2. Wyra enia algebraiczne

Dzi ni n wielominch ) Porównywnie wielominów: Dw wielominy sà równe wtedy i tylko wtedy, gdy sà tego smego stopni i mjà równe odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. Porównujàc dw wielominy, nle y wi c porównç ich stopnie orz odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. b) Mno enie wielominu przez liczb k! R: k $ P_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez liczb k! R c) Dodwnie wielominów: P_ xi + Q_ xi dodjemy wyrzy podobne d) Odejmownie wielominów: P_ xi - Q_ xi P_ xi + `-Q_ xij do wielominu P_ xidodjemy wielomin Q_ xipomno ony przez liczb k - e) Mno enie wielominów: P_ xi $ Q_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez k dy wyrz wielominu Q_ xi i przeprowdzmy redukcj wyrzów podobnych, n przyk d P_ xi$ Q_ xi b x - x+ l $ _ x+ 7i f) Metody rozk du wielominów n czynniki: () grupownie wyrzów, n przyk d P_ xi x - 7x - 8x + 8, P_ xi bx - 8xl + b- 7x + 8l () wy àcznie wspólnego czynnik przed nwis, n przyk d P_ xi xbx - 4l - 7bx - 4l, P_ xi b x - 4l_ x - 7i () stosownie wzorów skróconego mno eni, n przyk d P_ xi _ x - i_ x + i_ x - 7i (4) dl trójminu kwdrtowego sprowdzenie do postci iloczynowej Wzory skróconego mno eni _! bi! b + b _! bi! b + b! b - b _ - bi_ + bi! b _! bib " b + b l Wyr eni wymierne Dzi ni rytmetyczne n wyr enich wymiernych wykonujemy nlogicznie jk dzi ni n liczbch wymiernych: () dodwnie i odejmownie wyr eƒ wymiernych wykonujemy po sprowdzeniu ich do wspólnego minownik () mno enie wyr eƒ wymiernych poleg n mno eniu przez siebie liczników orz minowników () dzielenie wyr eƒ wymiernych odbyw si poprzez mno enie dzielnej przez odwrotnoêç dzielnik (4) skrcnie wyr eƒ wymiernych poleg n podzieleniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0) () rozszerznie wyr eƒ wymiernych poleg n pomno eniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0). WYRA ENIA ALGEBRAICZNE WYBRANE WZORY

. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zdni rozwiàzne krok po kroku ZADANIA ZAMKNI TE Zdnie Liczb o 0% wi ksz od kwdrtu liczby dodtniej jest równ: A. 0, B. + 0, C. + 0, D., Kwdrt liczby jest równy. 0% kwdrtu liczby to 0% $. Do kwdrtu liczby dodjemy 0% kwdrtu tej liczby. Odpowiedê: D. 0% $ 0 $ 0, 00 + 0% + 0,, Liczb x jest równ odwrotnoêci ró nej od zer liczby y. Wynik stàd, e: A. x y + + y y OdwrotnoÊcià liczby y jest liczb y. x y Zdnie B. xy C. x : y D. x - y x - y Iloczyn liczby ró nej od zer i jej odwrotnoêci jest zwsze równy. x $ y y $ y y y Odpowiedê: B. Zdnie Liczby i b sà dodtnie. Wsk wyr enie, które jest równe. A. - - b 4 bb l 4 - bb l B. - ( b) - bb l C. bb l - - - bk D. - - b b Zuw my, e w wyr eniu zpisnym w punkcie B, niezle nie od dzi ƒ wykonywnych n zmiennych, jednym z pozost ych czynników b dzie u mek. Podobnie w punkcie D pozostnie czynnik. Rozw ymy ztem tylko pozost e dw wyr eni. Przekszt cmy pierwsze z tych wyr eƒ. W minowniku wykonujemy pot gownie pot gi (mno ymy wyk dniki 4 $ ). - - - - - - b 4 bb l b b 4 $ b b 6

Zdni zmkni te Dzielàc pot gi o tych smych podstwch, odejmujemy wyk dniki, podstwy pozostwimy bez zminy. - - b $ $ b b b - - - - - - Rozptrywne wyr enie nie jest szuknym, wi c wrunki zdni powinno spe niç wyr enie z podpunktu C. - Zpisujemy pierwistek bb l w postci pot gi. Pot gujemy - pot gi w liczniku i minowniku. bb l -. Skrcmy u mek przez $ b Wykorzystujemy fkt, e ujemn pot g dnej liczby to dodtni pot g odwrotnoêci tej liczby. Odpowiedê: C. b - - b Zdnie 4 JeÊli liczb nturln m jest wi ksz od 0, to liczb k ( m - )( m + ) + jest: A. z o on B. przyst C. pierwsz D. nieprzyst - : - $ Przekszt cmy dne wyr enie, tk by otrzymç prostszà postç liczby k.. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Stosujemy wzór n ró nic kwdrtów dwóch wyr eƒ: ( - b)( + b) - b i redukujemy wyrzy podobne. wzory skróconego mno eni ptrz rozdzi., s. 4 k ( m - )( m + ) + ( m ) - + m - + m Liczb m jest iloczynem liczby i liczby nturlnej m, ztem jest to liczb przyst (dzieli si przez ). Nie jest to ntomist w k dym przypdku liczb z o on, np. dl m liczb k jest równ. Odpowiedê: B. Zdnie Wiemy, e liczby x i y sà liczbmi ró nymi od zer orz 4xy x. Ztem wyr enie ( x - y) jest równe: A. 4y B. x C. 8xy + 4y D. 0 Stosujemy wzór n kwdrt ró nicy dwóch wyr eƒ ( - b) - b + b, by zpisç wyr enie ( x - y) w postci sumy. ( x - y) ( x) - $ x $ y + _ yi x - 4xy + 4y 7

. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zst pujemy iloczyn 4xy przez wyr enie x (zgodnie z treêcià zdni 4xy x ) i redukujemy wyrzy podobne. Odpowiedê: A. x - 4xy + 4y x - x + 4y 4y Zdnie 6 Wyr enie + b - - bk dl > b > 0 mo n zpisç w postci: A. - b B. ( b - - b ) C. d - - b n D. - b Zpisujemy dne wyr enie w postci sumy, wykorzystujàc wzór skróconego mno eni: _ - bi - b + b. Korzystmy z równoêci x k x (x liczb dodtni). Redukujemy wyrzy podobne i wy àczmy wspólny czynnik przed nwis. + b - - bk + bk - + b $ - b + - bk + b - ( - b)( + b) + - b - - b ( - - b ) Odpowiedê: C. Zdnie 7 Dl x obwód czworokàt LIME jest równy: A. 6 C. B. 7 D. 0 x L x E x+ M I 4x Obliczmy obwód wielokàt, dodjàc d ugoêci jego wszystkich boków. Opuszczmy nwisy i redukujemy wyrzy podobne. Obliczmy wrtoêç liczbowà otrzymnego wyr eni, wstwijàc liczb w miejsce x. ( x - ) + ( - x) + ( x + ) + 4x x - + - x + x + + 4x 7x + 6 7x + 6 7 $ + 6 4 + 6 0 Odpowiedê: D. 8

Zdni zmkni te Zdnie 8 Wsk wyr enie, które nle y dodç do szeêcinu sumy ( + b), by otrzymç szeêcin ró nicy ( - b). A. - 4b + b B. -4b - b C. -b - b D. b - b Zpisujemy szeêcin sumy w postci sumy lgebricznej, korzystjàc ze wzoru skróconego mno eni: ( + b) + b + b + b. Zpisujemy szeêcin ró nicy w postci sumy lgebricznej, korzystjàc ze wzoru skróconego mno eni: ( - b) - b + b - b. Oznczmy szukne wyr enie przez w. SzeÊcin sumy i szeêcin ró nicy zst pujemy znlezionymi summi i wyznczmy w. Odpowiedê: B. ( + b) + $ $ b + $ b + b 8 + b + 6b + b ( - b) - $ $ b + $ $ b - b 8 - b + 6b - b ( + b) + w ( - b) 8 + b + 6b + b + w 8 - b + 6b - b w 8 - b + 6b - b - 8 - b - 6b - b w - 4b - b. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Piàtà cz Êç klsy liczàcej m uczniów stnowià dziewcz t. Tylko z nich nie jest blondynkmi. Ntomist po ow ch opców to blondyni. Ile jest w tej klsie osób o w osch koloru blond? A. m + Zdnie 9 B. 07, m - C. m - D. m - W klsie jest m dziewczàt. Tylko nie m w osów blond. W klsie jest m - m 4 m ch opców. Po ow z nich to blondyni. Obliczmy, ile àcznie osób m blond w osy. Dodjemy odpowiednie wyr eni, wykonujemy redukcj wyrzów podobnych i sprowdzmy otrzymne u mki do wspólnego minownik. m - liczb blondynek 4 m $ 4m m liczb blondynów 0 m m m m d - n + d n - + m - m - Odpowiedê: D. 9

Zdni otwrte krótkiej odpowiedzi ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zdnie Korzystjàc z odpowiedniego wzoru skróconego mno eni, oblicz 4 $ 9. Zpisujemy liczby 4 i 9 w postci odpowiednio sumy i ró nicy tych smych liczb. Wykorzystmy wzór n ró nic kwdrtów dwóch wyr eƒ: ( + b)( - b) - b. Odpowiedê: Iloczyn jest równy 99. 4 40 + 9 40-4 $ 9 ( 40 + )( 40 - ) 40-600 - 99 Zdnie Oznczmy: x odleg oêç przedmiotu od Êrodk soczewki, y odleg oêç Êrodk soczewki od obrzu tego przedmiotu, f d ugoêç ogniskowej soczewki. Zle noêç mi dzy tymi wielkoêcimi mo n zpisç w postci wzoru: x + y. f W odleg oêci 0 cm od Êrodk soczewki umieszczono kulk. Oblicz odleg oêç obrzu tej kulki od Êrodk soczewki, gdy d ugoêç ogniskowej soczewki jest równ cm. Wynik podj z dok dnoêcià do 0cm.,. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE W nszym przypdku x 0 cm, f cm. Wstwimy te liczby do wzoru x + y. f Wyznczmy z otrzymnej równoêci y. Wyznczmy y, korzystjàc z w snoêci proporcji. x + y f + 0 y y y y - 0-0 0 0 9 0 0 9 y 0,...., 6 9 9 0 Odpowiedê: Odleg oêç obrzu kulki od Êrodk soczewki jest równ oko o 6cm., Zdnie Wyk, e dl k dej liczby nturlnej n wi kszej od, liczb n - n dzieli si przez 6. Rozk dmy podne wyr enie n czynniki. n - n n( n - ) n( n - )( n + ) 4

. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zmienimy kolejnoêç czynników i wtedy mo emy zuw yç, e liczby ( n - ), n, ( n + ) to trzy kolejne liczby nturlne. n - n ( n - ) n( n + ) WÊród trzech kolejnych liczb nturlnych zwsze jedn jest wielokrotnoêcià, drug wielokrotnoêcià. Ich iloczyn jest ztem wielokrotnoêcià 6, czyli liczbà podzielnà przez 6. Zdnie 4 Widomo, e dl wielominu W _ xizchodzi wrunek W( x + ) x - 4. Wyzncz W() x. Oznczymy przez wyr enie x +. Wyznczmy x w zle noêci od. Znjdziemy wzór wielominu dl tk okreêlonego. Zpisujemy wzór ogólny wielominu W x _ i. Odpowiedê: W() x x - x -. x + x - W() ( - ) - 4 - + - 4 - - W() x x - x - Zdnie Trójkàty ALE i AEM sà prostokàtne, liczb x jest dodtni. Oblicz, o ile pole trójkàt AEM jest wi ksze od pol trójkàt ALE. L x+ x+ A x+9 x E x+0 M Pole trójkàt prostokàtnego jest równe po owie iloczynu d ugoêci jego przyprostokàtnych. pole trójkàt ptrz rozdzi 7.., s. 88 Obliczmy pol trójkàtów AEM i ALE. Przyprostokàtne trójkàt AEM mjà d ugoêci x + 9 i x +, przyprostokàtne trójkàt ALE mjà d ugoêci x i x +. Obliczmy ró nic pól, odejmujàc odpowiednie wyr eni. P ( x 9)( x ) AEM + + ( x x 9x 8) + + + ( x + x + 8) P x( x ) + ( x + x) ALE P P ( x x 8) - + + - ( x + x) AEM ALE ( x + x + 8 - x - x) ( 0 x + 8 ) x + 9 Odpowiedê: Pole trójkàt AEM jest o x + 9wi ksze od pol trójkàt ALE. 46

Zdni otwrte rozszerzonej odpowiedzi Zdnie 0 Pierwistkmi wielominu P() x trzeciego stopni sà liczby -, 0,. Znjdê pierwistki wielominu P( x - ). Wielomin stopni trzeciego mo e mieç co njwy ej pierwistki. Ztem jedynymi pierwistkmi wielominu P() x sà liczby -, 0,. Je eli liczby m, k, w sà pierwistkmi wielominu W _ xistopni trzeciego, to mo n go zpisç w postci W() x ( x - m)( x - k)( x - w), gdzie! 0. Zpisujemy w podobny sposób wzór wielominu P. Znjdujemy wzór wielominu P( x - ), wstwijàc x - w miejsce x do wzoru P(). x Aby obliczyç pierwistki wielominu, przyrównujemy do zer k dy czynnik zwierjàcy zmiennà x. P( x) ( x - (- ))( x - 0)( x - ), gdzie! 0 P() x ( x + ) x( x - ) P( x - ) ( x - + )( x - )( x - - ) ( x - 0)( x - )( x - ) x - 0 0, x - 0, x - 0 x 0, x, x Odpowiedê: Pierwistki wielominu P( x - ) to: 0,,. ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Oblicz wrtoêç liczbowà wyr eni x Zdnie + y, gdy x + y i xy. Korzystmy ze wzoru skróconego mno eni + b ( + b)( - b + b ), zpisujàc sum szeêcinów w postci iloczynu. x + y ( x + y)( x - xy + y ) Zuw my, e by obliczyç wrtoêç liczbowà wyr eni stojàcego po prwej stronie znku równoêci, potrzebn nm jest znjomoêç wrtoêci wyr eni x + y. Wyr enie to mo n otrzymç, przekszt cjàc odpowiednio wzór n kwdrt sumy dwóch wyr eƒ. Obliczmy wrtoêç liczbowà wyr eni x + y, korzystjàc z otrzymnej zle noêci i podstwijàc z x + y liczb, z xy liczb. ( x + y) x + y + xy x + y ( x + y) - xy x + y ( x + y) - xy - $ 9-4 49

. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Obliczmy wrtoêç liczbowà wyr eni x + y. W otrzymnej sumie zst pujemy wyr enie x + y liczbà, wyr enie x + y liczbà, wyr enie xy liczbà. x + y ( x + y)( x - xy + y ) $ ( - ) $ 9 Odpowiedê: WrtoÊç liczbow wyr eni jest równ 9. Zdnie 7 7 Wyzncz liczby i b, tk by wielominy W() x ( + b) x + x + i P() x x + ( - b) x + by y równe. Wielominy tej smej zmiennej sà równe, je eli sà tego smego stopni orz mjà równe wspó czynniki przy tych smych pot gch zmiennej. Ob wielominy muszà byç ztem 7 stopni, wi c wspó czynnik stojàcy przy x 7 w wielominie W _ ximusi byç ró ny od zer. Porównujemy wspó czynniki stojàce przy x 7 i x w obu wielominch. Rozwiàzujemy otrzymny uk d równƒ. Dodjemy stronmi równni i wyznczmy. + b! 0 + b * - b + b + * - b + + b - b + 8 : 4 równoêç wielominów ptrz rozdzi.., s. Wyznczone wstwimy do jednego z równƒ uk du i obliczmy b. + b b - - 4 - Sprwdzmy, czy + b! 0. + b 4 + (- )! 0 Odpowiedê: Wielominy sà równe dl 4 i b -. Zdnie 4 4 Wielominy P _ xii K _ xisà okreêlone wzormi P() x m x + ( m - ) x + x i K() x -9x - mx + mx. OkreÊl stopieƒ wielominu W() x P() x + K() x w zle noêci od liczby m. Dodjemy wielominy i zpisujemy otrzymne wyr enie w postci uporzàdkownej. W() x P() x + K() x 4 4 m x + ( m - ) x + x + (- 9x ) - mx + mx 4 ( m - 9) x + ( m - m - ) x + ( + m) x 0

Zdni otwrte rozszerzonej odpowiedzi Rozptrujemy wspó czynnik stojàcy przy njwy szej pot dze zmiennej. JeÊli b dzie on ró ny od zer, wielomin b dzie piàtego stopni. Sprwdzimy, którego stopni wielomin otrzymmy, gdy m. Wielomin jest wi c drugiego stopni. Sprwdzmy, którego stopni jest wielomin, gdy m -. Wielomin jest wi c czwrtego stopni. Zdnie 4 Liczb jest pierwistkiem wielominu W() x x + mx - 6x +, m jest liczbà rzeczywistà. Wyzncz pozost e pierwistki tego wielominu. m - 9 ( m - )( m + )! 0 m -! 0i m +! 0 m! i m!- 4 W _ xi ( m - 9) x + ( m - m - ) x + ( + m) x 4 ( 9-9) $ x + ( 9-6 - ) x + ( + ) x 0 + 0 + 6x 6x 4 W _ xi ( m - 9) x + ( m - m - ) x + ( + m) x 4 4 4 ( 9-9) $ x + ( 9 + 6 - ) x + ( - ) x 0 + x + 0 $ x x Odpowiedê: Wielomin jest piàtego stopni, gdy m! i m!-. Dl m wielomin jest stopni drugiego, dl m - wielomin jest stopni czwrtego.. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Liczb jest pierwistkiem wielominu, wi c W ( ) 0. Korzystjàc z tej w snoêci, wyznczmy liczb m. Wstwimy wyznczone m do wzoru wielominu. Rozk dmy wielomin n czynniki. Grupujemy wyrzy, wy àczmy wspólny czynnik przed nwis i stosujemy wzór skróconego mno eni. Pierwistkiem wielominu jest liczb, dl której W() 0. W( ) + m $ - 6 $ + 8 + 4m - + 8 + 4m 8 + 4m 0 4m -8 m - W() x x - x - 6x + W( x) x - x - 6x + x ( x - ) - 6 ( x - ) ( x - 6)( x - ) ( x - 4)( x + 4)( x - ) W() x 0 ( x - 4)( x + 4)( x - ) 0 x 4, x - 4, x Odpowiedê: Pozost e pierwistki wielominu to 4 i - 4. Zdnie Wyk, e dl k dych liczb rzeczywistych x, y ró nych od zer i tkich, e x! y i x!- y, wrtoêç wyr eni J x xy x y N x - - : x y x y x x + K - + O d + y n jest liczbà c kowità. L P

. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE Zuw my, e x - y ( x - y)( x + y), ztem wspólny minownik wszystkich wyr eƒ wymiernych zpisnych w pierwszym nwisie to ( x - y)( x + y). Zpisujemy k dy ze sk dników w postci wyr eni o minowniku ( x - y)( x + y). Wykonujemy dzi ni w pierwszym nwisie. Zpisujemy wyr eni w postci jednego u mk (n wspólnej kresce u mkowej), wykonujemy redukcj wyrzów podobnych, wy àczmy wspólny czynnik x przed nwis i skrcmy u mek przez x - y. Wykonujemy dzielenie, mno àc dzielnà przez odwrotnoêç dzielnik, skrcmy. x x( x y) x xy x - y + + ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) xy xy x - y ( x - y)( x + y) x x( x y) x xy x + y - - ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) x xy x x - y - + x - y x + y x + xy xy x - xy - + ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) x + xy - xy + x - xy x - xy ( x - y)( x + y) ( x - y)( x + y) x( x - y) x ( x - y)( x + y) x + y x x y : x x x y + x + y + x + y $ x WrtoÊç wyr eni jest zwsze równ, to liczb c kowit.

Zdni do smodzielnego rozwiàzni Zdni do smodzielnego rozwiàzni Zdni zmkni te. Ró nic 4x - jest równ iloczynowi: A. _ x - i_ x + i B. x - kx - k C. x - kx + k D. _ 4x - i_ 4x + i. Wyr enie _ x - i_ x + i - _ x + i mo n zpisç w postci: A. -8 B. 6x C. - 6_ x + i D. -6_ x - i. Nturlnà liczb dwucyfrowà, której cyfrà dziesiàtek jest x, x! #,,,..., 9- i cyfrà jednoêci jest y, y! # 0,,,,..., 9-, mo n zpisç w postci: A. xy B. 0xy C. x + y D. 0 x + y 4. Wsk ilorz sumy kwdrtów liczb x i y przez szeêcin sumy liczb x i y. _ x + yi x + y x + y A. B. C. x + y x + y _ x + yi 4 _ x + yi D. _ x + yi. Dne sà wielominy F _ xi -6x - x + i G _ xi - x + x - x. Wsk stopieƒ wielominu 4 H _ xi F _ xi - G _ xi. A. 4 B. C. D.. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE 6. Wsk wielomin równy wielominowi P _ xi _ x - i. A. W _ xi x + 8 C. W _ xi x - 6x + x - 8 B. W _ xi x - 8 D. W _ xi x + 6x - + 8 7. Wsk postç iloczynowà wielominu P _ xi _ + xi_ x - i - _ - xi_ x - i. A. P _ xi _ - xi_ x - i C. P _ xi _ x - i_ x - i B. P _ xi _ x - i_ x + i D. P _ xi _ - xi_ x + i 8. Wsk dziedzin wyr eni x +. x - A. R[ # - B. R[ % / C. R[ %-, / D. R[ %-, / 9. WrtoÊç wyr eni - - 4, x! dl rgumentu - jest równ: x - A. 8 B. -4 C. - D. 0. Dne sà wyr eni x x - 4 i 4 x (x! 4 i x! 0 ). Wsk sum tych wyr eƒ. A. x + 4x - 6 x - 4x B. x + 4 C. 4x x _ x - 4i x _ x - 4i D. x - 8x x - 4 x

. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE. Podne wielominy zmieƒ n iloczyny wielominów (mo liwie njni szego stopni). ) W _ xi x - xy - x + y b) W _ i - c) W _ i -. Wyr enie lgebriczne _ x - yi - _ x + yi_ y - xi + xy przedstw w postci sumy lgebricznej i oblicz jego wrtoêç liczbowà dl x, y - 6. W _-i - W _ 0i. Dny jest wielomin W _ xi x - x - x +. Oblicz. W k 4. Wyzncz wrtoêci i b, dl których wielominy W _ xi x + 7x - 7x + i P _ xi _ x + ibx + bx - l sà równe.. Roz ó wielomin n czynniki. ) x + 6x + 9 b) x + x - x - 6 c) x + x - x - x Zdni otwrte krótkiej odpowiedzi 6. Dne jest wyr enie x + x + 4 x +. m ) OkreÊl dziedzin wyr eni, gdy m 4. b) UproÊç wyr enie, gdy m, i oblicz jego wrtoêç dl x. 7. Ustl dziedzin orz skróç wyr eni wymierne. x + xy + y ) x - y b) x + x - x - 6 Zdni otwrte rozszerzonej odpowiedzi 4 8. Dny jest wielomin W _ xi 4x - 6x - _ + i x + 8. ) Wyzncz wrtoêç, wiedzàc, e W _- i. b) Sprwdê, czy dl wyznczonej wrtoêci spe nion jest równoêç W _ i - W _- i. 9. Wyzncz wrtoêci i b, dl których pierwistkmi wielominu W _ xi x + _ 4b + i x - _ b - i x - sà liczby i -. 0. Wyzncz wrtoêci i b, tk by W _ i 0i W _ i 8, jeêli W _ xi x + _ - i x - _ - bi x + + b. 4

.. WIELOMIANY I DZIA ANIA NA NICH. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE TEORIA... Wprowdzenie poj ci wielominu ) Wyr enie lgebriczne to wyr enie z o one z liczb lub liter po àczonych znkmi dzi ƒ mtemtycznych i nwismi, n przyk d 8, x, 8x - y, _ 8x - yi, 8x + y x + y, e - b o. Liczby to wspó czynniki. Litery to zmienne. JeÊli w miejsce liter wstwimy liczby i wykonmy dzi ni, to obliczymy wrtoêç liczbowà wyr eni lgebricznego, n przyk d dl x i y wyr enie 8x - y przyjmuje wrtoêç. b) Jednomin jednej zmiennej rzeczywistej to wyr enie lgebriczne postci iloczynu liczby niezerowej i litery w pot dze nturlnej: x n,! R # 0-, n! N, x! R; wspó czynnik jednominu, x zmienn rzeczywist, n stopieƒ jednominu. N przyk d x to jednomin II stopni, to jednomin 0 stopni ( x 0 ). Uwg : 0 to jednomin zerowy, który nie m okreêlonego stopni. Uwg : x n y k to jednomin dwóch zmiennych x i y. Jednominy podobne zwierjà te sme zmienne w tych smych pot gch, n przyk d x orz -x i x y orz x ysà podobne, x y orz xy nie sà podobne. c) Dwumin to sum dwóch jednominów, n przyk d x + x, x -, xy + x. Uwg: Funkcj liniow: f _ xi x + b dl! 0 i b! 0 to dwumin stopni pierwszego jednej zmiennej rzeczywistej (por. 4..). d) Trójmin to sum trzech jednominów, n przyk d x 6 + x - x, x + x -, x y - y +. Uwg: Funkcj kwdrtow (trójmin kwdrtowy): f _ xi x + bx + c dl! 0, b! 0, c! 0 to trójmin stopni drugiego jednej zmiennej rzeczywistej (por. 4.6.). 4 e) Wielomin to sum lgebriczn (wielu) jednominów, n przyk d x - x + x - x + 0, x - x + x +, xy - x y + x + y. Poszczególne sk dniki sumy to wyrzy wielominu. Uwg : Jednominy, dwuminy i trójminy to szczególne przypdki wielominów, n przyk d: 4 4 x x + 0x + 0x + 0x + 0, x + x x + x + 0x + 0, x + x - x + 0x + x -. Uwg : 0 to wielomin zerowy, który nie m okreêlonego stopni.... Definicj wielominu stopni n jednej zmiennej rzeczywistej Jest to funkcj postci: df. n n - n - 0 W_ xi x + x + x + f + x + x + x n n - n - 0, gdzie 0,, f,! R,! R # 0 -, n! N, x! R. n - n Liczby 0,, f, n to wspó czynniki wielominu. Wspó czynnik 0 to wyrz wolny wielominu (x 0 ). Wyk dnik n to stopieƒ wielominu. WrtoÊç wielominu w punkcie x 0 jest to liczb W`x x x x x 0j + + f + + +. n 0 n - 0 0 0 0 Pierwistek wielominu to miejsce zerowe wielominu: n n - (x 0 pierwistek wielominu) + (W`x j 0). Uwg: W_ i + + f + + (sum wspó czynników wielominu) n n - 0 W_ i (wyrz wolny wielominu) 0 0 df. 0

.. Wielominy i dzi ni n nich Przyk d odczytni stopni wielominu i jego wspó czynników: W_ xi x - x + to wielomin stopni V o nst pujàcych wspó czynnikch: przy x :, przy x 4 : 0, gdy brk wyrzu z x 4 4, czyli jest 0 $ x, 4 przy x : 0, gdy brk wyrzu z x, czyli jest 0 $ x, przy x : 0, gdy brk wyrzu z x, czyli jest 0 $ x, przy x : -, przy x 0 : (wyrz wolny). 0 Wielomin jest uporzàdkowny, gdy jego wyrzy sà uporzàdkowne wed ug mlejàcych (lub rosnàcych) pot g. ) Porównywnie wielominów: ` P_ xi Q_ xij (dw wielominy sà równe)... Dzi ni n wielominch df. + _dl k dego pw_ pi Q_ pij (dl k dej wrtoêci p zmiennej rzeczywistej x przyjmujà te sme wrtoêci) Uwg: Dw wielominy sà równe wtedy i tylko wtedy, gdy sà tego smego stopni i mjà równe odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. Porównujàc dw wielominy, nle y wi c porównç ich stopnie orz odpowiednie wspó czynniki przy odpowiednich pot gch zmiennej. b) Mno enie wielominu przez liczb k! R: k $ P_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez liczb k! R. c) Dodwnie wielominów: P_ xi + Q_ xi dodjemy wyrzy podobne. d) Odejmownie wielominów: P_ xi - Q_ xi P_ xi + `-Q_ xij do wielominu P_ xidodjemy wielomin Q_ xipomno ony przez liczb k -. e) Mno enie wielominów: P_ xi $ Q_ xi mno ymy k dy wyrz wielominu P_ xiprzez k dy wyrz wielominu Q_ xii przeprowdzmy redukcj wyrzów podobnych, n przyk d P_ xi$ Q_ xi b x - x+ l $ _ x+ 7i. Pos u ymy si tbelkà: P^xh P_ xi $ Q_ xi x + x - 7x + 4 Q^xh x -x x x -6x 4x 7 7x -x 4. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE TEORIA f) Twierdzeni o stopniu sumy, ró nicy i iloczynu wielominów: Niech st. P_ xi n i st. Q_ xi m, wówczs: () st. ` P_ xi! Q_ xij G mx_ n, mi lub P_ xi + Q_ xi 0 () st. ` P_ xi $ Q_ xij st. P_ xi + st. Q_ xi(dl P_ xi! 0! Q_ xi) g) Metody rozk du wielominów n czynniki: () grupownie wyrzów, n przyk d P_ xi x - 7x - 8x + 8, P_ xi bx - 8xl + b- 7x + 8l () wy àcznie wspólnego czynnik przed nwis, n przyk d P_ xi xbx - 4l - 7bx - 4l, P_ xi b x - 4l_ x - 7i () stosownie wzorów skróconego mno eni, n przyk d P_ xi _ x - i_ x + i_ x - 7i (4) dl trójminu kwdrtowego sprowdzenie do postci iloczynowej (por. 4.6.)

.. WZORY SKRÓCONEGO MNO ENIA ) _! bi! b + b kwdrt sumy (ró nicy) dwóch liczb b) _! bi! b + b! b szeêcin sumy (ró nicy) dwóch liczb. WYRA ENIA ALGEBRAICZNE TEORIA c) - b _ - bi_ + bi d)! b _! bib " b + b l ró nic kwdrtów dwóch liczb sum (ró nic) szeêcinów dwóch liczb.. WYRA ENIA WYMIERNE Przymiotnik wymierne ozncz u mkowe. Liczby wymierne to inczej u mki (por....). Stàd te wyr eni wymierne to wyr eni u mkowe, n przyk d x, - b, funkcje wymierne to funkcje x + y b u mkowe, n przyk d y x x -, y x + x. Uwg: Wyr eni (funkcje) wymierne mjà sens liczbowy, gdy ich minowniki sà ró ne od zer. ) Wyr enie wymierne to ilorz dwóch wyr eƒ lgebricznych, n przyk d x - z jednà zmiennà x, x + lub b z kilkom zmiennymi. + b + c b) Dziedzinà wyr eni wymiernego jest zbiór tych liczb, które po podstwieniu z zmienne nie spowodujà utrty sensu liczbowego dnego wyr eni wymiernego. Sens liczbowy wyr eni mo e byç utrcony wówczs, gdy minownik wyr eni wymiernego przyjmuje wrtoêç zero. Ztem dziedzinà wyr eni wymiernego z jednà zmiennà jest zbiór liczb rzeczywistych oprócz miejsc zerowych minownik, n przyk d dziedzinà wyr eni wymiernego + jest - + 6 D R & : - + 6 00, czyli D R #, -. c) Dzi ni rytmetyczne n wyr enich wymiernych wykonujemy nlogicznie jk dzi ni n liczbch wymiernych: () dodwnie i odejmownie wyr eƒ wymiernych wykonujemy po sprowdzeniu ich do wspólnego minownik, n przyk d: b + + l! _ - i! - - + + - () dzielenie wyr eƒ wymiernych odbyw si poprzez mno enie dzielnej przez odwrotnoêç dzielnik, n przyk d: : + b b - b b - b (dzieln) (dzielnik) () mno enie wyr eƒ wymiernych poleg n mno eniu przez siebie liczników orz minowników, n przyk d: $ + b + b - b b b - b (4) skrcnie wyr eƒ wymiernych poleg n podzieleniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0), n przyk d: + b - b + b _ - bi_ + bi - b () rozszerznie wyr eƒ wymiernych poleg n pomno eniu licznik i minownik przez tkie smo wyr enie (! 0), n przyk d: b b _ - bi b - b + b _ + bi_ - bi - b 4