Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł n ukłdzie dwu lub więcej cząstek. Zdz się ównieŝ, Ŝe zewnętzne siły mg dziłjące n ukłd nie powodują wzostu enegii kinetycznej ukłdu, zmist tego zwiększją enegię potencjlną ukłdu. Rozptzmy podnoszenie sztngi o msie m n wysokość h. Pc jką wykon człowiek nd sztngą jest ówn mgh. Enegi kinetyczn sztngi pzy tym nie wzośnie poniewŝ Ziemi wykonuje pcę ujemną mgh, tk więc cłkowit P+mg P pc wykonn nd sztngą jest ówn zeu. RozwŜmy tez tę sztngę i plnetę Ziemi (le nie człowiek) jko ukłd cząstek. Zewnętzne siły dziłjące n ukłd Ziemi sztng to: sił P, sił z i sił mg gwitcyjnego pzyciągni Ziemi pzez człowiek jką stopy człowiek dziłją n Ziemię P + mg Rysunek 6-6 wywien pzez dłonie n sztngę (Rysunek 6-6). ( MoŜemy zniedbć siłę gwitcyjną, z jką człowiek dził n sztngę). Sztng pousz się, le Ziemi pozostje nieuchom, tk więc jedyną siłą wywieną n ukłd, któ wykonuje pcę jest sił z jką człowiek dził n sztngę. Cłkowit pc wykonn pzez siły zewnętzne nd ukłdem jest ówn mgh. Pc t jest zmgzynown w postci enegii potencjlnej, któ jest związn z konfigucją ukłdu Ziemi sztng. Rozptzmy inny ukłd skłdjący się ze stzłki i spęŝyny w dziecinnym pistolecie stzłkowym. Ściskmy spęŝynę wsuwjąc stzłkę do pistoletu. Pc, jką my wykonujemy nd ukłdem jest pzechowywn w postci enegii potencjlnej ukłdu stzłk- spęŝyn. Konfigucj ukłdu uległ zminie, poniewŝ spęŝyn zostł ściśnięt. Rysunek 6-7 pzedstwi schemtycznie opisny ukłd. SpęŜyn jest ściśnięt pzez dwie siły F1 i F, któe są ówne, le pzeciwnie skieowne. Zwóćmy uwgę, Ŝe, mimo iŝ kŝd z sił wykonuje dodtnią pcę to wypdkow, zewnętzn sił dziłjąc n ukłd jest ówn zeo. Rysunek 6-7 Siły zchowwcze. h, to pc wykonn mgh, pc wykonn pzez siłę gwitcji wynosi mgh. Kiedy nciz jest wciągny z pomocą wyciągu nciskiego n góę o wysokości pzez wyciąg nd ncizem jest ówn
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 50 Kiedy nciz zjeŝdŝ z góy n dół, pc siły gwitcyjnej jest ówn + mgh i jest niezleŝn od ksztłtu góy. Cłkowit pc wykonn pzez siłę gwitcji podczs uchu z dołu n góę i z powotem wynosi zeo i jest niezleŝn od dogi, jką wybieze nciz. Sił gwitcji jką Ziemi wywie n nciz nzyw się siłą zchowwczą. Siłę nzywmy zchowwczą, jeŝeli cłkowit pc wykonn pzez tę siłę nd cząstką jest ówn zeu gdy cząstk pzebyw dogę po dowolnej kzywej zmkniętej wcjąc do punktu początkowego. Definicj - Sił zchowwcz Z ysunku 6-8 widć, Ŝe t definicj pociąg z sobą inne sfomułownie: Pc wykonn pzez siłę zchowwczą nd cząstką jest niezleŝn od dogi, po któej pousz się cząstk między punktem początkowym i końcowym.. Altentywn definicj Sił zchowwcz. Rozptzmy tez ukłd skłdjący się z nciz i Ziemi jko ukłd dwu cił. Kiedy wyciąg nciski wciąg nciz n szczyt góy, to wykonuje pcę mgh nd ukłdem. T pc jest mgzynown w postci enegii potencjlnej ukłdu. Kiedy nciz zjeŝdŝ do dołu, t enegi potencjln jest pzeksztłcn w enegię kinetyczną. Dog A Dog B Enegi potencjln. Rysunek 6-8 Dwie dogi łączą punkty 1 i. JeŜeli pc wykonn pzez siłę zchowwczą wzdłuŝ dogi A z punktu 1 do wynosiw, wtedy pc n dodze W powotnej wzdłuŝ B musi być ówn, poniewŝ pc n cłej dodze zmkniętej jest ówn zeo. JeŜeli pzebywć dogę B z 1 do, to sił w kŝdym punkcie tou jest tk sm le pzemieszczenie m zwot pzeciwny w stosunku do tego kiedy pzechodzić od do1. W związku z tym pc wzdłuŝ dogi B od 1 do teŝ musi być ówn W. Z tego wynik, Ŝe pc wykonn pzez siłę zchowwczą jest zwsze tk sm n dodze łączącej dw punkty PoniewŜ pc wykonn pzez siłę zchowwczą nie zleŝy od dogi, to moŝe tylko zleŝeć od połoŝeń punktów 1 i. UŜyjemy tej włsności, by zdefiniowć enegię potencjlną jko funkcję U powiązną z siłą zchowwczą. Zwóćmy uwgę, Ŝe kiedy nciz zjeŝdŝ ze wzgóz, to pc wykonn pzez siłę gwitcji zmniejsz enegię potencjlną ukłdu. Ogólnie, enegię potencjlną jko funkcję definiujemy w ten sposób, Ŝe pc wykonn pzez siły zchowwcze jest ówn zmniejszeniu enegii potencjlnej: lub W = F ds = U
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 51 s U = U U1 = F ds 6-1 s 1 Definicj enegii potencjlnej. PowyŜszy wzó definiuje enegię potencjlną, dokłdniej pzyost enegii potencjlnej: Pzyost enegii potencjlnej między dwom punktmi jest ówny pcy siły zchowwczej jk zostł wykonn miedzy tymi punktmi. Dl pzyostu nieskończenie młego: F ds = 6-1b Gwitcyjn enegi potencjln w pobliŝu Ziemi. MoŜemy obliczyć funkcję gwitcyjnej enegii potencjlnej w pobliŝu Ziemi kozystjąc z ównni 6-1b. Dl siły F = mgĵ Cłkując otzymmy:, otzymmy: = F ds = ( mgĵ ) ( dî + dyĵ + dzkˆ ) = + mgdy U mgdy = mgy + U = 0 U = U0 + mgy 6- Gwitcyjn enegi potencjln w pobliŝu powiezchni Ziemi. Gdzie U 0 dowolnie wybn stł, któej wtość jest ówn enegii potencjlnej gdy y = 0. PoniewŜ definiuje się tylko zminę enegii potencjlnej zeczywist wtość U nie jest istotn. Mmy pwo wybć dogodny dl ns punkt, w któym moŝemy pzyjąć, Ŝe U jest ówne zeo. N pzykłd, jeŝeli potencjln enegi gwitcyjn ukłdu Ziemi nciz jest wybn w ten sposób, Ŝe jest ówn zeo, gdy nciz jest u podnóŝ góy, jej wtość, gdy nciz znjduje się n wysokości h, wyniesie mgh. MoŜemy ównieŝ wybć zeową wtość enegii potencjlnej, gdy nciz znjduje się n poziomie moz i w tym wypdku wtość enegii potencjlnej w kŝdym innym punkcie będzie ówn mgy, gdzie y jest miezone od poziomu moz. Enegi potencjln spęŝyny.
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 5 Innym pzykłdem siły zchowwczej moŝe być sił powstjąc podczs defomcji spęŝyny. ZłóŜmy, Ŝe ciągniemy klocek pzymocowny do spęŝyny i pzesuwmy go od połoŝeni = 0 (połoŝenie ównowgi) do połoŝeni 1 (Rysunek 6-9). SpęŜyn wykonuje pcę ujemną, poniewŝ sił, z jką dził n klocek jest pzeciwn do pzemieszczeni. JeŜeli nstępnie puścimy klocek, to spęŝyn wykon dodtnią pcę pzyspieszjąc klocek w kieunku jego początkowego połoŝeni. Cłkowit pc wykonn pzez spęŝynę do momentu, gdy klocek osiągnie swoje początkowe połoŝenie jest ówn zeo, bez względu n to jk bdzo ozciągniemy spęŝynę ( zkłdjąc, oczywiście, Ŝe ją nie uszkodzimy). Dltego sił wywien pzez spęŝynę jest siłą zchowwczą. MoŜemy obliczyć enegię potencjlną spęŝyny kozystjąc z ównni 6-1b: i dlej = F ds = F d = ( k )d = + kd U 1 kd = k + U = 0 gdzie U0 jest enegią potencjlną gdy = 0, tzn. gdy spęŝyn nie jest ozciągnięt. Pzyjmując, Ŝe U 0 wynosi zeo otzymmy: 1 U = k 6-3 Enegi potencjln spęŝyny. Kiedy ozciągmy spęŝynę z połoŝeni = 0 do połoŝeni 1, musimy pzyłoŝyć zewnętzną siłę F zew = +k by zównowŝyć siłę spęŝyny. Pc, jką my wykonmy jest wtedy ówn: F zew = k W 1 1 zew = kd = k 1 0 Rysunek 6-9 Aby ozciągnąć spęŝynę nleŝy pzyłoŝyć do klock siłę F zew = + k. Pc t jest zmgzynown w postci enegii potencjlnej ukłdu spęŝyn klocek. Enegi potencjln jest związn z konfigucją ukłdu punktów mteilnych, jednk czsmi mmy do czynieni z ukłdmi tkimi jk Ziemi nciz, w któym tylko jedn cząstk się pousz (uch Ziemi jest
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 53 zniedbywny). Dltego teŝ, dl zwięzłości sfomułowni enegię potencjlną ukłdu Ziemi nciz moŝemy po postu nzywć enegią potencjlną nciz. Siły niezchowwcze. Nie wszystkie siły są zchowwcze. Pzykłdem siły niezchowwczej jest sił tci kinetycznego. ZłóŜmy, Ŝe pchliśmy skzynkę po szostkim stole w ten sposób, Ŝe skzynk ztzymuje się w punkcie ozpoczęci uchu. Sił tci kinetycznego jest zwsze skieown pzeciwnie niŝ kieunek uchu, dltego pc, jką on wykon jest zwsze ujemn i dltego cłkowit pc po cłej dodze nie moŝe być ówn zeo. Enegi potencjln i stn ównowgi w pzypdku jednowymiowym. Ogólnie, dl siły zchowwczej w jednym wymize F = F î ównnie 6-1b pzyjmuje postć: = F ds = F d Dltego teŝ sił t jest ówn ujemnej pochodnej z enegii potencjlnej jko funkcji: F d = 6-4 Tę ogólną zsdę moŝemy zilustowć stosując ją do ukłdu klocek spęŝyn i licząc pochodną funkcji U = 1 k. Otzymmy wtedy: F = d = Rysunek 6-10 pokzuje wykes d d 1 k = k 1 U = k w funkcji dl klock i spęŝyny. Pochodn tej funkcji odpowid gficznie tngensowi kąt nchyleni stycznej do tej kzywej. Tk więc, sił jest ówn nchyleniu kzywej wziętej ze znkiem ujemnym. Dl = 0 sił się w ównowdze. F d = jest ówn zeu i klocek znjduje Punkt mteilny znjduje się w ównowdze, jeŝeli sił wypdkow dziłjąc n niego jest ówn zeo. Wunek ównowgi
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 54 JeŜeli jest dodtnie to nchylenie teŝ jest dodtnie, sił F jest ujemn (Rysunek 6-10). JeŜeli jest ujemne, to nchylenie kzywej teŝ jest ujemne, sił F m wtość dodtnią. W kŝdym z tych pzypdków sił m tki kieunek, Ŝe pzyspiesz klocek w kieunku niŝszej enegii potencjlnej. JeŜeli ztem klocek jest wytącony lekko z = 0, to sił jest skieown zwsze odwotnie w kieunku = 0. Dltego ównowg w = 0 jest nzywn ównowgą stbilną. Rysunek 6-10 Dl ównowgi stbilnej młe pzesunięcie powoduje powstnie siły, któ pzyspiesz punkt mteilny w kieunku połoŝeni ównowgi. Rysunek 6-11 pzedstwi kzywą funkcji enegii potencjlnej, któ posid mksimum w połoŝeniu ównowgi = 0. Tk kzyw moŝe obzowć enegię potencjlną nciz n szczycie góy. Dl tej kzywej jeŝeli jest dodtnie, to nchylenie jest ujemne, wtość siły F dodtni, jeŝeli jest ujemne, to nchylenie jest dodtnie, sił F jest ujemn. Tk jk popzednio kieunek siły jest tki, Ŝe pzyspiesz cząstkę w kieunku niŝszej wtości enegii potencjlnej, le tym zem sił jest zwsze skieown od połoŝeni ównowgi. Mksimum w punkcie = 0 n ysunku 6-11 jest punktem ównowgi chwiejnej. Rysunek 6-11 W połoŝeniu ównowgi chwiejnej niewielkie wychylenie powoduje, Ŝe sił pzyspiesz punkt mteilny w kieunku od połoŝeni ównowgi. Rysunek 6-1 pzedstwi kzywą enegii potencjlnej, któ jest płsk w obszze = 0. śdn sił nie dził n cząstkę w tym obszze i dltego jest on w stnie ównowgi; co więcej młe wytącenie cząstki z połoŝeni ównowgi nie spowoduje podziłni n nią siły. Jest to pzykłd ównowgi neutlnej. Rysunek 6-1
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 55 W połoŝeniu ównowgi neutlnej młe wychylenie nie wywołuje powstni siły i punkt mteilny pozostje w ównowdze. P R Z K Ł A D Sił dziłjąc między dwom tommi w cząsteczce dwutomowej moŝe być w pzybliŝeniu opisn funkcją enegii potencjlnej w postci: U = U 0 1 6 gdzie U 0 i są stłymi ( ysunek 6-13). () Dl jkiej wtości enegi potencjln jest ówn zeo? (b) Znjdź siłę F. (c) Dl jkiej wtości enegi potencjln osiąg minimum? PokŜ, Ŝe U min = U 0. Rysunek 6-13 () Podstw U = 0 i znjdź = 6 (b) Oblicz F = d F 1U = 0 13 7 (c) 1.Podstw F ówną zeu i znjdź =. Zstosuj wynik by znleźć min U Umin = U0