Model elektronów swobodnych w metalu Stany elektronu w nieskończonej trójwymiarowej studni potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k Fale stojące - warunki brzegowe znikanie funkcji falowej na brzegach sześciennej kostki L 3 punkty oddalone o π/l w 1/8 przestrzeni k. Fale biegnące periodyczne warunki brzegowe punkty oddalone o π/l w całej przestrzeni wektora falowego k. 1
Elektrony swobodne w metalu temperaturze T=0 K Obsadzone są stany o energii mniejszej od energii Fermiego E F Prawdopodobieństwo obsadzenia stanów Koncentracja elektronów n jest równa polu pod krzywą gęstości stanów dla E<E F W przestrzeni k kula Fermiego zawiera stany obsadzone Koncentracja elektronów swobodnych n, promień kuli o objętości przypadającej na jeden elektron r s wyrażony przez promień Bohra a 0, promień sfery Fermiego k F, prędkość Fermiego v F, energia Fermiego E F, temperatura Fermiego T F 4πr s3 /3=1/(na 03 )
Widmo miękkiego promieniowania rentgenowskiego emitowanego po wybiciu elektronów z powłoki L sodu zakres energii odpowiada energii elektronów przewodnictwa, ostre odcięcie wynika ze spadku obsadzenia stanów powyżej energii Fermiego. Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach Styczna do krzywej w punkcie f(e F )=0,5 przecina oś energii i prostą f(e)=1 w punktach odległych o k B T od E F 3
Ciepło właściwe gazu elektronów swobodnych w metalu Oszacowanie: Wzbudzenia termiczne elektronów w przedziale energii od E f -k B T do E f +k B T Średnio wzrost energii elektronu o k B T Liczba wzbudzonych elektronów nk B T/E f Wzrost energii wewnętrznej U=Nk B T /E f Ciepło właściwe c=d( U)/dT=4Nk B T/E f Wynik obliczeń dokładnych: Ciepło właściwe c=4,93nk B T/E f Wkłady elektronów swobodnych i drgań sieci krystalicznej do ciepła właściwego metalu drgania atomów c(t) = γt + βt 3 elektrony swobodne Wykres c/t w funkcji T dla miedzi Gęstość stanów elektronów dla pasma przewodnictwa metalu przejściowego 4
Przewodność elektryczna metali o różnej koncentracji elektronów walencyjnych 5
Opór elektryczny metali Rozpraszanie elektronów na nieregularnościach kryształu: a) drganiach atomów - fononach, b) defektach i atomach domieszki. Opór elektryczny w niskiej temperaturze dwu próbek potasu o różnej koncentracji domieszek i defektów sieci Kula Fermiego obsadzenie stanów elektronowych w przestrzeni wektora falowego w równowadze w temperaturze 0 K. Przesunięcie kuli Fermiego związane z przepływem prądu w kierunku -x i typowe procesy relaksacji, które przywracają rozkład równowagowy. Stan związany z przewodzeniem ciepła wywołany gradientem temperatury procesy relaksacji z małą zmianą wektora falowego (pędu elektronów). 6
Zależność od temperatury oporu elektrycznego metalu przewodności cieplnej metalu W wysokiej temperaturze rozpraszanie elektronów na fononach. Liczba wzbudzonych fononów jest proporcjonalna do temperatury. Średnia droga swobodna elektronu l jest odwrotnie proporcjonalna do liczby wzbudzonych fononów mevf ρ( T ) = T ne l W niskiej temperaturze rozpraszanie na defektach i domieszkach średnia droga swobodna nie zależy od T, podobnie jak prędkość Fermiego v F. W zakresie wysokich i niskich temperatur przewodność elektryczna σ =ρ -1 i współczynnik przewodzenia ciepła K metalu są powiązane prawem Wiedemanna-Franza: K π kb = σt 3 e =,45 10 8 W Ω K W pośrednim zakresie temperatury prawo to nie obowiązuje, gdyż różne są wtedy czasy relaksacji nierównowagowego rozkładu elektronów wywołanego przepływem prądu i gradientem temperatury. Efekt Halla wyznaczanie znaku i koncentracji nośników 7