Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl http://www.1pf.if.uj.edu.pl
Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. Samodzielne wykonywanie doświadczeń. O2 C1 C4 E3/E11 F6 F6
Po co jest Pracownia Fizyczna? 2. Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych urządzeń pomiarowych
Po co jest Pracownia Fizyczna? 3. Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów a) Nauka poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych b) Nauka pomiaru zależności fizycznych i ich opisu c) Nauka poprawnej interpretacji i prezentacji wyników Niniejszy wykład stanowi wstęp do tego punktu
Pomiar bezpośredni Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką
Pomiar bezpośredni doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy ze wzorcem) interesującą nas wielkość fizyczną: Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką
Pomiar pośredni doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innej wielkości fizycznej związanej z daną wielkością znanym związkiem funkcyjnym Przykład 1: Pomiar pola powierzchni Przyklad 2: Pomiar częstotliwości kołowej
Pomiar wielkości złożonej doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości fizycznej poprzez pomiar wielu innych wielkości fizycznych Przykład: wyznaczanie szybkości poprzez pomiar drogi i czasu oraz
Niepewność pomiaru [błąd pomiaru] Wszystkie pomiary mogą być wykonywane tylko ze skończoną dokładnością! Powód: niedoskonałość przyrządów pomiarowych nieprecyzyjność naszych zmysłów szumy, zakłócenia Jedyny sensowny zapis wyniku pomiaru (zmierzona wartość ± niepewność pomiarowa) jednostka np: S= (2.20 ± 0.11) mm Niepewność pomiarowa ma taki sam wymiar [jednostkę] jak mierzona wielkość!
Niepewność względna i bezwzględna niepewność bezwzględna niepewność względna niepewność procentowa L=(100±1)mm ; DL/ L =0.01 lub 1%
Niepewności pomiarowe SYSTEMATYCZNE skończona dokładność przyrządów lub człowieka PRZYPADKOWE spowodowane przez wiele niezależnych przyczyn o porównywalnym znaczeniu nieprecyzyjność naszych zmysłów, szumy, zakłócenia symetryczny przypadkowy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej Błędy pomiarowe SYSTEMATYCZNE systematyczna (w przybliżeniu stała) różnica ( w jedną stronę) pomiędzy wartością rzeczywistą a wynikami pomiarów [TRUDNA ELIMINACJA!] GRUBE drastycznie duże odchyłki. Nieumiejętność obsługi, pomyłki przy odczycie lub zapisie [ELIMINACJA!]
Błędy grube t=239s
Błędy systematyczne Przesuwają wynik zawsze w jedną stronę w stosunku do prawdziwej wartości źle skalibrowana linijka
Niepewności systematyczne Istotną rolę odgrywa dokładność przyrządów pomiarowych = najmniejsza działka (w tym przypadku 1mm, 1 o C) Taki zapis oznacza, że prawdziwa wartość prawie na pewno [ z prawdopodobieństwem bliskim 100%] znajdzie się w tym przedziale [niepewność maksymalna]
Niepewności systematyczne przyrządów cyfrowych = specyfikacja urządzenia! to nie jest ostatnia cyfra znacząca!!! Należy przeczytać instrukcję urządzenia! Notujcie typ przyrządów. W Internecie prawie zawsze można znaleźć specyfikację!!!
Niepewności przypadkowe pomiarów bezpośrednich Przykład: pomiar okresu drgań wahadła Dokładny stoper (0.01s) Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.2s
Wyniki kolejnych pomiarów okresu i-ty T pomiar i [s] 1 2.01 2 2.00 3 1.98 4 1.69 5 2.34 6 1.91 7 2.02 8 2.06 9 2.18 10 2.10 11 2.05 12 1.72 13 2.19 14 2.32 15 1.71 16 1.69 17 1.99 18 2.02 19 1.83 20 1.89 Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności
Wynik pomiaru średnia arytmetyczna wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej [estymatorem wartości oczekiwanej] jest średnia arytmetyczna pomiarów. Ogólnie: - wartość średnia - i-ty pomiar - liczba pomiarów W tym przypadku:
Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej Ostateczny wynik pomiaru:
Niepewność wyniku małe serie pomiarowe Dla małych serii pomiarowych (kilka pomiarów - ok. 6) do oszacowania niepewności bierze się maksymalne odchylenie od średniej [nie oblicza się odchyleń standardowych] wynik maksymalnie odbiegający od średniej Ostateczny wynik pomiaru:
Niepewności pomiarów pośrednich x - wielkość mierzona bezpośrednio (znamy także jej niepewność Dx ) y - wielkość którą chcemy wyznaczyć (wraz z niepewnością Dy) Znamy równanie, które łączy obie wielkości tu liczymy pochodną
Przykład 1 Pomiar pola powierzchni na podstawie zmierzonej średnicy Identyfikujemy nasze zmienne Obliczamy pochodną Zatem:
Przykład 2 Pomiar częstości kołowej na podstawie pomiaru okresu Identyfikujemy nasze zmienne Obliczamy pochodną Zatem:
Niepewność wielkości złożonej x,y - wielkości mierzone bezpośrednio w doświadczeniu (znamy także Dx i Dy ) z - wielkość którą chcemy wyznaczyć (wraz z niepewnością Dz ) Znamy równanie, które te wielkości [ tutaj zależność od dwóch zmiennych] Tutaj liczymy tzw. pochodne cząstkowe. Liczy się je tak samo jak zwykłe pochodne. Wszystkie inne zmienne (oprócz tej po której różniczkujemy) traktujemy jako stałe.
Przykład 1 Mierzona wielkość jest sumą/różnicą dwóch innych wielkości Uwaga: dla różnicy też +!
Przykład 2 Pomiar prędkości na podstawie pomiaru przebytej drogi i czasu Identyfikujemy nasze zmienne Obliczamy pochodne cząstkowe:
Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry. Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. notatki Sprawozdanie g=(9.81±0.22) m/s 2
Zapis niepewności prezentacja Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do 1000. Można używać: przedrostków, [m,m,m, G] itd. lub notacji potęgowej typu 2x10 6, 2x10-6 I=0.00003121 A ± 0.00000012 A I=(31.21 ± 0.12) ma I=(31.21 ± 0.12) x 10-6 A
Porównywanie zmierzonych wielkości porównanie z wielkością tablicową zgodność porównanie dwóch zmierzonych wielkości zgodność
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy?
Jak robić wykresy? źle dobrze
Regresja liniowa Badanie związku między dwoma wielkościami związanymi zależnością liniową pomiary Regresja pozwala sprawdzić czy zależność jest liniowa oraz wyznaczyć parametry a i b Wyniki (kartka lub komputer) Wartości oczekiwane parametrów a oraz b i ich niepewności Współczynnik korelacji [im bliższy 1 tym lepiej]
Regresja liniowa Badanie związku między dwoma wielkościami związanymi zależnością liniową pomiary Regresja pozwala sprawdzić czy zależność jest liniowa oraz wyznaczyć parametry a i b Wyniki (kartka lub komputer) Wartości oczekiwane parametrów a oraz b i ich niepewności Współczynnik korelacji [im bliższy 1 tym lepiej ]
Przykład Mierzymy wydłużenie sprężyny l w zależności od obciążającej ją masy m l x Na tej podstawie wyznaczymy stałą sprężystości sprężyny k Równowaga: siła grawitacji i sprężystości (prawo Hooke a) są równe Identyfikujemy zmienne Robimy regresję. Na podstawie współczynnika a wyznaczamy k. Sprawdzamy czy b jest bliskie zero.
Literatura I Pracownia fizyczna, red. A.Magiera, OWI Kraków 2006 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999