7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce a zkoumání křivek. 7A. Taylorův polynom V matematické analýze známe řadu tzv. elementárních funkcí, např. sin, cos, e, ln, log, tg, arcsin, arctg. Známe jejich chování, přesné vyčíslení jejich hodnoty v konkrétním bodě (až na několik výjimek) však není možné. Počítat umíme pouze s racionálními čísly, tato čísla umíme sčítat, odčítat a násobit. Proto dovedeme vyčíslit libovolný polynom s racionálními koeficienty v libovolném racionálním bodě. Umíme také dělit, což umožňuje vyčíslit i libovolnou hodnotu racionální funkce. Jak vyčíslit hodnotu elementární funkce alespoň přibližně? Přesnou hodnotu stejně v prai nepotřebujeme, stačí hodnota s požadovanou přesností, např. na 3 nebo 6 desetinných míst. K tomu se využívá tzv. Taylorův polynom, který dokáže spočítat hledanou hodnotu s předem danou přesností. Jak to dělá kalkulačka, když počítá například e 0.? Kalkulačka v sobě nemá zabudované tabulky hodnot, ale využívá krátké programy, které vyčíslí hodnotu příslušného polynomu v daném bodě s požadovanou přesností. Pro určení hodnoty funkce e v bodě = 0. lze využít Taylorův polynom pátého stupně funkce e, který (jak odvodíme později) má tvar P () = + + 2 + 3 + 4 + 5. 2 6 24 20 Jeho hodnota pro = 0. je.05766666, zatímco e 0.. =.05709807. Chyba, tj. rozdíl obou hodnot, je malá, asi 7.5 0 7. Poznamenejme, že pro výpočet hodnoty e, např. v bodě = 0, by chyba byla příliš velká, proto bude potřeba jiný polynom. Pro každou elementární funkci je v kalkulačce naprogramovaný algoritmus, který počítá hodnotu funkce pomocí polynomu. Použitý polynom závisí nejen na funkci, ale i na hodnotě, ve které chceme hodnotu funkce vyčíslit. Odvození Uvažujme funkci f(), kterou chceme aproimovat polynomem čtvrtého stupně T 4 () v okolí bodu nula, ve kterém umíme vyčíslit hodnotu funkce i její derivace. Polynom hledáme ve tvaru T 4 () = c 0 + c + c 2 2 + c 3 3 + c 4 4. Jak zvolit koeficienty c i? Nejjednodušší je požadovat, aby funkce i polynom měly v bodě 0 = 0 stejné hodnoty i hodnoty derivace: f(0) = T 4 (0), f (0) = T 4(0), f (0) = T 4 (0), f (3) (0) = T (3) 4 (0), f (4) (0) = T (4) 4 (0). První rovnost f(0) = T 4 (0) dává f(0) = T 4 () =0 = [ c 0 + c + c 2 2 + c 3 3 + c 4 4] =0 = c 0, Brook Taylor (685-73), anglický matematik. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom protože všechny kladné mocniny k jsou v bodě = 0 nulové. Odtud plyne vyjádření nultého koeficientu c 0 = f(0). Druhá rovnost, tedy rovnost prvních derivací, dává f (0) = f () =0 = T 4() =0 = [ c + 2 c 2 + 3 c 3 2 + 4 c 4 3] =0 = c, odkud plyne c = f (0). Rovnost druhých derivací dává f (0) = T k () =0 = [ 2 c 2 + 3 2 c 3 + 4 3 c 4 2] =0 = 2 c 2, odkud plyne c 2 = 2 f (0). Rovnost třetích derivací dává f (3) (0) = T (3) 4 () =0 = [3 2 c 3 + 4 3 2 c 4 ] =0 = 3 2 c 3, odkud plyne c 3 = 3 2 f (3) (0). Konečně z rovnosti derivací čtvrtého řádu dostáváme f (4) (0) = T (4) 4 () =0 = 4 3 2 c 4. Označme součin přirozených čísel od do k symbolem k!, tzv. faktoriál čísla k, přitom definujeme! = 0! = 2. Potom výsledek můžeme zapsat ve tvaru c 4 = 4! f (4) (0). Taylorův polynom čtvrtého stupně funkce f() tak můžeme zapsat ve tvaru: T 4 () = f(0) 0! + f (0)! + f (0) 2! 2 + f (3) (0) 3! 3 + f (4) (0) 4! V případě polynomu stupně n, k-tý (k n) člen c k k po k-té derivaci dává k! c k, tedy z rovnosti f (k) (0) = T n (k) (0) plyne c k = f (k) (0)/k!. Pokud nás zajímají hodnoty v okolí bodu 0, polynom stupně n zapíšeme s tzv. středem v bodě 0 ve tvaru mocnin dvojčlenu ( 0 ): T n () = c 0 + c ( 0 ) + c 2 ( 0 ) 2 + c 3 ( 0 ) 3 + c 4 ( 0 ) 4 + + c n ( 0 ) n. V tomto tvaru lze snadno odvodit koeficienty c k a také vyčíslit hodnoty v okolí bodu 0. Definice Zobecnění předchozího odvození vede k definici Taylorova polynomu: Definice 7.. (Taylorův polynom) Necht funkce f() má v bodě 0 derivace do řádu n. Potom Taylorův polynom stupně n se středem v bodě 0 je polynom T f, 0 n () = n k=0 f (k) ( 0 ) k! + f (3) ( 0 ) 3! 4. ( 0 ) k f( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) + f ( 0 ) 2! ( 0 ) 3 + + f (n ) ( 0 ) (n )! ( 0 ) 2 + ( 0 ) n + f (n) ( 0 ) n! ( 0 ) n. Pokud je z kontetu jasné, o kterou funkci a střed jde, symboly funkce f a středu 0 v označení Taylorova polynomu můžeme vynechat a psát jenom T n (). Taylorův polynom se středem 0 = 0 se nazývá také Maclaurinův polynom. Pro aproimaci hodnot funkce f() v bodě používáme Taylorův polynom se středem v bodě 0, který je (podle možností) blízký bodu, aby chyba aproimace byla co nejmenší. V Taylorově polynomu se středem 0 0 jednotlivé mocniny ( 0 ) k neroznásobujeme, při numerickém vyčíslování jejich hodnoty by docházelo k velkým zaokrouhlovacím chybám. 2 Hodnota 0! = plyne z pravidla (k + )! = k!(k + ), které pro k = 0 dává =! = 0!. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 2

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom Poznámky 7.2. Často se střed Taylorova polynomu označuje a, potom n Tn f,a f (k) () = ( a) k f +f ( a)+ f k! 2! k=0 ( a) 2 + + f (n) n! ( a) n. Podmínkou eistence Taylorova polynomu stupně n funkce f() (rozvoje v bodě 0 ) je pouze eistence derivací funkce f() do řádu n v bodě 0. Taylorův polynom tak nezávisí na tom, jak se chová funkce f() a její derivace v bodech různých od 0. Proto odlišné funkce mohou mít stejné Taylorovy polynomy. Například přičtením násobku ( 0 ) n+ k funkci f() dostaneme jinou funkci, Taylorův polynom stupně n se přitom nezmění. Taylorův polynom nultého stupně je konstantní funkce T 0 () = f( 0 ). Taylorův polynom prvního stupně T () = f( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) určuje rovnici tečny y = T () ke grafu funkce f() v bodě 0. f() T () T 0 () 0 Obr. 7.: Taylorův polynom T 0 () nultého stupně a T () prvního stupně funkce f(). (d) Taylorův polynom T f, 0 n () funkce f() lze zapsat pomocí diferenciálů d k f( 0 ) s přírůstkem d = 0. Protože df( 0 )( 0 ) = f ( 0 ) ( 0 ), d 2 f( 0 )( 0 ) = f ( 0 ) ( 0 ) 2, d 3 f( 0 )( 0 ) = f (3) ( 0 ) ( 0 ) 3, Taylorův polynom třetího stupně se středem v bodě 0 můžeme zapsat ve tvaru T 3 () = f( 0 ) + df( 0 )( 0 ) + 2! d2 f( 0 )( 0 ) + 3! d3 f( 0 )( 0 ). (e) Je-li funkce f() polynom stupně p, tj. f() = b 0 +b +b 2 2 + +b p p, potom Taylorův polynom této funkce stupně n p se středem v 0 = 0 je polynom se stejnými koeficienty b i. Pokud n > p, potom koeficienty u p+,..., n jsou nulové, tj. Tn f,0 () f(). Pokud vezmeme Taylorův polynom této funkce s jiným středem 0 0, tj. T f, 0 n () = c 0 + c ( 0 ) + c 2 ( 0 ) 2 + + c n ( 0 ) n, potom příslušný Taylorův polynom má sice jiný tvar a jiné koeficienty, ale dává stejné hodnoty T f, 0 n () = f() a po roznásobení mocnin ( 0 ) k a následné úpravě dostaneme původní polynom f(). (f) Například polynom f() = 4 3 3 + 4 2 7 + 2 má v bodě 0 = derivace f() = 3 + 4 7 + 2 = 3, f () = 4 9 + 8 7 = 4, f () = 2 8 + 8 = 2, f (3) () = 24 8 = 6, f (4) () = 24, Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom vyšší derivace f (k) () jsou nulové. Taylorův polynom čtvrtého (i vyššího) stupně je T f(), 4 () = 3 4( ) + ( ) 2 + ( ) 3 + ( ) 4 a po roznásobení dostaneme původní polynom f() = 2 7 + 4 2 3 3 + 4. (g) (h) Rozdíl hodnoty Taylorova polynomu T n () se středem v bodě 0 a funkce f() se při 0 zmenšuje. Také při zvyšování stupně polynomu se rozdíl obvykle zmenšuje. Pozor, Taylorův polynom je polynomem, tj. součet mocnin ( 0 ) k : člen ( 0 ) k násobíme hodnotou derivace funkce v bodě 0. Studenti však často chybně píší: T 2 () = f() + f () ( 0 ) + 2 f () ( 0 ) 2, což však není polynom! (Kromě případu kdy f() je polynom.) Taylorův polynom vybraných funkcí Vyčíslením derivací ve vhodném bodě můžeme napsat Taylorův polynom funkce. Uved me Taylorův polynom vybraných funkcí. Eponenciální funkce. Funkce e je definována na celém R a má všechny derivace stejné e = [e ] = [e ] = [e ] (3) = = [e ] (k). Zvolíme-li 0 = 0, pak jsou všechny derivace [e ] (k) =0 =. Taylorův polynom stupně n je proto T n () = n k=0 k k! = + + 2 2 + 3 3! + 4 4! + 5 5! + + n n!. Vzorec můžeme použít k vyčíslení Eulerovy konstanty e dosazením = e. = + + 2 + 3! + 4! + 5! + + n!. K dané přesnosti stačí mnohem menší n, než při výpočtu pomocí limity ( + n) n pro n. Pokud za střed 0 zvolíme bod, dostáváme polynom T n () = n k=0 e k! ( )k = e+e ( )+ e 2 ( )2 + e 3! ( )3 + e 4! ( )4 + + e n! ( )n. Poznamenejme, že pro blízká 0 dává Taylorův polynom se středem 0 = 0 dobré výsledky, pro jiná by bylo nutno zvolit dosti vysoký stupeň polynomu. Místo toho k vyčíslení e využijeme vlastností eponenciální funkce e +y = e e y, e k = (e ) k umožňující zmenšit (v absolutní hodnotě). Například e 5 spočítáme vyčíslením e /2 a jeho umocněním na desátou. Logaritmická funkce. Funkce ln je definovaná na intervalu (0, ). Proto za střed nelze vzít nulu. Vhodný střed je 0 =, jednodušší je však funkci posunout na ln( + ) a vzít za Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom střed 0 = 0. Spočítejme derivace funkce ln( + ): [ln( + )] = [ln( + )] =, +, (+) 2 [ln( + )] (3) = 2 (+) 3,......, [ln( + )] (k) = ( ) k (k )! (+) k. Pro 0 = 0 je f( 0 ) = ln( + 0 ) = 0, v dalších členech ve vzorci se nám v podílu f (k) (0) k! faktoriály zkrátí na ( ) k. Můžeme proto psát k n ( ) k T n () = k = 2 k 2 + 3 3 4 4 + + ( )n n. n k= Poznámky 7.3. Poznamenejme, že tento polynom dává rozumné hodnoty jen pro blízké 0. Pro > se při zvyšování stupně n Taylorova polynomu chyba zvětšuje, hodnoty f() a T n () se stále více rozbíhají. Pro výpočet funkce ln(+) pro lze užít trik ln(+)= ln ( díky kterému lze hodnoty logaritmu počítat pomocí součtu ln( + ) =. n ( ( ) k ) k n ( ) k =. k + k + k= k= + ) = ln ( +), Počítáme-li ln( + ) pro velká, potom je číslo blízké jedničce a bylo by nutné + volit vysoký stupeň polynomu. Využijeme proto vlastností logaritmu ln( y) = ln +ln y a například ln(000) budeme počítat ln(000) = ln ( ) ( 2 0 000 2 = 0 ln(2) + ln 000 ( 024) = 0 ln ) ( 0 2 + ln 25 28), přičemž pro vyčíslení výsledných logaritmů není potřeba vysokého stupně polynomu. (d) Koeficienty Taylorova polynomu pro funkci ln( + ) se obvykle odvozují z derivace [ln( + )] =, kterou lze chápat jako součet geometrické řady + i=0 qn = q s kvocientem q =. Taylorův polynom potom dostaneme integrací jednotlivých členů. Integraci budeme probírat v dalších kapitolách. Funkce sinus. Funkce sin je definovaná na R. Její derivace řádu k = 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 jsou sin, cos, sin, cos, sin, cos, sin, cos,.... Funkce se opakují s periodou 4, protože [sin ] (k+4) = [sin ] (k). Pro střed 0 = 0 dostáváme postupně hodnoty 0,, 0,, 0,, 0,,.... Taylorův polynom má proto každý druhý člen roven nule, nenulové jsou jen liché mocniny. Je to v souladu se skutečností, že funkce sin je lichá. Polynom funkce sin stupně 2n + lze proto zapsat ve tvaru T 2n+ () = n k=0 ( ) k (2k + )! 2k+ = 3! 3 + 5! 5 + + ( )n (2n + )! 2n+. Jako cvičení napište Taylorův polynom druhého stupně funkce sin se středem 0 = π 6, π 4, π 3, π 2. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom Funkce kosinus. Funkce cos je také definovaná na celém R. Napišme její derivace řádu k = 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7... cos, sin, cos, sin, cos, sin, cos, sin,.... Funkce se opět opakují s periodou 4: [cos ] (k+4) = [cos ] (k). Pro střed 0 = 0 pak dostáváme hodnoty, 0,, 0,, 0,, 0.... Taylorův polynom má proto každý druhý člen nulový, nenulové jsou jen sudé mocniny, což je v souladu se skutečností, že funkce cos je sudá. Polynom stupně 2n lze zapsat ve tvaru T 2n () = n k=0 ( ) k (2k)! 2k = 2 2 + 4! 4 + + ( )n (2n)! 2n. Jako cvičení napište Taylorův polynom druhého stupně funkce cos se středem 0 = π 6, π 4, π 3, π 2. Poznamenejme, že pro vzdálenější od nuly k vyčíslení sin a cos je vhodné přiblížit hodnotu k nule s využitím známých vzorců sin = sin( + 2π) = sin( + π) = sin(π ) a analogických vzorců pro cos. Funkce arkus tangens. Uved me Taylorův polynom stupně (2n+) funkce arctg pro 0 = 0 n ( ) k T 2n+ () = 2k + 2k+ = 3 3 + 5 5 7 7 + + ( )n 2n + 2n+. k=0 Vzorec lze pro malé n odvodit derivováním, odvození obecného případu vychází z první derivace [arctg ] = + 2, kterou lze brát jako součet geometrické řady s kvocientem q = 2 [arctg ] = ( 2 ) = 2 + 4 6 + 8 0 +... a jednotlivé členy následně integrovat. Pozor, ačkoliv funkce arctg je definovaná v celém R, polynom dává rozumné výsledky aproimace funkce arctg jenom pro <, pro > se chyba stále zvětšuje se zvyšováním stupně polynomu. Taylorův zbytek Při aproimaci hodnot funkce f() příslušným Taylorovým polynomem T n () stupně n nás zajímá chyba aproimace, tj. rozdíl skutečné hodnoty f() a hodnoty polynomu T n (). Označíme jej písmenem R n () podle slova reziduum znamenající zbytek. f() T 2 () f( 0 ) R 2 () 0 Obr. 7.2: Taylorův zbytek R 2 () = f() T 2 (). Definice 7.4. Bud T n () Taylorův polynom funkce f() stupně n se středem v bodě 0. Rozdíl R n () = f() T n () nazýváme Taylorův zbytek. Jak lze odhadnout Taylorův zbytek? Taylorův polynom nultého stupně se středem 0 je konstantní funkce T 0 () = f( 0 ). Podle Věty o střední hodnotě pro > 0 Taylorův zbytek lze vyjádřit pomocí první derivace R 0 () = f() T 0 () = f() f( 0 ) = f (ξ)( 0 ), ξ ( 0, ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom Taylorův zbytek pro Taylorův polynom vyššího stupně lze vyjádřit v tzv. Lagrangeově tvaru pomocí derivace funkce f() řádu (n + ): Věta 7.5. (Taylorova věta) Necht funkce f() má v okolí bodu 0 derivace do řádu (n+). Potom pro každé v tomto okolí eistuje ξ mezi body 0 a takové, že Taylorův zbytek R n () = f() T n () lze vyjádřit ve tvaru R n () = f (n+) (ξ) (n + )! ( 0) n+. Poznámky 7.6. Taylorův zbytek (v uvedeném tzv. Lagrangeově tvaru) má tvar (n+)-ho členu Taylorova polynomu, jen derivace řádu n+ není v bodě 0, ale v bodě ξ ležícím mezi 0 a. Abychom nemuseli rozlišovat, zda je menší nebo větší než 0, lze bod ξ napsat ve tvaru ξ = 0 + t( 0 ), kde t (0, ). Místo označení f() T n () = R n () někteří autoři označují zbytek Taylorova polynomu stupně n symbolem R n+ (), tj. f() T n () = R n+ (), kvůli podobnosti uvedeného vyjádření zbytku s (n+)-ním členem Taylorova polynomu. Vedle uvedeného tzv. Lagrangeova tvaru Taylorova zbytku se v literatuře uvádí i tzv. Cauchyův tvar Taylorova zbytku R n () f() T n () = f (n+) (η) n! ( η) n ( 0 ), kde η je opět číslo mezi 0 a. Čísla η z Cauchyova a ξ z Lagrangeova vzorce nemusí být stejná. Pro úplnost uved me ještě integrální tvar, který udává přesnou hodnotu Taylorova zbytku ve formě určitého integrálu R n () f() T n () = 0 f (n+) (t) n! Pojem určitého integrálu bude probírán později. ( t) n ( 0 ) dt. Idea důkazu Taylorovy věty Pro zájemce odvodíme Taylorův zbytek nejdříve v Cauchyově tvaru pro případ Taylorova polynomu třetího stupně a pro > 0. Platí R 3 () f() T 3 () = f() f( 0 ) f ( 0 ) ( 0 ) f ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 f (3) ( 0 ) 3! ( 0 ) 3. Nyní vezmeme pevné a 0 nahradíme proměnnou t. Novou funkci proměnné t označíme F (t) F (t) = f() f(t) f (t) ( t) f (t) 2 ( t) 2 f (3) (t) 3! ( t) 3. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom Tedy pro t = 0 je F ( 0 ) = R 3 () a pro t = je F () = 0. Funkci F (t) derivujme podle proměnné t proměnná je nyní konstanta, přitom pozor na derivaci [( t) k ] = k( t) k : F (t) = f (t) f (t) ( t) + f (t) f (3) (t) 2 ( t) 2 + f (t) ( t) f (4) (t) ( t) 3 + f (3) (t) ( t) 2. 3! 2 Tři dvojice členů se navzájem odečtou, čímž získáváme vyjádření derivace funkce F (t) F (t) = f (4) (t) ( t) 3. 3! Odvozený vztah pro derivaci nám umožní odvodit tvar Taylorova zbytku. Cauchyův tvar zbytku odvodíme pomocí Lagrangeovy Věty o střední hodnotě (Věta 6.24). Pro diferencovatelnou funkci F (t) na intervalu 0,, eistuje η ( 0, ), že platí F () F ( 0 ) = F (η) ( 0 ). Protože F ( 0 ) = R 3 () a F () = 0, platí F () F ( 0 ) = R 3 (). Využijeme-li odvozené vyjádření (*) derivace funkce F (t), dostáváme Cauchyův tvar Taylorova zbytku R 3 () = f (4) (η) 3! ( η) 3 ( 0 ). Nejčastější Lagrangeův tvar zbytku dostaneme ze vztahu (*) pomocí následující věty: (*) Věta 7.7. (Zobecněná věta o střední hodnotě) Bud te F (t) a g(t) spojité funkce na intervalu a, b, mající derivace F (t), g (t), přičemž g (t) 0 pro t (a, b). Potom eistuje ξ (a, b) takové, že F F g g = F (ξ) g (ξ). Tvrzení dokážeme pomocí Rolleovy věty (Věta 6.23). Položme Φ(t) = (F (t) F )(g g) (g(t) g)(f F ). Dosazení t = a a t = b dává nulové hodnoty Φ = 0 a Φ = 0, přitom derivace Φ (t) = F (t)(g g) g (t)(f F ). Podle Rolleovy věty eistuje ξ (a, b) takové, že Φ (ξ) = 0, odkud plyne tvrzení. Vrat me se k odvození Taylorova zbytku. Napišme tvrzení předchozí věty pro funkci F (t) a funkci g(t) = ( t) 4 na intervalu ( 0, ), tj. a = 0 a b = : F () F ( 0 ) ( ) 4 ( 0 ) = F (ξ) 4 4( ξ). 3 Nyní stačí využít F () = 0, F ( 0 ) = R 3 () a dosadit za F (ξ) z rovnosti (*) pro t = ξ. Dostáváme tak R 3 () ( 0 ) = 4 f (4) (ξ) 4( ξ) 3 6 ( ξ) 3 = f (4) (ξ) 4! odkud úpravou dostaneme Lagrangeův tvar zbytku. Důkaz případu < 0 je stejný. Rozšíření důkazu pro Taylorův polynom k-tého stupně také nečiní potíže. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8,

7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom Příklady odhadu Taylorova zbytku Ukažme odhad chyby Taylorova polynomu funkce f() = e. Uvažujme polynom T 5 () se středem 0 = 0 v bodě > 0. Podle Taylorovy věty eistuje ξ ( 0, ) splňující R 5 () = f (6) (ξ) 6! 6 = eξ 6! 6. Protože e je rostoucí funkce a ξ < platí e ξ < e. Výsledný odhad vyčíslíme pro = 0.2 R 5 () < e 6! 6, R 5 (0.2) < e0.2 6! (0.2)6. =.09 0 7. Jaký stupeň polynomu musíme vzít, aby chyba e 0.2 byla menší než 0 2? Platí R n (0.2) < e0.2 (n + )! (0.2)n+. Pro n = 8 odhad dává chybu.7 0 2, pro n = 9 je chyba jenom 3.4 0 4. Proto stačí polynom 9. stupně. Při odhadu chyby vyčíslení funkce sin nebo cos lze využít toho, že sin a cos, proto pro polynom stupně n se středem v 0 platí R n () 0 n+ (n + )!. Pro vzdálenější od středu 0, tj. pro velké 0 zbytek R n () je velmi velký. V některých případech (např. Taylorova polynomu pro funkce arctg ) se chyba zvětšuje s vyšším stupněm polynomu. Pro efektivní výpočet hodnoty využijeme vlastností funkce. Například chceme-li vyčíslit hodnotu sin(0) Taylorovým polynomem, hodnotu nejprve upravíme zmenšením argumentu 0 = 3 π +(0 3 π) = 3π +h, kde h. = 0.575222038. Díky vlastnostem funkce sin platí sin(0) = sin(0 3 π) = sin(h) a Taylorův polynom 7. stupně dává sin(0) = sin(h) =. T 7 () = h + h3 3! h5 5! + h7 7!. = 0.54402098. Odhadněme chybu. Jedná se součet typu s k = a 0 a + a 2 a 3 + + ( ) k a k, tj. členy součtu střídají znaménko. Přitom navíc velikosti jednotlivých členů a i se zmenšují a 0 > a > a 2 > > a n > a n > 0. Proto pro lichá k platí s k+2 = s k + a k+ a k+2 > s k a pro sudá k platí s k+2 = s k a k+ + a k+2 < s k. Označíme-li s k s k, dostáváme posloupnost nerovností s < s 3 < s 5 < s 7 < < s < s 6 < s 4 < s 2 < s 0. Pro liché k platí s k < s < s k+ = s k + a k+. Odečtení s k dává 0 < s s k < a k+. Podobně pro sudé k z nerovností s k+ = s k a k+ < s < s k plyne a k+ < s s k < 0, tj. 0 < s k s < a k+. V obou případech dostáváme odhad rozdílu s k s < a k+. V našem případě rozdíl sin(h) T 7 (h) je menší než další člen h 9 /9!, tj. R 7 (h) h9 9!. =.9 0 8. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9

7. Aplikace derivace 7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit limitu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu limita součtu (násobku, součinu, podílu, složení) je součet (násobek, součin, podíl, složení) jednotlivých limit a stačí do výrazu dosadit příslušné hodnoty. Je však potřeba zpozornět, když příslušná funkce má ve zkoumaném bodě nevlastní limitu nebo operace v limitě není definovaná, například dělení nulou. Někdy výpočet limity nedělá problém: například součet nekonečna a konečné hodnoty, součin kladného čísla s nekonečnem, podíl konečného čísla a nekonečna. Situace je jasná, když limity jsou v souladu, například 0 pro následující typy limit platí: + =, =, 0 0 = 0, = 0. 0 Problém nastává, pokud tyto limity jdou proti sobě, například, 0,,, 0 v těchto případech mluvíme o limitách neurčitých výrazů. Výpočet limity neurčitých výrazů ve tvaru podílu lze často určit pomocí derivace užitím tvrzení, které se nazývá L Hospitalovo 3 [čti lopitalovo] pravidlo. Věta 7.8. (L Hospitalovo pravidlo pro limity typu 0 0 ) Necht funkce f() a g() mají konečné derivace v pravém redukovaném okolí ( 0, 0 + ) bodu 0 a nulové limity v bodě 0 zprava, tj. lim 0 + f() 0 + g() = 0. Necht eistuje limita podílu derivací f () lim 0 + g () konečná nebo nekonečná. Potom eistuje i limita podílu funkcí a obě limity se rovnají, tj. f() lim 0 + g() f () 0 + g (). Tvrzení platí pro oboustrannou i jednostrannou limitu zleva v konečném bodě 0 a také pro limity v nekonečnu, tj. pro nebo. Důkaz. Naznačme důkaz věty pro případ 0 +. Protože obě funkce mají nulové limity zprava v bodě 0, můžeme jejich hodnoty v 0 předefinovat tak, že jsou spojité v bodě 0 zprava, přičemž f( 0 ) = 0 a g( 0 ) = 0. Z eistence limity podílu derivací plyne, že v jistém pravém redukovaném okolí ( 0, ) podíl je definován, a proto i jmenovatel g () 0. Pomocí Věty o střední hodnotě pro funkce f() a g() na intervalu ( 0, ) pro funkce f() a g() platí f() g() = f() f( 0) g() g( 0 ) = f (c )( 0 ) g (c 2 )( 0 ) = f (c ) g (c 2 ) pro vhodné c, c 2 ( 0, ). Přejdeme-li k limitě 0, obě čísla c i ( 0, ) konvergují k 0, odkud plyne naše tvrzení. L Hospitalovo pravidlo lze využít i pro limity typu. V tomto případě důkaz není tak průhledný, proto ho vynecháme. 3 Guillaume de L Hospital (66-704) byl francouzský matematik, který toto pravidlo publikoval ve své učebnici z roku 696. Byla to první učebnice diferenciálního počtu. Pravidlo převzal z přednášek Johanna Bernoulliho (667 748). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 0

7. Aplikace derivace 7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo Věta 7.9. (L Hospitalovo pravidlo pro limity typu ) Necht funkce f() a g() mají konečné derivace v pravém redukovaném okolí bodu 0 a f() a g() nekonečnou limitu v bodě 0 zprava, tj. lim 0 + f() 0 + g() =. Necht eistuje limita podílu derivací f () lim 0 + g () konečná nebo nekonečná. Potom eistuje i limita podílu funkcí a obě limity se rovnají, tj. f() lim 0 g() f () 0 g (). Tvrzení platí pro oboustrannou i jednostrannou limitu zleva v konečném bodě 0 a také pro limity v nekonečnu, tj. pro nebo. Poznámky 7.0. Při výpočtu vždy ověřte typ limity. V případech limity typu c nebo 0 nule a nepotřebujeme využít l Hospitalovo pravidlo. je limita rovna (d) Tvrzení říká, že pokud eistuje limita vpravo tj. umíme ji určit eistuje i limita vlevo. Pokud limita vpravo neeistuje, limita vlevo může eistovat, viz Příklad 7. (d). Často nevíme, zda eistuje limita vpravo nebo ji neumíme určit. Pokud zjistíme, že jde opět o limitu typu 0 nebo, můžeme použít (zatím formálně) pravidlo ještě jednou. 0 Pokud poslední limita podílu druhých derivací eistuje, pak eistuje i limita podílu prvních derivací a díky tomu eistuje i původní limita podílu f()/g() a tyto limity jsou stejné. Někdy je třeba aplikovat pravidlo vícekrát vždy však předem musíme ověřit typ limity. Pravidlo můžeme po úpravě použít i na limity, které nemají tvar podílu, ale které lze na podíl převést, viz následující Příklady 7. (e),(f),(g),(h). Příklady 7.. Pomocí l Hospitalova pravidla můžeme spočítat známé limity sin, e v nule. Zjištěný typ neurčitého výrazu označíme v hranatých závorkách, který bude označovat, že použijeme l Hospitalovo pravidlo. [ ] sin 0 lim 0 = cos = 0 0 =, [ ] e 0 e lim = 0 0 0 = =, [ ] ln( + ) 0 + lim = 0 0 0 = =., ln(+) Poznamenejme, že uvedený výpočet limit nenahrazuje jejich důkaz, byl by to tzv. důkaz kruhem. L Hospitalovo pravidlo totiž využívá derivaci funkcí sin, e a ln, které byly odvozeny pomocí dokazovaných limit. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně

7. Aplikace derivace 7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo (d) Někdy je potřebné aplikovat l Hospitalovo pravidlo dvakrát, například při výpočtu limity: [ ] [ ] cos 0 0 + sin 0 cos lim = = = 0 2 0 0 2 0 0 2 2. Trojí aplikací l Hospitalova pravidla spočítáme limitu: e [ ] lim = e [ ] 3 3 = e [ ] 2 6 = e 6 =. Uved me případ, kdy při použití l Hospitalova pravidla limita podílu derivací vpravo neeistuje, ale původní limita vlevo eistuje. Výpočet pomocí l Hospitalova pravidla dává: 2 + sin lim [ = ] 2 + cos = 2 + lim cos. Limita vpravo neeistuje, protože funkce cos například pro = kπ nabývá hodnot cos(kπ) = ( ) k. Jednoduchou úpravou však lze spočítat původní limitu: 2 + sin lim (2 + sin ) = 2 + lim sin = 2. Také další neurčité výrazy po vhodné úpravě lze spočítat pomocí l Hospitalova pravidla. (e) Limita lim 0+ ln je neurčitý výraz typu [0 ( )]. Tento součin lze převézt na podíl dvěma způsoby. První při použití l Hospitalova pravidla výraz dělá složitější [ ] 0 ( lim ln 0+ 0+ = 0 0+ ) (ln ) 2, ln (ln ) 2 0+ což je opět neurčitý výraz typu 0. Druhý způsob vede k výsledku: ln lim ln 0+ 0+ = [ ] 0+ 2 0+ ( ) = 0. ( ) (f) Limita lim + je neurčitý výraz typu [ ]. Jako obvykle, funkci typu f() g() nejprve převedeme na typ e g() ln(f()) ( + ) [ = e ln (+ ) ] = e ln(+ ) a počítáme limitu eponentu. Proměnnou nahradíme proměnnou t = k nule zprava a l Hospitalovo pravidlo jako v příkladě dává: ( lim ln + ) [ = = t t 0+ ] t 0+ ln( + t) t = [ ] 0 0 t 0+ +t =. jdoucí Spočítali jsme tak limitu, která se užívá k zavedení Eulerovy konstanty e ( + ) = e = e. lim Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 2

7. Aplikace derivace 7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo (g) Neurčitým výrazem typu [0 0 ] je limita lim 0+. Po převedení = e ln počítáme limitu eponentu: [ ] ln lim ln 0+ 0+ = 0+ ( ) = 0, 2 0+ odkud plyne lim 0+ =. (h) Neurčitým výrazem typu [ 0 ] je limita lim /. Opět po převedení / (ln )/ = e počítáme limitu eponentu: ln [ ] lim = odkud plyne lim / = e 0 =. = 0, Několik užitečných limit Porovnejme limity funkcí ln, p a e v nule a v nekonečnu v případě, když hodnoty funkcí jdou proti sobě, například 0, 0 0,. Příklady 7.2. V nule mocnina přemůže logaritmus: ln lim ln 0+ 0+ = [ ] 0+ 2 0+ ( ) = 0. Stejný výsledek platí pro libovolnou kladnou mocninu p (p > 0), například lim 0+ 2 ln = 0, lim 0+ 3 ln = 0, lim 2 ln = 0. 0+ V nekonečnu je mocnina silnější než logaritmus, ale slabší než eponenciála: ln lim = [ ] = 0, lim e [ ] = e =. Oba výsledky platí i pro kladné mocniny p : lim ln / p = 0, lim e / p =. Eponenciála e je silnější než mocnina také v minus nekonečnu: lim e = lim e = [ ] [ t := e = t ] t e = 0. t Výsledek platí i pro obecnou kladnou mocninu: Poznámka o řádu velikosti funkce lim e p = 0. Při počítání limit typu [ 0], [ ] nebo [0 ] je informace o hodnotě limity nula nebo nekonečno 0 nedostatečná. Například v limitě pro 0 jsou hodnoty,, 2 v okolí nuly různě malé, podobně hodnoty, jsou pro 0 různě velké. Proto zavedeme pojem řád funkce v okolí 2 4 bodu, který umožňuje porovnávat velikosti nuly a nekonečna v okolí 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3

7. Aplikace derivace 7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo Definice 7.3. Bud te f() a g() funkce definované v okolí bodu 0, přičemž g() 0 pro 0. Řekneme, že funkce f() je v okolí bodu 0 řádu malé o funkce g(), píšeme f() = O(g()), pokud limita podílu obou funkcí eistuje a je nulová, tj. f() f() = O(g()) právě když lim 0 g() = 0. Za srovnávací funkci obvykle volíme mocninu g() = ( 0 ) k. Limita přitom může být oboustranná, jednostranná, v kladném nebo záporném nekonečnu. Poznámky 7.4. Vztah f() = O(g()) pro 0 znamená, že v limitě hodnoty funkce f() jsou zanedbatelné vzhledem k hodnotám funkce g(). Například užitečné limity v Příkladech 7.2 pro p > 0 lze zapsat jako ln = O( p ), p = O(e ) pro, e = O( p ) pro. V tomto označení lze říci, že zbytek R n () Taylorova polynomu T n () je řádu O(( 0 ) n ) a Taylorovy polynomy můžeme psát ve tvaru f() = T n () + O(( 0 ) n ). (d) Pro počítání se symbolikou O pro 0 platí pravidla: f() = O( p ) f() k = O( p+k ), f() = O( p ) g() = O( p ) f() + g() = O( p ), která snadno plynou z rovností f() f() k f() + g() f() g() lim, lim + lim. 0 p 0 p k 0 p 0 p 0 p Například jestliže f() = O( 2 ), potom f() 3 = O( 5 ) a f()/ 2 = O(). Pro úplnost dodejme, že pokud limita podílu f() g() je nenulová a konečná, říkáme, že funkce f() je řádu velké O g() a píšeme f() = O(g()). Využití Taylorova polynomu při výpočtu limity Příklady 7.5. Při počítání limity typu [ 0 0] pro 0 Taylorův polynom se středem v 0 může dát rychlé řešení. Uved me tři příklady Taylorův polynom druhého stupně cos = 2 2 + O( 2 ) umožňuje spočítat limitu: [ cos 2 lim 2 + O( 2 ) ] 2 2 O( 2 ) O() 2 = 0 2 0 2 0 2 0 2. Taylorův polynom třetího stupně sin = 6 3 + O( 3 ) umožňuje výpočet limity: [ sin 6 lim 3 + O( 3 ) ] 6 3 O( 3 ) O() 6 = 0 3 0 3 0 3 0 6. Taylorův polynom e = + + 2 2 + O( 2 ) zjednodušuje výpočet limity: e + e 2 lim 0 2 0 + + 2 2 + O( 2 ) + + 2 2 + O( 2 ) 2 2 0 2 + O( 2 ) 2 =. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce 7C. Průběh funkce Využití prvních derivací Znaménko derivace funkce v daném intervalu určuje, zda je funkce rostoucí nebo klesající, viz Definice 4.9. Uvažujme funkci f() v intervalu I. Může to být interval otevřený I = (a, b) nebo uzavřený I = a, b, případně I = (a, b nebo I = a, b). Může být omezený, jestliže < a < b <, nebo neomezený, když a = nebo b =. Necht, 2 I jsou dva body splňující < 2. Podle Věty o střední hodnotě eistuje ξ (, 2 ) takové, že platí f( 2 ) f( ) = f (ξ) ( 2 ). Jestliže derivace f () je kladná v intervalu I, potom také f (ξ) > 0 a f( ) < f( 2 ), tj. funkce je rostoucí v intervalu I. Pokud je derivace záporná, funkce je klesající. Dostáváme tak tvrzení: Věta 7.6. Necht funkce f() je spojitá na intervalu I a má derivaci f () v (a, b). Platí: f () > 0 v intervalu (a, b), pak funkce f() je rostoucí na I, f () < 0 v intervalu (a, b), pak funkce f() je klesající na I, f () 0 v intervalu (a, b), právě když funkce f() je neklesající na I, (d) f () 0 v intervalu (a, b), právě když funkce f() je nerostoucí na I. Poznámky 7.7. (d) Předpokládáme, že funkce je spojitá na celém intervalu, tj. včetně jednostranné spojitosti v případných koncových bodech. Derivaci vyžadujeme jenom ve vnitřních bodech intervalu. Pozor, v případě a obrácená implikace obecně neplatí: funkce rostoucí na intervalu I nemusí mít kladnou derivaci, například funkce f() = 3 na intervalu I =, je rostoucí na celém intervalu, ale f () = 3 2 je v nule nulová. Funkce f() = 3 je protipříkladem obrácené implikace. Jak zjistíme znaménko funkce? Uvažujme funkci spojitou na intervalu. Pokud v intervalu funkce nemá žádný nulový bod, tj. bod, kde f() = 0, potom funkce je v celém intervalu bud kladná nebo záporná. Stačí proto určit znaménko hodnoty funkce v jednom bodě, protože uvnitř intervalu se znaménko měnit nemůže, byl by tam nulový bod. Podobně postupujeme při zjišt ování znaménka derivace. Pokud derivace je také funkce spojitá na celém intervalu, může měnit znaménko jenom ve stacionárních bodech, tj. bodech, kde je derivace nulová, tj. f () = 0. Stačí proto na intervalech, kde je f () nenulová, zjistit znaménko derivace vyčíslením hodnoty derivace v jednom bodě intervalu. Při vyšetřování znaménka funkce (nebo derivace) vyznačíme na reálné ose body, kde funkce (nebo derivace) není definovaná nebo není spojitá, a body, kde je nulová. Získáme tím intervaly, ve kterých funkce (nebo derivace) má stejné znaménko. Ve vyznačených bodech funkce často mění znaménko, může se však stát, že funkce (nebo derivace) na sousedních intervalech má stejné znaménko. Při vyšetřování znaménka funkce využíváme také skutečnosti, že součin kladných hodnot je kladný. Pokud je v součinu lichý počet záporných hodnot, součin je záporný. Pokud počet záporných hodnot v součinu je sudý, součin je opět kladný. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce Etrémy Důležitými charakteristikami funkce jsou její etrémy, tj. maima a minima. Etrémy rozlišujeme absolutní (globální) na množině D, kdy nerovnost f() f( 0 ) v případě maima a nerovnost f() f( 0 ) v případě minima platí pro všechna D a lokální, kdy nerovnost platí pouze v nějakém okolí bodu 0. Definice 7.8. (Etrémy) Bud f() funkce na množině D. Řekneme, že funkce f() (d) má na množině D absolutní maimum M, jestliže eistuje 0 D takové, že f( 0 ) = M a nerovnost f() M platí pro všechna D, má na množině D absolutní minimum M, jestliže eistuje 0 D takové, že f( 0 ) = M a nerovnost f() M platí pro všechna D, má v bodě 0 lokální maimum m, jestliže eistuje okolí O bodu 0 takové, že nerovnost f() f( 0 ) = m platí pro všechna O D, má v bodě 0 lokální minimum m, jestliže eistuje okolí O bodu 0 takové, že nerovnost f() f( 0 ) = m platí pro všechna O D. Pokud v podmínce platí ostrá nerovnost pro každé 0, mluvíme o ostrém maimu nebo minimu, v případě neostré nerovnosti o neostrém maimu nebo minimu. f() a 2 3 4 5 b Obr. 7.3: Funkce f() na intervalu a, b má absolutní maimum v bodě 3, absolutní minimum v 2, lokální maima v a,, 3, b, lokální minima v 2, 5, stacionární body jsou, 2, 4. Připomeňme, že nestačí uvést bod 0, ve kterém je lokální nebo absolutní etrém, ale i příslušnou hodnotu f( 0 ). Jak je to s eistencí a počtem etrémů? Pokud funkce má absolutní maimum nebo minimum, potom tato hodnota je jednoznačně určena. Funkce jí však může nabývat ve více bodech, například funkce cos na R nabývá svého absolutního maima M = v nekonečně mnoha bodech = 2kπ (k Z) a absolutního minima m = v bodech = (2k + )π. Funkce však nemusí mít absolutní ani lokální maimum nebo minimum. Je to například v případě, kdy funkce není omezená na množině D, jako je tomu u funkce f() = na (, ) nebo tg na ( π, π ). Ani omezená funkce však nemusí mít absolutní ani lokální etrém, může 2 2 se to stát tehdy, když bod, ve kterém je etrém, už v množině D není rostoucí funkce na otevřeném intervalu nemá žádné etrémy. Spojitá funkce na omezené uzavřené množině však má vždy absolutní minimum i maimum. D Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce Lokální etrémy ve vnitřních bodech Věta 7.9. Jestliže spojitá funkce f() má ve vnitřním bodě 0 množiny D maimum nebo minimum a má v tomto bodě derivaci f ( 0 ), potom tato derivace je nulová. Pokud derivace f ( 0 ) je ve vnitřním bodě 0 intervalu různá od nuly, potom funkce f() je v okolí 0 rostoucí nebo klesající a proto nemá v tomto bodě žádný etrém. Definice 7.20. Body, ve kterých je derivace f () nulová, nazýváme stacionární body. Body podezřelé z toho, že v nich může být etrém, proto jsou: stacionární body, tj. body, kde derivace je nulová, tj. f () = 0, body, kde derivace f () neeistuje. Mimo vnitřních bodů etrém může být i v hraničním bodě množiny D, tj. krajním bodě intervalu nebo v izolovaném bodě množiny D. Jak určit, zda funkce má ve stacionárním bodě 0 maimum nebo minimum? Pokud f() je rostoucí vlevo od bodu 0 a klesající vpravo od bodu 0, potom f() má bodě 0 lokální maimum. V případě, kdy f() je klesající vlevo a rostoucí vpravo od bodu 0, funkce f() má v bodě 0 minimum: Věta 7.2. Bud f() funkce definovaná v okolí bodu 0. Jestliže f() je v levém okolí bodu 0 rostoucí a v pravém klesající ( 0 ), potom má v bodě 0 ostré lokální maimum. Jestliže f() je v levém okolí bodu 0 klesající a v pravém rostoucí ( 0 ), potom má v bodě 0 ostré lokální minimum. Jestliže f() je v levém i pravém okolí 0 rostoucí ( 0 ), nebo v levém i pravém okolí klesající ( 0 ), potom v bodě 0 funkce nemá lokální etrém. K rozhodnutí, zda ve stacionárním bodě, kde f ( 0 ) = 0, je etrém, může posloužit druhá derivace. Pokud f () je v bodě 0 kladná, potom první derivace je v okolí bodu 0 rostoucí, v levém okolí bodu 0 je záporná a funkce f() klesající, v pravém okolí kladná a funkce rostoucí v bodě 0 je tedy ostré lokální minimum. Podobná úvaha vede k závěru, že jestliže f ( 0 ) < 0, první derivace je klesající a funkce má v bodě 0 ostré lokální maimum: Věta 7.22. Necht spojitá funkce f() má ve vnitřním bodě 0 nulovou derivaci f ( 0 ) = 0 a druhá derivace f ( 0 ) eistuje. Potom platí: f ( 0 ) > 0 pak f() má v bodě 0 ostré lokální minimum, f ( 0 ) < 0 pak f() má v bodě 0 ostré lokální maimum. V případě f ( 0 ) = 0 nelze rozhodnout, tj. etrém v 0 může, ale také nemusí být. Poznámky 7.23. Podívejme se na případ, kdy f ( 0 ) = 0, f ( 0 ) = 0 podrobněji a popišme, jak lze využít derivace vyšších řádů, pokud eistují: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce V bodě 0 může být: (i) lokální minimum, například f() = ( 0 ) 4, (ii) lokální maimum, například f() = ( 0 ) 4, (iii) žádný etrém, například f() = ( 0 ) 3. V případě f ( 0 ) = 0, f ( 0 ) = 0 může rozhodnout třetí derivace. Jestliže f ( 0 ) 0, potom funkce nemá v bodě 0 etrém. Skutečně, pomocí Taylorova polynomu třetího stupně můžeme psát f() = f ( 3! 0 ) ( 0 ) 3 + O( 0 ) 3, funkce je v okolí 0 rostoucí nebo klesající a proto funkce zde nemůže mít etrém. Pokud však f ( 0 ) = 0 rozhodnout může znaménko čtvrté derivace. Taylorův polynom dává f() = 4! f (4) ( 0 ) ( 0 ) 4 + O( 0 ) 5 a v případě f (4) ( 0 ) > 0 je v bodě 0 ostré lokální minimum, v případě f (4) ( 0 ) < 0 je v bodě 0 ostré lokální maimum. Jestliže v bodě 0 jsou všechny čtyři derivace nulové a pátá nenulová, potom zde není etrém. V případě pěti nulových derivací v bodě 0 může rozhodnout derivace šestá, atd. Lokální etrémy v hraničních bodech Každý omezený uzavřený interval interval a, b má dva hraniční body, intervaly (, b a a, ) mají jeden hraniční bod. V hraničním bodě může být lokální etrém, derivace zde však nemusí být nulová. Následující podmínky zajišt ují lokální etrémy v těchto hraničních bodech: Věta 7.24. Necht a je levý koncový bod intervalu a funkce f() je rostoucí (klesající) v nějakém pravém okolí a, a + δ) bodu a, potom v bodě a funkce f() má ostré lokální minimum (maimum). V pravém koncovém bodě b intervalu analogický platí: Pokud funkce f() je rostoucí (klesající) v nějakém levém okolí (b δ, b, potom v bodě a funkce f() má ostré lokální maimum (minimum). Pokud je funkce v okolí jenom neklesající nebo nerostoucí, etrém nemusí být ostrý. Pokud v levém koncovém bodě a intervalu eistuje kladná (záporná) jednostranná limita derivace lim a+ f (), potom v bodě a je ostré lokální minimum (maimum). Analogicky v pravém koncovém bodě b jestliže jednostranná limita lim b f () je kladná (záporná), potom v bodě b je ostré lokální maimum (minimum). Pokud limita derivace v koncovém bodě je nulová, potom etrém může být ostrý i neostrý nebo nemusí eistovat. f < 0 f > 0 f() f > 0 f() f < 0 a b a b Obr. 7.4: Nenulové jednostranné limity derivace v lokálním maimu (minimu) v hraničních bodech. Absolutní (globální) etrémy Připomeňme, že každá funkce f() na libovolné neprázdné množině D R má své supremum i infimum. Pokud supremum je nekonečno, absolutní maimum neeistuje. Pokud infimum je minus nekonečno, absolutní minimum neeistuje. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce Pokud víme, že funkce absolutní maimum má, je to největší ze všech lokální maim, protože absolutní maimum je také lokální maimum. V tomto případě nemusíme zjišt ovat, zda ve stacionárním bodě (nebo bodě, kde není derivace, či hraničním bodě) je etrém, stačí vyčíslit hodnoty ve všech podezřelých bodech, mezi které patří i koncové body intervalu. Podobně pokud funkce absolutní minimum má, je to nejmenší lokální minimum. Často je velmi užitečná následující věta, která zaručuje eistenci absolutních etrémů: Věta 7.25. Necht D je omezená uzavřená množina, tj. například omezený uzavřený interval, a funkce f() je spojitá na množině D (v koncových bodech intervalu spojitá zleva nebo zprava). Potom funkce f() má na množině D absolutní minimum i absolutní maimum. Pokud nejsou splněny podmínky předchozí věty, na vyšetřování absolutních etrémů není obecný návod. Pokud množina D není uzavřená, absolutní etrém nemusí eistovat, pokud hraniční bod, ve kterém limita funkce nabývá etrémní hodnotu, už v množině D není. Pokud množina D není omezená, musíme sledovat limitu funkce při blížícím se plus nebo minus nekonečnu. Například funkce f() = 2 /e 2 kromě = 0 je všude kladná, její absolutní minimum je proto f(0) = 0. Limity v ± jsou nulové a funkce je spojitá, její absolutní maimum proto budeme hledat mezi stacionárními body. Asymptoty Asymptota funkce je obrazně řečeno tečna ke grafu funkce v nekonečnu. Asymptota funkce y = f() je taková přímka, jejíž vzdálenost od bodu grafu [, f()] se blíží k nule, když nebo f() se vzdaluje do plus nebo minus nekonečna. Přímky v rovině lze rozdělit na dva druhy: přímky se směrnicí, které mají rovnici y = k + q a tzv. přímky bez směrnice, tj. přímky rovnoběžné s osou y, které mají rovnici = 0. Podle toho také rozlišujeme dva druhy asymptot: se směrnicí a bez směrnice. Obr. 7.5: Asymptota bez a se směrnicí Definice 7.26. (Asymptoty) Necht f() je funkce definovaná na okolí nekonečna (c, ) [resp. na okolí minus nekonečna (, c)]. Potom přímku y = k + q nazveme asymptotou (se směrnicí) funkce f() pro [resp. pro ] jestliže lim (f() (k + q)) = 0 [ ] resp. lim (f() (k + q)) = 0. Necht f() je funkce definovaná v nějakém levém nebo pravém redukovaném okolí bodu 0. Potom přímku = 0 nazveme asymptotou funkce f() bez směrnice (nesměrnicovou), jestliže alespoň jedna z jednostranných limit funkce f() je nevlastní, tj. rovna nebo. Jak zjistit asymptotu se směrnicí? Pokud lim (f() (k + q)) = 0, potom i limita lim (f() (k + q)) f() k = 0, protože lim q = 0. Z této rovnosti plyne f() hodnota směrnice k. Známe-li k, potom už q (f() k). Tím jsme odvodili tvrzení, pomocí kterého vyšetřujeme asymptoty se směrnicí: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce Věta 7.27. Bud f() funkce definovaná v okolí nekonečna. Pokud eistují konečné limity k f() a q (f() k ), potom přímka y = k + q je asymptota funkce f() pro. Analogické tvrzení platí pro případ asymptoty. Pokud uvedené limity neeistují, nebo nejsou konečné, asymptota funkce neeistuje. Příklady 7.28. Uved me několik ilustrativních příkladů: Funkce f() = arctg má asymptotu (se směrnicí) y = π 2 pro a asymptotu y = π 2 pro. Funkce f() = tg má v bodech 0 = π 2 + kπ (k Z) asymptoty bez směrnice = 0 zleva pro y a zprava pro y. (d) (e) (f) Funkce f() = + / 2 má asymptoty y = pro i a asymptotu bez směrnice = 0 pro y. Funkce sin a cos žádné asymptoty nemají, protože k ± f()/ = 0, ale limity q ± (f() 0 ) neeistují. Funkce 2, 3, 4 a e také nemají asymptoty pro, protože limity lim f()/ eistují, ale nejsou konečné. Funkce také nemá asymptotu pro, protože k f()/ = 0, ale limita q (f() 0 ) není konečná. Poznámky 7.29. Místo limity podílu k f()/ lze vzít limitu derivace k f (), pokud tato limita eistuje. Uvedená definice asymptoty připouští i případ, kdy asymptota se směrnicí není limitou tečen: hodnoty f() se sice blíží k asymptotě, ale její směrnice nemají limitu, oscilují okolo k. Například funkce f() = sin(2 ) má asymptotu y = 0, protože lim f() = 0. Derivace f () = sin( 2 ) + 2 cos( 2 ), tj. směrnice tečny v bodě však limitu nemá, 2 směrnice k asymptoty proto není limitou směrnic tečen. Využití druhých derivací Pomocí druhé derivace lze určit, zda je funkce konvení nebo konkávní, viz Definice 4.. Opět interval I může být otevřený nebo uzavřený, omezený nebo neomezený. Pokud funkce f() je ryze konvení, směrnice f () jejich tečen je funkce rostoucí, a proto derivace směrnic, tj. druhá derivace f (), je funkce kladná. Analogicky směrnice tečen ryze konkávní funkce je funkce klesající, a proto druhá derivace f () je záporná, viz Obr. 7.6. To je v souladu s alternativní charakteristikou, viz Poznámka 4.3, konvení diferencovatelné funkce: Tečna ke grafu konvení funkce v bodě 0 (mimo bod 0 ) leží pod grafem funkce. Skutečně, rovnice tečny ke grafu funkce f() v bodě 0 je t() = f( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 20

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce Taylorův polynom druhého stupně dává f() = t()+ 2 f ( 0 )( 0 ) 2 + O( 0 ) 3. Pokud f ( 0 ) je kladná, v okolí 0 platí f() > t(), tedy graf funkce je nad tečnou. Obr. 7.6: Směrnice tečen u ryze konvení funkce roste, u ryze konkávní funkce klesá. Věta 7.30. Necht f() je funkce spojitá na I mající v (a, b) druhou derivaci. Potom platí: f () 0 na intervalu I, potom f() je na I konvení, f () 0 na intervalu I, potom f() je na I konkávní. Pokud pro druhou derivaci platí ostrá nerovnost, potom funkce f() je na I ryze konvení nebo ryze konkávní. Jestliže druhá derivace f () v bodě 0 mění znaménko, 0 je inflením bodem funkce f(). Pokud druhá derivace funkce eistuje, v inflením bodě je nulová. Poznámky 7.3. Pokud f ( 0 ) = 0, 0 nemusí být inflení bod. Například funkce f() = 4 má v bodě 0 = 0 nulové derivace druhého řádu, ale je ryze konvení na celém R. V nule má nulovou i třetí derivaci, čtvrtá je kladná. Funkce f() = 5 má v 0 = 0 nulovou první, druhou, třetí i čtvrtou derivaci, nenulová je až pátá derivace. Funkce přitom má v nule inflení bod. Příklady 7.32. Funkce f() = 3 má f () = 6. Je proto ryze konvení v intervalu 0, ) a ryze konkávní v (, 0, inflením bodem je 0 = 0. Funkce e je ryze konvení v celém R, logaritmus ln je funkce ryze konkávní na (0, ). Funkce f() = sin má f () = sin. Na intervalech (2kπ, (2k + )π) je druhá derivace záporná, funkce je zde ryze konkávní. Na intervalech ((2k )π, 2kπ) je druhá derivace kladná, funkce je zde ryze konvení. Body = kπ jsou inflení body. Vyšetřování průběhu funkcí Při vyšetřování průběhu funkce zkoumáme (pokud není v zadání uvedeno jinak) následující vlastnosti funkce: () Definiční obor a množinu, kde je funkce spojitá, případně najdeme body nespojitosti. (2) Zda je funkce sudá, lichá, případně periodická. (3) Průsečíky s osou (tzv. nulové body) a znaménka f(), tj. intervaly, na kterých je funkce kladná nebo záporná. (4) Jednostranné limity v bodech nespojitosti a v krajních bodech, případně zda eistují asymptoty bez směrnice. (5) Limity pro a a zda eistují asymptoty se směrnicí (pokud funkce je definovaná v okolí ± ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 2

7. Aplikace derivace 7C. Průběh funkce (6) Spočítáme první derivaci f () a dále (d) najdeme nulové body f () = 0, tj. stacionární body, určíme znaménko f (), tj. intervaly, kde je funkce rostoucí nebo klesající, určíme lokální maima a minima včetně jejich hodnot, určíme jednostranné limity f () (směrnic tečen) v bodech nespojitosti funkce a v bodech, kde derivace neeistuje. (7) Spočítáme druhou derivaci f () a pak najdeme nulové body druhé derivace f () = 0, určíme znaménka druhé derivace, tj. intervaly, kde je funkce konvení nebo konkávní, určíme inflení body včetně hodnoty funkce a směrnice tečen v těchto bodech. Závěrem načrtneme graf funkce pomocí předchozích výsledků: (d) (e) (f) (g) (h) zvolíme vhodný interval a měřítka podle definičního oboru funkce a oboru hodnot, vyznačíme koncové body definičního oboru a příslušné hodnoty nebo limity funkce, vyznačíme nulové body a znaménka funkce f(), vyneseme hodnoty funkce ve stacionárních bodech, tj. body [, f()] a vyznačíme intervaly, kde je funkce rostoucí nebo klesající, načrtneme případné asymptoty, vyneseme hodnoty a směrnice tečen v případných infleních bodech, vyznačíme intervaly, kde je funkce konvení nebo konkávní, spojíme příslušné body křivkou (rostoucí, klesající, konvení, konkávní,... ) na intervalech definičního oboru. Poznámky 7.33. Definiční obor určujeme postupně podle definičních oborů jednotlivých elementárních funkcí a operací. Vycházíme z množiny reálných čísel R, přitom musí platit: při dělení g()/h() je jmenovatel nenulový, tj. h() 0, odmocnina g() je definovaná pro nezáporná g(), logaritmus ln(g()) nebo log a (g()) je definován jen pro kladná g() a pro a > 0, a, pro funkce tg (g()) je g() π + kπ, u cotg (g()) je g() kπ, k Z, 2 u funkcí arcsin(g()), arccos(g()) argument g() musí být v intervalu,. Vyloučené a hraniční body definičního oboru jsou často také kandidáty na to, že jimi bude procházet asymptota bez směrnice. Sudá, lichá, nebo periodická funkce. Nutnou podmínkou pro sudou nebo lichou funkci je definiční obor symetrický podle osy y, tj. D(f) D(f). Vlastnost nám usnadní vykreslení průběhu funkce. Připomeňme, že funkce: sudá má graf osově souměrný podle osy y a platí f( ) = f() pro všechna D(f). lichá má graf středově souměrný podle počátku a platí f( ) = f() D(f). je periodická s periodou p, pokud její definiční obor splňuje D(f) +kp D(f) (k Z) a pro všechna D(f) platí f() = f( + kp), tj. graf funkce se opakuje. Hledáme přitom nejmenší p > 0 splňující uvedené podmínky. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 22

7. Aplikace derivace 7D. Příklady vyšetřování průběhu funkce (d) (e) (f) (g) (h) Nulové body. Jsou to body na ose, které mají y-ovou souřadnici rovnu nule. Stačí najít řešení rovnice f() = 0. Průsečík s osou y je hodnota f(0), pokud 0 je v definičním oboru. První derivace, stacionární body, monotónnost, etrémy. Stacionární body jsou řešení rovnice f () = 0. V těchto bodech je tečna vodorovná, tj. rovnoběžná s osou. Zde může být etrém, ale také inflení bod. Podle znaménka derivace určíme, zda je funkce rostoucí nebo klesající. Také zde využijeme skutečnost, že funkce může změnit znaménko pouze v nulových bodech, nebo v bodech, kde funkce není spojitá. Podobně derivace může změnit znaménko ve stacionárním bodě nebo bodě, kde derivace není definovaná. Druhá derivace, konvenost, konkávnost, inflení body. Opět spočítáme druhou derivaci a vyřešíme rovnici f () = 0. Podle znaménka pak určíme, zda je funkce konvení nebo konkávní. Bod, kde f () = 0, může být inflením bodem. Asymptoty bez směrnice se mohou vyskytnout pouze v bodech, kde funkce není definovaná nebo není spojitá. Asymptoty se směrnicí vyšetřujeme jen v případech, kdy funkce je definovaná v okolí kladného nebo záporného nekonečna. Ne vždy je třeba zjišt ovat všechny uvedené vlastnosti funkce. Zejména při zkoušce vyšetřujte jen vlastnosti požadované v zadání. Porovnejte jednotlivé vlastnosti navzájem! Pokud jsou ve sporu, ve výpočtu je chyba. Například pokud je funkce sudá, tj. f( ) = f(), její graf je symetrický podle osy y. Její první derivace je funkce lichá, tj. f ( ) = f (), její graf je symetrický podle středu v počátku [0, 0], stacionární body jsou symetrické. Druhá derivace je opět funkce sudá. 7D. Příklady vyšetřování průběhu funkce Příklad 7.34. Vyšetřete průběh funkce f() = 2 + 2. Řešení: () Definiční obor Kvůli zlomku 2 nutno vyloučit = 0, proto D(f) = (, 0) (0, ). Funkce je na D(f) spojitá, jediným bodem nespojitosti je = 0. (2) Vlastnosti funkce Protože f( ) = f() jde o funkci lichou, bude středově symetrická podle počátku. Stačilo by ji vyšetřovat pouze na intervalu 0, ). (3) Nulové body Vynásobením rovnice f() = 0 výrazem 2 dostáváme rovnici 4 + 2 = 0, která nemá řešení. Funkce proto nemá nulové body a tudíž na intervalu (0, ) má stejné znaménko. Protože například f() = 5/2, funkce je na intervalu (0, ) kladná. Díky lichosti bude na intervalu (, 0) záporná. (4) Kvůli výrazu 2 je lim 0+ f() =, lim 0 f() =. Funkce má proto asymptotu bez směrnice = 0 pro y zprava a pro y zleva. (5) Limity v nekonečnu jsou lim f() =, lim f() =. Spočítáme limity k f()/ = a q 2 (f() ) = 0. Funkce má proto asymptoty se 2 směrnicí y = pro. Podobně asymptota pro je přímka y =, což je 2 2 v souladu se skutečností, že funkce je lichá. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 23