JANUSZ KULEJEWSKI, NABI IBADOV HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM ROZMYTYCH CZASÓW WYKONANIA ROBÓT SCHEDULING OF CONSTRUCTION PROJECT WITH FUZZY PROCESSING TIMES Streszczene Abstract W artyule przedstawono metodę harmonogramowana budowy według ryterum nezawodnośc w przypadu rozmytego modelowana czasów wyonana robót ogranczeń zasobowych. Jao ryterum nezawodnośc harmonogramu rozmytego przyęto prawdopodobeństwo realzac budowy w wymaganym czase z uwzględnenem zadanego prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytych ogranczeń zasobowych. Dla opracowana harmonogramu spełnaącego ustalone ryterum nezawodnośc wyorzystano algorytm genetyczny. Słowa luczowe: harmonogramowane rozmyte, nezawodność harmonogramu Ths paper presents a method for schedulng of constructon wors wth the crteron of schedule relablty n the case of fuzzy modelng of processng tmes and resource restrctons. As a crteron for the relablty of fuzzy schedule, the lelhood of meetng the requred executon tme has been adopted, tang nto account the requred lelhood of meetng the flexble lmt of resources avalablty. Fuzzy schedule meetng specfed relablty crteron s generated usng a genetc algorthm. Keywords: fuzzy schedulng, schedule relablty Dr nż. Janusz Kuleews, dr nż. Nab Ibadov, Załad Inżyner Produc Zarządzana w Budownctwe, Wydzał Inżyner Lądowe, Poltechna Warszawsa.
232 Oznaczena D lczba rozmyta, modeluąca neprecyzyne oreślony czas wyonana roboty ES nawcześneszy rozmyty termn rozpoczęca roboty EF nawcześneszy rozmyty termn zaończena roboty S F T T d planowany rozmyty termn rozpoczęca roboty planowany rozmyty termn zaończena roboty planowany rozmyty czas wyonana robót wymagany czas wyonana robót R lczba rozmyta, modeluąca neprecyzyne sformułowany lmt dostępnośc -tego zasobu odnawalnego r t lczba rozmyta, modeluąca neprecyzyne oszacowane zużyce -tego zasobu odnawalnego w olenym dnu budowy wymagane prawdopodobeństwo dotrzymana ogranczena dostępnośc -tego P gr zasobu odnawalnego 1. Wstęp Nepewność warunów realzac budowy powodue szybą dezatualzacę harmonogramu sporządzonego przez wyonawcę na podstawe determnstyczne ustalonych czasów wyonana robót. Poszuue sę zatem metod harmonogramowana budowy zapewnaących stablność zaplanowanego termnu e zaończena, pommo możlwośc wystąpena różnorodnych załóceń przebegu robót. Do tach metod należą te wyorzystuące rozmyte modelowane neednoznacznych neprecyzyne oreślonych relac pomędzy ntensywnoścą załóceń ch sutam w postac wydłużeń czasów wyonana robót. Dla rozwązywana zagadneń rozmytego harmonogramowana przedsęwzęć opracowano uż pewen zbór metod będących odpowednam metod harmonogramowana determnstycznego. Na przyład w [13] przedstawono rozmyty odpowedn metody podzału ogranczeń, a w [4, 11] oraz w [14] zaprezentowano schematy równoległe generowana harmonogramu rozmytego. W zarese wyorzystana metod metaheurystycznych dla potrzeb generowana harmonogramu rozmytego w [5] autorzy przedstawaą wyorzystane symulowanego wyżarzana, a w [7, 11] [14] poazuą wyorzystane algorytmu genetycznego. W wyże wsazanych pracach przymowano założene, że ogranczena dostępnośc zasobów odnawalnych dla realzac przedsęwzęca są precyzyne oreślone. W przypadu przedsęwzęca budowlanego tae założene est rzado spełnone. Natomast dla oceny dotrzymana wymaganego czasu realzac proetu wyorzystywano marę posyblstyczną. Tae dzałane prowadz do wyznaczena dolnego (pesymstycznego) górnego (optymstycznego) ogranczena prawdopodobeństwa dotrzymana wymaganego czasu realzac proetu (2). W źródłach lteraturowych przedstawa sę metody oceny termnowośc realzac proetu będące ompromsem pomędzy oceną pesymstyczną
233 oceną optymstyczną dotrzymana wymaganego czasu realzac z uwzględnenem ryterum Hurwcza (por. [13] [14]). W artyule przedstawono metodę harmonogramowana budowy z uwzględnenem ryterum nezawodnośc harmonogramu w przypadu, gdy czasy wyonana robót oraz ogranczena dostępnośc zasobów odnawalnych ne są precyzyne oreślone. Jao marę nezawodnośc harmonogramu przyęto prawdopodobeństwo zrealzowana robót w wymaganym czase. Jednocześne należy uwzględnć wymagane prawdopodobeństwo dotrzymana rozmytych ogranczeń dostępnośc zasobów odnawalnych. Przedstawono metodę oceny prawdopodobeństw dotrzymana ogranczeń czasowych zasobowych. Poazano równeż schemat rozwązywana rozpatrywanego zagadnena z wyorzystanem algorytmu genetycznego. 2. Podstawy rozmytego modelowana czasu wyonana roboty budowlane 2.1. Zbory rozmyte lczby rozmyte, Zborem rozmytym D nazywa sę zbór uporządowanych par D= {(, x μ ()); x x X} gdze x est elementem w pewne przestrzen rozważań X, a μ :X [0,1] est funcą przynależnośc przypsuącą ażdemu elementow x X ego stopeń przynależnośc do zboru rozmytego D ([12]). W rozpatrywanym przypadu przestrzeną (obszarem) rozważań est zbór wartośc czasów wyonana pewne roboty budowlane. Zbór rozmyty D zawera neprecyzyne oreślone wartośc czasów wyonana te roboty, na przyład: średn, ooło 5 zman roboczych lub od ooło 4 do ooło 6 zman roboczych. Każde z tach neprecyzynych oreśleń est zdefnowane dla pewnego zamnętego przedzału lczbowego. Lczbą rozmytą est zbór rozmyty D oreślony w zborze lczb rzeczywstych, tórego funca przynależnośc μ :X [0,1] est przedzałam cągła oraz spełna następuące D warun ([12]): a) sup μ ( x ) = 1, co znaczy, że zbór rozmyty D est normalny, D D D D dla x1, x 2 R λ [0, 1], co znaczy, że b) μ [ λ x + (1 λ) x ] mn 1 2 { μ ( x ), μ ( x ) 1 2 } zbór rozmyty D est wypuły. W rozmytym harmonogramowanu przedsęwzęć czasy wyonana czynnośc są modelowane naczęśce przez lczby rozmyte trapezowe. Funcę przynależnośc trapezowe lczby rozmyte D przedstawa rys. 1. Dla ułatwena wyznaczana rozmytych termnów realzac czynnośc w modelu secowym przedsęwzęca, lczby rozmyte modeluące neprecyzyne oreślone czasy wyonana poszczególnych czynnośc są zapsywane z wyorzystanem notac welopuntowe. W notac welopuntowe trapezową lczbę rozmytą D oreśla uporządowana czwóra lczb rzeczywstych (d (1), d (2), d (3), d (4) ). Przedzał [d (2), d (3) ] wyznacza rdzeń trapezowe lczby rozmyte D. Z ole przedzał [d (1), d (4) ] wyznacza nośn trapezowe D D
234 lczby rozmyte D. Trapezowe lczby rozmyte można wyorzystać dla modelowana czasu wyonana czynnośc oreślonego przez neprecyzyne sformułowane od ooło d (2) do ooło d (3) zman roboczych, [8]. Jeżel d (2) = d (3), otrzymue sę lczbę rozmytą tróątną, umożlwaącą modelowane czasu wyonana czynnośc oreślonego przez neprecyzyne sformułowane ooło d (2) zman roboczych, [8]. Rys. 1. Funca przynależnośc rozmyte lczby trapezowe Fg. 1. Membershp functon of the trapezodal fuzzy number Lczby rozmyte modeluące czasy wyonana poszczególnych czynnośc można wyznaczyć na podstawe subetywne opn esperta ([4]) lub wyorzystuąc logę rozmytą ([9], [10]). Sładn uporządowane czwór lczb rzeczywstych tworzących trapezową lczbę D muszą spełnać warune neuemnośc wypułośc te lczby ( ) ( 1) 0 + d d ; 1,2,3 = (1) Lczbę rozmytą D można przedstawć ao sumę sończone lośc przedzałów D = [ D, D ] l u, utworzonych w wynu sończone lośc przeroów te lczby, gdze [0, 1]. Wyższym pozomom przeroów lczby rozmyte D odpowadaą wyższe pozomy pewnośc oszacowań realzac neznane welośc D. Przedzał [ D, D ] l u zawera wszyste te lczby rzeczywste, tórych stopeń możlwośc byca realzacą neznane welośc D został ocenony przez esperta ao ne mneszy od, ([6]). Wyorzystuąc ryterum decyzyne Hurwcza, welość D można ocenć subetywne ao D D (1 ) D l u = + (2) gdze [0, 1] est wsaźnem o wartośc proporconalne do pozomu optymzmu decydenta. Wyższe wartośc wsaźna wsazuą na węszą słonność decydenta do aceptac ryzya nedoszacowana realzac neznane welośc D.
2.2. Podstawowe operace arytmetyczne na lczbach rozmytych 235 W rozmytym harmonogramowanu proetów podstawowe operace arytmetyczne na lczbach rozmytych zapsanych z wyorzystanem notac welopuntowe są przeprowadzane z wyorzystanem zasad przedstawonych w [1]. (1) (2) (3) (4) Operacę dodawana dwóch lczb rozmytych trapezowych A = ( a, a, a, a ) (1) (2) (3) (4) B = ( b, b, b, b ) opsue zależność ([4]) (1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) A B = ( a + b, a + b, a + b, a + b ) (3) Natomast, operacę ustalana masmum lczb rozmytych trapezowych (1) (2) (3) (4) A = ( a, a, a, a ) (1) (2) (3) (4) B = ( b, b, b, b ) opsue zależność (por. [4]): (1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) ( ) max( AB, ) = max( a, b ), max( a, b ), max( a, b ), max( a, b ) (4) 3. Ops problemu W referace założono, że budowę odwzorowue ednopuntowa seć powązań z edną czynnoścą początową S, oznaczaącą rozpoczęce budowy z edną czynnoścą ońcową F, oznaczaącą zaończene budowy. Pomędzy czynnoścam zachodzą zależnośc typu zaończene rozpoczęce. Czasy wyonana czynnośc S F są zerowe. Czasy wyonana pozostałych czynnośc uwzględnaą rozmytą ocenę załóceń są modelowane przez lczby rozmyte trapezowe. W rezultace planowany czas budowy est modelowany przez lczbę rozmytą trapezową T. Ogranczena dostępnośc zasobów są równeż modelowane przez lczby rozmyte trapezowe. Natomast wymagany czas budowy przedstawa lczba rzeczywsta T d. Planowany czas budowy, uwzględnaący ogranczena dostępnośc zasobów, ne może być dłuższy od czasu wymaganego. Zatem mus zachodzć relaca T T d. W śwetle termnolog wprowadzone w [6] relaca T T oznacza, że neznana eszcze realzaca lczby rozmyte T ne będze węsza od lczby rzeczywste T d. Uwzględnaąc założena teor możlwośc, dla oceny prawdzwośc stwerdzena realzaca lczby rozmyte T ne będze węsza od lczby rzeczywste T d, należałoby wyorzystać dwe mary: marę potrzeby (necessty measure) N marę możlwośc (possblty measure) Π, [2]. Wyorzystane mary potrzeby mary możlwośc prowadz do ustalena dolnego górnego ogranczena prawdopodobeństwa zaśca relac T Td w przypadu, gdy wedza na temat wpływu załóceń na czasy wyonana robót ne est doładna NT ( T) P( T T) Π( T T) (5) d d d d
236 Należy podreślć, za [6], że relaca możlwośc Π( T T d ) ne ma właścwośc omplementarnośc, to est Π( T T d ) ne mus być równe 1 Π ( T T ) d, a tae właścwośc oczeue decydent, eruąc sę ntucą z rachunu prawdopodobeństwa. Dlatego w nneszym artyule podęto próbę wyorzystana mary probablstyczne dla oceny termnowośc zaończena budowy o neprecyzyne oreślonych warunach realzac. Jao marę oceny termnowośc zaończena budowy przyęto prawdopodobeństwo PT ( T d ) realzac ustalonego programu robót w wymaganym czase. Jednocześne należy uwzględnć wymagane przez wyonawcę robót prawdopodobeństwo dotrzymana rozmytych ogranczeń dostępnośc zasobów odnawalnych. Zatem przedmotem rozpatrywanego zagadnena est opracowane harmonogramu zapewnaącego masymalzacę prawdopodobeństwa realzac budowy w czase ne dłuższym od czasu wymaganego, z uwzględnenem zadanego prawdopodobeństwa dotrzymana neprecyzyne oreślonego lmtu dostępnośc danego zasobu. Przedstawona w artyule metoda rozwązana rozpatrywanego zagadnena polega na dwuetapowym sporządzanu harmonogramu budowy. W etape perwszym sporządza sę harmonogram rozmyty, spełnaący ustalone ryterum planowana realzac budowy. W etape drugm, wyorzystuąc oncepcę przeroów lczby rozmyte oraz ryterum decyzyne Hurwcza, na podstawe harmonogramu rozmytego sporządza sę harmonogram zwyły (nerozmyty), uwzględnaący przyęty przez decydenta pozom pewnośc oszacowań czasów wyonana robót oraz słonność decydenta do aceptac ryzya nedoszacowana ch rzeczywstych czasów wyonana. Zadane masymalzac prawdopodobeństwa realzac budowy w wymaganym czase można sformułować następuąco Max P : P = P( T T d ) (6) gdze: T lczba rozmyta, modeluąca planowany czas realzac budowy, T d lczba rzeczywsta, przedstawaąca wymagany czas realzac budowy. W śwetle termnolog wprowadzone w [6], stotą zadana (6) est masymalzaca prawdopodobeństwa, że (neznana eszcze) realzaca lczby rozmyte T ne będze węsza od lczby rzeczywste T d. Rozwązanem zadana (6) est harmonogram rozmyty, zachowuący ustalone zależnośc pomędzy czynnoścam w modelu secowym budowy oraz zapewnaący wymagane prawdopodobeństwo dotrzymana rozmytych ogranczeń dostępnośc zasobów. Warune zachowana zależnośc typu zaończene rozpoczęce pomędzy czynnoścam o rozmytych czasach wyonana ma postać S S D { Prec( )}, = 1,..., J (7) gdze { Prec( )} est zborem czynnośc poprzedzaących czynność w ednopuntowym modelu secowym budowy. Natomast warune zapewnena wymaganego prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytych ogranczeń dostępnośc -tego zasobu ma postać
237 P( r R ) P gr (8) gdze: r lczba rozmyta modeluąca masymalne planowane zużyce -tego zasobu, R lczba rozmyta modeluąca neprecyzyne sformułowany lmt dostępnośc -tego zasobu, P gr wymagane prawdopodobeństwo dotrzymana lmtu dostępnośc -tego zasobu. W śwetle termnolog wprowadzone w [6] warune (8) dotyczy prawdopodobeństwa zastnena żądane relac pomędzy realzacą lczby rozmyte r realzacą lczby rozmyte R. Ocena spełnena warunu (8) wymaga edna wyznaczana lczb rozmytych r t modeluących planowane zużyce danego zasobu w ażdym dnu budowy w przypadu, edy termny rozpoczęca zaończena poszczególnych robót są równeż modelowane przez lczby rozmyte. Dla ułatwena oceny spełnena warunu (8) można wyorzystać założene, że czas wyonana dane roboty est modelowany przez lczbę rozmytą D o cągłe lnowe func przynależnośc. W rezultace równeż termny rozpoczęca zaończena robót w harmonograme rozmytym są modelowane przez lczby rozmyte S F, o cągłych lnowych funcach przynależnośc. Doonuąc przerou harmonogramu rozmytego na pozome, uzysue sę przedzały S = [ S, S ] oraz l u F [ F, F ]. Przedzały te zaweraą wszyste te lczby rzeczywste, tórych stopeń l u możlwośc byca realzacam neznanych welośc S F ocena sę ao ne mneszy od. Wyorzystuąc ryterum decyzyne L. Hurwcza zależność (2), można ustalć termny realzac poszczególnych czynnośc w harmonograme zwyłym S = S + (1 ) S (9) l u F = F + (1 ) F (10) l u gdze [0, 1] est wsaźnem aceptac ryzya nedoszacowana realzac neznanych welośc S F ao onsewenc nedoszacowana realzac neznanych czasów wyonana czynnośc. Każdy harmonogram zwyły, otrzymany w wynu przerou harmonogramu rozmytego na pozome przyęca oreślone wartośc wsaźna optymzmu, mus uwzględnać następuący warune ogranczaący P( r R ) P (11) gr gdze: r lczba rzeczywsta, przedstawaąca masymalne zużyce -tego zasobu, wyznaczone dla -tego pozomu pewnośc oszacowana czasów wyonana
238 robót, z uwzględnenem oreślonego pozomu aceptac ryzya przez decydenta r = max, 1,..., r pt t T = (12) p { A( t)} {A(t)} zbór czynnośc realzowanych w dnu t, T lczba rzeczywsta, przedstawaąca planowany czas realzac budowy, ustalony dla -tego pozomu pewnośc oszacowana czasów wyonana robót, z uwzględnenem oreślonego pozomu aceptac ryzya przez decydenta. Przyęto założene, że onflty zasobowe będą rozwązywane z wyorzystanem oreślone reguły prorytetu, przyznaące pewnym czynnoścom w modelu secowym budowy perwszeństwo w przydzale zasobów. W przypadu onfltu zasobowego planowany termn rozpoczęca czynnośc o nższym prorytece zostae opóźnony w stosunu do nawcześneszego termnu rozpoczęca te czynnośc z uwzględnenem topolog modelu secowego. Opóźnene termnu rozpoczęca czynnośc est modelowane za pomocą lczby rozmyte L = (l (1), l (2), l (3), l (4) ), gdze ( ) ( 1) 0 + l l, 1,2,3 = (13) Dla zapewnena cągłośc harmonogramu rozmytego należy wprowadzć ogranczene wartośc opóźneń L. Opóźnena masymalne są modelowane przez lczby rozmyte (1) (2) (3) (4) L = ( l, l, l, l ), gdze ( ) ( 1) 0 + l l, = 1,2,3. Masymalne wartośc L max max max max max max max max opóźneń L można wyznaczyć, przymuąc, że do realzac czynnośc przystępue sę dopero po zaończenu wszystch czynnośc poprzedzaących czynność zgodne z ustaloną regułą prorytetu. Ogranczene wartośc opóźneń L prowadz do warunu 0 l l, = 1,..., 4 (14) () () max 4. Ocena prawdopodobeństw dotrzymana ogranczeń czasowych zasobowych 4.1. Ocena prawdopodobeństwa dotrzymana ogranczeń czasowych Dane są dwe lczby: lczba rozmyta trapezowa T, modeluąca planowany czas realzac budowy, oraz lczba rzeczywsta T d, przedstawaąca ogranczene czasu na realzacę budowy. Należy ocenć prawdopodobeństwo P( T T d ), że realzaca lczby rozmyte T będze ne węsza od lczby rzeczywste T d.
239 Istotą nże przedstawone metody oceny prawdopodobeństwa P( T T d ) est wyorzystane oncepc przeroów lczby rozmyte T dla sończone lośc pozomów pewnośc oszacowana czasów wyonana robót. Dla danego pozomu przerou lczby rozmyte T, otrzymue sę przedzał [ T T, T = ]. Przyład przedzału T przedstawa rys. 2. Symbol est ndesem olenego pozomu przerou. Metoda polega na oddzelne ocene prawdopodobeństw P( T T d ), że realzaca lczby przedzałowe T, uzysane dla olenego pozomu przerou lczby rozmyte T, będze ne węsza od lczby rzeczywste T d. Prawdopodobeństwo P( T T d ) ustala sę w wynu agregac prawdopodobeństw P( T T d ). Na podstawe rys. 2 można stwerdzć, że eżel T T T l d u, to przedzał T dzel sę na podprzedzały [, ] T T l d l u oraz [ T, T ]. Prawdopodobeństwo, że realzaca lczby przedzałowe T będze zawarta w podprzedzale [ T, T ] wynos d u l d ( T T ) d l P( T T ) = d ( T T ) u l (15) Jeżel T T <, to P( T T d ) = 0. Natomast eżel T T >, to P( T T d ) = 1. d l d u 1,00 μ(x) T ~ T l T d T u x Rys. 2. Przyład utworzena przedzału T Fg. 2. An example of nterval T Agreguąc prawdopodobeństwa P( T T d ) wyznaczone dla sończone lośc przeroów lczby rozmyte T, otrzymue sę T [ P( T T )] d P( T T ) = (16) d
240 4.2. Ocena prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytych ogranczeń zasobowych Dane są dwe lczby: lczba rozmyta trapezowa R, modeluąca ogranczene dostępnośc -tego zasobu, oraz lczba rzeczywsta, przedstawaąca planowane masymalne r zużyce -tego zasobu, wyznaczone dla -tego pozomu pewnośc oszacowana czasów trwana robót z uwzględnenem oreślonego pozomu aceptac ryzya przez decydenta. Należy ocenć prawdopodobeństwo P( r R ), że realzaca lczby rozmyte R będze ne mnesza od lczby rzeczywste r. Postępuąc podobne a w przypadu oceny prawdopodobeństwa P( T T d ) dla danego pozomu pewnośc λ oszacowana ogranczena dostępnośc oreślonego zasobu, λ otrzymue sę lczbę przedzałową λ [ λ R = R, R ]. Symbol est ndesem olenego pozomu pewnośc λ oszacowana ogranczena dostępnośc oreślonego zasobu. Prawdopodobeństwo, że realzaca lczby przedzałowe będze zawarta w podprzedzale λ [ r, R ] wynos u l u R λ λ ( R r ) λ u P( r R ) = λ λ ( R R ) u l (17) Agreguąc prawdopodobeństwa P( r λ R ) wyznaczone dla sończone lczby przeroów lczby rozmyte R, otrzymue sę λ [ λ P( r R )] P( r R ) = (18) λ Jeżel r R λ < l, to P( ) = 1 r R. Natomast eżel r R λ > u, to P( ) = 0 r R. 5. Schemat przeprowadzana oblczeń Oblczena zwązane ze sporządzanem harmonogramu rozmytego można przeprowadzać z wyorzystanem algorytmu genetycznego, zgodne ze schematem przedstawonym na rys. 3. Algorytm genetyczny generue próbne wartośc opóźneń termnów rozpoczęca poszczególnych czynnośc. Dane przesłane przez algorytm genetyczny są wyorzystywane dla wygenerowana warantowych harmonogramów rozmytych, z zachowanem zależnośc pomędzy czynnoścam w modelu secowym z zachowanem rozmytych ogranczeń dostępnośc zasobów. Termny rozpoczęca zaończena czynnośc w ażdym warantowym harmonograme rozmytym wyznacza sę z wyorzystanem następuących zależnośc
{ Prec( )} 241 S = max { S D } L (19) F = S D (20) Dla ażdego z warantowych harmonogramów rozmytych algorytm genetyczny doonue oceny wartośc func celu w zadanu (6) wsazue nalepsze rozwązane rozpatrywanego zagadnena. Oblczena poprzedza wyznaczene masymalnych wartośc opóźneń L. Następne z wyorzystanem algorytmu genetycznego generue sę próbne rozwązana rozpatrywanych zagadneń. Kolene czwór genów ażdego chromosomu w dane generac rozwązań próbnych odpowadaą olenym czwórom całowtych lczb rzeczywstych l (1), l (2) (3), l l (4), tworzących lczby rozmyte L (opóźnena termnów rozpoczynana czynnośc w modelu secowym budowy). Topologa sec, czasy trwana czynnośc D, zapotrzebowane na zasoby r Próbne wartośc L Generator harmonogramu Warantowe harmonogramy rozmyte GA generowane próbnych wartośc L GA Identyfaca rozwązana spełnaącego ustalone rytera Wyn oceny GA ocena wartośc func celu Generator harmonogramu: HARMONOGRAM ROZMYTY Rys. 3. Schemat przeprowadzana oblczeń dla planowana realzac budowy według ryterum nezawodnośc harmonogramu rozmytego Fg. 3. Schematc dagram of calculatons for plannng of constructon wors wth the crteron of fuzzy schedule relablty Spełnene warunu (13) dotyczącego neuemnośc wypułośc lczb L oraz warunu (14) zapewnaącego cągłość harmonogramu rozmytego uzysue sę następuąco:
242 1. Jao perwszą z lczb rzeczywstych tworzących daną uporządowaną czwórę ustala sę lczbę l (1), równą lczbe l (1) g wygenerowane przez algorytm genetyczny z uwzględnenem warunu (14). 2. Pozostałe lczby rzeczywste w dane uporządowane czwórce ustala sę z wyorzystanem warunu l l l = l 0 l L, r = 2,3,4 (21) ( r) ( r 1) ( r) ( r) ( r) ( r) g g g g l < l l = l 0 l L, r = 2,3,4 (22) ( r) ( r 1) ( r) ( r 1) ( r) ( r) g g g g Na podstawe próbnych rozwązań uzysanych z wyorzystanem algorytmu genetycznego zostaą wygenerowane warantowe harmonogramy rozmyte, w tórych termny S rozpoczęca termny F zaończena poszczególnych czynnośc wyznacza sę z wyorzystanem zależnośc (19) (20). W ażdym z warantowych harmonogramów rozmytych sprawdza sę spełnene warunu (11), dotyczącego zapewnena wymaganego prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytego ogranczena dostępnośc zasobów odnawalnych. Ze względu na cągłość lnowość func przynależnośc lczb rozmytych modeluących termny rozpoczęca zaończena poszczególnych czynnośc, sprawdzene spełnena warunu (11) przeprowadza sę następuąco: 1. Doonuąc przeroów harmonogramu rozmytego na pozomach = 0,0 = 1,0, tworzy sę nerozmyte harmonogramy sprawdzaące w dwóch wersach: w wers optymstyczne ( = 1,0) dla S = S = S F F F, opt = 1 l opt 1 1 w wers pesymstyczne ( = 0,0) dla S = S = S F = F = F. pes = 0 u pes = 0 u 2. W ażdym z utworzonych w powyższy sposób nerozmytych harmonogramów sprawdzaących wyznacza sę masymalne zużyce -tego zasobu, wyorzystuąc zależność (12) P( r <ρ ) P t = 1,..., T = 0,0, 1,0; = 0,0, 1,0 gr 3. Wyorzystuąc zależnośc (18) (19) w ażdym harmonograme sprawdzaącym ocena sę spełnene warunu (10) P( r R ) P t = 1,..., T, = 0,0, 1,0; = 0,0, 1,0 gr W przypadu spełnena warunu (11) w ażdym z nerozmytych harmonogramów sprawdzaących dla danego warantu harmonogramu rozmytego ustala sę wartość func celu w zadanu (6) z wyorzystanem zależnośc (15) (16). Po zrealzowanu zadane lczby terac algorytm genetyczny wsazue rozwązane zadana (6) w postac lst lczb rzeczywstych oreślaących nośn rdzene poszczególnych lczb trapezowych L. Lczby L modeluą opóźnena termnów rozpoczęca poszczególnych czynnośc, zapewnaące masymalzacę prawdopodobeństwa dotrzymana lmtu
243 czasu na realzacę budowy z uwzględnenem wymaganego prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytych ogranczeń dostępnośc zasobów. Doonuąc przerou harmonogramu rozmytego na przyętym przez decydenta pozome pewnośc oszacowań czasów wyonana robót oraz uwzględnaąc pozom aceptac ryzya nedoszacowana rzeczywstych czasów wyonana robót (wsaźn ), uzysue sę harmonogram zwyły (nerozmyty), spełnaący przyęte ryterum nezawodnośc. Termny realzac robót w harmonograme zwyłym wyznacza sę na podstawe zależnośc (9) (10). 6. Przyład Przebeg newele budowy odwzorowue ednopuntowa seć powązań przedstawona na rys. 4. Nezbędne lczebnośc zespołów roboczych neprecyzyne oszacowane czasy wyonana poszczególnych robót zestawono w tabel 1. Rys. 4. Seć powązań do przyładu wyorzystana przedstawone metody Fg. 4. Networ for example problem Dane lczbowe do sec powązań według rys. 4 Tabela 1 Czynność, Lczebność zespołu, r Czas wyonana, D 1 17 (2, 4, 6, 8) 2 12 (4, 6, 6, 10) 3 8 (4, 6, 6, 8) 4 10 (6, 8, 8, 10) 5 11 (4, 8, 10, 12) 6 9 (6, 10, 10, 12) 7 11 (4, 6, 8, 10) Wymagany czas realzac budowy wynos T d = 30 zman roboczych. Ogranczene dostępnośc zasobów sły robocze wynos ooło 30 robotnów est modelowane przez lczbę rozmytą R = (25, 30, 30, 35). Wymagane prawdopodobeństwo dotrzymana rozmytego ogranczena dostępnośc zasobów sły robocze wynos P gr = 0,75.
244 Przyęto, że w przypadu onfltów zasobowych perwszeństwo w przydzale zasobów przysługue czynnoścom o nższym numerze dentyfacynym. Masymalne opóźnena termnów rozpoczęca poszczególnych czynnośc wynoszą, L = D, L = D, L = D D, L = D 4 max 3 5 max 4 6 max 4 5 max L = D, L = D D 2max 1 3 max 1 2 7 6 Wyn oblczeń zestawono w tabel 2. W przypadu pomnęca ogranczena dostępnośc sły robocze planowany czas realzac budowy wynos od ooło 20 do ooło 24 zman roboczych est modelowany przez lczbę rozmytą T = (14, 20, 24, 32). Masymalne zatrudnene dzenne wynos 37 robotnów. Natomast planowany czas realzac budowy z uwzględnenem wymaganego prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytych ogranczeń dostępnośc sły robocze wynos od ooło 24 do ooło 30 zman roboczych est modelowany przez lczbę rozmytą T = (16, 24, 30, 38). Prawdopodobeństwo realzac budowy w wymaganym czase wynos P( T < T d ) = 0,77. Masymalne zatrudnene dzenne w ażdym z harmonogramów sprawdzaących wynos r = 29 robotnów, gdze = 0.0 lub 1.0, = 0.0 lub 1.0. W ażdym z harmonogramów sprawdzaących prawdopodobeństwo dotrzymana rozmytego ogranczena dostępnośc sły robocze wynos P( r < R ) = 0,83. Zestawene wynów oblczeń Tabela 2 Czynność, Nawcześnesze rozmyte termny rozpoczęca ES zaończena EF Opóźnena L Planowane rozmyte termny rozpoczęca S zaończena F S (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) 1 (0, 0, 0, 0) (2, 4, 6, 8) (0, 0, 0, 0) (2, 4, 6, 8) 2 (0, 0, 0, 0) (4, 6, 6, 10) (0, 0, 0, 0) (4, 6, 6, 10) 3 (0, 0, 0, 0) (4, 6, 6, 8) (2, 4, 6, 8) (2, 4, 6, 8) (6, 10, 12, 16) 4 (4, 6, 6, 10) (10, 14, 14, 20) (4, 6, 6, 10) (10, 14, 14, 20) 5 (4, 6, 6, 10) (8, 14, 16, 22) (6, 10, 12, 16) (10, 18, 22, 28) 6 (4, 6, 6, 8) (10, 16, 16, 20) (4, 4, 4, 4) (10, 14, 16, 20) (16, 24, 26, 32) 7 (10,14,16, 22) (14, 20, 24, 32) (10, 18, 22, 28) (14, 24, 30, 38) F (14, 20, 24, 32 (14, 20, 24, 32) (16, 24, 30, 38) (16, 24, 30, 38) Na rysunu 5 przedstawono harmonogram rozmyty, uzysany w wynu masymalzac prawdopodobeństwa realzac budowy w wymaganym czase z uwzględnenem wymaganego prawdopodobeństwa dotrzymana rozmytego ogranczena dostępnośc sły robocze. Natomast na rys. 6 przedstawono harmonogram zwyły, sporządzony na podstawe uzysanego harmonogramu rozmytego przy założenu bardzo duże nepewnośc oszacowań czasów wyonana robót ( = 0,1) oraz przy założenu mne nż średne słonnośc decydenta do aceptac ryzya nedoszacowana rzeczywstych czasów wyonana
245 robót ( = 0,4). Termny realzac robót w harmonograme zwyłym wyznaczono na podstawe zależnośc (9) (10). Planowany czas realzac budowy wynos T = 28 = 0,1 zman roboczych. Masymalne zatrudnene dzenne wynos r = 0,1 = 0,4 = 0,4 = 29 robotnów. S ~ S : czynność 1 ~ F : czynność 2 czynność 3 czynność 4 czynność 5 czynność 6 czynność 7 F Rys. 5. Harmonogram rozmyty, uzysany w wynu wyorzystana przedstawone metody Fg. 5. Fuzzy schedule, generated by usng the method descrbed Dla porównana, eżel załada sę bardzo dużą pewność oszacowań czasów wyonana robót ( = 0,9) oraz bardzo dużą słonność decydenta do aceptac ryzya ( = 0,9), to = 0,9 planowany czas realzac budowy wynos T = 24 zmany robocze, przy ne zmenonym masymalnym zatrudnenu dzennym. 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 = 0,9
246 Czynność 2 4 6 8 10 12 DNI ROBOCZE 14 16 18 20 22 24 26 28 30 1 2 3 4 5 6 7 21 r 29 29 29 20 18 18 21 11 = 0,1 t = 0, 4 20 20 20 20 20 11 11 Rys. 6. Harmonogram zwyły, sporządzony na podstawe uzysanego harmonogramu rozmytego Fg. 6. Regular schedule, based on the obtaned fuzzy schedule 7. Podsumowane W nneszym artyule przedstawono metodę harmonogramowana budowy według ryterum nezawodnośc w przypadu neprecyzynośc danych o sutach przewdywanych załóceń przebegu robót o dostępnośc zasobów. Posyblstycznym elementem metody est wyorzystane lczb rozmytych dla modelowana neprecyzynośc oszacowań czasów wyonana poszczególnych robót neprecyzynośc danych o dostępnośc środów produc. Rozmyte oszacowana czasów wyonana robót uwzględnaą sut załóceń możlwych do wystąpena, ale trudnych do oceny loścowe. Probablstycznym elementem metody est ocena prawdopodobeństwa dotrzymana wymaganego czasu budowy z uwzględnenem rozmytych ogranczeń dostępnośc zasobów. Dla umożlwena oceny odpowednch prawdopodobeństw wyorzystano oncepcę -przeroów lczby rozmyte. Prawdopodobeństwo dotrzymana wymaganego czasu budowy ustala sę w wynu agregac prawdopodobeństw wyznaczonych dla poszczególnych pozomów subetywne warygodnośc oszacowana czasów wyonana robót. Podobne, prawdopodobeństwo dotrzymana ogranczena dostępnośc danego zasobu ustala sę w wynu agregac prawdopodobeństw wyznaczonych dla poszczególnych pozomów subetywne warygodnośc oszacowana danego ogranczena. Wyorzystuąc algorytm genetyczny, uzysue sę har-
247 monogram rozmyty, uwzględnaący ryterum masymalzac prawdopodobeństwa dotrzymana wymaganego czasu realzac budowy przy zadanym prawdopodobeństwe dotrzymana rozmytych ogranczeń zasobowych. Harmonogram zwyły uzysue sę, doonuąc -przerou harmonogramu rozmytego oraz wyorzystuąc ryterum Hurwcza. Uzysany harmonogram uwzględna przyęty przez decydenta pozom pewnośc oszacowań czasów wyonana robót oraz słonność decydenta do aceptac ryzya nedoszacowana rzeczywstych czasów wyonana robót. Przedstawony przyład lczbowy wsazue, że metoda umożlwa harmonogramowane budowy według ryterum nezawodnośc w przypadu neprecyzynośc danych o warunach realzac robót. Lteratura [1] Dubos D., Prade H., Operatons on fuzzy numbers, Internatonal Journal of Systems Scence, 9, 1978, 613-626. [2] Dubos D., Prade H., Possblty theory, Plenum Press, New Yor 1988. [3] Dubos D., Prade H., Sandr S., On possblty/probablty transformatons, Proceedngs of 4 th IFSA Conference, Brussels 1991. [4] Hape M., Sł owń s R., Fuzzy prorty heurstcs for proect schedulng, Fuzzy Sets and Systems, 83, 1996, 291-299. [5] Hape M., Sł owń s R., Fuzzy set approach to mult-obectve and mult-mode proect schedulng under uncertanty, [n:] Hape M., Słowńs R. (ed.), Schedulng Under Fuzness, Physca-Verlag, Hedelberg, 197-221. [6] K u c h t a D., Męa matematya w zarządzanu. Zastosowane lczb przedzałowych rozmytych w rachunowośc zarządcze, Ofcyna Wydawncza Poltechn Wrocławse, Wrocław 2001. [7] Leu S.S., Chen A.T., Yang C.H., A GA-based fuzzy optmal model for constructon tme-cost trade-off, Internatonal Journal of Proect Management, 19, 2001, 47-58. [8] Lorterapong P., Moselh O., Proect-networ analyss usng fuzzy sets theory, Journal of Constructon Engneerng and Management, ASCE, 122(4), December 1996, 308-318. [9] O l v e r o s A.V.O., F a y e A.R., Fuzzy logc approach for actvty delay analyss and schedule updatng, Journal of Constructon Engneerng and Management, ASCE, 131(1), 42-51. [10] Pan N.F., Hadprono F.C., Whtlatch E., A fuzzy reasonng nowledgebased system for assessng ran mpact n hghway constructon schedulng: Part I. Analytcal model, Journal of Intellgent and Fuzzy Systems, 16, 2005, 157-167. [11] P a n H., Y e h C.H., Fuzzy proect schedulng, Proceedngs of the IEEE Internatonal Conference on Fuzzy Systems, 2003, 755-760. [12] Rutows L., Metody techn sztuczne ntelgenc, Wydawnctwo Nauowe PWN, Warszawa 2006. [13] Wang J., A fuzzy proect schedulng approach to mnmze schedule rs for product development, Fuzzy Sets and Systems, 127, 2002, 99-116. [14] W a n g J., A fuzzy robust schedulng approach for product development proects, European Journal of Operatonal Research, 152, 2004, 180-194.