí) být různé funkce. Konečně se musíme tké domluvit, jkým způsobem budeme interpretovt situce, kdy se symbol o vyskytne v nějké limitě. Protože symbol pro limitu obshuje informci o tom, ke kterému bodu se blíží proměnná ( x pod.), nemusíme to už znovu opisovt z o(...). Npříkld (x 7) 2 + o((x 7) 2 ) lim x 7 (x 7) 2 = ( ) má jsný význm, když si místo o((x 7) 2 ) předstvujeme funkci ϕ(x) splňující ϕ(x) = o((x 7) 2 ), x 7, (1.4) kde x 7 jsme vzli zpod symbolu limity. Výpočet pk proběhne následovně: ( ( ) = lim 1 + o((x 7)2 ) ) o((x 7) 2 ) x 7 (x 7) 2 = 1 + lim x 7 (x 7) 2 = 1 + 0. Poslední limit je nulová přesně podle definice symbolu o, resp. podle jeho výše uvedené interpretce uvnitř limity podle (1.4) totiž máme o((x 7) 2 ) ϕ(x) lim x 7 (x 7) 2 = lim x 7 (x 7) 2 = 0. Poznámk 9. Při použití symbolů o,, O nesmíme zpomenout udt, ke kterému bodu se blíží x (tj. nevynecht ono x ). Bez této informce symboly postrádjí smysl rovnice je obshující postrádá jkoukoliv informční hodnotu. Je totiž potřeb si uvědomit, že i když rovnost (1.1) (resp. rovnost (1.2)) vypdá jko celkem běžná definice nějké funkce f (prostě f se rovná x 2 + něco mlého ), ve skutečnosti nám o funkci ϕ (tedy o tom mlém zbytku ) poskytuje informci pouze blízko bodu 0. Nikde jinde nevíme vlstně nic dokonce nevíme ni, jk blízko u bodu 0 vůbec něco víme. Jinými slovy řečeno, význm rovnice (1.1) je úzce spjt s bodem 0; z perspektivy bodu 0 se n celou věc díváme. (A je snd kždému zřejmé, že kdyby v rovnici bylo npsáno x, uvžovli bychom místo 0.) Příkld 10. Porovnejme chování výrzu x 3 + x 2 + sin x blízko blízko 0: x 3 + x 2 + sin x = x 3 + o(x 3 ), x. Skutečně, tvrzení je ekvivlentní rovnosti x 2 + sin x = o(x 3 ), x, což je sndné ověřit (x 3 je převládjící člen td.). Nproti tomu: x 3 + x 2 + sin x = sin x + o(x), x 0. Zde tedy tvrdíme, že x 3 + x 2 = o(x), x 0, což je opět triviální z definice (ověřte). N tomto příkldě znovu vidíme to, co by nám už mělo být intuitivně jsné ze zkušeností s limitmi prvního semestru, totiž že v bude převládjící člen ten s nejvyšší mocninou, ztímco v 0 nopk ten s mocninou nejmenší. V tomto příkldě nvíc máme sin x, který se le u nuly chová jko x (jk víme, sin x x, x 0, tedy tm hrje roli převládjícího členu. Obě pozorování se djí tky otočit neformálně vyjádřit tkto: 1. Blízko nekonečn: Čím menší mocnin, tím znedbtelnější člen; 2. Blízko nuly: Čím větší mocnin, tím znedbtelnější člen. 6
Příkld 11. Dále si můžeme všimnout že pltí i následující (oproti předchozímu zde n prvé strně rovnice nhrdíme sin x funkcí x): x 3 + x 2 + sin x = x + o(x), x 0. (1.5) To je dáno tím, že funkce sin x se n okolí nuly chová jko x ; formálně: sin x x, x 0 (tj. známá limit pro sin). Rovnost (1.5) znmená, že x 3 + x 2 + sin x x = o(x), x 0, neboli x 3 + x 2 + sin x x lim = 0, x 0 x což je rovnost, o které se čtenář sám, rád, bude muset přesvědčit. Uvědomme si tké, že není důležitý bod 0 sám o sobě; podsttné je zde pouze to, že jde (n rozdíl od ) o bod vlstní. Posunutím celého příkldu do jiného (vlstního) bodu R dostneme nlogickou situci. Jestliže npříkld máme, že f(x) = o(x n ), x 0, pk tké pltí f(x ) = o ( (x ) n), x. To je okmžitě vidět, pokud si ob výroky rozepíšete podle jejich definice (zkrátk jde jen o limitu posunuté funkce v příslušně posunutém bodě). Čtenář by se měl ujistit, že porozuměl obshu posledního odstvce, je v něm totiž část podstty věci. Npříkld rovnice (1.5) nám říká, že jistá funkce je n okolí nuly velmi mlá ve srovnání s funkcí x. Říká nám to vlstně, že on funkce se k horizontální ose přimyká těsněji než přímk y = x. Kdybychom všk npsli výrok jko f(x) = o(x), x 1337 (tedy ne v nule), podobný závěr se učinit nedá: tto rovnost nám pouze říká, že funkce f je n okolí bodu 1337 mnohem menší než x; t je všk n okolí tohoto bodu velmi velká, tedy jsme se nedozvěděli mnoho (rozhodně nic o míře těsnosti, s jkou se v tom bodě funkce f přimyká k horizontální ose). Místo toho by bylo potřeb funkci f srovnávt v bodě 1337 s funkcí x 1337 (přípdně nějkou její mocninou), která je v bodě 1337 nulová. Příkld 12. Funkce f(x) = x 2 /1000 je n okolí 0 mnohem (tisíckrát) menší než funkce x 2. Přesto nepltí f(x) = o(x 2 ), x 0, protože f(x) x 2 /1000 lim x 0 x 2 = lim x 0 x 2 = 1 1000 0. Problém je pochopitelně v tom, že funkce f sice je mnohem menší než x 2, le poměr mezi nimi je konstntní, to 1 : 1000. Aby pltil výrok se symbolem o, musí jít poměr mezi oběm funkcemi (v tom správném smyslu) k nule; tj. t menší funkce musí být nejen tisíckrát menší, le n jistém okolí i milionkrát menší n jistém (si ještě menším) okolí milirdkrát menší td. musí zkrátk být v tom bodě nekonečně-krát menší. Příkld 13. Podívejme se nyní n funkci f(x) = x 5. Všimněme si, že pltí: f (x) = 5x 4 ; f (x) = 5 4x 3 ; f (3) (x) = 5 4 3x 2 f 4 (x) = 5 4 3 2x; f (5) (x) = 5!. Funkce f je jednoduchý polynom s jediným kořenem 0, jehož násobnost je 5. Není žádná náhod, že zrovn pátá derivce je první ( poslední) derivce, která je v bodě 0 nenulová. Uvžujme složitější polynom P (x) = x 4 5x 3 +9x 2 7x+2 = (x 1) 3 (x 2). Tento polynom má trojnásobný kořen 1 jednonásobný kořen 2 (jk je ptrné z jeho rozkldu n kořenové činitele). Smi se výpočtem přesvědčte, že třetí derivce je první nenulová derivce P v bodě 7
1 (tj. P (1) = 0, P (1) = 0, P (1) = 0, P (3) (1) 0) první derivce je nenulová v bodě 2 (tedy P (2) = 0 P (2) 0). Opět tedy vidíme korespondenci mezi pořdím první nenulové derivce násobností kořenů. Později (vybveni zkušenostmi s Tylorovým polynomem) se můžete pokusit dokázt, že toto chování není náhodné; známe-li kořen nějkého polynomu, můžeme sndno určit jeho násobnost tím, že polynom derivujeme podíváme se, kolikátá je nejnižší nenulová derivce v tom bodě. Příkld 14. Necht má funkce f v bodě R vlstní derivci. Položme T (x) = f()+f ()(x ); pk grf této lineární funkce (proměnná je x, vše osttní jsou konstnty) je tečn ke grfu f v bodě (, f()). Dokžte, že pltí f(x) T (x) = o(x ), x. Řešení spočívá v tom, že si tvrzení přepíšeme podle definice symbolu o(x ), x vzniklou limitu vypočítáme měl by vyjít nul tím budeme hotovi. Interpretce: Jk máme tento výsledek chápt? Rozdíl f(x) T (x) je n okolí bodu velmi mlý, to v přesně dném smyslu. Více světl všk n tento fkt vrhne jednoduché pozorování, že T je jediná funkce s touto vlstností; žádná jiná lineární funkce tuto vlstnost nemá (o tom se můžete sndno přesvědčit vypočítáním příslušné limity pro L(x) = x + b místo T ). Jinými slovy tedy vidíme, že tečn proximuje chování funkce n okolí tečného bodu ze všech přímek (tedy polynomů stupně nejvýše 1) nejlépe. V následující sekci (o Tylorově polynomu) se budeme snžit njít nejlepší možnou proximci funkce pomocí polynomu dného stupně vyššího než 1. Poznámk (K Příkldu 14). S tečnou ke grfu funkce souvisí tké pojem diferenciálu: T (x) = f ()(x ) + f() = f ()x +f() f () }{{} Tto část se nzývá diferenciál f v bodě. Přesná definice diferenciálu pro nás zčne být zjímvá teprve v souvislosti s funkcemi více proměnných; v nší situci by nešlo o nic jiného, než jiné (le ekvivlentní) pojetí pojmu vlstní derivce funkce v bodě. Poznmenejme nicméně, že pltí následující související tvrzení, které si můžete dokázt jko sndné cvičení: Tvrzení. Následující výroky jsou ekvivlentní: (i) Existuje lineární funkce T (přímk) splňující (ii) Existuje derivce f () R. f(x) T (x) = o(x ), x. Jinými slovy, dobře proximující přímk (ve smyslu o(x ), x ) existuje právě tehdy, existuje-li v onom bodě vlstní derivce f. Jedn implikce tedy říká, že neexistuje-li vlstní derivce f (), nedá se rozumně definovt tečn. 1.3 Tylorův polynom Náš zákldní cíl v této sekci bude následující: Budiž dán funkce f, která má n okolí nějkého bodu R vlstní derivce ž do řádu n. Chceme njít polynom P stupně nejvýše n tkový, že f(x) P (x) = o ( (x ) n), x. 8
Zčneme lemmtem, které nám dá velmi podsttnou nápovědu, jk toho dosáhnout. V následujícím bude vždy n N, f funkce, R. Lemm 15. Jestliže f() = f () =... = f (n) () = 0, pk f(x) = o ( (x ) n), x. Důkz. Doplním později. Jde o opkovnou plikci L Hospitlov prvidl. Lemm 16. Necht P je polynom stupně nejvýše n. Jestliže lim x P (x) (x ) n = 0, pk P je nulový polynom (tj. nulová konstntní funkce). Vět 17 (Tylorov vět s Penovým tvrem zbytku). Necht existuje f (n) () R (tedy n-tá derivce je vlstní). Pk existuje právě jeden polynom T n stupně nejvýše n tkový, že Konkrétně jde o polynom T n (x) = f() + f () 1! Důkz. Doplním později. f(x) T n (x) = o ( (x ) n), x. (1.6) (x ) + f () 2! (x ) 2 +... + f (n) () (x ) n. (1.7) n! Definice 18. Polynom T n z Věty 17 nzýváme Tylorův polynom n-tého řádu funkce f v bodě. Chceme-li znčením zdůrznit, že jde o Tylorův polynom funkce f v bodě, můžeme použít znčení Tn f, (x) = T n (x). Dále definujeme zbytek n-tého řádu funkce f v bodě jko (Zpsáno stručněji bez proměnné: R n = R f, n R n (x) = Rn f, (x) = f(x) Tn f, (x), x D f. = f T f, n.) Poznámk 19. Podobně jko u symboliky mlého o i zde je potřeb brát v úvhu, v jkém bodě R Tylorův polynom máme. V tomto přípdě je to všk jednodušší n pochopení: Tk jko tečnu ke grfu funkce máme vždy v nějkém pevném (tečném) bodě, tk i Tylorův polynom funkci bude nejlépe proximovt právě n okolí jistého bodu. Npříkld pro n = 2 (tedy máme-li Tylorův polynom druhého řádu), lze Tn f, interpretovt jko tečnou prbolu k funkci f v bodě (pokud f () = 0, jde ovšem o přímku), která má v dném bodě nejen stejný směr (první derivce), le i stejnou míru konvexity/konkávnosti (resp. křivosti; druhá derivce). Poznmenejme tké, že Vět 17 se dá reformulovt následujícím způsobem, který využívá výše zvedeného znčení zbytku; vět pk přímo říká, že zbytek je v nějkém velmi silném smyslu mlý (existenční kvntifikátor optřený vykřičníkem! čteme jko existuje právě jeden ): Necht f (n) () R. Pk! polynom T f, n stupně n, že R f, n (x) = o ( (x ) n), x. Konečně tké poznmenejme, že ve Větě 17 nelze tvrdit, že Tylorův polynom n-tého řádu je stupně n; skutečně, rovnice (1.7) definuje polynom nižšího stupně než n v přípdě, že f (n) () = 0 9
( tedy člen s nejvyšší mocninou x je nulový). I v tomto přípdě všk stále pltí, že Tn f, poskytuje proximci n-tého řádu ve smyslu rovnice (1.6). Proto je potřeb rozlišovt mezi stupněm řádem: Pltí, že řád Tn f, je právě n, ztímco stupeň tohoto polynomu je nejvýše n (což je jsné, protože všechny závorky tvru (x ) k, které se v jeho definici vyskytují, můžeme roznásobit uvědomit si, že jsme nikde nemohli dostt vyšší než n-tou mocninu x). Vět 20 (Tylorov vět s Lgrngeovým tvrem zbytku). Necht n N, x, R, x. Budiž f funkce, jež má derivce ž do řádu n + 1 n uzvřeném intervlu J s krjními body x,. Pk existuje ξ J \ {x, } tkové, že kde (podle Definice 18) R f, n f(x) = f() + f () 1! Poznámk. Rn f, (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x )n+1, = f Tn f,. Podrobněji zpsáno, pro ξ pltí: (x ) + f () 2! (x ) 2 +... + f (n) () n! (x ) n + f (n+1) (ξ) (x )n+1. (n + 1)! }{{} Lgrngeův tvr zbytku Všimněte si, že se Lgrngeův tvr zbytku Rn f, (x) sndno pmtuje, protože vypdá téměř stejně jko by vypdl následující člen Tylorov polynomu; jediný rozdíl je, že místo čísl doszujeme do f (n+1) číslo ξ. Číslo ξ většinou neznáme přesně, víme le, že se nchází (ostře) mezi x,. To nám čsto dává nástroj, s jehož pomocí dovedeme odhdnout velikost chyby, které se dopouštíme, když funkci nhrdíme jejím Tylorovým polynomem. Pro = 0 čsto hovoříme místo o Tylorově polynomu funkce f v bodě 0 prostě o Mclurinově polynomu (už neupřesňujeme v jkém bodě; Mclurinův polynom je vždy v 0). Poznámk 21. Následující Tylorovy polynomy povžujeme z známé; jejich odvození spočívá v přímém doszení do Definice 18. Čtenář by si měl uvědomit, že v kždé z rovností níže jsou součsně přítomny dvě informce: 1) Tvr Tylorov polynomu pro konkrétní funkci (npříkld pro e x v bodě (i)), který plyne přímo z Definice 18. 2) Jistý odhd velikosti zbytku; v tomto přípdě používáme Penův tvr zbytku. Pltnost kždé z rovností je netriviální plyne z Tylorovy věty s Penovým tvrem zbytku (Vět 17). V rovnici (v) jest α R. (i) e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... + xn n! + o(xn ), x 0; (ii) cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2k +... + ( 1)k 6! (2k)! + o(x2k+1 ), x 0; (iii) sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... + ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x2k+2 ), x 0; (iv) log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn +... + ( 1)n+1 4 n + o(xn ), x 0; 10
(v) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x 2 α(α 1)... (α (n 1)) +... + + o(x n ), x 0. 2! n! Pro snzší zpmtování zápis rovnice (v) zvádíme tk zvná zobecněná kombinční čísl pro α R k N vzorcem ( ) ( ) α α(α 1)... (α (n 1)) α = = 1. k n! 0 Všimněte si, že pro přirozené číslo m k se tto definice shoduje s běžnou definicí kombinčního čísl. Využitím tohoto znčení dostává rovnice (v) už sndno zpmtovtelný tvr (1 + x) α = 1 + ( α 1 ) x + ( α 2 ) x 2 +... + ( α n ) x n + o(x n ), x 0. (1.8) Je dobré si všimnout, že tento vzorec velmi připomíná binomickou větu; rozdíl je v tom, že v binomické větě počet členů n prvé strně odpovídá exponentu vlevo, ztímco zde počet členů vprvo nesouvisí s exponentem, nýbrž s řádem Tylorov polynomu, který uvžujeme; zde jde o Tylorův polynom řádu n, tkže máme n + 1 členů. Ve skutečnosti se binomická vět dá pomocí tohoto Tylorov polynomu dokázt, jk si ukážeme níže (viz níže Poznámku 25). 1.3.1 Několik postřehů příkldů o polynomech obecně Úmluv 22. Striktně vzto bychom měli rozlišovt mezi polynomem, tedy formálním lgebrickým výrzem, který má smysl nd různými lgebrickými tělesy, polynomiální funkcí, tedy funkcí R do R (přípdně C do C), která je tím lgebrickým výrzem definován. O polynomech se dá dokázt řd lgebrických tvrzení i bez toho, bychom je chápli jko funkce. My se všk n polynomy díváme z pohledu nlýzy rovnou jko n polynomiální funkce využíváme všechno možné, tedy npříkld i strukturu reálných čísel. Dohodněme se tedy, že v dlším textu nebudeme polynom polynomiální funkci příliš důsledně rozlišovt; to si můžeme dovolit proto, že v nšem kontextu pltí jednoznčná korespondence mezi polynomy polynomiálními funkcemi, což je obshem odstvce (A) níže. Poznmenejme, že pozorování (A) o polynomech, závisí podsttným způsobem n struktuře reálných čísel (viz poznámku pod ním). Dlším příkldem je třeb Tvrzení P níže, které v čisté lgebře nemá místo, nebot se v něm používá pojmu derivce, tedy věci vlstní mtemtické nlýze. (A) Mějme dv polynomy stupně nejvýše n: P (x) = c n x n + c n 1 x n 1 +... + c 1 x + c 0, Q(x) = d n x n + d n 1 x n 1 +... + d 1 x + d 0. Potom P = Q c k = d k, k = 1,..., n. Jinými slovy, polynomy jsou si rovny (ve smyslu rovnosti funkcí, tj. x R: P (x) = Q(x)), právě když mjí stejné koeficienty u všech mocnin x. Budeme-li n okmžik opět rozlišovt mezi polynomem polynomiální funkcí, pk toto tvrzení říká, že polynomiální funkce n R jsou shodné (tj. mjí stejné hodnoty ve všech bodech), právě když jsou shodné polynomy tyto funkce definující (tj. mjí stejné koeficienty). 11
Důkz. Implikce ( ) je triviální: funkce zdné stejným předpisem musí mít stejné hodnoty. Opčnou implikci ( ) můžeme dokázt třeb tkto nepřímo (tj. místo implikce A B dokážeme ekvivlentní výrok B A): Necht c k d k pro nějké k; vezměme si největší tkové k. Potom P (x) Q(x) = (c k d k )x k + (c k 1 d k 1 )x k 1 +... + (c 1 d 1 )x + c 0 d 0 je polynom stupně k, protože c k d k 0. Uvžujme limitu lim (P (x) Q(x)) = lim (c k d k )x k + (c k 1 d k 1 )x k 1 +... + (c 1 d 1 )x + c 0 d 0 =... x x Člen (c k d k )x k je převládjící stndrdním postupem (vytknutím tohoto členu) dojdeme k tomu, že limit je rovn, je-li c k d k > 0, je rovn, pokud c k d k < 0. Odtud plyne, že P Q není nulová funkce (má totiž v nekonečnu limitu bud to nebo ), jsme tedy hotovi. Poznámk. Tento důkz možná působí zbytečně složitě, le je velmi jednoduchý: Nejsou-li polynomiální funkce P Q definovány stejným polynomem (tj. stejným vzorečkem, tj. se stejnými koeficienty u všech mocnin x), pk si vezmeme největší mocninu x, u které se koeficienty liší. T bude pro rozdíl P Q v převládjící, tedy ihned dojdeme k tomu, že P Q má v nekonečnu nekonečnou limitu, tedy to není nulová funkce. Jiný důkz by mohl využít přímo Tvrzení P (jko cvičení si rozmyslete, jk (A) z tohoto tvrzení plyne). Uvědomme si ještě jednu zjímvou věc: K důkzu (A) je v kždém přípdě potřeb nějký nástroj mtemtické nlýzy využívjící struktury reálných čísel (limit, derivce...), protože pro jiná lgebrická těles (tedy jiná než R) tento fkt může selht. Npříkld nd tělesem Z 2 (množin {0, 1} s opercemi sčítání násobení mod 2 tj. prostě 1 + 1 = 0) definují polynomy P (x) = 0 Q(x) = x 2 x = x(x 1) tu smou polynomiální funkci Z 2 do R ( sice nulovou; pro P je to jsné, pro Q je to vidět z toho, že ob prvky Z 2 = {0, 1} jsou kořeny toho polynomu), le jsou to přitom různé polynomy (protože mjí jiné koeficienty). Nkonec si ještě jednou přečtěte Úmluvu 22 uvědomte si, že je možná právě díky pltnosti tvrzení (A): pokud by toto tvrzení nepltilo, museli bychom i ndále rozlišovt mezi polynomem polynomiální funkcí, protože by se mohlo stát, že by stejná funkce byl zdán dvěm různými polynomy. (B) Uvžujme npříkld polynom P (x) = 13x 3 + 11x 2 + 7x + 5. Postupné derivování nám dá: P (x) = 13x 3 + 11x 2 + 7x + 5 P (0) = 5; P (x) = 13 3x 2 + 11 2x + 7 1 P (0) = 7 1!; P (x) = 13 3 2x + 11 2 1 P (0) = 11 2!; P (x) = 13 3 2 1 P (0) = 13 3!. Tedy derivujeme-li polynom tolikrát, kolik je jeho stupeň dosdíme-li vždy nulu, dostneme čísl, která mjí úzký vzth ke koeficientům v původním polynomu: Oznčíme-li koeficienty v polynomu P postupně c 0, c 1, c 2 c 3 (tedy P (x) = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 = 13x 3 + 11x 2 + 7x + 5), pk nám vlstně vyšlo: c 0 = P (0), c 1 = P (0), c 2 = P (0), c 3 = P (0). 2! 3! Porovnejte tento výsledek s rovnicí (1.7) definující Tylorův polynom. 12
(C) Jev, který jsme zpozorovli v předchozím bodě, smozřejmě není žádná náhod: stejný postup funguje pro libovolný polynom, což je obshem následujícího tvrzení. Necht P (x) = c n x n + c n 1 x n 1 +... + c 1 x + c 0 je polynom (c k R, k = 1,..., n). Potom c 0 = P (0), c 1 = P (0) 1! Jink řečeno, P se dá psát ve tvru P (x) = P (0) + P (0) 1!, c 2 = P (0) 2! x + P (0) 2!,... c n = P (n) (0). n! x 2 +... + P (n) (0) x n. (1.9) n! (D) Bud P nějká funkce (která má vlstní derivce ž do řádu n v bodě 0). Podle Definice 18 je Tylorův polynom n-tého řádu funkce P v bodě 0 definován předpisem Tn P,0 (x) = P (0) + P (0) x + P (0) x 2 +... + P (n) (0) x n. (1.10) 1! 2! n! Předpokládejme nyní, že P je polynom (polynomiální funkce) stupně nejvýše n. Pk podle tvrzení předchozího bodu pltí rovnost (1.9); v kombinci s rovností (1.10) (která má stejnou prvou strnu) dostneme rovnost levých strn těchto dvou rovnic, tedy následující tvrzení: Tvrzení P. Necht P je polynom stupně nejvýše n. Pk P = T P,0 n. To nám říká toto: Necht P je polynom stupně nejvýše n. Pk P je funkce (viz Úmluvu 22), má tedy smysl hovořit o jejím Tylorově polynomu nějkého řádu, npříkld zrovn n-tého. Tvrzení nám říká, že polynom P stupně nejvýše n je roven svému Tylorovu polynomu řádu n ( smozřejmě i libovolného vyššího řádu). Máme-li tedy npříkld polynom P stupně 100, pk je T P,0 5 (tedy Tylorův polynom funkce P pátého řádu v bodě 0) jistá proximce P n okolí 0, která nám ve většině přípdů poskytne slušnou předstvu o chování P n okolí nuly. Nicméně T P,0 100 (tedy Tylorův polynom řádu 100) je proximce dokonlá, to v tom smyslu, že nstává rovnost P = T P,0 100 n celém R. Odtud je vidět, že bychom mohli zrekonstruovt polynomiální funkci n celém R, stčí nám jen znát všechny derivce v jednom jediném bodě 0. (E) Bud P polynom stupně n, b R. Pk Q(x) := P (x b) (x R) je též polynom stupně n. Jinými slovy posunutí polynomiální funkce dolev nebo doprv je opět polynomiální funkce, to definovná polynomem stejného stupně (pokud b 0, pk ovšem polynomem jiným). Tento fkt lze nhlédnout celkem sndno: Je-li funkce P zdán pro x R předpisem P (x) = c n x n + c n 1 x n 1 +... + c 1 x + c 0 (kde c n 0, protože jde o polynom stupně přesně n), potom Q(x) = c n (x b) n + c n 1 (x b) n 1 +... + c 1 (x b) + c 0, odkud jednoduchým roznásobením (pomocí binomické věty) všech závorek tvru (x b) k přeskupením členů dostneme vyjádření Q(x) = d n x n + d n 1 x n 1 +... + d 1 x + d 0, kde d 0, d 1,..., d n R jsou nějké (možná jiné) koeficienty; je nvíc jsné, že d n = c n 0, tedy stupeň tohoto polynomu je tké n. Příkld: P (x) = x 2 1, Q(x) = P (x 5); pk Q(x) = (x 5) 2 1 = x 2 10x + 25 1 = x 2 10x + 24. Posunutím polynomiální funkce P o 5 doprv tedy dostneme opět polynomiální funkci Q, která odpovídá jinému polynomu, to x 2 10x + 24 (stupeň 2 zůstl zchován, změnily se le koeficienty). 13
(F) Obecně pltí, že polynom P (x) = c n x n + c n 1 x n 1 +... + c 1 x + c 0 se dá pro libovolné R vyjádřit ve tvru P (x) = d n (x ) n + d n 1 (x ) n 1 +... + d 1 (x ) + d 0. Zde se nejedná o posunutí, jko tomu bylo v předchozím bodě, nýbrž o jiné (pokud 0) vyjádření téže funkce. Důkz toho, že je to oprvdu možné, je jednoduchý: Definujme funkci Q(x) := P (x + ). Podle předchozího bodu (kde z b dosdíme ) víme, že Q je tky polynom, to stejného stupně jko P : Q(x) = P (x + ) = Q(x) = d n x n + d n 1 x n 1 +... + d 1 x + d 0. Je le jsné, že když Q(x) = P (x + ), pk P (x) = Q(x ) (x R), tedy dostáváme kýžené vyjádření P (x) = Q(x ) = P (x) = d n (x ) n + d n 1 (x ) n 1 +... + d 1 (x ) + d 0. Tento důkz nám tky dává návod, jk ono vyjádření v prktické situci čistě lgebricky vypočítt. V dlším uvidíme, že existuje i jiný způsob, který využívá metody mtemtické nlýzy. (Viz též Příkld 24.) (G) (Tento odstvec úzce souvisí s odstvcem (C), pouze nyní se posuneme z 0 do bodu.) Bud P polynom stupně n, R mějme vyjádření polynomu P jko v předchozím odstvci, tedy P (x) = d n (x ) n + d n 1 (x ) n 1 +... + d 1 (x ) + d 0. Postupným derivováním tohoto vyjádření dostneme (všimněte si, že nyní musíme z x dosdit místo nuly vždy číslo, čímž se vynulují všechny členy ž n konstntní): P () = d 0 P () = d 1 1! P () = d 2 2!. P (n) () = d n n! d 0 = P (), d 1 = P (), d 2 = P (), 2!. d n = P (n) (). n! (H) Stejně jko v odstvci (D) pro = 0 nyní dostáváme již pro libovolné R tvrzení nlogické Tvrzení P: Tvrzení 23. Necht P je polynom stupně nejvýše n, R. Pk P = T P, n. Tedy ve skutečnosti bod 0 nehrje nijk výjimečnou roli polynom se dá zrekonstruovt ze znlosti všech jeho derivcí v libovolném bodě R. Příkld 24. Chceme polynom P (x) = x 3 + x 2 + x + 1 vyjádřit ve tvru P (x) = d 3 (x 2) 3 + d 2 (x 2) 2 + d 1 (x 2) + d 0 (že to je možné, víme; náš cíl je njít hodnoty koeficientů d 0, d 1, d 2, d 3. Podle 14
Tvrzení 23 stčí njít Tylorův polynom třetího (stupeň P je 3) řádu funkce P v bodě 2, tkže musíme vypočítt derivce ž do řádu 3: Dostáváme tedy, že P (2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 d 0 = P (2) = 15, P (2) = 12 + 4 + 1 = 17 d 1 = P (2) = 17, P (2) = 12 + 2 = 14 d 2 = P (2) = 7, 2! P (3) (2) = 6 d 3 = P (3) (2) = 1. 3! x 3 + x 2 + x + 1 = T P,2 3 (x) = (x 2) 3 + 7(x 2) 2 + 17(x 2) + 15. Poznámk 25 (Odvození Binomické věty z Tylorov polynomu). Binomická vět je následující vzorec, kde n N,, b libovolná čísl: ( + b) n = n + ( ) n n 1 b + 1 ( ) ( ) n n n 2 b 2 +... + b n 1 + b n = 2 n 1 n k=0 ( ) n n k b k. (1.11) k Vytknutím n z obou strn rovnice dostáváme následující vzorec, kde oznčíme x = /b: ( ) ( ) ( ) n n n (1 + x) n = 1 + x + x 2 +... + x n 1 + x n. (1.12) 1 1 n 1 Protože z posledního vzorce lze stejně jednoduše odvodit binomickou větu ve tvru rovnice (1.11) (vynásobením obou strn rovnice číslem n ), můžeme říci, že ob vzorce jsou vzájemně ekvivlentní; tím máme n mysli přesně to, že jeden jde sndno odvodit z druhého. Nyní jednoduše dokážeme vzorec (1.12) ( tedy i binomickou větu (1.11)) pomocí znlosti Tylorov polynomu funkce (1+x) α (viz Poznámku 21 vzorec (1.8)) výše uvedených pozorování o polynomech. Oznčme P (x) = (1 + x) n ; pk P je polynom stupně n. Podle Tvrzení 23 jest tedy T P,0 n = P. Podle (1.8) (kde z α doszujeme n; shodou okolností je tedy řád n uvžovného Tylorov polynomu stejný jko exponent α) dostáváme ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Tn P,0 = 1 + x + x 2 +... + x n 1 + x n. 1 1 n 1 n Spojením posledních dvou rovností dostáváme (1.12). Uvědomme si, že tento důkz je typický příkld použití knónu n vrbce : Používáme silné hluboké teorie Tylorov polynomu n elementární binomickou větu, kterou lze dokázt mnohem jednoduššími způsoby. Tento důkz tedy uvádím hlvně pro ilustrci tky snzší zpmtování obou vzorců, tedy binomické věty smotné, i Tylorov polynomu mocninné funkce (1 + x) α. 15
1.4 Vsuvk o nekonečných řdách Mějme posloupnost reálných čísel { n } n=1 R. Až dosud jsme se při studiu posloupností zbývli zejmén jejich limitou lim n, n tedy hodnotou, ke které se členy posloupnosti s neomezenou přesností blíží. Hovoříme-li o nekonečné řdě čísel, zjímáme se o hodnotu ( existenci) součtu všech čísel n. Jký přesný význm všk dát součtu nekonečně mnoh čísel? Mám-li pouze N čísel 1, 2,..., N, má součet N n = 1 + 2 + 3 +... + N 1 + N n=1 všech těchto čísel jedinou možnou interpretci: Součet dostnu tk, že k 1 přičtu 2, k výsledku dále přičtu 3 tk dále, ž po konečně mnoh krocích dojdu k N jeho přičtením dostnu celkový výsledek. (Díky komuttivitě socitivitě sčítání při tom nezáleží, v jkém pořdí jednotlivá čísl přičítám, stejně jko v smoobsluze nezáleží n tom, v jkém pořdí vám prodvč nmrkuje zboží.) To nám dává nápovědu, jk interpretovt symbol n = 1 + 2 + 3 +... : n=1 Budu prostě přičítt dlší dlší členy posloupnosti { n } n=1 douft, že mezivýsledky (částečné součty), které budu tímto způsobem dostávt, konvergují k nějké limitě; tuto limitu existuje-li pk nzvu součtem nekonečně řdy. Tkto oprvdu součet řdy budeme definovt: Definice 26. Je-li dán posloupnost { n } n=1 R, nekonečnou řdou nzýváme formální symbol místo něhož zvádíme též symbol 1 + 2 + 3 +..., (1.13) n=1 n nebo k=1 k podobně; jkým písmenem oznčujeme index podle něhož se sčítá, n tom nezáleží. Čísl 1, 2,... jsou členy řdy (1.13). Je-li dán nekonečná řd (1.13), definujeme její posloupnost částečných součtů tkto: s 1 = 1, s 2 = 1 + 2, s 3 = 1 + 2 + 3 ; obecně s N = N n. n=1 Existuje-li limit s = lim N s N, (1.14) 16
nzýváme toto číslo s součtem řdy (1.13); píšeme pk 1 + 2 + 3 +... = n = s symbolem (1.13) pk rozumíme nejen řdu smotnou (podobně jko symbolem { n } n=1 rozumíme posloupnost), nýbrž i její součet s. Pokud s R, říkáme že řd (1.13) je konvergentní (má vlstní součet); pokud limit (1.14) neexistuje nebo je nekonečná, říkáme, že řd je divergentní. Poznámk. Všimněte si, že definice počítá nejen s možnostmi konečného i nekonečného součtu (jk bychom si očekávli), le i s možností neexistence jkéhokoliv součtu. Npříkld pro řdu n=1 ( 1) + 1 + ( 1) + 1 + ( 1) +... = 1 + 1 1 + 1 1 +... = jsou částečné součty následující: ( 1) n s 1 = 1, s 2 = 1 + 1 = 0, s 3 = 1 + 1 1 = 1, s 4 = 1 + 1 1 + 1 = 0 td., tvoří tedy posloupnost 0, 1, 0, 1,..., která nemá limitu, součet řdy proto neexistuje. Definice součtu nekonečné řdy je dosti názorná; ještě názornější je všk následující zápis, který pltí v přípdě, že řd má (konečný nebo nekonečný) součet: ( def. n = lim s N def. N = lim n ). N N n=1 V limitě n prvé strně si lze předstvit, že horní mez sumy běží do, tkže sčítáme více více členů řdy sledujeme, k čemu se součty blíží. Příkld. Pro některého zčátečník může být obtížně předstvitelné, že součet nekonečně mnoh čísel je konečný. Následující názorný příkld ukzuje, že skutečně existují konvergentní nekonečné řdy. ( 1 ) n 1 = 2 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +... = 1. n=1 Součet této řdy je skutečně roven jedné, což lze sndno pochopit, když si člověk uvědomí, že přičtením kždého dlšího členu se s hodnotou částečného součtu přiblížíme k hodnotě 1 o polovinu zbývjící vzdálenosti: Zčínáme s s 1 = 1 2 ; vzdálenost od 1 je 1 2 hodnot dlšího členu řdy je 1 4, tedy polovin této vzdálenosti. Ve druhém kroku máme s 2 = 1 2 + 1 4 = 3 4, tkže vzdálenost od 1 je 1 4 hodnot dlšího členu řdy je 1 8, tj. jedn polovin této vzdálenosti. A tk dále. Odtud je jsně vidět, že limit částečných součtů (tj. hodnot součtu řdy) je přesně 1, je to tedy konečné číslo. Nyní si tento výsledek dokážeme ve větší obecnosti přesně (tedy bez zbytečných odkzů n intuici). n=1 n=1 17
Příkld 27. Necht N N q ( 1, 1) \ {0}. Pk pltí rovnost n=0 q n = 1 1 q. (1.15) Tuto řdu nzýváme geometrickou řdou s kvocientem q. Definujeme-li n okmžik 0 0 = 1, pk tto rovnost pltí pro q ( 1, 1). Poznmenejme, že v tomto přípdě n běží od 0 nikoliv od 1. Smozřejmě jde pouze o kosmetickou změnu; díky ní máme o něco elegntnější vzoreček. Důkz. Pltí (dokonce pro libovolné q) následující rovnost (jk si kždý může sndno ověřit roznásobením vznikne teleskopická řd, tj. součet, kde většin členů se odečte): 1 q N+1 = (1 q)(1 + q + q 2 +... + q N ). Odtud 1 + q + q 2 +... + q N = 1 qn+1, tj. 1 q N n=0 q n = 1 qn+1. 1 q Máme tedy vzorec pro N-tý částečný součet řdy n=0 qn dostáváme n=0 q n 1 q N+1 = lim N 1 q = 1 1 q lim ( 1 q N+1 ) = 1 1 (1 0) = N 1 q 1 q. Příkld. 0, 9 = 0, 999... = 1. Skutečně, použitím vzorce odvozeného výše dostáváme 0, 999... = n=1 9 10 n = 9 n=1 ( 1 10) n = 9 ( n=0 ( 1 ) n ) ( 1 1 = 9 10 1 1 10 ) 1 = 1. Je ovšem jsné, že ne všechny nekonečné řdy mjí konečný součet. Třeb řd n=1 n má součet nekonečný (k určení N-tého částečného součtu zde používáme známý Gussův vzoreček, le nebylo by to ni nutné): n=1 N(N + 1) n = lim (1 + 2 +... + N) = lim =. N N 2 Následující příkld ukzuje, že ni řd, jejíž členy konvergují k nule, nemusí být konvergentní (tj. mít konečný součet). Příkld 28. Pltí Důkz. Máme dokázt, že n=1 1 n =. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 +... =. 18
Všimněme si, že první dv členy jsou nejméně tk velké jko 1 2, to jest 1 1 2 1 2 1 2. Všechny dlší členy jsou sice menší než jedn polovin, le následující dv členy jsou ob spoň tk velké jko 1 4, to jest 1 3 1 4 1 4 1 4, tedy součtem těchto dvou členů dostneme 1 3 + 1 4 2 1 4 = 1 2. Podívejme se nyní n členy od 1 5 dále; ty už jsou sice menší než 1 4, le následující 4 členy jsou větší než 1 8, jejich součet proto splňuje 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 4 1 8 = 1 2. Obrázkem: }{{} 1 + 1 + 1 2 1 }{{} 3 + 1 + 1 }{{ 4 } 5 + 1 6 + 1 7 + 1 + 1 }{{ 8 } 9 +... + 1 +... }{{ 16 } 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Vidíme tedy, že 2 N -tý částečný součet je (N + 1) 1 2 (třeb o řádek výše vidíme, že s 2 4 = s 16 (4 + 1) 1 2 ). Odtud plyne (vezměme ještě v úvhu to, že posloupnost částečných součtů je rostoucí, nebot všechny členy nší řdy jsou kldné) pomocí Lemmtu o jednom policjtovi pro posloupnosti, že lim N s N =. Příkld 29. Dále pltí (v druhé řdě sčítáme od n = 0; připomeňme, že 0! definujeme jko 1): n=1 n=0 1 n 2 = π2 6 ; 1 n! = e. Speciálně tedy pltí, že obě řdy jsou konvergentní (zde máme nvíc informci o přesné hodnotě jejich součtu). Důkzy odložíme n později (druhou rovnost dokážeme hned v následující sekci, tu první si všk dokážeme ž v dlším semestru). Nyní se posuneme o krok dál: Nekonečná řd může mít prmetr přesná hodnot součtu potom závisí n něm. S tím už jsme se setkli v přípdě geometrické řdy: roli prmetru tm hrje kvocient q hodnot součtu geometrické řdy n hodnotě tohoto prmetru závisí, jk vidíme v rovnici (1.15). Nhrdíme-li v ní znk q znkem x, který je pro proměnnou obvyklejší, dostneme n=0 x n = 1, x ( 1, 1). 1 x Tto rovnost se tedy dá chápt jko rovnost dvou funkcí roli proměnné hrje prmetr x. N prvé strně rovnosti máme funkci f(x) = 1 1 x n strně levé máme řdu, jejíž hodnot závisí n hodnotě prmetru x. Levá strn rovnice se dá tké chápt jko řd funkcí: L.S. = 1 + x + x 2 + x 3 +..., tj. nekonečný součet funkcí. Protože v tomto přípdě všechny ty funkce jsou tvru x k (1 = x 0 ), tj. mocninné funkce, hovoříme v tomto přípdě o mocninné řdě, kterou můžeme chápt tké jko nekonečný polynom. Uvědomme si, že ž dosud jsme se bvili pouze o řdách čísel (třeb n=1 1 n ), ztímco zde máme řdy funkcí; to le není žádný problém, protože po doszení libovolného konkrétního čísl z x se z řdy funkcí stne řd čísel třeb doszením x = 1 2 do n=0 xn dostneme ( 1 n, n=0 2) 19
tedy řdu čísel. Vidíme tedy nový způsob jk zdt (definovt) nějkou funkci: nekonečnou řdou. Podívejme se třeb n funkci zdnou pomocí mocninné řdy tkto: f(x) = n=0 x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +.... V následující části uvidíme, že pltí f(x) = e x (pro všechn x R). 1.5 Tylorov Mclurinov řd Definice 30. Necht f má v bodě 0 derivce všech řádů (tj. pro všechn n existuje f (n) (0)). Pk Mclurinovou řdou funkce f rozumíme nekonečnou řdu funkcí n=0 f (n) (0) x n. n! Poznámk 31. Mclurinovu řdu funkce f můžeme nzvt též Tylorovou řdou funkce f v bodě 0; obecně lze definovt Tylorovu řdu funkce f v libovolném bodě R, ve kterém má f derivce všech řádů, to stejným vzorcem, ve kterém pouze nhrdíme x n symbolem (x ) n. Vět 32. Necht má funkce f v bodě 0 derivce všech řádů. Pk pro libovolné x R pltí f(x) = n=0 f (n) (0) x n lim n! R N(x) = 0. N Důkz. Doplním později. Jde le o sndné cvičení n definice všech zúčstněných pojmů. Vět 33. (i) x R: e x = n=0 (ii) x R: cos x = (iii) x R: sin x = x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +...; n=0 n=0 (iv) x ( 1, 1]: log(1 + x) = (v) x ( 1, 1): (1 + x) α = x 2n (2n)! = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +...; x 2n+1 (2n + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +...; n=0 ( 1) n=1 n+1 xn ( ) α x n = 1 + αx + n n = x x2 2 + x3 3 x4 4 +...; α(α 1) x 2 + 2! α(α 1)(α 2) x 3 +.... 3! Důkz. První tři body se djí sndno dokázt pomocí Věty 20; pro důkz zbylých dvou tvrzení je zpotřebí znát tkzvný Cuchyův tvr zbytku; protože je tto metod myšlenkově velmi podobná metodě užité k důkzu prvních tří bodů, jen používá trochu jiné triky, přijmeme body (iv) (v) z pltné bez důkzu. 20
Příkld 34. e = e 1 = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... = n=0 1 n!. Číslo e je ircionální. Tento fkt lze dokázt sporem pomocí Lgrngeov tvru zbytku. (Možná doplním později, le nebude to n zkoušce.) Poznámk 35. V následující kpitole budeme prcovt s tzv. primitivními funkcemi. Neformálně řečeno, primitivní funkce je opk derivce (primitivní = původní, tedy původní před derivováním ); přesně řečeno: F je primitivní k f, pokud F = f. Npříkld tedy (sin x) = cos x, což znmená, že sin x je primitivní funkce k funkci cos. Nebo (x 2 ) = 2x, tedy x 2 je primitivní funkce k 2x. Po vydělení dvěmi vidíme, že x2 2 je primitivní funkce k x. Podobně sndno je vidět, že pro libovolné n N je xn+1 n+1 primitivní k xn. Hledání primitivní funkce se někdy nzývá integrování; npříkld integrcí x n dostneme xn+1 n+1. Tohoto pojmu nyní využijeme k následující neformální úvze, která dává návod, jk si zpmtovt (resp. odvodit ) některé Mclurinovy řdy; ztím tuto metodu budeme chápt jko mnemotechnickou pomůcku teprve mnohem později si dokážeme že tkovéto odvození je korektní. Oznčme f(x) = log(1 + x). Potom f (x) = 1 1 + x = 1 (1.15) = 1 ( x) ( x) n = 1 x + x 2 x 3 +..., n=0 kde předposlední rovnost pltí pro x ( 1, 1), tj. pro x ( 1, 1). Až dosud je vše zcel korektní. Nyní všk zintegrujeme (tedy njdeme primitivní funkci) levou i prvou strnu této rovnice, přičemž n prvé strně tk učiníme člen po členu (hovoříme o integrci mocninné řdy člen po členu). A priori není jsné, že rovnost zůstne zchován. Nicméně dostneme f(x) = log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +..., tedy oprvdu dostneme Mclurinovu řdu funkce log(1 + x). Podobným postupem můžeme odvodit ještě Mclurinovu řdu funkce f(x) = rctg x: odkud plyne f (x) = 1 1 + x 2 = 1 (1.15) 1 ( x 2 = ) ( x 2 ) n = 1 x 2 + x 4 x 6 +..., n=0 f(x) = rctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +.... (1.16) Tto rovnost skutečně pltí pro všechn x [ 1, 1], le důkz ztím odložíme. Poznmenejme, že pro x > 1 nebo x < 1 řd n prvé strně rovnosti diverguje (tj. není definován její součet), tkže rovnost pltit nemůže. Ačkoliv je tedy funkce rctg definován n celé přímce R, její Mclurinov řd ji popisuje pouze n intervlu [ 1, 1]. Pro zjímvost si ještě všimněme, že rctg 1 = π 4, tkže rovnost (1.16) pro x = 1 dává návod pro výpočet čísl π: pltí totiž π 4 = rctg 1 (1.16) = 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 11 +.... 21
Tímto způsobem si můžete odhdnout hodnotu π (sečtením nějkého obrovského počtu členů), v prxi se všk tto řd pro výpočet π (resp. π 4 ) nehodí, protože konverguje velmi pomlu, což znmená, že je nutné sečíst obrovské množství členů pro zisk spoň trochu přesného odhdu π. Poznámk 36. Ne kždá funkce, pro niž existují derivce všech řádů, se dá rozumně vyjádřit pomocí Mclurinovy řdy. Definujme funkci f předpisem: {e 1 x f(x) = 2 pro x 0; 0 pro x = 0. Funkce f je zjevně nenulová pro všechn x 0, le má v bodě 0 všechny derivce nulové (to je potřeb dokázt), tedy její Mclurinov řd n=0 0 n! xn je nulová (tj. odpovídá konstntní nulové funkci): Máme zde tedy příkld funkce, která je rovn součtu své Mclurinovy řdy jen pouze v bodě x = 0, čkoliv má tto řd konečný součet (rovný nule) dokonce pro všechn x R. 22
Kpitol 2 Primitivní funkce Definice 37. Bud I R intervl. Řekneme, že F je primitivní funkce k funkci f n intervlu I, jestliže F = f ve všech bodech I; v přípdných krjních bodech máme n mysli odpovídjící jednostrnnou derivci. Poznámk 38. Podle kontextu hovoříme o primitivní funkci čsto jko o neurčitém integrálu. Přesně řečeno se jedná o neurčitý Newtonův integrál; později se setkáme tké s určitým Newtonovým integrálem především s určitým neurčitým Riemnnovým integrálem (viz též Sekci 3.8). Neurčitým integrálem funkce f n intervlu I rozumíme bud to libovolnou primitivní funkci, nebo množinu všech primitivních funkcí. Vzhledem k tomu, že všechny primitivní funkce se liší pouze o ditivní konstntu, je rozdíl mezi těmito dvěm pojetími pouze kosmetický, tedy není důležité to rozlišovt. Znčení 39. Neurčitý integrál funkce f podle proměnné x znčíme symbolem f(x)dx. Tento symbol v sobě neobshuje informci o tom, n jkém intervlu primitivní funkci uvžujeme; nebudeli řečeno jink budeme tím mít n mysli primitivní funkci n libovolném mximálním (tj. tkovém, který už nejde zvětšit) intervlu, kde existuje. Vět 40. (i) Necht F je primitivní funkce k f n intervlu I necht c R je libovolná konstnt. Potom G(x) = F (x) + c je rovněž primitivní k f n intervlu I. (ii) Necht F, G jsou primitivní funkce k f n intervlu I. Potom existuje konstnt c R tková, že F (x) G(x) = c pro všechn x I. Důkz. Důkz prvního bodu je triviální. Dokžme druhý bod. Pltí (F G) (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0, x I. Tedy F G má n I nulovou derivci, tkže je součsně nerostoucí neklesjící. Musí tedy být konstntní. Znčení 41. Předchozí vět nám říká, že známe-li jednu primitivní funkci F, známe už všechny; ty osttní se totiž od F liší o různé ditivní konstnty. Zároveň le vidíme, že existuje-li jedn primitivní funkce, existuje jich už nutně nekonečně mnoho dlších (pro kždou konstntu jedn). Proto symbol f(x)dx nereprezentuje jednu určitou primitivní funkci, nýbrž jejich nekonečné množství; je v něm tedy jistá nejednoznčnost. Abychom se s touto nejednoznčností vypořádli, zvádíme následující nové znčení pro vyjádření fktu, že funkce F je primitivní k funkci f: f(x)dx c = F (x). 23
Mlé c nd rovnítkem připomíná fkt, že primitivní funkce je jednoznčně určen ž n ditivní konstntu. Obvykle ho píšeme pouze nd poslední rovnost, ve které se vyskytuje znk integrálu. Rovnost f c = F znčí tedy totéž jko F = f v obou přípdech tedy můžeme dodt, n jkém intervlu vlstně rovnost pltí. Vyjádření f c = F n (, b) tedy znmená, že pro všechn x (, b) pltí F (x) = f(x). Čsto budeme používt tké znčení f místo f(x)dx. Vět 42. Necht f je spojitá n intervlu I. Pk f má n I primitivní funkci. Důkz. Důkz této klíčové věty odložíme n později; potřebujeme k němu teorii Riemnnov integrálu. Viz Větu 82 Důsledek 83. 2.1 Zákldní metody při hledání primitivní funkce Vět 43. Necht f, g jsou funkce definovné n intervlu I, necht c R. Pk pltí: (i) cf(x)dx = c f(x)dx, má-li prvá strn smysl; (i) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx, má-li prvá strn smysl. Poznámk 44. Jiná formulce poslední věty by mohl být následující: Necht f má n I primitivní funkci F, g má n I primitivní funkci G (tedy P.S. rovnic ve Větě 43 má smysl ). Pk pltí: (i) cf je primitivní funkce k cf n I; (i) F + G je primitivní funkce k f + g n I. Důkz. Po přečtení poslední poznámky už k důkzu věty zbývá poslední mlý krůček. Stčí si uvědomit, že vyjádření F je primitivní k f n I jinými slovy znmená, že F = f n I. Dokzovná vět tedy okmžitě plyne z nám známých fktů o derivci násobku funkce konstntou derivci součtu. Vidíme tedy, že prvidl pro integrci součtu násobku konstntou nejsou ničím jiným než reformulcemi nlogických prvidel pro derivci. Podobná souvislost se okmžitě nbízí i pro složitější prvidl derivování: vzorec pro derivci složené funkce vzorec pro derivci součinu dvou funkcí. V prvním přípdě hovoříme v kontextu integrálů o substituční metodě, ve druhém přípdě hovoříme o prvidlu integrce Per Prtes. Podívejme se nejprve n substituční metody. Ty jsou dvě, protože n rozdíl od (souvisejícího) prvidl pro derivci složené funkce není v přípdě integrálu priori jsné, jestli výpočet probíhá zlev doprv nebo zprv dolev, tedy máme věty dvě (podrobněji viz Poznámku 48). Vět 45 (1. substituční metod). Necht (vnitřní) funkce ϕ: (α, β) (, b) má n (α, β) vlstní derivci. Pltí-li f(y) dy = c F (y) n (, b), potom f(ϕ(x)) ϕ (x) dx c = F (ϕ(x)) n (α, β). 24